Theorem nlelchi 32081

Description: The null space of a continuous linear functional is a closed subspace. Remark 3.8 of [Beran] p. 103. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nlelch.1	⊢ 𝑇 ∈ LinFn
nlelch.2	⊢ 𝑇 ∈ ContFn

Assertion

Ref	Expression
nlelchi	⊢ (null‘𝑇) ∈ Cℋ

Proof of Theorem nlelchi

Dummy variables 𝑓 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlelch.1	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ LinFn
2	1	nlelshi 32080	. 2 ⊢ (null‘𝑇) ∈ Sℋ
3		vex 3483	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
4	3	hlimveci 31210	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑥 ∈ ℋ)
5	4	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ℋ)
6		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
7	6	cnfldhaus 24806	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus)
9		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
10		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (normℎ ∘ −ℎ ) = (normℎ ∘ −ℎ )
11	9, 10	hhims 31192	. . . . . . . . . 10 ⊢ (normℎ ∘ −ℎ ) = (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
12		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) = (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))
13	9, 11, 12	hhlm 31219	. . . . . . . . 9 ⊢ ⇝𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
14		resss 6018	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)) ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))
15	13, 14	eqsstri 4029	. . . . . . . 8 ⊢ ⇝𝑣 ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))
16	15	ssbri 5187	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))𝑥)
17	16	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))𝑥)
18		nlelch.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 ∈ ContFn
19	10, 12, 6	hhcnf 31925	. . . . . . . 8 ⊢ ContFn = ((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) Cn (TopOpen‘ℂfld))
20	18, 19	eleqtri 2838	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ∈ ((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) Cn (TopOpen‘ℂfld))
21	20	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑇 ∈ ((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
22	17, 21	lmcn 23314	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (𝑇 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))(𝑇‘𝑥))
23	1	lnfnfi 32061	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ℂ
24		ffvelcdm 7100	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑛) ∈ (null‘𝑇))
25	24	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑛) ∈ (null‘𝑇))
26		elnlfn2 31949	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝑓‘𝑛) ∈ (null‘𝑇)) → (𝑇‘(𝑓‘𝑛)) = 0)
27	23, 25, 26	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑇‘(𝑓‘𝑛)) = 0)
28		fvco3 7007	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑇 ∘ 𝑓)‘𝑛) = (𝑇‘(𝑓‘𝑛)))
29	28	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑇 ∘ 𝑓)‘𝑛) = (𝑇‘(𝑓‘𝑛)))
30		c0ex 11256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ V
31	30	fvconst2 7225	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((ℕ × {0})‘𝑛) = 0)
32	31	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((ℕ × {0})‘𝑛) = 0)
33	27, 29, 32	3eqtr4d 2786	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑇 ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((ℕ × {0})‘𝑛))
34	33	ralrimiva 3145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑇 ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((ℕ × {0})‘𝑛))
35		ffn 6735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → 𝑇 Fn ℋ)
36	23, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 Fn ℋ
37		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇))
38	2	shssii 31233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (null‘𝑇) ⊆ ℋ
39		fss 6751	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ (null‘𝑇) ⊆ ℋ) → 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
40	37, 38, 39	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
41		fnfco 6772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 Fn ℋ ∧ 𝑓:ℕ⟶ ℋ) → (𝑇 ∘ 𝑓) Fn ℕ)
42	36, 40, 41	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (𝑇 ∘ 𝑓) Fn ℕ)
43	30	fconst 6793	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℕ × {0}):ℕ⟶{0}
44		ffn 6735	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℕ × {0}):ℕ⟶{0} → (ℕ × {0}) Fn ℕ)
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ × {0}) Fn ℕ
46		eqfnfv 7050	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∘ 𝑓) Fn ℕ ∧ (ℕ × {0}) Fn ℕ) → ((𝑇 ∘ 𝑓) = (ℕ × {0}) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑇 ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((ℕ × {0})‘𝑛)))
47	42, 45, 46	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → ((𝑇 ∘ 𝑓) = (ℕ × {0}) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑇 ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((ℕ × {0})‘𝑛)))
48	34, 47	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (𝑇 ∘ 𝑓) = (ℕ × {0}))
49	6	cnfldtopon 24804	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
50	49	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
51		0cnd 11255	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 0 ∈ ℂ)
52		1zzd 12650	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 1 ∈ ℤ)
53		nnuz 12922	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
54	53	lmconst 23270	. . . . . . 7 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))0)
55	50, 51, 52, 54	syl3anc 1372	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))0)
56	48, 55	eqbrtrd 5164	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (𝑇 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))0)
57	8, 22, 56	lmmo 23389	. . . 4 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (𝑇‘𝑥) = 0)
58		elnlfn 31948	. . . . 5 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → (𝑥 ∈ (null‘𝑇) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑥) = 0)))
59	23, 58	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (null‘𝑇) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑥) = 0))
60	5, 57, 59	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ (null‘𝑇))
61	60	gen2 1795	. 2 ⊢ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ (null‘𝑇))
62		isch2 31243	. 2 ⊢ ((null‘𝑇) ∈ Cℋ ↔ ((null‘𝑇) ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ (null‘𝑇))))
63	2, 61, 62	mpbir2an 711	1 ⊢ (null‘𝑇) ∈ Cℋ

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1537   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3060   ⊆ wss 3950  {csn 4625  ⟨cop 4631   class class class wbr 5142   × cxp 5682   ↾ cres 5686   ∘ ccom 5688   Fn wfn 6555  ⟶wf 6556  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432   ↑_m cmap 8867  ℂcc 11154  0cc0 11156  1c1 11157  ℕcn 12267  ℤcz 12615  TopOpenctopn 17467  MetOpencmopn 21355  ℂ_fldccnfld 21365  TopOnctopon 22917   Cn ccn 23233  ⇝_𝑡clm 23235  Hauscha 23317   ℋchba 30939   +_ℎ cva 30940   ·_ℎ csm 30941  norm_ℎcno 30943   −_ℎ cmv 30945   ⇝_𝑣 chli 30947   S_ℋ csh 30948   C_ℋ cch 30949  nullcnl 30972  ContFnccnfn 30973  LinFnclf 30974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235  ax-mulf 11236  ax-hilex 31019  ax-hfvadd 31020  ax-hvcom 31021  ax-hvass 31022  ax-hv0cl 31023  ax-hvaddid 31024  ax-hfvmul 31025  ax-hvmulid 31026  ax-hvmulass 31027  ax-hvdistr1 31028  ax-hvdistr2 31029  ax-hvmul0 31030  ax-hfi 31099  ax-his1 31102  ax-his2 31103  ax-his3 31104  ax-his4 31105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-icc 13395  df-fz 13549  df-seq 14044  df-exp 14104  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-struct 17185  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-rest 17468  df-topn 17469  df-topgen 17489  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-cnfld 21366  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-lm 23238  df-haus 23324  df-xms 24331  df-ms 24332  df-grpo 30513  df-gid 30514  df-ginv 30515  df-gdiv 30516  df-ablo 30565  df-vc 30579  df-nv 30612  df-va 30615  df-ba 30616  df-sm 30617  df-0v 30618  df-vs 30619  df-nmcv 30620  df-ims 30621  df-hnorm 30988  df-hvsub 30991  df-hlim 30992  df-sh 31227  df-ch 31241  df-nlfn 31866  df-cnfn 31867  df-lnfn 31868

This theorem is referenced by:  riesz3i  32082