MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumpt 19739
Description: Sum of a family that is nonzero at at most one point. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumpt.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumpt.z 0 = (0g𝐺)
gsumpt.g (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
gsumpt.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumpt.x (𝜑𝑋𝐴)
gsumpt.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
gsumpt.s (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ {𝑋})
Assertion
Ref Expression
gsumpt (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐹𝑋))

Proof of Theorem gsumpt
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumpt.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
2 gsumpt.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐴)
32snssd 4769 . . . 4 (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐴)
41, 3feqresmpt 6911 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ {𝑋}) = (𝑎 ∈ {𝑋} ↦ (𝐹𝑎)))
54oveq2d 7373 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ {𝑋})) = (𝐺 Σg (𝑎 ∈ {𝑋} ↦ (𝐹𝑎))))
6 gsumpt.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
7 gsumpt.z . . 3 0 = (0g𝐺)
8 eqid 2736 . . 3 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
9 gsumpt.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
10 gsumpt.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
111, 2ffvelcdmd 7036 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑋) ∈ 𝐵)
12 eqidd 2737 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝑋)(+g𝐺)(𝐹𝑋)) = ((𝐹𝑋)(+g𝐺)(𝐹𝑋)))
13 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (+g𝐺) = (+g𝐺)
146, 13, 8elcntzsn 19105 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑋) ∈ 𝐵 → ((𝐹𝑋) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹𝑋)}) ↔ ((𝐹𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐹𝑋)(+g𝐺)(𝐹𝑋)) = ((𝐹𝑋)(+g𝐺)(𝐹𝑋)))))
1511, 14syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝑋) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹𝑋)}) ↔ ((𝐹𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐹𝑋)(+g𝐺)(𝐹𝑋)) = ((𝐹𝑋)(+g𝐺)(𝐹𝑋)))))
1611, 12, 15mpbir2and 711 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑋) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹𝑋)}))
1716snssd 4769 . . . . . 6 (𝜑 → {(𝐹𝑋)} ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹𝑋)}))
18 eqid 2736 . . . . . . 7 (mrCls‘(SubMnd‘𝐺)) = (mrCls‘(SubMnd‘𝐺))
19 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝐺s ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)})) = (𝐺s ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)}))
208, 18, 19cntzspan 19622 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ {(𝐹𝑋)} ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹𝑋)})) → (𝐺s ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)})) ∈ CMnd)
219, 17, 20syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺s ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)})) ∈ CMnd)
226submacs 18637 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
23 acsmre 17532 . . . . . . . 8 ((SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵) → (SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
249, 22, 233syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
2511snssd 4769 . . . . . . 7 (𝜑 → {(𝐹𝑋)} ⊆ 𝐵)
2618mrccl 17491 . . . . . . 7 (((SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ {(𝐹𝑋)} ⊆ 𝐵) → ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)}) ∈ (SubMnd‘𝐺))
2724, 25, 26syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)}) ∈ (SubMnd‘𝐺))
2819, 8submcmn2 19617 . . . . . 6 (((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)}) ∈ (SubMnd‘𝐺) → ((𝐺s ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)})) ∈ CMnd ↔ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)}) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)}))))
2927, 28syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺s ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)})) ∈ CMnd ↔ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)}) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)}))))
3021, 29mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)}) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)})))
311ffnd 6669 . . . . . 6 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
32 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑎 = 𝑋) → 𝑎 = 𝑋)
3332fveq2d 6846 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑎 = 𝑋) → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑋))
3424, 18, 25mrcssidd 17505 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {(𝐹𝑋)} ⊆ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)}))
35 fvex 6855 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹𝑋) ∈ V
3635snss 4746 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑋) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)}) ↔ {(𝐹𝑋)} ⊆ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)}))
3734, 36sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑋) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)}))
3837ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑎 = 𝑋) → (𝐹𝑋) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)}))
3933, 38eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑎 = 𝑋) → (𝐹𝑎) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)}))
40 eldifsn 4747 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋}) ↔ (𝑎𝐴𝑎𝑋))
41 gsumpt.s . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ {𝑋})
427fvexi 6856 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑0 ∈ V)
441, 41, 10, 43suppssr 8127 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})) → (𝐹𝑎) = 0 )
4540, 44sylan2br 595 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑎𝑋)) → (𝐹𝑎) = 0 )
467subm0cl 18622 . . . . . . . . . . . 12 (((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)}) ∈ (SubMnd‘𝐺) → 0 ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)}))
4727, 46syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑0 ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)}))
4847adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑎𝑋)) → 0 ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)}))
4945, 48eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑎𝑋)) → (𝐹𝑎) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)}))
5049anassrs 468 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑎𝑋) → (𝐹𝑎) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)}))
5139, 50pm2.61dane 3032 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝐹𝑎) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)}))
5251ralrimiva 3143 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑎𝐴 (𝐹𝑎) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)}))
53 ffnfv 7066 . . . . . 6 (𝐹:𝐴⟶((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)}) ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑎𝐴 (𝐹𝑎) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)})))
5431, 52, 53sylanbrc 583 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)}))
5554frnd 6676 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)}))
568cntzidss 19118 . . . 4 ((((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)}) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)})) ∧ ran 𝐹 ⊆ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)})) → ran 𝐹 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝐹))
5730, 55, 56syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝐹))
581ffund 6672 . . . 4 (𝜑 → Fun 𝐹)
59 snfi 8988 . . . . 5 {𝑋} ∈ Fin
60 ssfi 9117 . . . . 5 (({𝑋} ∈ Fin ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ {𝑋}) → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
6159, 41, 60sylancr 587 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
621, 10fexd 7177 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ V)
63 isfsupp 9309 . . . . 5 ((𝐹 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)))
6462, 43, 63syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 finSupp 0 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)))
6558, 61, 64mpbir2and 711 . . 3 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
666, 7, 8, 9, 10, 1, 57, 41, 65gsumzres 19686 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ {𝑋})) = (𝐺 Σg 𝐹))
67 fveq2 6842 . . . 4 (𝑎 = 𝑋 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑋))
686, 67gsumsn 19731 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐴 ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑎 ∈ {𝑋} ↦ (𝐹𝑎))) = (𝐹𝑋))
699, 2, 11, 68syl3anc 1371 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑎 ∈ {𝑋} ↦ (𝐹𝑎))) = (𝐹𝑋))
705, 66, 693eqtr3d 2784 1 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐹𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  Vcvv 3445  cdif 3907  wss 3910  {csn 4586   class class class wbr 5105  cmpt 5188  ran crn 5634  cres 5635  Fun wfun 6490   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357   supp csupp 8092  Fincfn 8883   finSupp cfsupp 9305  Basecbs 17083  s cress 17112  +gcplusg 17133  0gc0g 17321   Σg cgsu 17322  Moorecmre 17462  mrClscmrc 17463  ACScacs 17465  Mndcmnd 18556  SubMndcsubmnd 18600  Cntzccntz 19095  CMndccmn 19562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564
This theorem is referenced by:  gsummpt1n0  19742  dprdfid  19796  uvcresum  21199  frlmup2  21205  evlslem3  21490  evlslem1  21492  coe1tmmul2  21647  coe1tmmul  21648  mamulid  21790  mamurid  21791  coe1mul3  25464  tayl0  25721  jensen  26338  linc1  46496
  Copyright terms: Public domain W3C validator