MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2ndc1stc Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 2ndc1stc 23175
Description: A second-countable space is first-countable. (Contributed by Jeff Hankins, 17-Jan-2010.)
Assertion
Ref Expression
2ndc1stc (𝐽 ∈ 2ndΟ‰ β†’ 𝐽 ∈ 1stΟ‰)
Proof of Theorem 2ndc1stc
Dummy variables π‘œ 𝑏 𝑝 π‘ž 𝑠 𝑑 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2ndctop 23171 . 2 (𝐽 ∈ 2ndΟ‰ β†’ 𝐽 ∈ Top)
2 is2ndc 23170 . . . 4 (𝐽 ∈ 2ndΟ‰ ↔ βˆƒπ‘ ∈ TopBases (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽))
3 ssrab2 4076 . . . . . . . . . . 11 {π‘ž ∈ 𝑏 ∣ π‘₯ ∈ π‘ž} βŠ† 𝑏
4 bastg 22689 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ TopBases β†’ 𝑏 βŠ† (topGenβ€˜π‘))
543ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (topGenβ€˜π‘)) β†’ 𝑏 βŠ† (topGenβ€˜π‘))
63, 5sstrid 3992 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (topGenβ€˜π‘)) β†’ {π‘ž ∈ 𝑏 ∣ π‘₯ ∈ π‘ž} βŠ† (topGenβ€˜π‘))
7 fvex 6903 . . . . . . . . . . 11 (topGenβ€˜π‘) ∈ V
87elpw2 5344 . . . . . . . . . 10 ({π‘ž ∈ 𝑏 ∣ π‘₯ ∈ π‘ž} ∈ 𝒫 (topGenβ€˜π‘) ↔ {π‘ž ∈ 𝑏 ∣ π‘₯ ∈ π‘ž} βŠ† (topGenβ€˜π‘))
96, 8sylibr 233 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (topGenβ€˜π‘)) β†’ {π‘ž ∈ 𝑏 ∣ π‘₯ ∈ π‘ž} ∈ 𝒫 (topGenβ€˜π‘))
10 vex 3476 . . . . . . . . . . 11 𝑏 ∈ V
11 ssdomg 8998 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ V β†’ ({π‘ž ∈ 𝑏 ∣ π‘₯ ∈ π‘ž} βŠ† 𝑏 β†’ {π‘ž ∈ 𝑏 ∣ π‘₯ ∈ π‘ž} β‰Ό 𝑏))
1210, 3, 11mp2 9 . . . . . . . . . 10 {π‘ž ∈ 𝑏 ∣ π‘₯ ∈ π‘ž} β‰Ό 𝑏
13 simp2 1135 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (topGenβ€˜π‘)) β†’ 𝑏 β‰Ό Ο‰)
14 domtr 9005 . . . . . . . . . 10 (({π‘ž ∈ 𝑏 ∣ π‘₯ ∈ π‘ž} β‰Ό 𝑏 ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) β†’ {π‘ž ∈ 𝑏 ∣ π‘₯ ∈ π‘ž} β‰Ό Ο‰)
1512, 13, 14sylancr 585 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (topGenβ€˜π‘)) β†’ {π‘ž ∈ 𝑏 ∣ π‘₯ ∈ π‘ž} β‰Ό Ο‰)
16 eltg2b 22682 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ TopBases β†’ (π‘œ ∈ (topGenβ€˜π‘) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘œ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑏 (𝑦 ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† π‘œ)))
17163ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (topGenβ€˜π‘)) β†’ (π‘œ ∈ (topGenβ€˜π‘) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘œ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑏 (𝑦 ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† π‘œ)))
18 elequ1 2111 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑦 ∈ 𝑑 ↔ π‘₯ ∈ 𝑑))
1918anbi1d 628 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((𝑦 ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† π‘œ) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† π‘œ)))
2019rexbidv 3176 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑏 (𝑦 ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† π‘œ) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑏 (π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† π‘œ)))
2120rspccv 3608 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘¦ ∈ π‘œ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑏 (𝑦 ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† π‘œ) β†’ (π‘₯ ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑏 (π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† π‘œ)))
22 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑑 ∈ 𝑏 ∧ π‘₯ ∈ 𝑑) β†’ (𝑑 ∈ 𝑏 ∧ π‘₯ ∈ 𝑑))
2322adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑑 ∈ 𝑏 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† π‘œ)) β†’ (𝑑 ∈ 𝑏 ∧ π‘₯ ∈ 𝑑))
24 elequ2 2119 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘ž = 𝑑 β†’ (π‘₯ ∈ π‘ž ↔ π‘₯ ∈ 𝑑))
2524elrab 3682 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 ∈ {π‘ž ∈ 𝑏 ∣ π‘₯ ∈ π‘ž} ↔ (𝑑 ∈ 𝑏 ∧ π‘₯ ∈ 𝑑))
2623, 25sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑑 ∈ 𝑏 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† π‘œ)) β†’ 𝑑 ∈ {π‘ž ∈ 𝑏 ∣ π‘₯ ∈ π‘ž})
27 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (topGenβ€˜π‘)) ∧ (𝑑 ∈ 𝑏 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† π‘œ))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† π‘œ))
28 elequ2 2119 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 = 𝑑 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑝 ↔ π‘₯ ∈ 𝑑))
29 sseq1 4006 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 = 𝑑 β†’ (𝑝 βŠ† π‘œ ↔ 𝑑 βŠ† π‘œ))
3028, 29anbi12d 629 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 = 𝑑 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 βŠ† π‘œ) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† π‘œ)))
3130rspcev 3611 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑑 ∈ {π‘ž ∈ 𝑏 ∣ π‘₯ ∈ π‘ž} ∧ (π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† π‘œ)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ {π‘ž ∈ 𝑏 ∣ π‘₯ ∈ π‘ž} (π‘₯ ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 βŠ† π‘œ))
3226, 27, 31syl2an2 682 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (topGenβ€˜π‘)) ∧ (𝑑 ∈ 𝑏 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† π‘œ))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ {π‘ž ∈ 𝑏 ∣ π‘₯ ∈ π‘ž} (π‘₯ ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 βŠ† π‘œ))
3332rexlimdvaa 3154 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (topGenβ€˜π‘)) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑏 (π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† π‘œ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ {π‘ž ∈ 𝑏 ∣ π‘₯ ∈ π‘ž} (π‘₯ ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 βŠ† π‘œ)))
3421, 33syl9r 78 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (topGenβ€˜π‘)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ π‘œ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑏 (𝑦 ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† π‘œ) β†’ (π‘₯ ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘ ∈ {π‘ž ∈ 𝑏 ∣ π‘₯ ∈ π‘ž} (π‘₯ ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 βŠ† π‘œ))))
3517, 34sylbid 239 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (topGenβ€˜π‘)) β†’ (π‘œ ∈ (topGenβ€˜π‘) β†’ (π‘₯ ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘ ∈ {π‘ž ∈ 𝑏 ∣ π‘₯ ∈ π‘ž} (π‘₯ ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 βŠ† π‘œ))))
3635ralrimiv 3143 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (topGenβ€˜π‘)) β†’ βˆ€π‘œ ∈ (topGenβ€˜π‘)(π‘₯ ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘ ∈ {π‘ž ∈ 𝑏 ∣ π‘₯ ∈ π‘ž} (π‘₯ ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 βŠ† π‘œ)))
37 breq1 5150 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = {π‘ž ∈ 𝑏 ∣ π‘₯ ∈ π‘ž} β†’ (𝑠 β‰Ό Ο‰ ↔ {π‘ž ∈ 𝑏 ∣ π‘₯ ∈ π‘ž} β‰Ό Ο‰))
38 rexeq 3319 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = {π‘ž ∈ 𝑏 ∣ π‘₯ ∈ π‘ž} β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑠 (π‘₯ ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 βŠ† π‘œ) ↔ βˆƒπ‘ ∈ {π‘ž ∈ 𝑏 ∣ π‘₯ ∈ π‘ž} (π‘₯ ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 βŠ† π‘œ)))
3938imbi2d 339 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = {π‘ž ∈ 𝑏 ∣ π‘₯ ∈ π‘ž} β†’ ((π‘₯ ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑠 (π‘₯ ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 βŠ† π‘œ)) ↔ (π‘₯ ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘ ∈ {π‘ž ∈ 𝑏 ∣ π‘₯ ∈ π‘ž} (π‘₯ ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 βŠ† π‘œ))))
4039ralbidv 3175 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = {π‘ž ∈ 𝑏 ∣ π‘₯ ∈ π‘ž} β†’ (βˆ€π‘œ ∈ (topGenβ€˜π‘)(π‘₯ ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑠 (π‘₯ ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 βŠ† π‘œ)) ↔ βˆ€π‘œ ∈ (topGenβ€˜π‘)(π‘₯ ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘ ∈ {π‘ž ∈ 𝑏 ∣ π‘₯ ∈ π‘ž} (π‘₯ ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 βŠ† π‘œ))))
4137, 40anbi12d 629 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = {π‘ž ∈ 𝑏 ∣ π‘₯ ∈ π‘ž} β†’ ((𝑠 β‰Ό Ο‰ ∧ βˆ€π‘œ ∈ (topGenβ€˜π‘)(π‘₯ ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑠 (π‘₯ ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 βŠ† π‘œ))) ↔ ({π‘ž ∈ 𝑏 ∣ π‘₯ ∈ π‘ž} β‰Ό Ο‰ ∧ βˆ€π‘œ ∈ (topGenβ€˜π‘)(π‘₯ ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘ ∈ {π‘ž ∈ 𝑏 ∣ π‘₯ ∈ π‘ž} (π‘₯ ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 βŠ† π‘œ)))))
4241rspcev 3611 . . . . . . . . 9 (({π‘ž ∈ 𝑏 ∣ π‘₯ ∈ π‘ž} ∈ 𝒫 (topGenβ€˜π‘) ∧ ({π‘ž ∈ 𝑏 ∣ π‘₯ ∈ π‘ž} β‰Ό Ο‰ ∧ βˆ€π‘œ ∈ (topGenβ€˜π‘)(π‘₯ ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘ ∈ {π‘ž ∈ 𝑏 ∣ π‘₯ ∈ π‘ž} (π‘₯ ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 βŠ† π‘œ)))) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 (topGenβ€˜π‘)(𝑠 β‰Ό Ο‰ ∧ βˆ€π‘œ ∈ (topGenβ€˜π‘)(π‘₯ ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑠 (π‘₯ ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 βŠ† π‘œ))))
439, 15, 36, 42syl12anc 833 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (topGenβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 (topGenβ€˜π‘)(𝑠 β‰Ό Ο‰ ∧ βˆ€π‘œ ∈ (topGenβ€˜π‘)(π‘₯ ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑠 (π‘₯ ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 βŠ† π‘œ))))
44433expia 1119 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ (topGenβ€˜π‘) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 (topGenβ€˜π‘)(𝑠 β‰Ό Ο‰ ∧ βˆ€π‘œ ∈ (topGenβ€˜π‘)(π‘₯ ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑠 (π‘₯ ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 βŠ† π‘œ)))))
45 unieq 4918 . . . . . . . . 9 ((topGenβ€˜π‘) = 𝐽 β†’ βˆͺ (topGenβ€˜π‘) = βˆͺ 𝐽)
4645eleq2d 2817 . . . . . . . 8 ((topGenβ€˜π‘) = 𝐽 β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ (topGenβ€˜π‘) ↔ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽))
47 pweq 4615 . . . . . . . . 9 ((topGenβ€˜π‘) = 𝐽 β†’ 𝒫 (topGenβ€˜π‘) = 𝒫 𝐽)
48 raleq 3320 . . . . . . . . . 10 ((topGenβ€˜π‘) = 𝐽 β†’ (βˆ€π‘œ ∈ (topGenβ€˜π‘)(π‘₯ ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑠 (π‘₯ ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 βŠ† π‘œ)) ↔ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑠 (π‘₯ ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 βŠ† π‘œ))))
4948anbi2d 627 . . . . . . . . 9 ((topGenβ€˜π‘) = 𝐽 β†’ ((𝑠 β‰Ό Ο‰ ∧ βˆ€π‘œ ∈ (topGenβ€˜π‘)(π‘₯ ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑠 (π‘₯ ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 βŠ† π‘œ))) ↔ (𝑠 β‰Ό Ο‰ ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑠 (π‘₯ ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 βŠ† π‘œ)))))
5047, 49rexeqbidv 3341 . . . . . . . 8 ((topGenβ€˜π‘) = 𝐽 β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 (topGenβ€˜π‘)(𝑠 β‰Ό Ο‰ ∧ βˆ€π‘œ ∈ (topGenβ€˜π‘)(π‘₯ ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑠 (π‘₯ ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 βŠ† π‘œ))) ↔ βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 𝐽(𝑠 β‰Ό Ο‰ ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑠 (π‘₯ ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 βŠ† π‘œ)))))
5146, 50imbi12d 343 . . . . . . 7 ((topGenβ€˜π‘) = 𝐽 β†’ ((π‘₯ ∈ βˆͺ (topGenβ€˜π‘) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 (topGenβ€˜π‘)(𝑠 β‰Ό Ο‰ ∧ βˆ€π‘œ ∈ (topGenβ€˜π‘)(π‘₯ ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑠 (π‘₯ ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 βŠ† π‘œ)))) ↔ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽 β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 𝐽(𝑠 β‰Ό Ο‰ ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑠 (π‘₯ ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 βŠ† π‘œ))))))
5244, 51syl5ibcom 244 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) β†’ ((topGenβ€˜π‘) = 𝐽 β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽 β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 𝐽(𝑠 β‰Ό Ο‰ ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑠 (π‘₯ ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 βŠ† π‘œ))))))
5352expimpd 452 . . . . 5 (𝑏 ∈ TopBases β†’ ((𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽 β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 𝐽(𝑠 β‰Ό Ο‰ ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑠 (π‘₯ ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 βŠ† π‘œ))))))
5453rexlimiv 3146 . . . 4 (βˆƒπ‘ ∈ TopBases (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽 β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 𝐽(𝑠 β‰Ό Ο‰ ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑠 (π‘₯ ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 βŠ† π‘œ)))))
552, 54sylbi 216 . . 3 (𝐽 ∈ 2ndΟ‰ β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽 β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 𝐽(𝑠 β‰Ό Ο‰ ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑠 (π‘₯ ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 βŠ† π‘œ)))))
5655ralrimiv 3143 . 2 (𝐽 ∈ 2ndΟ‰ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ π½βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 𝐽(𝑠 β‰Ό Ο‰ ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑠 (π‘₯ ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 βŠ† π‘œ))))
57 eqid 2730 . . 3 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
5857is1stc2 23166 . 2 (𝐽 ∈ 1stΟ‰ ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ π½βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 𝐽(𝑠 β‰Ό Ο‰ ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑠 (π‘₯ ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 βŠ† π‘œ)))))
591, 56, 58sylanbrc 581 1 (𝐽 ∈ 2ndΟ‰ β†’ 𝐽 ∈ 1stΟ‰)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  {crab 3430  Vcvv 3472   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601  βˆͺ cuni 4907   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  Ο‰com 7857   β‰Ό cdom 8939  topGenctg 17387  Topctop 22615  TopBasesctb 22668  1stΟ‰c1stc 23161  2ndΟ‰c2ndc 23162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-dom 8943  df-topgen 17393  df-top 22616  df-bases 22669  df-1stc 23163  df-2ndc 23164
This theorem is referenced by:  dis1stc  23223
  Copyright terms: Public domain W3C validator