Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elsuppfnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elsuppfnd 32691
Description: Deduce membership in the support of a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
elsuppfnd.1 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
elsuppfnd.2 (𝜑𝐴𝑉)
elsuppfnd.3 (𝜑𝑍𝑊)
elsuppfnd.4 (𝜑𝑋𝐴)
elsuppfnd.5 (𝜑 → (𝐹𝑋) ≠ 𝑍)
Assertion
Ref Expression
elsuppfnd (𝜑𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍))

Proof of Theorem elsuppfnd
StepHypRef Expression
1 elsuppfnd.1 . 2 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
2 elsuppfnd.2 . 2 (𝜑𝐴𝑉)
3 elsuppfnd.3 . 2 (𝜑𝑍𝑊)
4 elsuppfnd.4 . 2 (𝜑𝑋𝐴)
5 elsuppfnd.5 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑋) ≠ 𝑍)
6 elsuppfn 8195 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴𝐴𝑉𝑍𝑊) → (𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑋𝐴 ∧ (𝐹𝑋) ≠ 𝑍)))
76biimpar 477 . 2 (((𝐹 Fn 𝐴𝐴𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝑋𝐴 ∧ (𝐹𝑋) ≠ 𝑍)) → 𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍))
81, 2, 3, 4, 5, 7syl32anc 1380 1 (𝜑𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087  wcel 2108  wne 2940   Fn wfn 6556  cfv 6561  (class class class)co 7431   supp csupp 8185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-supp 8186
This theorem is referenced by:  elrgspnlem2  33247
  Copyright terms: Public domain W3C validator