Theorem eldisjsim4 39320

Description: Disjs implies element-disjoint range of QMap. Same as eldisjsim3 39319 but expressed using the block-map range ran QMap 𝑅 (often the more modular expression). (Contributed by Peter Mazsa, 15-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
eldisjsim4	⊢ (𝑅 ∈ Disjs → ran QMap 𝑅 ∈ ElDisjs )

Proof of Theorem eldisjsim4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnqmap 38836	. 2 ⊢ ran QMap 𝑅 = (dom 𝑅 / 𝑅)
2		eldisjsim3 39319	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs → (dom 𝑅 / 𝑅) ∈ ElDisjs )
3	1, 2	eqeltrid 2845	1 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs → ran QMap 𝑅 ∈ ElDisjs )

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2121  dom cdm 5621  ran crn 5622   / cqs 8636   QMap cqmap 38557   Disjs cdisjs 38600   ElDisjs celdisjs 38602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-rab 3394  df-v 3435  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-eprel 5521  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-ec 8639  df-qs 8643  df-rels 38822  df-qmap 38828  df-coss 38883  df-ssr 38960  df-refrel 38974  df-cnvrefs 38987  df-cnvrefrels 38988  df-cnvrefrel 38989  df-symrel 39006  df-trrel 39040  df-eqvrel 39051  df-funALTV 39149  df-disjss 39170  df-disjs 39171  df-disjALTV 39172  df-eldisjs 39173  df-eldisj 39174

This theorem is referenced by:  eldisjs6  39322