Theorem elsuppfnd 32691

Description: Deduce membership in the support of a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
elsuppfnd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
elsuppfnd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
elsuppfnd.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
elsuppfnd.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
elsuppfnd.5	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
elsuppfnd	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍))

Proof of Theorem elsuppfnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsuppfnd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		elsuppfnd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		elsuppfnd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
4		elsuppfnd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
5		elsuppfnd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍)
6		elsuppfn 8195	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍)))
7	6	biimpar 477	. 2 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍)) → 𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍))
8	1, 2, 3, 4, 5, 7	syl32anc 1380	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   Fn wfn 6556  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   supp csupp 8185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-supp 8186

This theorem is referenced by:  elrgspnlem2  33247