Theorem elnlfn2 31974

Description: Membership in the null space of a Hilbert space functional. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
elnlfn2	⊢ ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ (null‘𝑇)) → (𝑇‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem elnlfn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnlfn 31973	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → (𝐴 ∈ (null‘𝑇) ↔ (𝐴 ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝐴) = 0)))
2	1	simplbda 499	1 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ (null‘𝑇)) → (𝑇‘𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ⟶wf 6565  ‘cfv 6569  ℂcc 11160  0cc0 11162   ℋchba 30964  nullcnl 30997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-cnex 11218  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-mulcl 11224  ax-i2m1 11230  ax-hilex 31044

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-id 5587  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-fv 6577  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-map 8876  df-nlfn 31891

This theorem is referenced by:  nlelchi  32106  riesz3i  32107