Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cntzsnid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntzsnid 33072
Description: The centralizer of the identity element is the whole base set. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzun.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
cntzun.z 𝑍 = (Cntz‘𝑀)
cntzsnid.1 0 = (0g𝑀)
Assertion
Ref Expression
cntzsnid (𝑀 ∈ Mnd → (𝑍‘{ 0 }) = 𝐵)

Proof of Theorem cntzsnid
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntzun.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑀)
2 cntzsnid.1 . . . . 5 0 = (0g𝑀)
31, 2mndidcl 18762 . . . 4 (𝑀 ∈ Mnd → 0𝐵)
4 eqid 2737 . . . . 5 (+g𝑀) = (+g𝑀)
5 cntzun.z . . . . 5 𝑍 = (Cntz‘𝑀)
61, 4, 5elcntzsn 19343 . . . 4 ( 0𝐵 → (𝑥 ∈ (𝑍‘{ 0 }) ↔ (𝑥𝐵 ∧ (𝑥(+g𝑀) 0 ) = ( 0 (+g𝑀)𝑥))))
73, 6syl 17 . . 3 (𝑀 ∈ Mnd → (𝑥 ∈ (𝑍‘{ 0 }) ↔ (𝑥𝐵 ∧ (𝑥(+g𝑀) 0 ) = ( 0 (+g𝑀)𝑥))))
81, 4, 2mndrid 18768 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥(+g𝑀) 0 ) = 𝑥)
91, 4, 2mndlid 18767 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵) → ( 0 (+g𝑀)𝑥) = 𝑥)
108, 9eqtr4d 2780 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥(+g𝑀) 0 ) = ( 0 (+g𝑀)𝑥))
1110ex 412 . . . 4 (𝑀 ∈ Mnd → (𝑥𝐵 → (𝑥(+g𝑀) 0 ) = ( 0 (+g𝑀)𝑥)))
1211pm4.71d 561 . . 3 (𝑀 ∈ Mnd → (𝑥𝐵 ↔ (𝑥𝐵 ∧ (𝑥(+g𝑀) 0 ) = ( 0 (+g𝑀)𝑥))))
137, 12bitr4d 282 . 2 (𝑀 ∈ Mnd → (𝑥 ∈ (𝑍‘{ 0 }) ↔ 𝑥𝐵))
1413eqrdv 2735 1 (𝑀 ∈ Mnd → (𝑍‘{ 0 }) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  {csn 4626  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  0gc0g 17484  Mndcmnd 18747  Cntzccntz 19333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-cntz 19335
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator