Theorem nlelchi 30324

Description: The null space of a continuous linear functional is a closed subspace. Remark 3.8 of [Beran] p. 103. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nlelch.1	⊢ 𝑇 ∈ LinFn
nlelch.2	⊢ 𝑇 ∈ ContFn

Assertion

Ref	Expression
nlelchi	⊢ (null‘𝑇) ∈ Cℋ

Proof of Theorem nlelchi

Dummy variables 𝑓 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlelch.1	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ LinFn
2	1	nlelshi 30323	. 2 ⊢ (null‘𝑇) ∈ Sℋ
3		vex 3426	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
4	3	hlimveci 29453	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑥 ∈ ℋ)
5	4	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ℋ)
6		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
7	6	cnfldhaus 23854	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus)
9		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
10		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (normℎ ∘ −ℎ ) = (normℎ ∘ −ℎ )
11	9, 10	hhims 29435	. . . . . . . . . 10 ⊢ (normℎ ∘ −ℎ ) = (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
12		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) = (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))
13	9, 11, 12	hhlm 29462	. . . . . . . . 9 ⊢ ⇝𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
14		resss 5905	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)) ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))
15	13, 14	eqsstri 3951	. . . . . . . 8 ⊢ ⇝𝑣 ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))
16	15	ssbri 5115	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))𝑥)
17	16	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))𝑥)
18		nlelch.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 ∈ ContFn
19	10, 12, 6	hhcnf 30168	. . . . . . . 8 ⊢ ContFn = ((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) Cn (TopOpen‘ℂfld))
20	18, 19	eleqtri 2837	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ∈ ((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) Cn (TopOpen‘ℂfld))
21	20	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑇 ∈ ((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
22	17, 21	lmcn 22364	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (𝑇 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))(𝑇‘𝑥))
23	1	lnfnfi 30304	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ℂ
24		ffvelrn 6941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑛) ∈ (null‘𝑇))
25	24	adantlr 711	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑛) ∈ (null‘𝑇))
26		elnlfn2 30192	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝑓‘𝑛) ∈ (null‘𝑇)) → (𝑇‘(𝑓‘𝑛)) = 0)
27	23, 25, 26	sylancr 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑇‘(𝑓‘𝑛)) = 0)
28		fvco3 6849	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑇 ∘ 𝑓)‘𝑛) = (𝑇‘(𝑓‘𝑛)))
29	28	adantlr 711	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑇 ∘ 𝑓)‘𝑛) = (𝑇‘(𝑓‘𝑛)))
30		c0ex 10900	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ V
31	30	fvconst2 7061	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((ℕ × {0})‘𝑛) = 0)
32	31	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((ℕ × {0})‘𝑛) = 0)
33	27, 29, 32	3eqtr4d 2788	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑇 ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((ℕ × {0})‘𝑛))
34	33	ralrimiva 3107	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑇 ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((ℕ × {0})‘𝑛))
35		ffn 6584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → 𝑇 Fn ℋ)
36	23, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 Fn ℋ
37		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇))
38	2	shssii 29476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (null‘𝑇) ⊆ ℋ
39		fss 6601	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ (null‘𝑇) ⊆ ℋ) → 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
40	37, 38, 39	sylancl 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
41		fnfco 6623	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 Fn ℋ ∧ 𝑓:ℕ⟶ ℋ) → (𝑇 ∘ 𝑓) Fn ℕ)
42	36, 40, 41	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (𝑇 ∘ 𝑓) Fn ℕ)
43	30	fconst 6644	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℕ × {0}):ℕ⟶{0}
44		ffn 6584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℕ × {0}):ℕ⟶{0} → (ℕ × {0}) Fn ℕ)
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ × {0}) Fn ℕ
46		eqfnfv 6891	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∘ 𝑓) Fn ℕ ∧ (ℕ × {0}) Fn ℕ) → ((𝑇 ∘ 𝑓) = (ℕ × {0}) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑇 ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((ℕ × {0})‘𝑛)))
47	42, 45, 46	sylancl 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → ((𝑇 ∘ 𝑓) = (ℕ × {0}) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑇 ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((ℕ × {0})‘𝑛)))
48	34, 47	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (𝑇 ∘ 𝑓) = (ℕ × {0}))
49	6	cnfldtopon 23852	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
50	49	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
51		0cnd 10899	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 0 ∈ ℂ)
52		1zzd 12281	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 1 ∈ ℤ)
53		nnuz 12550	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
54	53	lmconst 22320	. . . . . . 7 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))0)
55	50, 51, 52, 54	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))0)
56	48, 55	eqbrtrd 5092	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (𝑇 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))0)
57	8, 22, 56	lmmo 22439	. . . 4 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (𝑇‘𝑥) = 0)
58		elnlfn 30191	. . . . 5 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → (𝑥 ∈ (null‘𝑇) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑥) = 0)))
59	23, 58	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (null‘𝑇) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑥) = 0))
60	5, 57, 59	sylanbrc 582	. . 3 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ (null‘𝑇))
61	60	gen2 1800	. 2 ⊢ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ (null‘𝑇))
62		isch2 29486	. 2 ⊢ ((null‘𝑇) ∈ Cℋ ↔ ((null‘𝑇) ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ (null‘𝑇))))
63	2, 61, 62	mpbir2an 707	1 ⊢ (null‘𝑇) ∈ Cℋ

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395  ∀wal 1537   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063   ⊆ wss 3883  {csn 4558  ⟨cop 4564   class class class wbr 5070   × cxp 5578   ↾ cres 5582   ∘ ccom 5584   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ↑_m cmap 8573  ℂcc 10800  0cc0 10802  1c1 10803  ℕcn 11903  ℤcz 12249  TopOpenctopn 17049  MetOpencmopn 20500  ℂ_fldccnfld 20510  TopOnctopon 21967   Cn ccn 22283  ⇝_𝑡clm 22285  Hauscha 22367   ℋchba 29182   +_ℎ cva 29183   ·_ℎ csm 29184  norm_ℎcno 29186   −_ℎ cmv 29188   ⇝_𝑣 chli 29190   S_ℋ csh 29191   C_ℋ cch 29192  nullcnl 29215  ContFnccnfn 29216  LinFnclf 29217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882  ax-hilex 29262  ax-hfvadd 29263  ax-hvcom 29264  ax-hvass 29265  ax-hv0cl 29266  ax-hvaddid 29267  ax-hfvmul 29268  ax-hvmulid 29269  ax-hvmulass 29270  ax-hvdistr1 29271  ax-hvdistr2 29272  ax-hvmul0 29273  ax-hfi 29342  ax-his1 29345  ax-his2 29346  ax-his3 29347  ax-his4 29348

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-icc 13015  df-fz 13169  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-struct 16776  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-rest 17050  df-topn 17051  df-topgen 17071  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-lm 22288  df-haus 22374  df-xms 23381  df-ms 23382  df-grpo 28756  df-gid 28757  df-ginv 28758  df-gdiv 28759  df-ablo 28808  df-vc 28822  df-nv 28855  df-va 28858  df-ba 28859  df-sm 28860  df-0v 28861  df-vs 28862  df-nmcv 28863  df-ims 28864  df-hnorm 29231  df-hvsub 29234  df-hlim 29235  df-sh 29470  df-ch 29484  df-nlfn 30109  df-cnfn 30110  df-lnfn 30111

This theorem is referenced by:  riesz3i  30325