MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2ndc1stc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2ndc1stc 23475
Description: A second-countable space is first-countable. (Contributed by Jeff Hankins, 17-Jan-2010.)
Assertion
Ref Expression
2ndc1stc (𝐽 ∈ 2ndω → 𝐽 ∈ 1stω)

Proof of Theorem 2ndc1stc
Dummy variables 𝑜 𝑏 𝑝 𝑞 𝑠 𝑡 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2ndctop 23471 . 2 (𝐽 ∈ 2ndω → 𝐽 ∈ Top)
2 is2ndc 23470 . . . 4 (𝐽 ∈ 2ndω ↔ ∃𝑏 ∈ TopBases (𝑏 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑏) = 𝐽))
3 ssrab2 4090 . . . . . . . . . . 11 {𝑞𝑏𝑥𝑞} ⊆ 𝑏
4 bastg 22989 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ TopBases → 𝑏 ⊆ (topGen‘𝑏))
543ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 ≼ ω ∧ 𝑥 (topGen‘𝑏)) → 𝑏 ⊆ (topGen‘𝑏))
63, 5sstrid 4007 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 ≼ ω ∧ 𝑥 (topGen‘𝑏)) → {𝑞𝑏𝑥𝑞} ⊆ (topGen‘𝑏))
7 fvex 6920 . . . . . . . . . . 11 (topGen‘𝑏) ∈ V
87elpw2 5340 . . . . . . . . . 10 ({𝑞𝑏𝑥𝑞} ∈ 𝒫 (topGen‘𝑏) ↔ {𝑞𝑏𝑥𝑞} ⊆ (topGen‘𝑏))
96, 8sylibr 234 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 ≼ ω ∧ 𝑥 (topGen‘𝑏)) → {𝑞𝑏𝑥𝑞} ∈ 𝒫 (topGen‘𝑏))
10 vex 3482 . . . . . . . . . . 11 𝑏 ∈ V
11 ssdomg 9039 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ V → ({𝑞𝑏𝑥𝑞} ⊆ 𝑏 → {𝑞𝑏𝑥𝑞} ≼ 𝑏))
1210, 3, 11mp2 9 . . . . . . . . . 10 {𝑞𝑏𝑥𝑞} ≼ 𝑏
13 simp2 1136 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 ≼ ω ∧ 𝑥 (topGen‘𝑏)) → 𝑏 ≼ ω)
14 domtr 9046 . . . . . . . . . 10 (({𝑞𝑏𝑥𝑞} ≼ 𝑏𝑏 ≼ ω) → {𝑞𝑏𝑥𝑞} ≼ ω)
1512, 13, 14sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 ≼ ω ∧ 𝑥 (topGen‘𝑏)) → {𝑞𝑏𝑥𝑞} ≼ ω)
16 eltg2b 22982 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ TopBases → (𝑜 ∈ (topGen‘𝑏) ↔ ∀𝑦𝑜𝑡𝑏 (𝑦𝑡𝑡𝑜)))
17163ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 ≼ ω ∧ 𝑥 (topGen‘𝑏)) → (𝑜 ∈ (topGen‘𝑏) ↔ ∀𝑦𝑜𝑡𝑏 (𝑦𝑡𝑡𝑜)))
18 elequ1 2113 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝑡𝑥𝑡))
1918anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦𝑡𝑡𝑜) ↔ (𝑥𝑡𝑡𝑜)))
2019rexbidv 3177 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑡𝑏 (𝑦𝑡𝑡𝑜) ↔ ∃𝑡𝑏 (𝑥𝑡𝑡𝑜)))
2120rspccv 3619 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑦𝑜𝑡𝑏 (𝑦𝑡𝑡𝑜) → (𝑥𝑜 → ∃𝑡𝑏 (𝑥𝑡𝑡𝑜)))
22 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑡𝑏𝑥𝑡) → (𝑡𝑏𝑥𝑡))
2322adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑡𝑏 ∧ (𝑥𝑡𝑡𝑜)) → (𝑡𝑏𝑥𝑡))
24 elequ2 2121 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑞 = 𝑡 → (𝑥𝑞𝑥𝑡))
2524elrab 3695 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ {𝑞𝑏𝑥𝑞} ↔ (𝑡𝑏𝑥𝑡))
2623, 25sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑡𝑏 ∧ (𝑥𝑡𝑡𝑜)) → 𝑡 ∈ {𝑞𝑏𝑥𝑞})
27 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 ≼ ω ∧ 𝑥 (topGen‘𝑏)) ∧ (𝑡𝑏 ∧ (𝑥𝑡𝑡𝑜))) → (𝑥𝑡𝑡𝑜))
28 elequ2 2121 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 = 𝑡 → (𝑥𝑝𝑥𝑡))
29 sseq1 4021 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 = 𝑡 → (𝑝𝑜𝑡𝑜))
3028, 29anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 = 𝑡 → ((𝑥𝑝𝑝𝑜) ↔ (𝑥𝑡𝑡𝑜)))
3130rspcev 3622 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑡 ∈ {𝑞𝑏𝑥𝑞} ∧ (𝑥𝑡𝑡𝑜)) → ∃𝑝 ∈ {𝑞𝑏𝑥𝑞} (𝑥𝑝𝑝𝑜))
3226, 27, 31syl2an2 686 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 ≼ ω ∧ 𝑥 (topGen‘𝑏)) ∧ (𝑡𝑏 ∧ (𝑥𝑡𝑡𝑜))) → ∃𝑝 ∈ {𝑞𝑏𝑥𝑞} (𝑥𝑝𝑝𝑜))
3332rexlimdvaa 3154 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 ≼ ω ∧ 𝑥 (topGen‘𝑏)) → (∃𝑡𝑏 (𝑥𝑡𝑡𝑜) → ∃𝑝 ∈ {𝑞𝑏𝑥𝑞} (𝑥𝑝𝑝𝑜)))
3421, 33syl9r 78 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 ≼ ω ∧ 𝑥 (topGen‘𝑏)) → (∀𝑦𝑜𝑡𝑏 (𝑦𝑡𝑡𝑜) → (𝑥𝑜 → ∃𝑝 ∈ {𝑞𝑏𝑥𝑞} (𝑥𝑝𝑝𝑜))))
3517, 34sylbid 240 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 ≼ ω ∧ 𝑥 (topGen‘𝑏)) → (𝑜 ∈ (topGen‘𝑏) → (𝑥𝑜 → ∃𝑝 ∈ {𝑞𝑏𝑥𝑞} (𝑥𝑝𝑝𝑜))))
3635ralrimiv 3143 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 ≼ ω ∧ 𝑥 (topGen‘𝑏)) → ∀𝑜 ∈ (topGen‘𝑏)(𝑥𝑜 → ∃𝑝 ∈ {𝑞𝑏𝑥𝑞} (𝑥𝑝𝑝𝑜)))
37 breq1 5151 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = {𝑞𝑏𝑥𝑞} → (𝑠 ≼ ω ↔ {𝑞𝑏𝑥𝑞} ≼ ω))
38 rexeq 3320 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = {𝑞𝑏𝑥𝑞} → (∃𝑝𝑠 (𝑥𝑝𝑝𝑜) ↔ ∃𝑝 ∈ {𝑞𝑏𝑥𝑞} (𝑥𝑝𝑝𝑜)))
3938imbi2d 340 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = {𝑞𝑏𝑥𝑞} → ((𝑥𝑜 → ∃𝑝𝑠 (𝑥𝑝𝑝𝑜)) ↔ (𝑥𝑜 → ∃𝑝 ∈ {𝑞𝑏𝑥𝑞} (𝑥𝑝𝑝𝑜))))
4039ralbidv 3176 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = {𝑞𝑏𝑥𝑞} → (∀𝑜 ∈ (topGen‘𝑏)(𝑥𝑜 → ∃𝑝𝑠 (𝑥𝑝𝑝𝑜)) ↔ ∀𝑜 ∈ (topGen‘𝑏)(𝑥𝑜 → ∃𝑝 ∈ {𝑞𝑏𝑥𝑞} (𝑥𝑝𝑝𝑜))))
4137, 40anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = {𝑞𝑏𝑥𝑞} → ((𝑠 ≼ ω ∧ ∀𝑜 ∈ (topGen‘𝑏)(𝑥𝑜 → ∃𝑝𝑠 (𝑥𝑝𝑝𝑜))) ↔ ({𝑞𝑏𝑥𝑞} ≼ ω ∧ ∀𝑜 ∈ (topGen‘𝑏)(𝑥𝑜 → ∃𝑝 ∈ {𝑞𝑏𝑥𝑞} (𝑥𝑝𝑝𝑜)))))
4241rspcev 3622 . . . . . . . . 9 (({𝑞𝑏𝑥𝑞} ∈ 𝒫 (topGen‘𝑏) ∧ ({𝑞𝑏𝑥𝑞} ≼ ω ∧ ∀𝑜 ∈ (topGen‘𝑏)(𝑥𝑜 → ∃𝑝 ∈ {𝑞𝑏𝑥𝑞} (𝑥𝑝𝑝𝑜)))) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 (topGen‘𝑏)(𝑠 ≼ ω ∧ ∀𝑜 ∈ (topGen‘𝑏)(𝑥𝑜 → ∃𝑝𝑠 (𝑥𝑝𝑝𝑜))))
439, 15, 36, 42syl12anc 837 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 ≼ ω ∧ 𝑥 (topGen‘𝑏)) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 (topGen‘𝑏)(𝑠 ≼ ω ∧ ∀𝑜 ∈ (topGen‘𝑏)(𝑥𝑜 → ∃𝑝𝑠 (𝑥𝑝𝑝𝑜))))
44433expia 1120 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 ≼ ω) → (𝑥 (topGen‘𝑏) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 (topGen‘𝑏)(𝑠 ≼ ω ∧ ∀𝑜 ∈ (topGen‘𝑏)(𝑥𝑜 → ∃𝑝𝑠 (𝑥𝑝𝑝𝑜)))))
45 unieq 4923 . . . . . . . . 9 ((topGen‘𝑏) = 𝐽 (topGen‘𝑏) = 𝐽)
4645eleq2d 2825 . . . . . . . 8 ((topGen‘𝑏) = 𝐽 → (𝑥 (topGen‘𝑏) ↔ 𝑥 𝐽))
47 pweq 4619 . . . . . . . . 9 ((topGen‘𝑏) = 𝐽 → 𝒫 (topGen‘𝑏) = 𝒫 𝐽)
48 raleq 3321 . . . . . . . . . 10 ((topGen‘𝑏) = 𝐽 → (∀𝑜 ∈ (topGen‘𝑏)(𝑥𝑜 → ∃𝑝𝑠 (𝑥𝑝𝑝𝑜)) ↔ ∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜 → ∃𝑝𝑠 (𝑥𝑝𝑝𝑜))))
4948anbi2d 630 . . . . . . . . 9 ((topGen‘𝑏) = 𝐽 → ((𝑠 ≼ ω ∧ ∀𝑜 ∈ (topGen‘𝑏)(𝑥𝑜 → ∃𝑝𝑠 (𝑥𝑝𝑝𝑜))) ↔ (𝑠 ≼ ω ∧ ∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜 → ∃𝑝𝑠 (𝑥𝑝𝑝𝑜)))))
5047, 49rexeqbidv 3345 . . . . . . . 8 ((topGen‘𝑏) = 𝐽 → (∃𝑠 ∈ 𝒫 (topGen‘𝑏)(𝑠 ≼ ω ∧ ∀𝑜 ∈ (topGen‘𝑏)(𝑥𝑜 → ∃𝑝𝑠 (𝑥𝑝𝑝𝑜))) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐽(𝑠 ≼ ω ∧ ∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜 → ∃𝑝𝑠 (𝑥𝑝𝑝𝑜)))))
5146, 50imbi12d 344 . . . . . . 7 ((topGen‘𝑏) = 𝐽 → ((𝑥 (topGen‘𝑏) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 (topGen‘𝑏)(𝑠 ≼ ω ∧ ∀𝑜 ∈ (topGen‘𝑏)(𝑥𝑜 → ∃𝑝𝑠 (𝑥𝑝𝑝𝑜)))) ↔ (𝑥 𝐽 → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐽(𝑠 ≼ ω ∧ ∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜 → ∃𝑝𝑠 (𝑥𝑝𝑝𝑜))))))
5244, 51syl5ibcom 245 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 ≼ ω) → ((topGen‘𝑏) = 𝐽 → (𝑥 𝐽 → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐽(𝑠 ≼ ω ∧ ∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜 → ∃𝑝𝑠 (𝑥𝑝𝑝𝑜))))))
5352expimpd 453 . . . . 5 (𝑏 ∈ TopBases → ((𝑏 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑏) = 𝐽) → (𝑥 𝐽 → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐽(𝑠 ≼ ω ∧ ∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜 → ∃𝑝𝑠 (𝑥𝑝𝑝𝑜))))))
5453rexlimiv 3146 . . . 4 (∃𝑏 ∈ TopBases (𝑏 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑏) = 𝐽) → (𝑥 𝐽 → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐽(𝑠 ≼ ω ∧ ∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜 → ∃𝑝𝑠 (𝑥𝑝𝑝𝑜)))))
552, 54sylbi 217 . . 3 (𝐽 ∈ 2ndω → (𝑥 𝐽 → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐽(𝑠 ≼ ω ∧ ∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜 → ∃𝑝𝑠 (𝑥𝑝𝑝𝑜)))))
5655ralrimiv 3143 . 2 (𝐽 ∈ 2ndω → ∀𝑥 𝐽𝑠 ∈ 𝒫 𝐽(𝑠 ≼ ω ∧ ∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜 → ∃𝑝𝑠 (𝑥𝑝𝑝𝑜))))
57 eqid 2735 . . 3 𝐽 = 𝐽
5857is1stc2 23466 . 2 (𝐽 ∈ 1stω ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 𝐽𝑠 ∈ 𝒫 𝐽(𝑠 ≼ ω ∧ ∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜 → ∃𝑝𝑠 (𝑥𝑝𝑝𝑜)))))
591, 56, 58sylanbrc 583 1 (𝐽 ∈ 2ndω → 𝐽 ∈ 1stω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  {crab 3433  Vcvv 3478  wss 3963  𝒫 cpw 4605   cuni 4912   class class class wbr 5148  cfv 6563  ωcom 7887  cdom 8982  topGenctg 17484  Topctop 22915  TopBasesctb 22968  1stωc1stc 23461  2ndωc2ndc 23462
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-dom 8986  df-topgen 17490  df-top 22916  df-bases 22969  df-1stc 23463  df-2ndc 23464
This theorem is referenced by:  dis1stc  23523
  Copyright terms: Public domain W3C validator