Theorem gsumpt 20027

Description: Sum of a family that is nonzero at at most one point. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumpt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumpt.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumpt.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gsumpt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumpt.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
gsumpt.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
gsumpt.s	⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ {𝑋})

Assertion

Ref	Expression
gsumpt	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐹‘𝑋))

Proof of Theorem gsumpt

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumpt.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2		gsumpt.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
3	2	snssd 4752	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐴)
4	1, 3	feqresmpt 6950	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ {𝑋}) = (𝑎 ∈ {𝑋} ↦ (𝐹‘𝑎)))
5	4	oveq2d 7426	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ {𝑋})) = (𝐺 Σg (𝑎 ∈ {𝑋} ↦ (𝐹‘𝑎))))
6		gsumpt.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		gsumpt.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
8		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
9		gsumpt.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
10		gsumpt.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
11	1, 2	ffvelcdmd 7080	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)
12		eqidd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑋)))
13		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
14	6, 13, 8	elcntzsn 19390	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 → ((𝐹‘𝑋) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑋)}) ↔ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑋)))))
15	11, 14	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑋)}) ↔ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑋)))))
16	11, 12, 15	mpbir2and 725	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑋)}))
17	16	snssd 4752	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {(𝐹‘𝑋)} ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑋)}))
18		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (mrCls‘(SubMnd‘𝐺)) = (mrCls‘(SubMnd‘𝐺))
19		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ↾s ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)})) = (𝐺 ↾s ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
20	8, 18, 19	cntzspan 19909	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ {(𝐹‘𝑋)} ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑋)})) → (𝐺 ↾s ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)})) ∈ CMnd)
21	9, 17, 20	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾s ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)})) ∈ CMnd)
22	6	submacs 18881	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
23		acsmre 17703	. . . . . . . 8 ⊢ ((SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵) → (SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
24	9, 22, 23	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
25	11	snssd 4752	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {(𝐹‘𝑋)} ⊆ 𝐵)
26	18	mrccl 17662	. . . . . . 7 ⊢ (((SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ {(𝐹‘𝑋)} ⊆ 𝐵) → ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}) ∈ (SubMnd‘𝐺))
27	24, 25, 26	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}) ∈ (SubMnd‘𝐺))
28	19, 8	submcmn2 19904	. . . . . 6 ⊢ (((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}) ∈ (SubMnd‘𝐺) → ((𝐺 ↾s ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)})) ∈ CMnd ↔ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))))
29	27, 28	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ↾s ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)})) ∈ CMnd ↔ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))))
30	21, 29	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)})))
31	1	ffnd 6706	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
32		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 = 𝑋) → 𝑎 = 𝑋)
33	32	fveq2d 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 = 𝑋) → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑋))
34	24, 18, 25	mrcssidd 17676	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {(𝐹‘𝑋)} ⊆ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
35		fvex 6894	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹‘𝑋) ∈ V
36	35	snss 4750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝑋) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}) ↔ {(𝐹‘𝑋)} ⊆ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
37	34, 36	sylibr 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
38	37	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 = 𝑋) → (𝐹‘𝑋) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
39	33, 38	eqeltrd 2863	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 = 𝑋) → (𝐹‘𝑎) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
40		eldifsn 4753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋}) ↔ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 ≠ 𝑋))
41		gsumpt.s	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ {𝑋})
42	7	fvexi 6895	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ V
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
44	1, 41, 10, 43	suppssr 8187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})) → (𝐹‘𝑎) = 0 )
45	40, 44	sylan2br 606	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 ≠ 𝑋)) → (𝐹‘𝑎) = 0 )
46	7	subm0cl 18864	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}) ∈ (SubMnd‘𝐺) → 0 ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
47	27, 46	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
48	47	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 ≠ 𝑋)) → 0 ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
49	45, 48	eqeltrd 2863	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 ≠ 𝑋)) → (𝐹‘𝑎) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
50	49	anassrs 472	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑋) → (𝐹‘𝑎) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
51	39, 50	pm2.61dane 3045	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑎) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
52	51	ralrimiva 3157	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑎) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
53		ffnfv 7114	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}) ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑎) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)})))
54	31, 52, 53	sylanbrc 594	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
55	54	frnd 6714	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
56	8	cntzidss 19405	. . . 4 ⊢ ((((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)})) ∧ ran 𝐹 ⊆ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)})) → ran 𝐹 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝐹))
57	30, 55, 56	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝐹))
58	1	ffund 6710	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
59		snfi 9036	. . . . 5 ⊢ {𝑋} ∈ Fin
60		ssfi 9153	. . . . 5 ⊢ (({𝑋} ∈ Fin ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ {𝑋}) → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
61	59, 41, 60	sylancr 598	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
62	1, 10	fexd 7225	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
63		isfsupp 9321	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)))
64	62, 43, 63	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 finSupp 0 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)))
65	58, 61, 64	mpbir2and 725	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
66	6, 7, 8, 9, 10, 1, 57, 41, 65	gsumzres 19974	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ {𝑋})) = (𝐺 Σg 𝐹))
67		fveq2 6881	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑋))
68	6, 67	gsumsn 20019	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑎 ∈ {𝑋} ↦ (𝐹‘𝑎))) = (𝐹‘𝑋))
69	9, 2, 11, 68	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑎 ∈ {𝑋} ↦ (𝐹‘𝑎))) = (𝐹‘𝑋))
70	5, 66, 69	3eqtr3d 2806	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐹‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  Vcvv 3455   ∖ cdif 3902   ⊆ wss 3905  {csn 4589   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  ran crn 5662   ↾ cres 5663  Fun wfun 6530   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   supp csupp 8152  Fincfn 8939   finSupp cfsupp 9317  Basecbs 17264   ↾_s cress 17285  +_gcplusg 17305  0_gc0g 17487   Σ_g cgsu 17488  Moorecmre 17629  mrClscmrc 17630  ACScacs 17632  Mndcmnd 18787  SubMndcsubmnd 18835  Cntzccntz 19380  CMndccmn 19845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-hash 14363  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-submnd 18837  df-mulg 19129  df-cntz 19382  df-cmn 19847

This theorem is referenced by:  gsummpt1n0  20030  dprdfid  20084  uvcresum  21943  frlmup2  21949  evlslem3  22231  evlslem1  22233  coe1tmmul2  22437  coe1tmmul  22438  mamulid  22598  mamurid  22599  coe1mul3  26256  tayl0  26525  jensen  27153  linc1  49205