MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eltg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eltg2 22981
Description: Membership in a topology generated by a basis. (Contributed by NM, 15-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
eltg2 (𝐵𝑉 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ (𝐴 𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦

Proof of Theorem eltg2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgval2 22979 . . 3 (𝐵𝑉 → (topGen‘𝐵) = {𝑧 ∣ (𝑧 𝐵 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝑧))})
21eleq2d 2825 . 2 (𝐵𝑉 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝐴 ∈ {𝑧 ∣ (𝑧 𝐵 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝑧))}))
3 elex 3499 . . . 4 (𝐴 ∈ {𝑧 ∣ (𝑧 𝐵 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝑧))} → 𝐴 ∈ V)
43adantl 481 . . 3 ((𝐵𝑉𝐴 ∈ {𝑧 ∣ (𝑧 𝐵 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝑧))}) → 𝐴 ∈ V)
5 uniexg 7759 . . . . . 6 (𝐵𝑉 𝐵 ∈ V)
6 ssexg 5329 . . . . . 6 ((𝐴 𝐵 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
75, 6sylan2 593 . . . . 5 ((𝐴 𝐵𝐵𝑉) → 𝐴 ∈ V)
87ancoms 458 . . . 4 ((𝐵𝑉𝐴 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
98adantrr 717 . . 3 ((𝐵𝑉 ∧ (𝐴 𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴))) → 𝐴 ∈ V)
10 sseq1 4021 . . . . 5 (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 𝐵𝐴 𝐵))
11 sseq2 4022 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝐴 → (𝑦𝑧𝑦𝐴))
1211anbi2d 630 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐴 → ((𝑥𝑦𝑦𝑧) ↔ (𝑥𝑦𝑦𝐴)))
1312rexbidv 3177 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐴 → (∃𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝑧) ↔ ∃𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴)))
1413raleqbi1dv 3336 . . . . 5 (𝑧 = 𝐴 → (∀𝑥𝑧𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝑧) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴)))
1510, 14anbi12d 632 . . . 4 (𝑧 = 𝐴 → ((𝑧 𝐵 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝑧)) ↔ (𝐴 𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴))))
1615elabg 3677 . . 3 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ {𝑧 ∣ (𝑧 𝐵 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝑧))} ↔ (𝐴 𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴))))
174, 9, 16pm5.21nd 802 . 2 (𝐵𝑉 → (𝐴 ∈ {𝑧 ∣ (𝑧 𝐵 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝑧))} ↔ (𝐴 𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴))))
182, 17bitrd 279 1 (𝐵𝑉 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ (𝐴 𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {cab 2712  wral 3059  wrex 3068  Vcvv 3478  wss 3963   cuni 4912  cfv 6563  topGenctg 17484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-topgen 17490
This theorem is referenced by:  eltg2b  22982  tg1  22987  tgcl  22992  elmopn  24468  psmetutop  24596
  Copyright terms: Public domain W3C validator