Theorem elsuppfnd 32763

Description: Deduce membership in the support of a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
elsuppfnd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
elsuppfnd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
elsuppfnd.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
elsuppfnd.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
elsuppfnd.5	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
elsuppfnd	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍))

Proof of Theorem elsuppfnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsuppfnd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		elsuppfnd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		elsuppfnd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
4		elsuppfnd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
5		elsuppfnd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍)
6		elsuppfn 8114	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍)))
7	6	biimpar 477	. 2 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍)) → 𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍))
8	1, 2, 3, 4, 5, 7	syl32anc 1381	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   Fn wfn 6488  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360   supp csupp 8104

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-supp 8105

This theorem is referenced by:  elrgspnlem2  33327