Theorem elsuppfnd 32625

Description: Deduce membership in the support of a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
elsuppfnd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
elsuppfnd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
elsuppfnd.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
elsuppfnd.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
elsuppfnd.5	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
elsuppfnd	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍))

Proof of Theorem elsuppfnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsuppfnd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		elsuppfnd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		elsuppfnd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
4		elsuppfnd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
5		elsuppfnd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍)
6		elsuppfn 8103	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍)))
7	6	biimpar 477	. 2 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍)) → 𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍))
8	1, 2, 3, 4, 5, 7	syl32anc 1380	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   Fn wfn 6477  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   supp csupp 8093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-supp 8094

This theorem is referenced by:  elrgspnlem2  33184