Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elsuppfnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elsuppfnd 32696
Description: Deduce membership in the support of a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
elsuppfnd.1 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
elsuppfnd.2 (𝜑𝐴𝑉)
elsuppfnd.3 (𝜑𝑍𝑊)
elsuppfnd.4 (𝜑𝑋𝐴)
elsuppfnd.5 (𝜑 → (𝐹𝑋) ≠ 𝑍)
Assertion
Ref Expression
elsuppfnd (𝜑𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍))

Proof of Theorem elsuppfnd
StepHypRef Expression
1 elsuppfnd.1 . 2 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
2 elsuppfnd.2 . 2 (𝜑𝐴𝑉)
3 elsuppfnd.3 . 2 (𝜑𝑍𝑊)
4 elsuppfnd.4 . 2 (𝜑𝑋𝐴)
5 elsuppfnd.5 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑋) ≠ 𝑍)
6 elsuppfn 8193 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴𝐴𝑉𝑍𝑊) → (𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑋𝐴 ∧ (𝐹𝑋) ≠ 𝑍)))
76biimpar 477 . 2 (((𝐹 Fn 𝐴𝐴𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝑋𝐴 ∧ (𝐹𝑋) ≠ 𝑍)) → 𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍))
81, 2, 3, 4, 5, 7syl32anc 1377 1 (𝜑𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086  wcel 2105  wne 2937   Fn wfn 6557  cfv 6562  (class class class)co 7430   supp csupp 8183
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-supp 8184
This theorem is referenced by:  elrgspnlem2  33232
  Copyright terms: Public domain W3C validator