HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nlelchi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nlelchi 31345
Description: The null space of a continuous linear functional is a closed subspace. Remark 3.8 of [Beran] p. 103. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nlelch.1 𝑇 ∈ LinFn
nlelch.2 𝑇 ∈ ContFn
Assertion
Ref Expression
nlelchi (nullβ€˜π‘‡) ∈ Cβ„‹
Proof of Theorem nlelchi
Dummy variables 𝑓 𝑛 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nlelch.1 . . 3 𝑇 ∈ LinFn
21nlelshi 31344 . 2 (nullβ€˜π‘‡) ∈ Sβ„‹
3 vex 3479 . . . . . 6 π‘₯ ∈ V
43hlimveci 30474 . . . . 5 (𝑓 ⇝𝑣 π‘₯ β†’ π‘₯ ∈ β„‹)
54adantl 483 . . . 4 ((𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ β„‹)
6 eqid 2733 . . . . . . 7 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
76cnfldhaus 24301 . . . . . 6 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Haus
87a1i 11 . . . . 5 ((𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Haus)
9 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
10 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) = (normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )
119, 10hhims 30456 . . . . . . . . . 10 (normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) = (IndMetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)
12 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) = (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))
139, 11, 12hhlm 30483 . . . . . . . . 9 ⇝𝑣 = ((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))) β†Ύ ( β„‹ ↑m β„•))
14 resss 6007 . . . . . . . . 9 ((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))) β†Ύ ( β„‹ ↑m β„•)) βŠ† (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))
1513, 14eqsstri 4017 . . . . . . . 8 ⇝𝑣 βŠ† (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))
1615ssbri 5194 . . . . . . 7 (𝑓 ⇝𝑣 π‘₯ β†’ 𝑓(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))π‘₯)
1716adantl 483 . . . . . 6 ((𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ 𝑓(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))π‘₯)
18 nlelch.2 . . . . . . . 8 𝑇 ∈ ContFn
1910, 12, 6hhcnf 31189 . . . . . . . 8 ContFn = ((MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
2018, 19eleqtri 2832 . . . . . . 7 𝑇 ∈ ((MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
2120a1i 11 . . . . . 6 ((𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ 𝑇 ∈ ((MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
2217, 21lmcn 22809 . . . . 5 ((𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ (𝑇 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))(π‘‡β€˜π‘₯))
231lnfnfi 31325 . . . . . . . . . 10 𝑇: β„‹βŸΆβ„‚
24 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘›) ∈ (nullβ€˜π‘‡))
2524adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘›) ∈ (nullβ€˜π‘‡))
26 elnlfn2 31213 . . . . . . . . . 10 ((𝑇: β„‹βŸΆβ„‚ ∧ (π‘“β€˜π‘›) ∈ (nullβ€˜π‘‡)) β†’ (π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘›)) = 0)
2723, 25, 26sylancr 588 . . . . . . . . 9 (((𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘›)) = 0)
28 fvco3 6991 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑇 ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = (π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
2928adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑇 ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = (π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
30 c0ex 11208 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
3130fvconst2 7205 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((β„• Γ— {0})β€˜π‘›) = 0)
3231adantl 483 . . . . . . . . 9 (((𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((β„• Γ— {0})β€˜π‘›) = 0)
3327, 29, 323eqtr4d 2783 . . . . . . . 8 (((𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑇 ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((β„• Γ— {0})β€˜π‘›))
3433ralrimiva 3147 . . . . . . 7 ((𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• ((𝑇 ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((β„• Γ— {0})β€˜π‘›))
35 ffn 6718 . . . . . . . . . 10 (𝑇: β„‹βŸΆβ„‚ β†’ 𝑇 Fn β„‹)
3623, 35ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝑇 Fn β„‹
37 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ 𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡))
382shssii 30497 . . . . . . . . . 10 (nullβ€˜π‘‡) βŠ† β„‹
39 fss 6735 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡) ∧ (nullβ€˜π‘‡) βŠ† β„‹) β†’ 𝑓:β„•βŸΆ β„‹)
4037, 38, 39sylancl 587 . . . . . . . . 9 ((𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ 𝑓:β„•βŸΆ β„‹)
41 fnfco 6757 . . . . . . . . 9 ((𝑇 Fn β„‹ ∧ 𝑓:β„•βŸΆ β„‹) β†’ (𝑇 ∘ 𝑓) Fn β„•)
4236, 40, 41sylancr 588 . . . . . . . 8 ((𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ (𝑇 ∘ 𝑓) Fn β„•)
4330fconst 6778 . . . . . . . . 9 (β„• Γ— {0}):β„•βŸΆ{0}
44 ffn 6718 . . . . . . . . 9 ((β„• Γ— {0}):β„•βŸΆ{0} β†’ (β„• Γ— {0}) Fn β„•)
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . . 8 (β„• Γ— {0}) Fn β„•
46 eqfnfv 7033 . . . . . . . 8 (((𝑇 ∘ 𝑓) Fn β„• ∧ (β„• Γ— {0}) Fn β„•) β†’ ((𝑇 ∘ 𝑓) = (β„• Γ— {0}) ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• ((𝑇 ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((β„• Γ— {0})β€˜π‘›)))
4742, 45, 46sylancl 587 . . . . . . 7 ((𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ ((𝑇 ∘ 𝑓) = (β„• Γ— {0}) ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• ((𝑇 ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((β„• Γ— {0})β€˜π‘›)))
4834, 47mpbird 257 . . . . . 6 ((𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ (𝑇 ∘ 𝑓) = (β„• Γ— {0}))
496cnfldtopon 24299 . . . . . . . 8 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
5049a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
51 0cnd 11207 . . . . . . 7 ((𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ 0 ∈ β„‚)
52 1zzd 12593 . . . . . . 7 ((𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ 1 ∈ β„€)
53 nnuz 12865 . . . . . . . 8 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
5453lmconst 22765 . . . . . . 7 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 0 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (β„• Γ— {0})(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))0)
5550, 51, 52, 54syl3anc 1372 . . . . . 6 ((𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ (β„• Γ— {0})(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))0)
5648, 55eqbrtrd 5171 . . . . 5 ((𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ (𝑇 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))0)
578, 22, 56lmmo 22884 . . . 4 ((𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) = 0)
58 elnlfn 31212 . . . . 5 (𝑇: β„‹βŸΆβ„‚ β†’ (π‘₯ ∈ (nullβ€˜π‘‡) ↔ (π‘₯ ∈ β„‹ ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) = 0)))
5923, 58ax-mp 5 . . . 4 (π‘₯ ∈ (nullβ€˜π‘‡) ↔ (π‘₯ ∈ β„‹ ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) = 0))
605, 57, 59sylanbrc 584 . . 3 ((𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ (nullβ€˜π‘‡))
6160gen2 1799 . 2 βˆ€π‘“βˆ€π‘₯((𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ (nullβ€˜π‘‡))
62 isch2 30507 . 2 ((nullβ€˜π‘‡) ∈ Cβ„‹ ↔ ((nullβ€˜π‘‡) ∈ Sβ„‹ ∧ βˆ€π‘“βˆ€π‘₯((𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ (nullβ€˜π‘‡))))
632, 61, 62mpbir2an 710 1 (nullβ€˜π‘‡) ∈ Cβ„‹
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397  βˆ€wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062   βŠ† wss 3949  {csn 4629  βŸ¨cop 4635   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675   β†Ύ cres 5679   ∘ ccom 5681   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑m cmap 8820  β„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111  β„•cn 12212  β„€cz 12558  TopOpenctopn 17367  MetOpencmopn 20934  β„‚fldccnfld 20944  TopOnctopon 22412   Cn ccn 22728  β‡π‘‘clm 22730  Hauscha 22812   β„‹chba 30203   +β„Ž cva 30204   Β·β„Ž csm 30205  normβ„Žcno 30207   βˆ’β„Ž cmv 30209   ⇝𝑣 chli 30211   Sβ„‹ csh 30212   Cβ„‹ cch 30213  nullcnl 30236  ContFnccnfn 30237  LinFnclf 30238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190  ax-hilex 30283  ax-hfvadd 30284  ax-hvcom 30285  ax-hvass 30286  ax-hv0cl 30287  ax-hvaddid 30288  ax-hfvmul 30289  ax-hvmulid 30290  ax-hvmulass 30291  ax-hvdistr1 30292  ax-hvdistr2 30293  ax-hvmul0 30294  ax-hfi 30363  ax-his1 30366  ax-his2 30367  ax-his3 30368  ax-his4 30369
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-icc 13331  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-rest 17368  df-topn 17369  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-lm 22733  df-haus 22819  df-xms 23826  df-ms 23827  df-grpo 29777  df-gid 29778  df-ginv 29779  df-gdiv 29780  df-ablo 29829  df-vc 29843  df-nv 29876  df-va 29879  df-ba 29880  df-sm 29881  df-0v 29882  df-vs 29883  df-nmcv 29884  df-ims 29885  df-hnorm 30252  df-hvsub 30255  df-hlim 30256  df-sh 30491  df-ch 30505  df-nlfn 31130  df-cnfn 31131  df-lnfn 31132
This theorem is referenced by:  riesz3i  31346
  Copyright terms: Public domain W3C validator