MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntzsnval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntzsnval 19111
Description: Special substitution for the centralizer of a singleton. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzfval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘€)
cntzfval.p + = (+gโ€˜๐‘€)
cntzfval.z ๐‘ = (Cntzโ€˜๐‘€)
Assertion
Ref Expression
cntzsnval (๐‘Œ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘โ€˜{๐‘Œ}) = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘ฅ + ๐‘Œ) = (๐‘Œ + ๐‘ฅ)})
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ, +   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐‘€   ๐‘ฅ,๐‘Œ
Allowed substitution hint:   ๐‘(๐‘ฅ)

Proof of Theorem cntzsnval
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snssi 4773 . . 3 (๐‘Œ โˆˆ ๐ต โ†’ {๐‘Œ} โŠ† ๐ต)
2 cntzfval.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘€)
3 cntzfval.p . . . 4 + = (+gโ€˜๐‘€)
4 cntzfval.z . . . 4 ๐‘ = (Cntzโ€˜๐‘€)
52, 3, 4cntzval 19108 . . 3 ({๐‘Œ} โŠ† ๐ต โ†’ (๐‘โ€˜{๐‘Œ}) = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ {๐‘Œ} (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ)})
61, 5syl 17 . 2 (๐‘Œ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘โ€˜{๐‘Œ}) = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ {๐‘Œ} (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ)})
7 oveq2 7370 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐‘Œ โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ + ๐‘Œ))
8 oveq1 7369 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐‘Œ โ†’ (๐‘ฆ + ๐‘ฅ) = (๐‘Œ + ๐‘ฅ))
97, 8eqeq12d 2753 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐‘Œ โ†’ ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ) โ†” (๐‘ฅ + ๐‘Œ) = (๐‘Œ + ๐‘ฅ)))
109ralsng 4639 . . 3 (๐‘Œ โˆˆ ๐ต โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ {๐‘Œ} (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ) โ†” (๐‘ฅ + ๐‘Œ) = (๐‘Œ + ๐‘ฅ)))
1110rabbidv 3418 . 2 (๐‘Œ โˆˆ ๐ต โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ {๐‘Œ} (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ)} = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘ฅ + ๐‘Œ) = (๐‘Œ + ๐‘ฅ)})
126, 11eqtrd 2777 1 (๐‘Œ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘โ€˜{๐‘Œ}) = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘ฅ + ๐‘Œ) = (๐‘Œ + ๐‘ฅ)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3065  {crab 3410   โŠ† wss 3915  {csn 4591  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  +gcplusg 17140  Cntzccntz 19102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-cntz 19104
This theorem is referenced by:  elcntzsn  19112  cntziinsn  19122
  Copyright terms: Public domain W3C validator