HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nlelchi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nlelchi 29755
Description: The null space of a continuous linear functional is a closed subspace. Remark 3.8 of [Beran] p. 103. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nlelch.1 𝑇 ∈ LinFn
nlelch.2 𝑇 ∈ ContFn
Assertion
Ref Expression
nlelchi (null‘𝑇) ∈ C

Proof of Theorem nlelchi
Dummy variables 𝑓 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nlelch.1 . . 3 𝑇 ∈ LinFn
21nlelshi 29754 . 2 (null‘𝑇) ∈ S
3 vex 3502 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
43hlimveci 28884 . . . . 5 (𝑓𝑣 𝑥𝑥 ∈ ℋ)
54adantl 482 . . . 4 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ℋ)
6 eqid 2825 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
76cnfldhaus 23311 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus
87a1i 11 . . . . 5 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus)
9 eqid 2825 . . . . . . . . . 10 ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
10 eqid 2825 . . . . . . . . . . 11 (norm ∘ − ) = (norm ∘ − )
119, 10hhims 28866 . . . . . . . . . 10 (norm ∘ − ) = (IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
12 eqid 2825 . . . . . . . . . 10 (MetOpen‘(norm ∘ − )) = (MetOpen‘(norm ∘ − ))
139, 11, 12hhlm 28893 . . . . . . . . 9 𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
14 resss 5876 . . . . . . . . 9 ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)) ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))
1513, 14eqsstri 4004 . . . . . . . 8 𝑣 ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))
1615ssbri 5107 . . . . . . 7 (𝑓𝑣 𝑥𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))𝑥)
1716adantl 482 . . . . . 6 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))𝑥)
18 nlelch.2 . . . . . . . 8 𝑇 ∈ ContFn
1910, 12, 6hhcnf 29599 . . . . . . . 8 ContFn = ((MetOpen‘(norm ∘ − )) Cn (TopOpen‘ℂfld))
2018, 19eleqtri 2915 . . . . . . 7 𝑇 ∈ ((MetOpen‘(norm ∘ − )) Cn (TopOpen‘ℂfld))
2120a1i 11 . . . . . 6 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑇 ∈ ((MetOpen‘(norm ∘ − )) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
2217, 21lmcn 21832 . . . . 5 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → (𝑇𝑓)(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))(𝑇𝑥))
231lnfnfi 29735 . . . . . . . . . 10 𝑇: ℋ⟶ℂ
24 ffvelrn 6844 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓𝑛) ∈ (null‘𝑇))
2524adantlr 711 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓𝑛) ∈ (null‘𝑇))
26 elnlfn2 29623 . . . . . . . . . 10 ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝑓𝑛) ∈ (null‘𝑇)) → (𝑇‘(𝑓𝑛)) = 0)
2723, 25, 26sylancr 587 . . . . . . . . 9 (((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑇‘(𝑓𝑛)) = 0)
28 fvco3 6756 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑇𝑓)‘𝑛) = (𝑇‘(𝑓𝑛)))
2928adantlr 711 . . . . . . . . 9 (((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑇𝑓)‘𝑛) = (𝑇‘(𝑓𝑛)))
30 c0ex 10627 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
3130fvconst2 6965 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → ((ℕ × {0})‘𝑛) = 0)
3231adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((ℕ × {0})‘𝑛) = 0)
3327, 29, 323eqtr4d 2870 . . . . . . . 8 (((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑇𝑓)‘𝑛) = ((ℕ × {0})‘𝑛))
3433ralrimiva 3186 . . . . . . 7 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑇𝑓)‘𝑛) = ((ℕ × {0})‘𝑛))
35 ffn 6510 . . . . . . . . . 10 (𝑇: ℋ⟶ℂ → 𝑇 Fn ℋ)
3623, 35ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝑇 Fn ℋ
37 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇))
382shssii 28907 . . . . . . . . . 10 (null‘𝑇) ⊆ ℋ
39 fss 6523 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ (null‘𝑇) ⊆ ℋ) → 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
4037, 38, 39sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
41 fnfco 6539 . . . . . . . . 9 ((𝑇 Fn ℋ ∧ 𝑓:ℕ⟶ ℋ) → (𝑇𝑓) Fn ℕ)
4236, 40, 41sylancr 587 . . . . . . . 8 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → (𝑇𝑓) Fn ℕ)
4330fconst 6561 . . . . . . . . 9 (ℕ × {0}):ℕ⟶{0}
44 ffn 6510 . . . . . . . . 9 ((ℕ × {0}):ℕ⟶{0} → (ℕ × {0}) Fn ℕ)
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . . 8 (ℕ × {0}) Fn ℕ
46 eqfnfv 6797 . . . . . . . 8 (((𝑇𝑓) Fn ℕ ∧ (ℕ × {0}) Fn ℕ) → ((𝑇𝑓) = (ℕ × {0}) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑇𝑓)‘𝑛) = ((ℕ × {0})‘𝑛)))
4742, 45, 46sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → ((𝑇𝑓) = (ℕ × {0}) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑇𝑓)‘𝑛) = ((ℕ × {0})‘𝑛)))
4834, 47mpbird 258 . . . . . 6 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → (𝑇𝑓) = (ℕ × {0}))
496cnfldtopon 23309 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
5049a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
51 0cnd 10626 . . . . . . 7 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 0 ∈ ℂ)
52 1zzd 12005 . . . . . . 7 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 1 ∈ ℤ)
53 nnuz 12273 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
5453lmconst 21788 . . . . . . 7 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))0)
5550, 51, 52, 54syl3anc 1365 . . . . . 6 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))0)
5648, 55eqbrtrd 5084 . . . . 5 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → (𝑇𝑓)(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))0)
578, 22, 56lmmo 21907 . . . 4 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → (𝑇𝑥) = 0)
58 elnlfn 29622 . . . . 5 (𝑇: ℋ⟶ℂ → (𝑥 ∈ (null‘𝑇) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) = 0)))
5923, 58ax-mp 5 . . . 4 (𝑥 ∈ (null‘𝑇) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) = 0))
605, 57, 59sylanbrc 583 . . 3 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ (null‘𝑇))
6160gen2 1790 . 2 𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ (null‘𝑇))
62 isch2 28917 . 2 ((null‘𝑇) ∈ C ↔ ((null‘𝑇) ∈ S ∧ ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ (null‘𝑇))))
632, 61, 62mpbir2an 707 1 (null‘𝑇) ∈ C
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wal 1528   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3142  wss 3939  {csn 4563  cop 4569   class class class wbr 5062   × cxp 5551  cres 5555  ccom 5557   Fn wfn 6346  wf 6347  cfv 6351  (class class class)co 7151  m cmap 8399  cc 10527  0cc0 10529  1c1 10530  cn 11630  cz 11973  TopOpenctopn 16688  MetOpencmopn 20454  fldccnfld 20464  TopOnctopon 21437   Cn ccn 21751  𝑡clm 21753  Hauscha 21835  chba 28613   + cva 28614   · csm 28615  normcno 28617   cmv 28619  𝑣 chli 28621   S csh 28622   C cch 28623  nullcnl 28646  ContFnccnfn 28647  LinFnclf 28648
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609  ax-hilex 28693  ax-hfvadd 28694  ax-hvcom 28695  ax-hvass 28696  ax-hv0cl 28697  ax-hvaddid 28698  ax-hfvmul 28699  ax-hvmulid 28700  ax-hvmulass 28701  ax-hvdistr1 28702  ax-hvdistr2 28703  ax-hvmul0 28704  ax-hfi 28773  ax-his1 28776  ax-his2 28777  ax-his3 28778  ax-his4 28779
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12383  df-xneg 12500  df-xadd 12501  df-xmul 12502  df-icc 12738  df-fz 12886  df-seq 13363  df-exp 13423  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-struct 16478  df-ndx 16479  df-slot 16480  df-base 16482  df-plusg 16571  df-mulr 16572  df-starv 16573  df-tset 16577  df-ple 16578  df-ds 16580  df-unif 16581  df-rest 16689  df-topn 16690  df-topgen 16710  df-psmet 20456  df-xmet 20457  df-met 20458  df-bl 20459  df-mopn 20460  df-cnfld 20465  df-top 21421  df-topon 21438  df-topsp 21460  df-bases 21473  df-cn 21754  df-cnp 21755  df-lm 21756  df-haus 21842  df-xms 22848  df-ms 22849  df-grpo 28187  df-gid 28188  df-ginv 28189  df-gdiv 28190  df-ablo 28239  df-vc 28253  df-nv 28286  df-va 28289  df-ba 28290  df-sm 28291  df-0v 28292  df-vs 28293  df-nmcv 28294  df-ims 28295  df-hnorm 28662  df-hvsub 28665  df-hlim 28666  df-sh 28901  df-ch 28915  df-nlfn 29540  df-cnfn 29541  df-lnfn 29542
This theorem is referenced by:  riesz3i  29756
  Copyright terms: Public domain W3C validator