Theorem eldisjsim4 39790

Description: Disjs implies element-disjoint range of QMap. Same as eldisjsim3 39789 but expressed using the block-map range ran QMap 𝑅 (often the more modular expression). (Contributed by Peter Mazsa, 15-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
eldisjsim4	⊢ (𝑅 ∈ Disjs → ran QMap 𝑅 ∈ ElDisjs )

Proof of Theorem eldisjsim4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnqmap 39306	. 2 ⊢ ran QMap 𝑅 = (dom 𝑅 / 𝑅)
2		eldisjsim3 39789	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs → (dom 𝑅 / 𝑅) ∈ ElDisjs )
3	1, 2	eqeltrid 2864	1 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs → ran QMap 𝑅 ∈ ElDisjs )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  dom cdm 5647  ran crn 5648   / cqs 8694   QMap cqmap 39027   Disjs cdisjs 39070   ElDisjs celdisjs 39072

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-eprel 5547  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-ec 8697  df-qs 8701  df-rels 39292  df-qmap 39298  df-coss 39353  df-ssr 39430  df-refrel 39444  df-cnvrefs 39457  df-cnvrefrels 39458  df-cnvrefrel 39459  df-symrel 39476  df-trrel 39510  df-eqvrel 39521  df-funALTV 39619  df-disjss 39640  df-disjs 39641  df-disjALTV 39642  df-eldisjs 39643  df-eldisj 39644

This theorem is used by:  eldisjs6  39792