Theorem gsumpt 20089

Description: Sum of a family that is nonzero at at most one point. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumpt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumpt.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumpt.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gsumpt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumpt.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
gsumpt.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
gsumpt.s	⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ {𝑋})

Assertion

Ref	Expression
gsumpt	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐹‘𝑋))

Proof of Theorem gsumpt

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumpt.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2		gsumpt.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
3	2	snssd 4747	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐴)
4	1, 3	feqresmpt 6947	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ {𝑋}) = (𝑎 ∈ {𝑋} ↦ (𝐹‘𝑎)))
5	4	oveq2d 7429	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ {𝑋})) = (𝐺 Σg (𝑎 ∈ {𝑋} ↦ (𝐹‘𝑎))))
6		gsumpt.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		gsumpt.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
8		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
9		gsumpt.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
10		gsumpt.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
11	1, 2	ffvelcdmd 7078	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)
12		eqidd 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑋)))
13		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
14	6, 13, 8	elcntzsn 19452	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 → ((𝐹‘𝑋) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑋)}) ↔ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑋)))))
15	11, 14	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑋)}) ↔ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑋)))))
16	11, 12, 15	mpbir2and 726	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑋)}))
17	16	snssd 4747	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {(𝐹‘𝑋)} ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑋)}))
18		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (mrCls‘(SubMnd‘𝐺)) = (mrCls‘(SubMnd‘𝐺))
19		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ↾s ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)})) = (𝐺 ↾s ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
20	8, 18, 19	cntzspan 19971	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ {(𝐹‘𝑋)} ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑋)})) → (𝐺 ↾s ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)})) ∈ CMnd)
21	9, 17, 20	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾s ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)})) ∈ CMnd)
22	6	submacs 18936	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
23		acsmre 17740	. . . . . . . 8 ⊢ ((SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵) → (SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
24	9, 22, 23	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
25	11	snssd 4747	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {(𝐹‘𝑋)} ⊆ 𝐵)
26	18	mrccl 17699	. . . . . . 7 ⊢ (((SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ {(𝐹‘𝑋)} ⊆ 𝐵) → ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}) ∈ (SubMnd‘𝐺))
27	24, 25, 26	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}) ∈ (SubMnd‘𝐺))
28	19, 8	submcmn2 19966	. . . . . 6 ⊢ (((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}) ∈ (SubMnd‘𝐺) → ((𝐺 ↾s ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)})) ∈ CMnd ↔ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))))
29	27, 28	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ↾s ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)})) ∈ CMnd ↔ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))))
30	21, 29	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)})))
31	1	ffnd 6703	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
32		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 = 𝑋) → 𝑎 = 𝑋)
33	32	fveq2d 6882	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 = 𝑋) → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑋))
34	24, 18, 25	mrcssidd 17713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {(𝐹‘𝑋)} ⊆ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
35		fvex 6891	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹‘𝑋) ∈ V
36	35	snss 4745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝑋) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}) ↔ {(𝐹‘𝑋)} ⊆ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
37	34, 36	sylibr 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
38	37	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 = 𝑋) → (𝐹‘𝑋) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
39	33, 38	eqeltrd 2860	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 = 𝑋) → (𝐹‘𝑎) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
40		eldifsn 4748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋}) ↔ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 ≠ 𝑋))
41		gsumpt.s	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ {𝑋})
42	7	fvexi 6892	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ V
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
44	1, 41, 10, 43	suppssr 8193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})) → (𝐹‘𝑎) = 0 )
45	40, 44	sylan2br 607	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 ≠ 𝑋)) → (𝐹‘𝑎) = 0 )
46	7	subm0cl 18919	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}) ∈ (SubMnd‘𝐺) → 0 ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
47	27, 46	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
48	47	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 ≠ 𝑋)) → 0 ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
49	45, 48	eqeltrd 2860	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 ≠ 𝑋)) → (𝐹‘𝑎) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
50	49	anassrs 473	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑋) → (𝐹‘𝑎) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
51	39, 50	pm2.61dane 3042	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑎) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
52	51	ralrimiva 3154	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑎) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
53		ffnfv 7112	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}) ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑎) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)})))
54	31, 52, 53	sylanbrc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
55	54	frnd 6711	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}))
56	8	cntzidss 19467	. . . 4 ⊢ ((((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)}) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)})) ∧ ran 𝐹 ⊆ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹‘𝑋)})) → ran 𝐹 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝐹))
57	30, 55, 56	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝐹))
58	1	ffund 6707	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
59		snfi 9050	. . . . 5 ⊢ {𝑋} ∈ Fin
60		ssfi 9167	. . . . 5 ⊢ (({𝑋} ∈ Fin ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ {𝑋}) → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
61	59, 41, 60	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
62	1, 10	fexd 7226	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
63		isfsupp 9335	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)))
64	62, 43, 63	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 finSupp 0 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)))
65	58, 61, 64	mpbir2and 726	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
66	6, 7, 8, 9, 10, 1, 57, 41, 65	gsumzres 20036	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ {𝑋})) = (𝐺 Σg 𝐹))
67		fveq2 6878	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑋))
68	6, 67	gsumsn 20081	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑎 ∈ {𝑋} ↦ (𝐹‘𝑎))) = (𝐹‘𝑋))
69	9, 2, 11, 68	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑎 ∈ {𝑋} ↦ (𝐹‘𝑎))) = (𝐹‘𝑋))
70	5, 66, 69	3eqtr3d 2803	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐹‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  {csn 4584   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ran crn 5656   ↾ cres 5657  Fun wfun 6527   Fn wfn 6528  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   supp csupp 8158  Fincfn 8952   finSupp cfsupp 9331  Basecbs 17301   ↾_s cress 17322  +_gcplusg 17342  0_gc0g 17524   Σ_g cgsu 17525  Moorecmre 17666  mrClscmrc 17667  ACScacs 17669  Mndcmnd 18836  SubMndcsubmnd 18890  Cntzccntz 19442  CMndccmn 19907

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-hash 14395  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-0g 17526  df-gsum 17527  df-mre 17670  df-mrc 17671  df-acs 17673  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-submnd 18892  df-mulg 19191  df-cntz 19444  df-cmn 19909

This theorem is used by:  gsummpt1n0  20092  dprdfid  20146  uvcresum  22006  frlmup2  22012  evlslem3  22296  evlslem1  22298  coe1tmmul2  22502  coe1tmmul  22503  mamulid  22663  mamurid  22664  coe1mul3  26324  tayl0  26598  jensen  27225  linc1  49355