Theorem cntzsnid 31223

Description: The centralizer of the identity element is the whole base set. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cntzun.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
cntzun.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑀)
cntzsnid.1	⊢ 0 = (0g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
cntzsnid	⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑍‘{ 0 }) = 𝐵)

Proof of Theorem cntzsnid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntzun.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
2		cntzsnid.1	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑀)
3	1, 2	mndidcl 18315	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)
4		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
5		cntzun.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑀)
6	1, 4, 5	elcntzsn 18846	. . . 4 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝑍‘{ 0 }) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥(+g‘𝑀) 0 ) = ( 0 (+g‘𝑀)𝑥))))
7	3, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑥 ∈ (𝑍‘{ 0 }) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥(+g‘𝑀) 0 ) = ( 0 (+g‘𝑀)𝑥))))
8	1, 4, 2	mndrid 18321	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝑀) 0 ) = 𝑥)
9	1, 4, 2	mndlid 18320	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑀)𝑥) = 𝑥)
10	8, 9	eqtr4d 2781	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝑀) 0 ) = ( 0 (+g‘𝑀)𝑥))
11	10	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥(+g‘𝑀) 0 ) = ( 0 (+g‘𝑀)𝑥)))
12	11	pm4.71d 561	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥(+g‘𝑀) 0 ) = ( 0 (+g‘𝑀)𝑥))))
13	7, 12	bitr4d 281	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑥 ∈ (𝑍‘{ 0 }) ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
14	13	eqrdv 2736	1 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑍‘{ 0 }) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {csn 4558  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  0_gc0g 17067  Mndcmnd 18300  Cntzccntz 18836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-cntz 18838

This theorem is referenced by: (None)