Theorem elsuppfnd 33275

Description: Deduce membership in the support of a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
elsuppfnd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
elsuppfnd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
elsuppfnd.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
elsuppfnd.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
elsuppfnd.5	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
elsuppfnd	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍))

Proof of Theorem elsuppfnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsuppfnd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		elsuppfnd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		elsuppfnd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
4		elsuppfnd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
5		elsuppfnd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍)
6		elsuppfn 8187	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍)))
7	6	biimpar 483	. 2 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍)) → 𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍))
8	1, 2, 3, 4, 5, 7	syl32anc 1405	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   Fn wfn 6533  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   supp csupp 8177

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-supp 8178

This theorem is used by:  elrgspnlem2  33804  esplyfvaln  34206