Theorem gsumpt 19739

Description: Sum of a family that is nonzero at at most one point. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumpt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumpt.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumpt.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gsumpt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumpt.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
gsumpt.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
gsumpt.s	⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ {𝑋})

Assertion

Ref	Expression
gsumpt	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐹‘𝑋))

Proof of Theorem gsumpt

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumpt.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2		gsumpt.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
3	2	snssd 4769	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐴)
4	1, 3	feqresmpt 6911	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ {𝑋}) = (𝑎 ∈ {𝑋} ↦ (𝐹‘𝑎)))
5	4	oveq2d 7373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ {𝑋})) = (𝐺 Σg (𝑎 ∈ {𝑋} ↦ (𝐹‘𝑎))))
6		gsumpt.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		gsumpt.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
8		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
9		gsumpt.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
10		gsumpt.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
11	1, 2	ffvelcdmd 7036	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)
12		eqidd 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑋)))
13		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
14	6, 13, 8	elcntzsn 19105	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 → ((𝐹‘𝑋) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑋)}) ↔ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑋)))))
15	11, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑋)}) ↔ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑋)))))
16	11, 12, 15	mpbir2and 711	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑋)}))
17	16	snssd 4769	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {(𝐹‘𝑋)} ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑋)}))
18		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (mrCls‘(SubMnd‘𝐺)) = (mrCls‘(SubMnd‘𝐺))
19		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ↾s ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)})) = (𝐺 ↾s ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
20	8, 18, 19	cntzspan 19622	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ {(𝐹‘𝑋)} ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑋)})) → (𝐺 ↾s ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)})) ∈ CMnd)
21	9, 17, 20	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾s ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)})) ∈ CMnd)
22	6	submacs 18637	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
23		acsmre 17532	. . . . . . . 8 ⊢ ((SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵) → (SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
24	9, 22, 23	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
25	11	snssd 4769	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {(𝐹‘𝑋)} ⊆ 𝐵)
26	18	mrccl 17491	. . . . . . 7 ⊢ (((SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ {(𝐹‘𝑋)} ⊆ 𝐵) → ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}) ∈ (SubMnd‘𝐺))
27	24, 25, 26	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}) ∈ (SubMnd‘𝐺))
28	19, 8	submcmn2 19617	. . . . . 6 ⊢ (((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}) ∈ (SubMnd‘𝐺) → ((𝐺 ↾s ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)})) ∈ CMnd ↔ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))))
29	27, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ↾s ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)})) ∈ CMnd ↔ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))))
30	21, 29	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)})))
31	1	ffnd 6669	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
32		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 = 𝑋) → 𝑎 = 𝑋)
33	32	fveq2d 6846	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 = 𝑋) → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑋))
34	24, 18, 25	mrcssidd 17505	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {(𝐹‘𝑋)} ⊆ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
35		fvex 6855	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹‘𝑋) ∈ V
36	35	snss 4746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝑋) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}) ↔ {(𝐹‘𝑋)} ⊆ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
37	34, 36	sylibr 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
38	37	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 = 𝑋) → (𝐹‘𝑋) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
39	33, 38	eqeltrd 2838	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 = 𝑋) → (𝐹‘𝑎) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
40		eldifsn 4747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋}) ↔ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 ≠ 𝑋))
41		gsumpt.s	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ {𝑋})
42	7	fvexi 6856	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ V
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
44	1, 41, 10, 43	suppssr 8127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})) → (𝐹‘𝑎) = 0 )
45	40, 44	sylan2br 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 ≠ 𝑋)) → (𝐹‘𝑎) = 0 )
46	7	subm0cl 18622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}) ∈ (SubMnd‘𝐺) → 0 ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
47	27, 46	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
48	47	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 ≠ 𝑋)) → 0 ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
49	45, 48	eqeltrd 2838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 ≠ 𝑋)) → (𝐹‘𝑎) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
50	49	anassrs 468	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑋) → (𝐹‘𝑎) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
51	39, 50	pm2.61dane 3032	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑎) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
52	51	ralrimiva 3143	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑎) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
53		ffnfv 7066	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}) ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑎) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)})))
54	31, 52, 53	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
55	54	frnd 6676	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
56	8	cntzidss 19118	. . . 4 ⊢ ((((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)})) ∧ ran 𝐹 ⊆ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)})) → ran 𝐹 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝐹))
57	30, 55, 56	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝐹))
58	1	ffund 6672	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
59		snfi 8988	. . . . 5 ⊢ {𝑋} ∈ Fin
60		ssfi 9117	. . . . 5 ⊢ (({𝑋} ∈ Fin ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ {𝑋}) → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
61	59, 41, 60	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
62	1, 10	fexd 7177	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
63		isfsupp 9309	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)))
64	62, 43, 63	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 finSupp 0 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)))
65	58, 61, 64	mpbir2and 711	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
66	6, 7, 8, 9, 10, 1, 57, 41, 65	gsumzres 19686	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ {𝑋})) = (𝐺 Σg 𝐹))
67		fveq2 6842	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑋))
68	6, 67	gsumsn 19731	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑎 ∈ {𝑋} ↦ (𝐹‘𝑎))) = (𝐹‘𝑋))
69	9, 2, 11, 68	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑎 ∈ {𝑋} ↦ (𝐹‘𝑎))) = (𝐹‘𝑋))
70	5, 66, 69	3eqtr3d 2784	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐹‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  Vcvv 3445   ∖ cdif 3907   ⊆ wss 3910  {csn 4586   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ran crn 5634   ↾ cres 5635  Fun wfun 6490   Fn wfn 6491  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   supp csupp 8092  Fincfn 8883   finSupp cfsupp 9305  Basecbs 17083   ↾_s cress 17112  +_gcplusg 17133  0_gc0g 17321   Σ_g cgsu 17322  Moorecmre 17462  mrClscmrc 17463  ACScacs 17465  Mndcmnd 18556  SubMndcsubmnd 18600  Cntzccntz 19095  CMndccmn 19562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564

This theorem is referenced by:  gsummpt1n0  19742  dprdfid  19796  uvcresum  21199  frlmup2  21205  evlslem3  21490  evlslem1  21492  coe1tmmul2  21647  coe1tmmul  21648  mamulid  21790  mamurid  21791  coe1mul3  25464  tayl0  25721  jensen  26338  linc1  46496