Theorem gsumpt 19941

Description: Sum of a family that is nonzero at at most one point. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumpt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumpt.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumpt.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gsumpt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumpt.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
gsumpt.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
gsumpt.s	⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ {𝑋})

Assertion

Ref	Expression
gsumpt	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐹‘𝑋))

Proof of Theorem gsumpt

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumpt.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2		gsumpt.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
3	2	snssd 4785	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐴)
4	1, 3	feqresmpt 6947	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ {𝑋}) = (𝑎 ∈ {𝑋} ↦ (𝐹‘𝑎)))
5	4	oveq2d 7419	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ {𝑋})) = (𝐺 Σg (𝑎 ∈ {𝑋} ↦ (𝐹‘𝑎))))
6		gsumpt.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		gsumpt.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
8		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
9		gsumpt.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
10		gsumpt.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
11	1, 2	ffvelcdmd 7074	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)
12		eqidd 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑋)))
13		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
14	6, 13, 8	elcntzsn 19306	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 → ((𝐹‘𝑋) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑋)}) ↔ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑋)))))
15	11, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑋)}) ↔ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑋)))))
16	11, 12, 15	mpbir2and 713	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑋)}))
17	16	snssd 4785	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {(𝐹‘𝑋)} ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑋)}))
18		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (mrCls‘(SubMnd‘𝐺)) = (mrCls‘(SubMnd‘𝐺))
19		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ↾s ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)})) = (𝐺 ↾s ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
20	8, 18, 19	cntzspan 19823	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ {(𝐹‘𝑋)} ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑋)})) → (𝐺 ↾s ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)})) ∈ CMnd)
21	9, 17, 20	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾s ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)})) ∈ CMnd)
22	6	submacs 18803	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
23		acsmre 17662	. . . . . . . 8 ⊢ ((SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵) → (SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
24	9, 22, 23	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
25	11	snssd 4785	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {(𝐹‘𝑋)} ⊆ 𝐵)
26	18	mrccl 17621	. . . . . . 7 ⊢ (((SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ {(𝐹‘𝑋)} ⊆ 𝐵) → ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}) ∈ (SubMnd‘𝐺))
27	24, 25, 26	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}) ∈ (SubMnd‘𝐺))
28	19, 8	submcmn2 19818	. . . . . 6 ⊢ (((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}) ∈ (SubMnd‘𝐺) → ((𝐺 ↾s ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)})) ∈ CMnd ↔ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))))
29	27, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ↾s ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)})) ∈ CMnd ↔ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))))
30	21, 29	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)})))
31	1	ffnd 6706	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
32		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 = 𝑋) → 𝑎 = 𝑋)
33	32	fveq2d 6879	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 = 𝑋) → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑋))
34	24, 18, 25	mrcssidd 17635	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {(𝐹‘𝑋)} ⊆ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
35		fvex 6888	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹‘𝑋) ∈ V
36	35	snss 4761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝑋) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}) ↔ {(𝐹‘𝑋)} ⊆ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
37	34, 36	sylibr 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
38	37	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 = 𝑋) → (𝐹‘𝑋) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
39	33, 38	eqeltrd 2834	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 = 𝑋) → (𝐹‘𝑎) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
40		eldifsn 4762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋}) ↔ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 ≠ 𝑋))
41		gsumpt.s	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ {𝑋})
42	7	fvexi 6889	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ V
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
44	1, 41, 10, 43	suppssr 8192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})) → (𝐹‘𝑎) = 0 )
45	40, 44	sylan2br 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 ≠ 𝑋)) → (𝐹‘𝑎) = 0 )
46	7	subm0cl 18787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}) ∈ (SubMnd‘𝐺) → 0 ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
47	27, 46	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
48	47	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 ≠ 𝑋)) → 0 ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
49	45, 48	eqeltrd 2834	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 ≠ 𝑋)) → (𝐹‘𝑎) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
50	49	anassrs 467	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑋) → (𝐹‘𝑎) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
51	39, 50	pm2.61dane 3019	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑎) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
52	51	ralrimiva 3132	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑎) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
53		ffnfv 7108	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}) ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑎) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)})))
54	31, 52, 53	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
55	54	frnd 6713	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
56	8	cntzidss 19321	. . . 4 ⊢ ((((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)})) ∧ ran 𝐹 ⊆ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)})) → ran 𝐹 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝐹))
57	30, 55, 56	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝐹))
58	1	ffund 6709	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
59		snfi 9055	. . . . 5 ⊢ {𝑋} ∈ Fin
60		ssfi 9185	. . . . 5 ⊢ (({𝑋} ∈ Fin ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ {𝑋}) → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
61	59, 41, 60	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
62	1, 10	fexd 7218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
63		isfsupp 9375	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)))
64	62, 43, 63	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 finSupp 0 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)))
65	58, 61, 64	mpbir2and 713	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
66	6, 7, 8, 9, 10, 1, 57, 41, 65	gsumzres 19888	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ {𝑋})) = (𝐺 Σg 𝐹))
67		fveq2 6875	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑋))
68	6, 67	gsumsn 19933	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑎 ∈ {𝑋} ↦ (𝐹‘𝑎))) = (𝐹‘𝑋))
69	9, 2, 11, 68	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑎 ∈ {𝑋} ↦ (𝐹‘𝑎))) = (𝐹‘𝑋))
70	5, 66, 69	3eqtr3d 2778	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐹‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  Vcvv 3459   ∖ cdif 3923   ⊆ wss 3926  {csn 4601   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201  ran crn 5655   ↾ cres 5656  Fun wfun 6524   Fn wfn 6525  ⟶wf 6526  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403   supp csupp 8157  Fincfn 8957   finSupp cfsupp 9371  Basecbs 17226   ↾_s cress 17249  +_gcplusg 17269  0_gc0g 17451   Σ_g cgsu 17452  Moorecmre 17592  mrClscmrc 17593  ACScacs 17595  Mndcmnd 18710  SubMndcsubmnd 18758  Cntzccntz 19296  CMndccmn 19759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-isom 6539  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9372  df-oi 9522  df-card 9951  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-2 12301  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-seq 14018  df-hash 14347  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-mre 17596  df-mrc 17597  df-acs 17599  df-mgm 18616  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-submnd 18760  df-mulg 19049  df-cntz 19298  df-cmn 19761

This theorem is referenced by:  gsummpt1n0  19944  dprdfid  19998  uvcresum  21751  frlmup2  21757  evlslem3  22036  evlslem1  22038  coe1tmmul2  22211  coe1tmmul  22212  mamulid  22377  mamurid  22378  coe1mul3  26054  tayl0  26319  jensen  26949  linc1  48349