MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eltg3i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eltg3i 22877
Description: The union of a set of basic open sets is in the generated topology. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
eltg3i ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ βˆͺ 𝐴 ∈ (topGenβ€˜π΅))

Proof of Theorem eltg3i
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . 4 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
2 pwuni 4948 . . . 4 𝐴 βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝐴
3 ssin 4231 . . . 4 ((𝐴 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝐴) ↔ 𝐴 βŠ† (𝐡 ∩ 𝒫 βˆͺ 𝐴))
41, 2, 3sylanblc 588 . . 3 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ 𝐴 βŠ† (𝐡 ∩ 𝒫 βˆͺ 𝐴))
54unissd 4918 . 2 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ βˆͺ 𝐴 βŠ† βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 βˆͺ 𝐴))
6 eltg 22873 . . 3 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (βˆͺ 𝐴 ∈ (topGenβ€˜π΅) ↔ βˆͺ 𝐴 βŠ† βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 βˆͺ 𝐴)))
76adantr 480 . 2 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (βˆͺ 𝐴 ∈ (topGenβ€˜π΅) ↔ βˆͺ 𝐴 βŠ† βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 βˆͺ 𝐴)))
85, 7mpbird 257 1 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ βˆͺ 𝐴 ∈ (topGenβ€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4603  βˆͺ cuni 4908  β€˜cfv 6548  topGenctg 17419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fv 6556  df-topgen 17425
This theorem is referenced by:  eltg3  22878  tgiun  22895  tgidm  22896  tgrest  23076  leordtval2  23129  fnemeet1  35850  fnejoin2  35853  ontgval  35915
  Copyright terms: Public domain W3C validator