HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nlelchi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nlelchi 31569
Description: The null space of a continuous linear functional is a closed subspace. Remark 3.8 of [Beran] p. 103. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nlelch.1 𝑇 ∈ LinFn
nlelch.2 𝑇 ∈ ContFn
Assertion
Ref Expression
nlelchi (nullβ€˜π‘‡) ∈ Cβ„‹
Proof of Theorem nlelchi
Dummy variables 𝑓 𝑛 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nlelch.1 . . 3 𝑇 ∈ LinFn
21nlelshi 31568 . 2 (nullβ€˜π‘‡) ∈ Sβ„‹
3 vex 3478 . . . . . 6 π‘₯ ∈ V
43hlimveci 30698 . . . . 5 (𝑓 ⇝𝑣 π‘₯ β†’ π‘₯ ∈ β„‹)
54adantl 482 . . . 4 ((𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ β„‹)
6 eqid 2732 . . . . . . 7 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
76cnfldhaus 24521 . . . . . 6 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Haus
87a1i 11 . . . . 5 ((𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Haus)
9 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
10 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) = (normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )
119, 10hhims 30680 . . . . . . . . . 10 (normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) = (IndMetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)
12 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) = (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))
139, 11, 12hhlm 30707 . . . . . . . . 9 ⇝𝑣 = ((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))) β†Ύ ( β„‹ ↑m β„•))
14 resss 6006 . . . . . . . . 9 ((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))) β†Ύ ( β„‹ ↑m β„•)) βŠ† (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))
1513, 14eqsstri 4016 . . . . . . . 8 ⇝𝑣 βŠ† (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))
1615ssbri 5193 . . . . . . 7 (𝑓 ⇝𝑣 π‘₯ β†’ 𝑓(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))π‘₯)
1716adantl 482 . . . . . 6 ((𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ 𝑓(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))π‘₯)
18 nlelch.2 . . . . . . . 8 𝑇 ∈ ContFn
1910, 12, 6hhcnf 31413 . . . . . . . 8 ContFn = ((MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
2018, 19eleqtri 2831 . . . . . . 7 𝑇 ∈ ((MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
2120a1i 11 . . . . . 6 ((𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ 𝑇 ∈ ((MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
2217, 21lmcn 23029 . . . . 5 ((𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ (𝑇 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))(π‘‡β€˜π‘₯))
231lnfnfi 31549 . . . . . . . . . 10 𝑇: β„‹βŸΆβ„‚
24 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘›) ∈ (nullβ€˜π‘‡))
2524adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘›) ∈ (nullβ€˜π‘‡))
26 elnlfn2 31437 . . . . . . . . . 10 ((𝑇: β„‹βŸΆβ„‚ ∧ (π‘“β€˜π‘›) ∈ (nullβ€˜π‘‡)) β†’ (π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘›)) = 0)
2723, 25, 26sylancr 587 . . . . . . . . 9 (((𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘›)) = 0)
28 fvco3 6990 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑇 ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = (π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
2928adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑇 ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = (π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
30 c0ex 11212 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
3130fvconst2 7207 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((β„• Γ— {0})β€˜π‘›) = 0)
3231adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((β„• Γ— {0})β€˜π‘›) = 0)
3327, 29, 323eqtr4d 2782 . . . . . . . 8 (((𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑇 ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((β„• Γ— {0})β€˜π‘›))
3433ralrimiva 3146 . . . . . . 7 ((𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• ((𝑇 ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((β„• Γ— {0})β€˜π‘›))
35 ffn 6717 . . . . . . . . . 10 (𝑇: β„‹βŸΆβ„‚ β†’ 𝑇 Fn β„‹)
3623, 35ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝑇 Fn β„‹
37 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ 𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡))
382shssii 30721 . . . . . . . . . 10 (nullβ€˜π‘‡) βŠ† β„‹
39 fss 6734 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡) ∧ (nullβ€˜π‘‡) βŠ† β„‹) β†’ 𝑓:β„•βŸΆ β„‹)
4037, 38, 39sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ 𝑓:β„•βŸΆ β„‹)
41 fnfco 6756 . . . . . . . . 9 ((𝑇 Fn β„‹ ∧ 𝑓:β„•βŸΆ β„‹) β†’ (𝑇 ∘ 𝑓) Fn β„•)
4236, 40, 41sylancr 587 . . . . . . . 8 ((𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ (𝑇 ∘ 𝑓) Fn β„•)
4330fconst 6777 . . . . . . . . 9 (β„• Γ— {0}):β„•βŸΆ{0}
44 ffn 6717 . . . . . . . . 9 ((β„• Γ— {0}):β„•βŸΆ{0} β†’ (β„• Γ— {0}) Fn β„•)
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . . 8 (β„• Γ— {0}) Fn β„•
46 eqfnfv 7032 . . . . . . . 8 (((𝑇 ∘ 𝑓) Fn β„• ∧ (β„• Γ— {0}) Fn β„•) β†’ ((𝑇 ∘ 𝑓) = (β„• Γ— {0}) ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• ((𝑇 ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((β„• Γ— {0})β€˜π‘›)))
4742, 45, 46sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ ((𝑇 ∘ 𝑓) = (β„• Γ— {0}) ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• ((𝑇 ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((β„• Γ— {0})β€˜π‘›)))
4834, 47mpbird 256 . . . . . 6 ((𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ (𝑇 ∘ 𝑓) = (β„• Γ— {0}))
496cnfldtopon 24519 . . . . . . . 8 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
5049a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
51 0cnd 11211 . . . . . . 7 ((𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ 0 ∈ β„‚)
52 1zzd 12597 . . . . . . 7 ((𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ 1 ∈ β„€)
53 nnuz 12869 . . . . . . . 8 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
5453lmconst 22985 . . . . . . 7 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 0 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (β„• Γ— {0})(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))0)
5550, 51, 52, 54syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ (β„• Γ— {0})(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))0)
5648, 55eqbrtrd 5170 . . . . 5 ((𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ (𝑇 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))0)
578, 22, 56lmmo 23104 . . . 4 ((𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) = 0)
58 elnlfn 31436 . . . . 5 (𝑇: β„‹βŸΆβ„‚ β†’ (π‘₯ ∈ (nullβ€˜π‘‡) ↔ (π‘₯ ∈ β„‹ ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) = 0)))
5923, 58ax-mp 5 . . . 4 (π‘₯ ∈ (nullβ€˜π‘‡) ↔ (π‘₯ ∈ β„‹ ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) = 0))
605, 57, 59sylanbrc 583 . . 3 ((𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ (nullβ€˜π‘‡))
6160gen2 1798 . 2 βˆ€π‘“βˆ€π‘₯((𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ (nullβ€˜π‘‡))
62 isch2 30731 . 2 ((nullβ€˜π‘‡) ∈ Cβ„‹ ↔ ((nullβ€˜π‘‡) ∈ Sβ„‹ ∧ βˆ€π‘“βˆ€π‘₯((𝑓:β„•βŸΆ(nullβ€˜π‘‡) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ (nullβ€˜π‘‡))))
632, 61, 62mpbir2an 709 1 (nullβ€˜π‘‡) ∈ Cβ„‹
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396  βˆ€wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3948  {csn 4628  βŸ¨cop 4634   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ↑m cmap 8822  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113  β„•cn 12216  β„€cz 12562  TopOpenctopn 17371  MetOpencmopn 21134  β„‚fldccnfld 21144  TopOnctopon 22632   Cn ccn 22948  β‡π‘‘clm 22950  Hauscha 23032   β„‹chba 30427   +β„Ž cva 30428   Β·β„Ž csm 30429  normβ„Žcno 30431   βˆ’β„Ž cmv 30433   ⇝𝑣 chli 30435   Sβ„‹ csh 30436   Cβ„‹ cch 30437  nullcnl 30460  ContFnccnfn 30461  LinFnclf 30462
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192  ax-hilex 30507  ax-hfvadd 30508  ax-hvcom 30509  ax-hvass 30510  ax-hv0cl 30511  ax-hvaddid 30512  ax-hfvmul 30513  ax-hvmulid 30514  ax-hvmulass 30515  ax-hvdistr1 30516  ax-hvdistr2 30517  ax-hvmul0 30518  ax-hfi 30587  ax-his1 30590  ax-his2 30591  ax-his3 30592  ax-his4 30593
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-icc 13335  df-fz 13489  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-struct 17084  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-rest 17372  df-topn 17373  df-topgen 17393  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-lm 22953  df-haus 23039  df-xms 24046  df-ms 24047  df-grpo 30001  df-gid 30002  df-ginv 30003  df-gdiv 30004  df-ablo 30053  df-vc 30067  df-nv 30100  df-va 30103  df-ba 30104  df-sm 30105  df-0v 30106  df-vs 30107  df-nmcv 30108  df-ims 30109  df-hnorm 30476  df-hvsub 30479  df-hlim 30480  df-sh 30715  df-ch 30729  df-nlfn 31354  df-cnfn 31355  df-lnfn 31356
This theorem is referenced by:  riesz3i  31570
  Copyright terms: Public domain W3C validator