Theorem cntzsnid 33370

Description: The centralizer of the identity element is the whole base set. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cntzun.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
cntzun.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑀)
cntzsnid.1	⊢ 0 = (0g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
cntzsnid	⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑍‘{ 0 }) = 𝐵)

Proof of Theorem cntzsnid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntzun.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
2		cntzsnid.1	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑀)
3	1, 2	mndidcl 18810	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)
4		eqid 2770	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
5		cntzun.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑀)
6	1, 4, 5	elcntzsn 19398	. . . 4 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝑍‘{ 0 }) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥(+g‘𝑀) 0 ) = ( 0 (+g‘𝑀)𝑥))))
7	3, 6	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑥 ∈ (𝑍‘{ 0 }) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥(+g‘𝑀) 0 ) = ( 0 (+g‘𝑀)𝑥))))
8	1, 4, 2	mndrid 18816	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝑀) 0 ) = 𝑥)
9	1, 4, 2	mndlid 18815	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑀)𝑥) = 𝑥)
10	8, 9	eqtr4d 2808	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝑀) 0 ) = ( 0 (+g‘𝑀)𝑥))
11	10	ex 417	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥(+g‘𝑀) 0 ) = ( 0 (+g‘𝑀)𝑥)))
12	11	pm4.71d 570	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥(+g‘𝑀) 0 ) = ( 0 (+g‘𝑀)𝑥))))
13	7, 12	bitr4d 285	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑥 ∈ (𝑍‘{ 0 }) ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
14	13	eqrdv 2768	1 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑍‘{ 0 }) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2150  {csn 4594  ‘cfv 6540  (class class class)co 7414  Basecbs 17272  +_gcplusg 17313  0_gc0g 17495  Mndcmnd 18795  Cntzccntz 19388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5560  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-0g 17497  df-mgm 18701  df-sgrp 18780  df-mnd 18796  df-cntz 19390

This theorem is referenced by: (None)