Theorem nlelchi 32090

Description: The null space of a continuous linear functional is a closed subspace. Remark 3.8 of [Beran] p. 103. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nlelch.1	⊢ 𝑇 ∈ LinFn
nlelch.2	⊢ 𝑇 ∈ ContFn

Assertion

Ref	Expression
nlelchi	⊢ (null‘𝑇) ∈ Cℋ

Proof of Theorem nlelchi

Dummy variables 𝑓 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlelch.1	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ LinFn
2	1	nlelshi 32089	. 2 ⊢ (null‘𝑇) ∈ Sℋ
3		vex 3482	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
4	3	hlimveci 31219	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑥 ∈ ℋ)
5	4	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ℋ)
6		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
7	6	cnfldhaus 24821	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus)
9		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
10		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (normℎ ∘ −ℎ ) = (normℎ ∘ −ℎ )
11	9, 10	hhims 31201	. . . . . . . . . 10 ⊢ (normℎ ∘ −ℎ ) = (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
12		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) = (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))
13	9, 11, 12	hhlm 31228	. . . . . . . . 9 ⊢ ⇝𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
14		resss 6022	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)) ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))
15	13, 14	eqsstri 4030	. . . . . . . 8 ⊢ ⇝𝑣 ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))
16	15	ssbri 5193	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))𝑥)
17	16	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))𝑥)
18		nlelch.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 ∈ ContFn
19	10, 12, 6	hhcnf 31934	. . . . . . . 8 ⊢ ContFn = ((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) Cn (TopOpen‘ℂfld))
20	18, 19	eleqtri 2837	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ∈ ((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) Cn (TopOpen‘ℂfld))
21	20	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑇 ∈ ((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
22	17, 21	lmcn 23329	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (𝑇 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))(𝑇‘𝑥))
23	1	lnfnfi 32070	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ℂ
24		ffvelcdm 7101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑛) ∈ (null‘𝑇))
25	24	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑛) ∈ (null‘𝑇))
26		elnlfn2 31958	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝑓‘𝑛) ∈ (null‘𝑇)) → (𝑇‘(𝑓‘𝑛)) = 0)
27	23, 25, 26	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑇‘(𝑓‘𝑛)) = 0)
28		fvco3 7008	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑇 ∘ 𝑓)‘𝑛) = (𝑇‘(𝑓‘𝑛)))
29	28	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑇 ∘ 𝑓)‘𝑛) = (𝑇‘(𝑓‘𝑛)))
30		c0ex 11253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ V
31	30	fvconst2 7224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((ℕ × {0})‘𝑛) = 0)
32	31	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((ℕ × {0})‘𝑛) = 0)
33	27, 29, 32	3eqtr4d 2785	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑇 ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((ℕ × {0})‘𝑛))
34	33	ralrimiva 3144	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑇 ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((ℕ × {0})‘𝑛))
35		ffn 6737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → 𝑇 Fn ℋ)
36	23, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 Fn ℋ
37		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇))
38	2	shssii 31242	. . . . . . . . . 10 ⊢ (null‘𝑇) ⊆ ℋ
39		fss 6753	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ (null‘𝑇) ⊆ ℋ) → 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
40	37, 38, 39	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
41		fnfco 6774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 Fn ℋ ∧ 𝑓:ℕ⟶ ℋ) → (𝑇 ∘ 𝑓) Fn ℕ)
42	36, 40, 41	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (𝑇 ∘ 𝑓) Fn ℕ)
43	30	fconst 6795	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℕ × {0}):ℕ⟶{0}
44		ffn 6737	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℕ × {0}):ℕ⟶{0} → (ℕ × {0}) Fn ℕ)
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ × {0}) Fn ℕ
46		eqfnfv 7051	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∘ 𝑓) Fn ℕ ∧ (ℕ × {0}) Fn ℕ) → ((𝑇 ∘ 𝑓) = (ℕ × {0}) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑇 ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((ℕ × {0})‘𝑛)))
47	42, 45, 46	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → ((𝑇 ∘ 𝑓) = (ℕ × {0}) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑇 ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((ℕ × {0})‘𝑛)))
48	34, 47	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (𝑇 ∘ 𝑓) = (ℕ × {0}))
49	6	cnfldtopon 24819	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
50	49	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
51		0cnd 11252	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 0 ∈ ℂ)
52		1zzd 12646	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 1 ∈ ℤ)
53		nnuz 12919	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
54	53	lmconst 23285	. . . . . . 7 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))0)
55	50, 51, 52, 54	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))0)
56	48, 55	eqbrtrd 5170	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (𝑇 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))0)
57	8, 22, 56	lmmo 23404	. . . 4 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (𝑇‘𝑥) = 0)
58		elnlfn 31957	. . . . 5 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → (𝑥 ∈ (null‘𝑇) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑥) = 0)))
59	23, 58	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (null‘𝑇) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑥) = 0))
60	5, 57, 59	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ (null‘𝑇))
61	60	gen2 1793	. 2 ⊢ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ (null‘𝑇))
62		isch2 31252	. 2 ⊢ ((null‘𝑇) ∈ Cℋ ↔ ((null‘𝑇) ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ (null‘𝑇))))
63	2, 61, 62	mpbir2an 711	1 ⊢ (null‘𝑇) ∈ Cℋ

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1535   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059   ⊆ wss 3963  {csn 4631  ⟨cop 4637   class class class wbr 5148   × cxp 5687   ↾ cres 5691   ∘ ccom 5693   Fn wfn 6558  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8865  ℂcc 11151  0cc0 11153  1c1 11154  ℕcn 12264  ℤcz 12611  TopOpenctopn 17468  MetOpencmopn 21372  ℂ_fldccnfld 21382  TopOnctopon 22932   Cn ccn 23248  ⇝_𝑡clm 23250  Hauscha 23332   ℋchba 30948   +_ℎ cva 30949   ·_ℎ csm 30950  norm_ℎcno 30952   −_ℎ cmv 30954   ⇝_𝑣 chli 30956   S_ℋ csh 30957   C_ℋ cch 30958  nullcnl 30981  ContFnccnfn 30982  LinFnclf 30983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233  ax-hilex 31028  ax-hfvadd 31029  ax-hvcom 31030  ax-hvass 31031  ax-hv0cl 31032  ax-hvaddid 31033  ax-hfvmul 31034  ax-hvmulid 31035  ax-hvmulass 31036  ax-hvdistr1 31037  ax-hvdistr2 31038  ax-hvmul0 31039  ax-hfi 31108  ax-his1 31111  ax-his2 31112  ax-his3 31113  ax-his4 31114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-icc 13391  df-fz 13545  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-rest 17469  df-topn 17470  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-lm 23253  df-haus 23339  df-xms 24346  df-ms 24347  df-grpo 30522  df-gid 30523  df-ginv 30524  df-gdiv 30525  df-ablo 30574  df-vc 30588  df-nv 30621  df-va 30624  df-ba 30625  df-sm 30626  df-0v 30627  df-vs 30628  df-nmcv 30629  df-ims 30630  df-hnorm 30997  df-hvsub 31000  df-hlim 31001  df-sh 31236  df-ch 31250  df-nlfn 31875  df-cnfn 31876  df-lnfn 31877

This theorem is referenced by:  riesz3i  32091