Theorem gsumpt 19928

Description: Sum of a family that is nonzero at at most one point. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumpt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumpt.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumpt.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gsumpt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumpt.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
gsumpt.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
gsumpt.s	⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ {𝑋})

Assertion

Ref	Expression
gsumpt	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐹‘𝑋))

Proof of Theorem gsumpt

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumpt.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2		gsumpt.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
3	2	snssd 4753	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐴)
4	1, 3	feqresmpt 6903	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ {𝑋}) = (𝑎 ∈ {𝑋} ↦ (𝐹‘𝑎)))
5	4	oveq2d 7376	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ {𝑋})) = (𝐺 Σg (𝑎 ∈ {𝑋} ↦ (𝐹‘𝑎))))
6		gsumpt.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		gsumpt.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
8		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
9		gsumpt.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
10		gsumpt.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
11	1, 2	ffvelcdmd 7031	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)
12		eqidd 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑋)))
13		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
14	6, 13, 8	elcntzsn 19291	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 → ((𝐹‘𝑋) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑋)}) ↔ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑋)))))
15	11, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑋)}) ↔ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑋)))))
16	11, 12, 15	mpbir2and 714	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑋)}))
17	16	snssd 4753	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {(𝐹‘𝑋)} ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑋)}))
18		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (mrCls‘(SubMnd‘𝐺)) = (mrCls‘(SubMnd‘𝐺))
19		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ↾s ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)})) = (𝐺 ↾s ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
20	8, 18, 19	cntzspan 19810	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ {(𝐹‘𝑋)} ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑋)})) → (𝐺 ↾s ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)})) ∈ CMnd)
21	9, 17, 20	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾s ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)})) ∈ CMnd)
22	6	submacs 18786	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
23		acsmre 17609	. . . . . . . 8 ⊢ ((SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵) → (SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
24	9, 22, 23	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
25	11	snssd 4753	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {(𝐹‘𝑋)} ⊆ 𝐵)
26	18	mrccl 17568	. . . . . . 7 ⊢ (((SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ {(𝐹‘𝑋)} ⊆ 𝐵) → ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}) ∈ (SubMnd‘𝐺))
27	24, 25, 26	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}) ∈ (SubMnd‘𝐺))
28	19, 8	submcmn2 19805	. . . . . 6 ⊢ (((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}) ∈ (SubMnd‘𝐺) → ((𝐺 ↾s ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)})) ∈ CMnd ↔ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))))
29	27, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ↾s ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)})) ∈ CMnd ↔ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))))
30	21, 29	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)})))
31	1	ffnd 6663	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
32		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 = 𝑋) → 𝑎 = 𝑋)
33	32	fveq2d 6838	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 = 𝑋) → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑋))
34	24, 18, 25	mrcssidd 17582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {(𝐹‘𝑋)} ⊆ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
35		fvex 6847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹‘𝑋) ∈ V
36	35	snss 4729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝑋) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}) ↔ {(𝐹‘𝑋)} ⊆ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
37	34, 36	sylibr 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
38	37	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 = 𝑋) → (𝐹‘𝑋) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
39	33, 38	eqeltrd 2837	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 = 𝑋) → (𝐹‘𝑎) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
40		eldifsn 4730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋}) ↔ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 ≠ 𝑋))
41		gsumpt.s	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ {𝑋})
42	7	fvexi 6848	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ V
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
44	1, 41, 10, 43	suppssr 8138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})) → (𝐹‘𝑎) = 0 )
45	40, 44	sylan2br 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 ≠ 𝑋)) → (𝐹‘𝑎) = 0 )
46	7	subm0cl 18770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}) ∈ (SubMnd‘𝐺) → 0 ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
47	27, 46	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
48	47	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 ≠ 𝑋)) → 0 ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
49	45, 48	eqeltrd 2837	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 ≠ 𝑋)) → (𝐹‘𝑎) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
50	49	anassrs 467	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑋) → (𝐹‘𝑎) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
51	39, 50	pm2.61dane 3020	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑎) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
52	51	ralrimiva 3130	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑎) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
53		ffnfv 7065	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}) ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑎) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)})))
54	31, 52, 53	sylanbrc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
55	54	frnd 6670	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
56	8	cntzidss 19306	. . . 4 ⊢ ((((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)})) ∧ ran 𝐹 ⊆ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)})) → ran 𝐹 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝐹))
57	30, 55, 56	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝐹))
58	1	ffund 6666	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
59		snfi 8983	. . . . 5 ⊢ {𝑋} ∈ Fin
60		ssfi 9100	. . . . 5 ⊢ (({𝑋} ∈ Fin ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ {𝑋}) → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
61	59, 41, 60	sylancr 588	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
62	1, 10	fexd 7175	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
63		isfsupp 9271	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)))
64	62, 43, 63	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 finSupp 0 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)))
65	58, 61, 64	mpbir2and 714	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
66	6, 7, 8, 9, 10, 1, 57, 41, 65	gsumzres 19875	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ {𝑋})) = (𝐺 Σg 𝐹))
67		fveq2 6834	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑋))
68	6, 67	gsumsn 19920	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑎 ∈ {𝑋} ↦ (𝐹‘𝑎))) = (𝐹‘𝑋))
69	9, 2, 11, 68	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑎 ∈ {𝑋} ↦ (𝐹‘𝑎))) = (𝐹‘𝑋))
70	5, 66, 69	3eqtr3d 2780	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐹‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  Vcvv 3430   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  {csn 4568   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ran crn 5625   ↾ cres 5626  Fun wfun 6486   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   supp csupp 8103  Fincfn 8886   finSupp cfsupp 9267  Basecbs 17170   ↾_s cress 17191  +_gcplusg 17211  0_gc0g 17393   Σ_g cgsu 17394  Moorecmre 17535  mrClscmrc 17536  ACScacs 17538  Mndcmnd 18693  SubMndcsubmnd 18741  Cntzccntz 19281  CMndccmn 19746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748

This theorem is referenced by:  gsummpt1n0  19931  dprdfid  19985  uvcresum  21783  frlmup2  21789  evlslem3  22068  evlslem1  22070  coe1tmmul2  22251  coe1tmmul  22252  mamulid  22416  mamurid  22417  coe1mul3  26074  tayl0  26338  jensen  26966  linc1  48913