MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eltg3i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eltg3i 22327
Description: The union of a set of basic open sets is in the generated topology. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
eltg3i ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ βˆͺ 𝐴 ∈ (topGenβ€˜π΅))

Proof of Theorem eltg3i
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . 4 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
2 pwuni 4907 . . . 4 𝐴 βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝐴
3 ssin 4191 . . . 4 ((𝐴 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝐴) ↔ 𝐴 βŠ† (𝐡 ∩ 𝒫 βˆͺ 𝐴))
41, 2, 3sylanblc 590 . . 3 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ 𝐴 βŠ† (𝐡 ∩ 𝒫 βˆͺ 𝐴))
54unissd 4876 . 2 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ βˆͺ 𝐴 βŠ† βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 βˆͺ 𝐴))
6 eltg 22323 . . 3 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (βˆͺ 𝐴 ∈ (topGenβ€˜π΅) ↔ βˆͺ 𝐴 βŠ† βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 βˆͺ 𝐴)))
76adantr 482 . 2 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (βˆͺ 𝐴 ∈ (topGenβ€˜π΅) ↔ βˆͺ 𝐴 βŠ† βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 βˆͺ 𝐴)))
85, 7mpbird 257 1 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ βˆͺ 𝐴 ∈ (topGenβ€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  π’« cpw 4561  βˆͺ cuni 4866  β€˜cfv 6497  topGenctg 17324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fv 6505  df-topgen 17330
This theorem is referenced by:  eltg3  22328  tgiun  22345  tgidm  22346  tgrest  22526  leordtval2  22579  fnemeet1  34884  fnejoin2  34887  ontgval  34949
  Copyright terms: Public domain W3C validator