Theorem cntzsnid 31429

Description: The centralizer of the identity element is the whole base set. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cntzun.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
cntzun.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑀)
cntzsnid.1	⊢ 0 = (0g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
cntzsnid	⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑍‘{ 0 }) = 𝐵)

Proof of Theorem cntzsnid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntzun.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
2		cntzsnid.1	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑀)
3	1, 2	mndidcl 18470	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)
4		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
5		cntzun.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑀)
6	1, 4, 5	elcntzsn 19000	. . . 4 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝑍‘{ 0 }) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥(+g‘𝑀) 0 ) = ( 0 (+g‘𝑀)𝑥))))
7	3, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑥 ∈ (𝑍‘{ 0 }) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥(+g‘𝑀) 0 ) = ( 0 (+g‘𝑀)𝑥))))
8	1, 4, 2	mndrid 18476	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝑀) 0 ) = 𝑥)
9	1, 4, 2	mndlid 18475	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑀)𝑥) = 𝑥)
10	8, 9	eqtr4d 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝑀) 0 ) = ( 0 (+g‘𝑀)𝑥))
11	10	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥(+g‘𝑀) 0 ) = ( 0 (+g‘𝑀)𝑥)))
12	11	pm4.71d 562	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥(+g‘𝑀) 0 ) = ( 0 (+g‘𝑀)𝑥))))
13	7, 12	bitr4d 281	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑥 ∈ (𝑍‘{ 0 }) ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
14	13	eqrdv 2735	1 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑍‘{ 0 }) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {csn 4571  ‘cfv 6465  (class class class)co 7315  Basecbs 16982  +_gcplusg 17032  0_gc0g 17220  Mndcmnd 18455  Cntzccntz 18990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-id 5507  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7272  df-ov 7318  df-0g 17222  df-mgm 18396  df-sgrp 18445  df-mnd 18456  df-cntz 18992

This theorem is referenced by: (None)