![]() |
Mathbox for Thierry Arnoux |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > cntzsnid | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The centralizer of the identity element is the whole base set. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Nov-2023.) |
Ref | Expression |
---|---|
cntzun.b | โข ๐ต = (Baseโ๐) |
cntzun.z | โข ๐ = (Cntzโ๐) |
cntzsnid.1 | โข 0 = (0gโ๐) |
Ref | Expression |
---|---|
cntzsnid | โข (๐ โ Mnd โ (๐โ{ 0 }) = ๐ต) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | cntzun.b | . . . . 5 โข ๐ต = (Baseโ๐) | |
2 | cntzsnid.1 | . . . . 5 โข 0 = (0gโ๐) | |
3 | 1, 2 | mndidcl 18576 | . . . 4 โข (๐ โ Mnd โ 0 โ ๐ต) |
4 | eqid 2733 | . . . . 5 โข (+gโ๐) = (+gโ๐) | |
5 | cntzun.z | . . . . 5 โข ๐ = (Cntzโ๐) | |
6 | 1, 4, 5 | elcntzsn 19110 | . . . 4 โข ( 0 โ ๐ต โ (๐ฅ โ (๐โ{ 0 }) โ (๐ฅ โ ๐ต โง (๐ฅ(+gโ๐) 0 ) = ( 0 (+gโ๐)๐ฅ)))) |
7 | 3, 6 | syl 17 | . . 3 โข (๐ โ Mnd โ (๐ฅ โ (๐โ{ 0 }) โ (๐ฅ โ ๐ต โง (๐ฅ(+gโ๐) 0 ) = ( 0 (+gโ๐)๐ฅ)))) |
8 | 1, 4, 2 | mndrid 18582 | . . . . . 6 โข ((๐ โ Mnd โง ๐ฅ โ ๐ต) โ (๐ฅ(+gโ๐) 0 ) = ๐ฅ) |
9 | 1, 4, 2 | mndlid 18581 | . . . . . 6 โข ((๐ โ Mnd โง ๐ฅ โ ๐ต) โ ( 0 (+gโ๐)๐ฅ) = ๐ฅ) |
10 | 8, 9 | eqtr4d 2776 | . . . . 5 โข ((๐ โ Mnd โง ๐ฅ โ ๐ต) โ (๐ฅ(+gโ๐) 0 ) = ( 0 (+gโ๐)๐ฅ)) |
11 | 10 | ex 414 | . . . 4 โข (๐ โ Mnd โ (๐ฅ โ ๐ต โ (๐ฅ(+gโ๐) 0 ) = ( 0 (+gโ๐)๐ฅ))) |
12 | 11 | pm4.71d 563 | . . 3 โข (๐ โ Mnd โ (๐ฅ โ ๐ต โ (๐ฅ โ ๐ต โง (๐ฅ(+gโ๐) 0 ) = ( 0 (+gโ๐)๐ฅ)))) |
13 | 7, 12 | bitr4d 282 | . 2 โข (๐ โ Mnd โ (๐ฅ โ (๐โ{ 0 }) โ ๐ฅ โ ๐ต)) |
14 | 13 | eqrdv 2731 | 1 โข (๐ โ Mnd โ (๐โ{ 0 }) = ๐ต) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 {csn 4587 โcfv 6497 (class class class)co 7358 Basecbs 17088 +gcplusg 17138 0gc0g 17326 Mndcmnd 18561 Cntzccntz 19100 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5243 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3352 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3446 df-sbc 3741 df-csb 3857 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-op 4594 df-uni 4867 df-iun 4957 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-id 5532 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-f1 6502 df-fo 6503 df-f1o 6504 df-fv 6505 df-riota 7314 df-ov 7361 df-0g 17328 df-mgm 18502 df-sgrp 18551 df-mnd 18562 df-cntz 19102 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |