HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nlelchi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nlelchi 32081
Description: The null space of a continuous linear functional is a closed subspace. Remark 3.8 of [Beran] p. 103. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nlelch.1 𝑇 ∈ LinFn
nlelch.2 𝑇 ∈ ContFn
Assertion
Ref Expression
nlelchi (null‘𝑇) ∈ C

Proof of Theorem nlelchi
Dummy variables 𝑓 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nlelch.1 . . 3 𝑇 ∈ LinFn
21nlelshi 32080 . 2 (null‘𝑇) ∈ S
3 vex 3483 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
43hlimveci 31210 . . . . 5 (𝑓𝑣 𝑥𝑥 ∈ ℋ)
54adantl 481 . . . 4 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ℋ)
6 eqid 2736 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
76cnfldhaus 24806 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus
87a1i 11 . . . . 5 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus)
9 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
10 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (norm ∘ − ) = (norm ∘ − )
119, 10hhims 31192 . . . . . . . . . 10 (norm ∘ − ) = (IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
12 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (MetOpen‘(norm ∘ − )) = (MetOpen‘(norm ∘ − ))
139, 11, 12hhlm 31219 . . . . . . . . 9 𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
14 resss 6018 . . . . . . . . 9 ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)) ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))
1513, 14eqsstri 4029 . . . . . . . 8 𝑣 ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))
1615ssbri 5187 . . . . . . 7 (𝑓𝑣 𝑥𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))𝑥)
1716adantl 481 . . . . . 6 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))𝑥)
18 nlelch.2 . . . . . . . 8 𝑇 ∈ ContFn
1910, 12, 6hhcnf 31925 . . . . . . . 8 ContFn = ((MetOpen‘(norm ∘ − )) Cn (TopOpen‘ℂfld))
2018, 19eleqtri 2838 . . . . . . 7 𝑇 ∈ ((MetOpen‘(norm ∘ − )) Cn (TopOpen‘ℂfld))
2120a1i 11 . . . . . 6 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑇 ∈ ((MetOpen‘(norm ∘ − )) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
2217, 21lmcn 23314 . . . . 5 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → (𝑇𝑓)(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))(𝑇𝑥))
231lnfnfi 32061 . . . . . . . . . 10 𝑇: ℋ⟶ℂ
24 ffvelcdm 7100 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓𝑛) ∈ (null‘𝑇))
2524adantlr 715 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓𝑛) ∈ (null‘𝑇))
26 elnlfn2 31949 . . . . . . . . . 10 ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝑓𝑛) ∈ (null‘𝑇)) → (𝑇‘(𝑓𝑛)) = 0)
2723, 25, 26sylancr 587 . . . . . . . . 9 (((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑇‘(𝑓𝑛)) = 0)
28 fvco3 7007 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑇𝑓)‘𝑛) = (𝑇‘(𝑓𝑛)))
2928adantlr 715 . . . . . . . . 9 (((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑇𝑓)‘𝑛) = (𝑇‘(𝑓𝑛)))
30 c0ex 11256 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
3130fvconst2 7225 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → ((ℕ × {0})‘𝑛) = 0)
3231adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((ℕ × {0})‘𝑛) = 0)
3327, 29, 323eqtr4d 2786 . . . . . . . 8 (((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑇𝑓)‘𝑛) = ((ℕ × {0})‘𝑛))
3433ralrimiva 3145 . . . . . . 7 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑇𝑓)‘𝑛) = ((ℕ × {0})‘𝑛))
35 ffn 6735 . . . . . . . . . 10 (𝑇: ℋ⟶ℂ → 𝑇 Fn ℋ)
3623, 35ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝑇 Fn ℋ
37 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇))
382shssii 31233 . . . . . . . . . 10 (null‘𝑇) ⊆ ℋ
39 fss 6751 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ (null‘𝑇) ⊆ ℋ) → 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
4037, 38, 39sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
41 fnfco 6772 . . . . . . . . 9 ((𝑇 Fn ℋ ∧ 𝑓:ℕ⟶ ℋ) → (𝑇𝑓) Fn ℕ)
4236, 40, 41sylancr 587 . . . . . . . 8 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → (𝑇𝑓) Fn ℕ)
4330fconst 6793 . . . . . . . . 9 (ℕ × {0}):ℕ⟶{0}
44 ffn 6735 . . . . . . . . 9 ((ℕ × {0}):ℕ⟶{0} → (ℕ × {0}) Fn ℕ)
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . . 8 (ℕ × {0}) Fn ℕ
46 eqfnfv 7050 . . . . . . . 8 (((𝑇𝑓) Fn ℕ ∧ (ℕ × {0}) Fn ℕ) → ((𝑇𝑓) = (ℕ × {0}) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑇𝑓)‘𝑛) = ((ℕ × {0})‘𝑛)))
4742, 45, 46sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → ((𝑇𝑓) = (ℕ × {0}) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑇𝑓)‘𝑛) = ((ℕ × {0})‘𝑛)))
4834, 47mpbird 257 . . . . . 6 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → (𝑇𝑓) = (ℕ × {0}))
496cnfldtopon 24804 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
5049a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
51 0cnd 11255 . . . . . . 7 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 0 ∈ ℂ)
52 1zzd 12650 . . . . . . 7 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 1 ∈ ℤ)
53 nnuz 12922 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
5453lmconst 23270 . . . . . . 7 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))0)
5550, 51, 52, 54syl3anc 1372 . . . . . 6 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))0)
5648, 55eqbrtrd 5164 . . . . 5 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → (𝑇𝑓)(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))0)
578, 22, 56lmmo 23389 . . . 4 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → (𝑇𝑥) = 0)
58 elnlfn 31948 . . . . 5 (𝑇: ℋ⟶ℂ → (𝑥 ∈ (null‘𝑇) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) = 0)))
5923, 58ax-mp 5 . . . 4 (𝑥 ∈ (null‘𝑇) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) = 0))
605, 57, 59sylanbrc 583 . . 3 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ (null‘𝑇))
6160gen2 1795 . 2 𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ (null‘𝑇))
62 isch2 31243 . 2 ((null‘𝑇) ∈ C ↔ ((null‘𝑇) ∈ S ∧ ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ (null‘𝑇))))
632, 61, 62mpbir2an 711 1 (null‘𝑇) ∈ C
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wal 1537   = wceq 1539  wcel 2107  wral 3060  wss 3950  {csn 4625  cop 4631   class class class wbr 5142   × cxp 5682  cres 5686  ccom 5688   Fn wfn 6555  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  m cmap 8867  cc 11154  0cc0 11156  1c1 11157  cn 12267  cz 12615  TopOpenctopn 17467  MetOpencmopn 21355  fldccnfld 21365  TopOnctopon 22917   Cn ccn 23233  𝑡clm 23235  Hauscha 23317  chba 30939   + cva 30940   · csm 30941  normcno 30943   cmv 30945  𝑣 chli 30947   S csh 30948   C cch 30949  nullcnl 30972  ContFnccnfn 30973  LinFnclf 30974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235  ax-mulf 11236  ax-hilex 31019  ax-hfvadd 31020  ax-hvcom 31021  ax-hvass 31022  ax-hv0cl 31023  ax-hvaddid 31024  ax-hfvmul 31025  ax-hvmulid 31026  ax-hvmulass 31027  ax-hvdistr1 31028  ax-hvdistr2 31029  ax-hvmul0 31030  ax-hfi 31099  ax-his1 31102  ax-his2 31103  ax-his3 31104  ax-his4 31105
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-icc 13395  df-fz 13549  df-seq 14044  df-exp 14104  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-struct 17185  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-rest 17468  df-topn 17469  df-topgen 17489  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-cnfld 21366  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-lm 23238  df-haus 23324  df-xms 24331  df-ms 24332  df-grpo 30513  df-gid 30514  df-ginv 30515  df-gdiv 30516  df-ablo 30565  df-vc 30579  df-nv 30612  df-va 30615  df-ba 30616  df-sm 30617  df-0v 30618  df-vs 30619  df-nmcv 30620  df-ims 30621  df-hnorm 30988  df-hvsub 30991  df-hlim 30992  df-sh 31227  df-ch 31241  df-nlfn 31866  df-cnfn 31867  df-lnfn 31868
This theorem is referenced by:  riesz3i  32082
  Copyright terms: Public domain W3C validator