Theorem elsuppfnd 33343

Description: Deduce membership in the support of a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
elsuppfnd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
elsuppfnd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
elsuppfnd.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
elsuppfnd.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
elsuppfnd.5	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
elsuppfnd	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍))

Proof of Theorem elsuppfnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsuppfnd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		elsuppfnd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		elsuppfnd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
4		elsuppfnd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
5		elsuppfnd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍)
6		elsuppfn 8212	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍)))
7	6	biimpar 483	. 2 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍)) → 𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍))
8	1, 2, 3, 4, 5, 7	syl32anc 1406	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   Fn wfn 6550  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440   supp csupp 8201

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-supp 8202

This theorem is used by:  elrgspnlem2  33871  esplyfvaln  34273