Theorem nlelchi 32041

Description: The null space of a continuous linear functional is a closed subspace. Remark 3.8 of [Beran] p. 103. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nlelch.1	⊢ 𝑇 ∈ LinFn
nlelch.2	⊢ 𝑇 ∈ ContFn

Assertion

Ref	Expression
nlelchi	⊢ (null‘𝑇) ∈ Cℋ

Proof of Theorem nlelchi

Dummy variables 𝑓 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlelch.1	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ LinFn
2	1	nlelshi 32040	. 2 ⊢ (null‘𝑇) ∈ Sℋ
3		vex 3440	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
4	3	hlimveci 31170	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑥 ∈ ℋ)
5	4	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ℋ)
6		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
7	6	cnfldhaus 24699	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus)
9		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
10		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (normℎ ∘ −ℎ ) = (normℎ ∘ −ℎ )
11	9, 10	hhims 31152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (normℎ ∘ −ℎ ) = (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
12		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) = (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))
13	9, 11, 12	hhlm 31179	. . . . . . . . 9 ⊢ ⇝𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
14		resss 5949	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)) ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))
15	13, 14	eqsstri 3976	. . . . . . . 8 ⊢ ⇝𝑣 ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))
16	15	ssbri 5134	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))𝑥)
17	16	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))𝑥)
18		nlelch.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 ∈ ContFn
19	10, 12, 6	hhcnf 31885	. . . . . . . 8 ⊢ ContFn = ((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) Cn (TopOpen‘ℂfld))
20	18, 19	eleqtri 2829	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ∈ ((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) Cn (TopOpen‘ℂfld))
21	20	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑇 ∈ ((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
22	17, 21	lmcn 23220	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (𝑇 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))(𝑇‘𝑥))
23	1	lnfnfi 32021	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ℂ
24		ffvelcdm 7014	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑛) ∈ (null‘𝑇))
25	24	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑛) ∈ (null‘𝑇))
26		elnlfn2 31909	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝑓‘𝑛) ∈ (null‘𝑇)) → (𝑇‘(𝑓‘𝑛)) = 0)
27	23, 25, 26	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑇‘(𝑓‘𝑛)) = 0)
28		fvco3 6921	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑇 ∘ 𝑓)‘𝑛) = (𝑇‘(𝑓‘𝑛)))
29	28	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑇 ∘ 𝑓)‘𝑛) = (𝑇‘(𝑓‘𝑛)))
30		c0ex 11106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ V
31	30	fvconst2 7138	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((ℕ × {0})‘𝑛) = 0)
32	31	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((ℕ × {0})‘𝑛) = 0)
33	27, 29, 32	3eqtr4d 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑇 ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((ℕ × {0})‘𝑛))
34	33	ralrimiva 3124	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑇 ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((ℕ × {0})‘𝑛))
35		ffn 6651	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → 𝑇 Fn ℋ)
36	23, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 Fn ℋ
37		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇))
38	2	shssii 31193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (null‘𝑇) ⊆ ℋ
39		fss 6667	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ (null‘𝑇) ⊆ ℋ) → 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
40	37, 38, 39	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
41		fnfco 6688	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 Fn ℋ ∧ 𝑓:ℕ⟶ ℋ) → (𝑇 ∘ 𝑓) Fn ℕ)
42	36, 40, 41	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (𝑇 ∘ 𝑓) Fn ℕ)
43	30	fconst 6709	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℕ × {0}):ℕ⟶{0}
44		ffn 6651	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℕ × {0}):ℕ⟶{0} → (ℕ × {0}) Fn ℕ)
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ × {0}) Fn ℕ
46		eqfnfv 6964	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∘ 𝑓) Fn ℕ ∧ (ℕ × {0}) Fn ℕ) → ((𝑇 ∘ 𝑓) = (ℕ × {0}) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑇 ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((ℕ × {0})‘𝑛)))
47	42, 45, 46	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → ((𝑇 ∘ 𝑓) = (ℕ × {0}) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑇 ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((ℕ × {0})‘𝑛)))
48	34, 47	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (𝑇 ∘ 𝑓) = (ℕ × {0}))
49	6	cnfldtopon 24697	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
50	49	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
51		0cnd 11105	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 0 ∈ ℂ)
52		1zzd 12503	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 1 ∈ ℤ)
53		nnuz 12775	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
54	53	lmconst 23176	. . . . . . 7 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))0)
55	50, 51, 52, 54	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))0)
56	48, 55	eqbrtrd 5111	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (𝑇 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))0)
57	8, 22, 56	lmmo 23295	. . . 4 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (𝑇‘𝑥) = 0)
58		elnlfn 31908	. . . . 5 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → (𝑥 ∈ (null‘𝑇) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑥) = 0)))
59	23, 58	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (null‘𝑇) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑥) = 0))
60	5, 57, 59	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ (null‘𝑇))
61	60	gen2 1797	. 2 ⊢ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ (null‘𝑇))
62		isch2 31203	. 2 ⊢ ((null‘𝑇) ∈ Cℋ ↔ ((null‘𝑇) ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ (null‘𝑇))))
63	2, 61, 62	mpbir2an 711	1 ⊢ (null‘𝑇) ∈ Cℋ

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047   ⊆ wss 3897  {csn 4573  ⟨cop 4579   class class class wbr 5089   × cxp 5612   ↾ cres 5616   ∘ ccom 5618   Fn wfn 6476  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ↑_m cmap 8750  ℂcc 11004  0cc0 11006  1c1 11007  ℕcn 12125  ℤcz 12468  TopOpenctopn 17325  MetOpencmopn 21281  ℂ_fldccnfld 21291  TopOnctopon 22825   Cn ccn 23139  ⇝_𝑡clm 23141  Hauscha 23223   ℋchba 30899   +_ℎ cva 30900   ·_ℎ csm 30901  norm_ℎcno 30903   −_ℎ cmv 30905   ⇝_𝑣 chli 30907   S_ℋ csh 30908   C_ℋ cch 30909  nullcnl 30932  ContFnccnfn 30933  LinFnclf 30934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084  ax-addf 11085  ax-mulf 11086  ax-hilex 30979  ax-hfvadd 30980  ax-hvcom 30981  ax-hvass 30982  ax-hv0cl 30983  ax-hvaddid 30984  ax-hfvmul 30985  ax-hvmulid 30986  ax-hvmulass 30987  ax-hvdistr1 30988  ax-hvdistr2 30989  ax-hvmul0 30990  ax-hfi 31059  ax-his1 31062  ax-his2 31063  ax-his3 31064  ax-his4 31065

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-icc 13252  df-fz 13408  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-struct 17058  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-rest 17326  df-topn 17327  df-topgen 17347  df-psmet 21283  df-xmet 21284  df-met 21285  df-bl 21286  df-mopn 21287  df-cnfld 21292  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22861  df-cn 23142  df-cnp 23143  df-lm 23144  df-haus 23230  df-xms 24235  df-ms 24236  df-grpo 30473  df-gid 30474  df-ginv 30475  df-gdiv 30476  df-ablo 30525  df-vc 30539  df-nv 30572  df-va 30575  df-ba 30576  df-sm 30577  df-0v 30578  df-vs 30579  df-nmcv 30580  df-ims 30581  df-hnorm 30948  df-hvsub 30951  df-hlim 30952  df-sh 31187  df-ch 31201  df-nlfn 31826  df-cnfn 31827  df-lnfn 31828

This theorem is referenced by:  riesz3i  32042