Theorem eltg3i 22984

Description: The union of a set of basic open sets is in the generated topology. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eltg3i	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ∪ 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵))

Proof of Theorem eltg3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		pwuni 4950	. . . 4 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝒫 ∪ 𝐴
3		ssin 4247	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝒫 ∪ 𝐴) ↔ 𝐴 ⊆ (𝐵 ∩ 𝒫 ∪ 𝐴))
4	1, 2, 3	sylanblc 589	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ⊆ (𝐵 ∩ 𝒫 ∪ 𝐴))
5	4	unissd 4922	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ∪ 𝐴 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 ∪ 𝐴))
6		eltg 22980	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (∪ 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∪ 𝐴 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 ∪ 𝐴)))
7	6	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (∪ 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∪ 𝐴 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 ∪ 𝐴)))
8	5, 7	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ∪ 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963  𝒫 cpw 4605  ∪ cuni 4912  ‘cfv 6563  topGenctg 17484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-topgen 17490

This theorem is referenced by:  eltg3  22985  tgiun  23002  tgidm  23003  tgrest  23183  leordtval2  23236  fnemeet1  36349  fnejoin2  36352  ontgval  36414