Theorem eldisjsim4 39871

Description: Disjs implies element-disjoint range of QMap. Same as eldisjsim3 39870 but expressed using the block-map range ran QMap 𝑅 (often the more modular expression). (Contributed by Peter Mazsa, 15-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
eldisjsim4	⊢ (𝑅 ∈ Disjs → ran QMap 𝑅 ∈ ElDisjs )

Proof of Theorem eldisjsim4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnqmap 39387	. 2 ⊢ ran QMap 𝑅 = (dom 𝑅 / 𝑅)
2		eldisjsim3 39870	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs → (dom 𝑅 / 𝑅) ∈ ElDisjs )
3	1, 2	eqeltrid 2864	1 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs → ran QMap 𝑅 ∈ ElDisjs )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  dom cdm 5650  ran crn 5651   / cqs 8716   QMap cqmap 39108   Disjs cdisjs 39151   ElDisjs celdisjs 39153

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-eprel 5550  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-ec 8719  df-qs 8723  df-rels 39373  df-qmap 39379  df-coss 39434  df-ssr 39511  df-refrel 39525  df-cnvrefs 39538  df-cnvrefrels 39539  df-cnvrefrel 39540  df-symrel 39557  df-trrel 39591  df-eqvrel 39602  df-funALTV 39700  df-disjss 39721  df-disjs 39722  df-disjALTV 39723  df-eldisjs 39724  df-eldisj 39725

This theorem is used by:  eldisjs6  39873