Theorem nlelchi 32413

Description: The null space of a continuous linear functional is a closed subspace. Remark 3.8 of [Beran] p. 103. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nlelch.1	⊢ 𝑇 ∈ LinFn
nlelch.2	⊢ 𝑇 ∈ ContFn

Assertion

Ref	Expression
nlelchi	⊢ (null‘𝑇) ∈ Cℋ

Proof of Theorem nlelchi

Dummy variables 𝑓 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlelch.1	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ LinFn
2	1	nlelshi 32412	. 2 ⊢ (null‘𝑇) ∈ Sℋ
3		vex 3459	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
4	3	hlimveci 31542	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑥 ∈ ℋ)
5	4	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ℋ)
6		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
7	6	cnfldhaus 24941	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus)
9		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
10		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (normℎ ∘ −ℎ ) = (normℎ ∘ −ℎ )
11	9, 10	hhims 31524	. . . . . . . . . 10 ⊢ (normℎ ∘ −ℎ ) = (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
12		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) = (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))
13	9, 11, 12	hhlm 31551	. . . . . . . . 9 ⊢ ⇝𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
14		resss 6000	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)) ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))
15	13, 14	eqsstri 3983	. . . . . . . 8 ⊢ ⇝𝑣 ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))
16	15	ssbri 5156	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))𝑥)
17	16	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))𝑥)
18		nlelch.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 ∈ ContFn
19	10, 12, 6	hhcnf 32257	. . . . . . . 8 ⊢ ContFn = ((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) Cn (TopOpen‘ℂfld))
20	18, 19	eleqtri 2861	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ∈ ((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) Cn (TopOpen‘ℂfld))
21	20	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑇 ∈ ((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
22	17, 21	lmcn 23462	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (𝑇 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))(𝑇‘𝑥))
23	1	lnfnfi 32393	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ℂ
24		ffvelcdm 7076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑛) ∈ (null‘𝑇))
25	24	adantlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑛) ∈ (null‘𝑇))
26		elnlfn2 32281	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝑓‘𝑛) ∈ (null‘𝑇)) → (𝑇‘(𝑓‘𝑛)) = 0)
27	23, 25, 26	sylancr 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑇‘(𝑓‘𝑛)) = 0)
28		fvco3 6981	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑇 ∘ 𝑓)‘𝑛) = (𝑇‘(𝑓‘𝑛)))
29	28	adantlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑇 ∘ 𝑓)‘𝑛) = (𝑇‘(𝑓‘𝑛)))
30		c0ex 11195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ V
31	30	fvconst2 7202	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((ℕ × {0})‘𝑛) = 0)
32	31	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((ℕ × {0})‘𝑛) = 0)
33	27, 29, 32	3eqtr4d 2808	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑇 ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((ℕ × {0})‘𝑛))
34	33	ralrimiva 3157	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑇 ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((ℕ × {0})‘𝑛))
35		ffn 6705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → 𝑇 Fn ℋ)
36	23, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 Fn ℋ
37		simpl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇))
38	2	shssii 31565	. . . . . . . . . 10 ⊢ (null‘𝑇) ⊆ ℋ
39		fss 6722	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ (null‘𝑇) ⊆ ℋ) → 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
40	37, 38, 39	sylancl 597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
41		fnfco 6743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 Fn ℋ ∧ 𝑓:ℕ⟶ ℋ) → (𝑇 ∘ 𝑓) Fn ℕ)
42	36, 40, 41	sylancr 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (𝑇 ∘ 𝑓) Fn ℕ)
43	30	fconst 6764	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℕ × {0}):ℕ⟶{0}
44		ffn 6705	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℕ × {0}):ℕ⟶{0} → (ℕ × {0}) Fn ℕ)
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ × {0}) Fn ℕ
46		eqfnfv 7025	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∘ 𝑓) Fn ℕ ∧ (ℕ × {0}) Fn ℕ) → ((𝑇 ∘ 𝑓) = (ℕ × {0}) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑇 ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((ℕ × {0})‘𝑛)))
47	42, 45, 46	sylancl 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → ((𝑇 ∘ 𝑓) = (ℕ × {0}) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑇 ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((ℕ × {0})‘𝑛)))
48	34, 47	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (𝑇 ∘ 𝑓) = (ℕ × {0}))
49	6	cnfldtopon 24939	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
50	49	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
51		0cnd 11194	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 0 ∈ ℂ)
52		1zzd 12620	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 1 ∈ ℤ)
53		nnuz 12896	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
54	53	lmconst 23418	. . . . . . 7 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))0)
55	50, 51, 52, 54	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))0)
56	48, 55	eqbrtrd 5133	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (𝑇 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))0)
57	8, 22, 56	lmmo 23537	. . . 4 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (𝑇‘𝑥) = 0)
58		elnlfn 32280	. . . . 5 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → (𝑥 ∈ (null‘𝑇) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑥) = 0)))
59	23, 58	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (null‘𝑇) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑥) = 0))
60	5, 57, 59	sylanbrc 594	. . 3 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ (null‘𝑇))
61	60	gen2 1826	. 2 ⊢ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ (null‘𝑇))
62		isch2 31575	. 2 ⊢ ((null‘𝑇) ∈ Cℋ ↔ ((null‘𝑇) ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ (null‘𝑇))))
63	2, 61, 62	mpbir2an 723	1 ⊢ (null‘𝑇) ∈ Cℋ

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079   ⊆ wss 3905  {csn 4589  ⟨cop 4595   class class class wbr 5109   × cxp 5659   ↾ cres 5663   ∘ ccom 5665   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↑_m cmap 8820  ℂcc 11093  0cc0 11095  1c1 11096  ℕcn 12228  ℤcz 12586  TopOpenctopn 17469  MetOpencmopn 21512  ℂ_fldccnfld 21522  TopOnctopon 23067   Cn ccn 23381  ⇝_𝑡clm 23383  Hauscha 23465   ℋchba 31271   +_ℎ cva 31272   ·_ℎ csm 31273  norm_ℎcno 31275   −_ℎ cmv 31277   ⇝_𝑣 chli 31279   S_ℋ csh 31280   C_ℋ cch 31281  nullcnl 31304  ContFnccnfn 31305  LinFnclf 31306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173  ax-addf 11174  ax-mulf 11175  ax-hilex 31351  ax-hfvadd 31352  ax-hvcom 31353  ax-hvass 31354  ax-hv0cl 31355  ax-hvaddid 31356  ax-hfvmul 31357  ax-hvmulid 31358  ax-hvmulass 31359  ax-hvdistr1 31360  ax-hvdistr2 31361  ax-hvmul0 31362  ax-hfi 31431  ax-his1 31434  ax-his2 31435  ax-his3 31436  ax-his4 31437

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-icc 13374  df-fz 13531  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-struct 17202  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-rest 17470  df-topn 17471  df-topgen 17491  df-psmet 21514  df-xmet 21515  df-met 21516  df-bl 21517  df-mopn 21518  df-cnfld 21523  df-top 23051  df-topon 23068  df-topsp 23090  df-bases 23103  df-cn 23384  df-cnp 23385  df-lm 23386  df-haus 23472  df-xms 24477  df-ms 24478  df-grpo 30845  df-gid 30846  df-ginv 30847  df-gdiv 30848  df-ablo 30897  df-vc 30911  df-nv 30944  df-va 30947  df-ba 30948  df-sm 30949  df-0v 30950  df-vs 30951  df-nmcv 30952  df-ims 30953  df-hnorm 31320  df-hvsub 31323  df-hlim 31324  df-sh 31559  df-ch 31573  df-nlfn 32198  df-cnfn 32199  df-lnfn 32200

This theorem is referenced by:  riesz3i  32414