Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cntzsnid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntzsnid 31952
Description: The centralizer of the identity element is the whole base set. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzun.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘€)
cntzun.z ๐‘ = (Cntzโ€˜๐‘€)
cntzsnid.1 0 = (0gโ€˜๐‘€)
Assertion
Ref Expression
cntzsnid (๐‘€ โˆˆ Mnd โ†’ (๐‘โ€˜{ 0 }) = ๐ต)

Proof of Theorem cntzsnid
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntzun.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘€)
2 cntzsnid.1 . . . . 5 0 = (0gโ€˜๐‘€)
31, 2mndidcl 18576 . . . 4 (๐‘€ โˆˆ Mnd โ†’ 0 โˆˆ ๐ต)
4 eqid 2733 . . . . 5 (+gโ€˜๐‘€) = (+gโ€˜๐‘€)
5 cntzun.z . . . . 5 ๐‘ = (Cntzโ€˜๐‘€)
61, 4, 5elcntzsn 19110 . . . 4 ( 0 โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜{ 0 }) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€) 0 ) = ( 0 (+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ))))
73, 6syl 17 . . 3 (๐‘€ โˆˆ Mnd โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜{ 0 }) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€) 0 ) = ( 0 (+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ))))
81, 4, 2mndrid 18582 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€) 0 ) = ๐‘ฅ)
91, 4, 2mndlid 18581 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 (+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
108, 9eqtr4d 2776 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€) 0 ) = ( 0 (+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ))
1110ex 414 . . . 4 (๐‘€ โˆˆ Mnd โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€) 0 ) = ( 0 (+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ)))
1211pm4.71d 563 . . 3 (๐‘€ โˆˆ Mnd โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€) 0 ) = ( 0 (+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ))))
137, 12bitr4d 282 . 2 (๐‘€ โˆˆ Mnd โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜{ 0 }) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต))
1413eqrdv 2731 1 (๐‘€ โˆˆ Mnd โ†’ (๐‘โ€˜{ 0 }) = ๐ต)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {csn 4587  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  0gc0g 17326  Mndcmnd 18561  Cntzccntz 19100
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-cntz 19102
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator