Theorem cntzsnid 33129

Description: The centralizer of the identity element is the whole base set. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cntzun.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
cntzun.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑀)
cntzsnid.1	⊢ 0 = (0g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
cntzsnid	⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑍‘{ 0 }) = 𝐵)

Proof of Theorem cntzsnid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntzun.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
2		cntzsnid.1	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑀)
3	1, 2	mndidcl 18706	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)
4		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
5		cntzun.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑀)
6	1, 4, 5	elcntzsn 19289	. . . 4 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝑍‘{ 0 }) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥(+g‘𝑀) 0 ) = ( 0 (+g‘𝑀)𝑥))))
7	3, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑥 ∈ (𝑍‘{ 0 }) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥(+g‘𝑀) 0 ) = ( 0 (+g‘𝑀)𝑥))))
8	1, 4, 2	mndrid 18712	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝑀) 0 ) = 𝑥)
9	1, 4, 2	mndlid 18711	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑀)𝑥) = 𝑥)
10	8, 9	eqtr4d 2773	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝑀) 0 ) = ( 0 (+g‘𝑀)𝑥))
11	10	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥(+g‘𝑀) 0 ) = ( 0 (+g‘𝑀)𝑥)))
12	11	pm4.71d 561	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥(+g‘𝑀) 0 ) = ( 0 (+g‘𝑀)𝑥))))
13	7, 12	bitr4d 282	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑥 ∈ (𝑍‘{ 0 }) ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
14	13	eqrdv 2733	1 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑍‘{ 0 }) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4557  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  Basecbs 17168  +_gcplusg 17209  0_gc0g 17391  Mndcmnd 18691  Cntzccntz 19279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-0g 17393  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-cntz 19281

This theorem is referenced by: (None)