Theorem 2ndc1stc 23399

Description: A second-countable space is first-countable. (Contributed by Jeff Hankins, 17-Jan-2010.)

Assertion

Ref	Expression
2ndc1stc	⊢ (𝐽 ∈ 2ndω → 𝐽 ∈ 1stω)

Proof of Theorem 2ndc1stc

Dummy variables 𝑜 𝑏 𝑝 𝑞 𝑠 𝑡 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2ndctop 23395	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ 2ndω → 𝐽 ∈ Top)
2		is2ndc 23394	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ 2ndω ↔ ∃𝑏 ∈ TopBases (𝑏 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑏) = 𝐽))
3		ssrab2 4033	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑞 ∈ 𝑏 ∣ 𝑥 ∈ 𝑞} ⊆ 𝑏
4		bastg 22914	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ TopBases → 𝑏 ⊆ (topGen‘𝑏))
5	4	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 ≼ ω ∧ 𝑥 ∈ ∪ (topGen‘𝑏)) → 𝑏 ⊆ (topGen‘𝑏))
6	3, 5	sstrid 3946	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 ≼ ω ∧ 𝑥 ∈ ∪ (topGen‘𝑏)) → {𝑞 ∈ 𝑏 ∣ 𝑥 ∈ 𝑞} ⊆ (topGen‘𝑏))
7		fvex 6848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (topGen‘𝑏) ∈ V
8	7	elpw2 5280	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑞 ∈ 𝑏 ∣ 𝑥 ∈ 𝑞} ∈ 𝒫 (topGen‘𝑏) ↔ {𝑞 ∈ 𝑏 ∣ 𝑥 ∈ 𝑞} ⊆ (topGen‘𝑏))
9	6, 8	sylibr 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 ≼ ω ∧ 𝑥 ∈ ∪ (topGen‘𝑏)) → {𝑞 ∈ 𝑏 ∣ 𝑥 ∈ 𝑞} ∈ 𝒫 (topGen‘𝑏))
10		vex 3445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑏 ∈ V
11		ssdomg 8941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ V → ({𝑞 ∈ 𝑏 ∣ 𝑥 ∈ 𝑞} ⊆ 𝑏 → {𝑞 ∈ 𝑏 ∣ 𝑥 ∈ 𝑞} ≼ 𝑏))
12	10, 3, 11	mp2 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑞 ∈ 𝑏 ∣ 𝑥 ∈ 𝑞} ≼ 𝑏
13		simp2 1138	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 ≼ ω ∧ 𝑥 ∈ ∪ (topGen‘𝑏)) → 𝑏 ≼ ω)
14		domtr 8948	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝑞 ∈ 𝑏 ∣ 𝑥 ∈ 𝑞} ≼ 𝑏 ∧ 𝑏 ≼ ω) → {𝑞 ∈ 𝑏 ∣ 𝑥 ∈ 𝑞} ≼ ω)
15	12, 13, 14	sylancr 588	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 ≼ ω ∧ 𝑥 ∈ ∪ (topGen‘𝑏)) → {𝑞 ∈ 𝑏 ∣ 𝑥 ∈ 𝑞} ≼ ω)
16		eltg2b 22907	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ TopBases → (𝑜 ∈ (topGen‘𝑏) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑜 ∃𝑡 ∈ 𝑏 (𝑦 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ⊆ 𝑜)))
17	16	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 ≼ ω ∧ 𝑥 ∈ ∪ (topGen‘𝑏)) → (𝑜 ∈ (topGen‘𝑏) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑜 ∃𝑡 ∈ 𝑏 (𝑦 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ⊆ 𝑜)))
18		elequ1 2121	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝑡 ↔ 𝑥 ∈ 𝑡))
19	18	anbi1d 632	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ⊆ 𝑜) ↔ (𝑥 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ⊆ 𝑜)))
20	19	rexbidv 3161	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑡 ∈ 𝑏 (𝑦 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ⊆ 𝑜) ↔ ∃𝑡 ∈ 𝑏 (𝑥 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ⊆ 𝑜)))
21	20	rspccv 3574	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑜 ∃𝑡 ∈ 𝑏 (𝑦 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ⊆ 𝑜) → (𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑡 ∈ 𝑏 (𝑥 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ⊆ 𝑜)))
22		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑡) → (𝑡 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑡))
23	22	adantrr 718	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝑏 ∧ (𝑥 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ⊆ 𝑜)) → (𝑡 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑡))
24		elequ2 2129	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑞 = 𝑡 → (𝑥 ∈ 𝑞 ↔ 𝑥 ∈ 𝑡))
25	24	elrab 3647	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 ∈ {𝑞 ∈ 𝑏 ∣ 𝑥 ∈ 𝑞} ↔ (𝑡 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑡))
26	23, 25	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝑏 ∧ (𝑥 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ⊆ 𝑜)) → 𝑡 ∈ {𝑞 ∈ 𝑏 ∣ 𝑥 ∈ 𝑞})
27		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 ≼ ω ∧ 𝑥 ∈ ∪ (topGen‘𝑏)) ∧ (𝑡 ∈ 𝑏 ∧ (𝑥 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ⊆ 𝑜))) → (𝑥 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ⊆ 𝑜))
28		elequ2 2129	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 = 𝑡 → (𝑥 ∈ 𝑝 ↔ 𝑥 ∈ 𝑡))
29		sseq1 3960	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 = 𝑡 → (𝑝 ⊆ 𝑜 ↔ 𝑡 ⊆ 𝑜))
30	28, 29	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = 𝑡 → ((𝑥 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑜) ↔ (𝑥 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ⊆ 𝑜)))
31	30	rspcev 3577	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑡 ∈ {𝑞 ∈ 𝑏 ∣ 𝑥 ∈ 𝑞} ∧ (𝑥 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ⊆ 𝑜)) → ∃𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑏 ∣ 𝑥 ∈ 𝑞} (𝑥 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑜))
32	26, 27, 31	syl2an2 687	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 ≼ ω ∧ 𝑥 ∈ ∪ (topGen‘𝑏)) ∧ (𝑡 ∈ 𝑏 ∧ (𝑥 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ⊆ 𝑜))) → ∃𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑏 ∣ 𝑥 ∈ 𝑞} (𝑥 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑜))
33	32	rexlimdvaa 3139	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 ≼ ω ∧ 𝑥 ∈ ∪ (topGen‘𝑏)) → (∃𝑡 ∈ 𝑏 (𝑥 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ⊆ 𝑜) → ∃𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑏 ∣ 𝑥 ∈ 𝑞} (𝑥 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑜)))
34	21, 33	syl9r 78	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 ≼ ω ∧ 𝑥 ∈ ∪ (topGen‘𝑏)) → (∀𝑦 ∈ 𝑜 ∃𝑡 ∈ 𝑏 (𝑦 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ⊆ 𝑜) → (𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑏 ∣ 𝑥 ∈ 𝑞} (𝑥 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑜))))
35	17, 34	sylbid 240	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 ≼ ω ∧ 𝑥 ∈ ∪ (topGen‘𝑏)) → (𝑜 ∈ (topGen‘𝑏) → (𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑏 ∣ 𝑥 ∈ 𝑞} (𝑥 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑜))))
36	35	ralrimiv 3128	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 ≼ ω ∧ 𝑥 ∈ ∪ (topGen‘𝑏)) → ∀𝑜 ∈ (topGen‘𝑏)(𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑏 ∣ 𝑥 ∈ 𝑞} (𝑥 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑜)))
37		breq1 5102	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = {𝑞 ∈ 𝑏 ∣ 𝑥 ∈ 𝑞} → (𝑠 ≼ ω ↔ {𝑞 ∈ 𝑏 ∣ 𝑥 ∈ 𝑞} ≼ ω))
38		rexeq 3293	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = {𝑞 ∈ 𝑏 ∣ 𝑥 ∈ 𝑞} → (∃𝑝 ∈ 𝑠 (𝑥 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑜) ↔ ∃𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑏 ∣ 𝑥 ∈ 𝑞} (𝑥 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑜)))
39	38	imbi2d 340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = {𝑞 ∈ 𝑏 ∣ 𝑥 ∈ 𝑞} → ((𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑝 ∈ 𝑠 (𝑥 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑜)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑏 ∣ 𝑥 ∈ 𝑞} (𝑥 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑜))))
40	39	ralbidv 3160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = {𝑞 ∈ 𝑏 ∣ 𝑥 ∈ 𝑞} → (∀𝑜 ∈ (topGen‘𝑏)(𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑝 ∈ 𝑠 (𝑥 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑜)) ↔ ∀𝑜 ∈ (topGen‘𝑏)(𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑏 ∣ 𝑥 ∈ 𝑞} (𝑥 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑜))))
41	37, 40	anbi12d 633	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = {𝑞 ∈ 𝑏 ∣ 𝑥 ∈ 𝑞} → ((𝑠 ≼ ω ∧ ∀𝑜 ∈ (topGen‘𝑏)(𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑝 ∈ 𝑠 (𝑥 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑜))) ↔ ({𝑞 ∈ 𝑏 ∣ 𝑥 ∈ 𝑞} ≼ ω ∧ ∀𝑜 ∈ (topGen‘𝑏)(𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑏 ∣ 𝑥 ∈ 𝑞} (𝑥 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑜)))))
42	41	rspcev 3577	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝑞 ∈ 𝑏 ∣ 𝑥 ∈ 𝑞} ∈ 𝒫 (topGen‘𝑏) ∧ ({𝑞 ∈ 𝑏 ∣ 𝑥 ∈ 𝑞} ≼ ω ∧ ∀𝑜 ∈ (topGen‘𝑏)(𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑏 ∣ 𝑥 ∈ 𝑞} (𝑥 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑜)))) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 (topGen‘𝑏)(𝑠 ≼ ω ∧ ∀𝑜 ∈ (topGen‘𝑏)(𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑝 ∈ 𝑠 (𝑥 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑜))))
43	9, 15, 36, 42	syl12anc 837	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 ≼ ω ∧ 𝑥 ∈ ∪ (topGen‘𝑏)) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 (topGen‘𝑏)(𝑠 ≼ ω ∧ ∀𝑜 ∈ (topGen‘𝑏)(𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑝 ∈ 𝑠 (𝑥 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑜))))
44	43	3expia 1122	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 ≼ ω) → (𝑥 ∈ ∪ (topGen‘𝑏) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 (topGen‘𝑏)(𝑠 ≼ ω ∧ ∀𝑜 ∈ (topGen‘𝑏)(𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑝 ∈ 𝑠 (𝑥 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑜)))))
45		unieq 4875	. . . . . . . . 9 ⊢ ((topGen‘𝑏) = 𝐽 → ∪ (topGen‘𝑏) = ∪ 𝐽)
46	45	eleq2d 2823	. . . . . . . 8 ⊢ ((topGen‘𝑏) = 𝐽 → (𝑥 ∈ ∪ (topGen‘𝑏) ↔ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽))
47		pweq 4569	. . . . . . . . 9 ⊢ ((topGen‘𝑏) = 𝐽 → 𝒫 (topGen‘𝑏) = 𝒫 𝐽)
48		raleq 3294	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((topGen‘𝑏) = 𝐽 → (∀𝑜 ∈ (topGen‘𝑏)(𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑝 ∈ 𝑠 (𝑥 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑜)) ↔ ∀𝑜 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑝 ∈ 𝑠 (𝑥 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑜))))
49	48	anbi2d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ ((topGen‘𝑏) = 𝐽 → ((𝑠 ≼ ω ∧ ∀𝑜 ∈ (topGen‘𝑏)(𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑝 ∈ 𝑠 (𝑥 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑜))) ↔ (𝑠 ≼ ω ∧ ∀𝑜 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑝 ∈ 𝑠 (𝑥 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑜)))))
50	47, 49	rexeqbidv 3318	. . . . . . . 8 ⊢ ((topGen‘𝑏) = 𝐽 → (∃𝑠 ∈ 𝒫 (topGen‘𝑏)(𝑠 ≼ ω ∧ ∀𝑜 ∈ (topGen‘𝑏)(𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑝 ∈ 𝑠 (𝑥 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑜))) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐽(𝑠 ≼ ω ∧ ∀𝑜 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑝 ∈ 𝑠 (𝑥 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑜)))))
51	46, 50	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ ((topGen‘𝑏) = 𝐽 → ((𝑥 ∈ ∪ (topGen‘𝑏) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 (topGen‘𝑏)(𝑠 ≼ ω ∧ ∀𝑜 ∈ (topGen‘𝑏)(𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑝 ∈ 𝑠 (𝑥 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑜)))) ↔ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐽(𝑠 ≼ ω ∧ ∀𝑜 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑝 ∈ 𝑠 (𝑥 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑜))))))
52	44, 51	syl5ibcom 245	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 ≼ ω) → ((topGen‘𝑏) = 𝐽 → (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐽(𝑠 ≼ ω ∧ ∀𝑜 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑝 ∈ 𝑠 (𝑥 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑜))))))
53	52	expimpd 453	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ TopBases → ((𝑏 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑏) = 𝐽) → (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐽(𝑠 ≼ ω ∧ ∀𝑜 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑝 ∈ 𝑠 (𝑥 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑜))))))
54	53	rexlimiv 3131	. . . 4 ⊢ (∃𝑏 ∈ TopBases (𝑏 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑏) = 𝐽) → (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐽(𝑠 ≼ ω ∧ ∀𝑜 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑝 ∈ 𝑠 (𝑥 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑜)))))
55	2, 54	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ 2ndω → (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐽(𝑠 ≼ ω ∧ ∀𝑜 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑝 ∈ 𝑠 (𝑥 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑜)))))
56	55	ralrimiv 3128	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ 2ndω → ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐽∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐽(𝑠 ≼ ω ∧ ∀𝑜 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑝 ∈ 𝑠 (𝑥 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑜))))
57		eqid 2737	. . 3 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
58	57	is1stc2 23390	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ 1stω ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐽∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐽(𝑠 ≼ ω ∧ ∀𝑜 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑝 ∈ 𝑠 (𝑥 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑜)))))
59	1, 56, 58	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝐽 ∈ 2ndω → 𝐽 ∈ 1stω)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3061  {crab 3400  Vcvv 3441   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4555  ∪ cuni 4864   class class class wbr 5099  ‘cfv 6493  ωcom 7810   ≼ cdom 8885  topGenctg 17361  Topctop 22841  TopBasesctb 22893  1^stωc1stc 23385  2^ndωc2ndc 23386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-dom 8889  df-topgen 17367  df-top 22842  df-bases 22894  df-1stc 23387  df-2ndc 23388

This theorem is referenced by:  dis1stc  23447