Theorem eldisjsim4 40061

Description: Disjs implies element-disjoint range of QMap. Same as eldisjsim3 40060 but expressed using the block-map range ran QMap 𝑅 (often the more modular expression). (Contributed by Peter Mazsa, 15-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
eldisjsim4	⊢ (𝑅 ∈ Disjs → ran QMap 𝑅 ∈ ElDisjs )

Proof of Theorem eldisjsim4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnqmap 39577	. 2 ⊢ ran QMap 𝑅 = (dom 𝑅 / 𝑅)
2		eldisjsim3 40060	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs → (dom 𝑅 / 𝑅) ∈ ElDisjs )
3	1, 2	eqeltrid 2868	1 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs → ran QMap 𝑅 ∈ ElDisjs )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  dom cdm 5655  ran crn 5656   / cqs 8741   QMap cqmap 39298   Disjs cdisjs 39341   ElDisjs celdisjs 39343

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-eprel 5555  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ec 8744  df-qs 8748  df-rels 39563  df-qmap 39569  df-coss 39624  df-ssr 39701  df-refrel 39715  df-cnvrefs 39728  df-cnvrefrels 39729  df-cnvrefrel 39730  df-symrel 39747  df-trrel 39781  df-eqvrel 39792  df-funALTV 39890  df-disjss 39911  df-disjs 39912  df-disjALTV 39913  df-eldisjs 39914  df-eldisj 39915

This theorem is used by:  eldisjs6  40063