Theorem eltg3i 22824

Description: The union of a set of basic open sets is in the generated topology. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eltg3i	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ∪ 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵))

Proof of Theorem eltg3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		pwuni 4905	. . . 4 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝒫 ∪ 𝐴
3		ssin 4198	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝒫 ∪ 𝐴) ↔ 𝐴 ⊆ (𝐵 ∩ 𝒫 ∪ 𝐴))
4	1, 2, 3	sylanblc 589	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ⊆ (𝐵 ∩ 𝒫 ∪ 𝐴))
5	4	unissd 4877	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ∪ 𝐴 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 ∪ 𝐴))
6		eltg 22820	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (∪ 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∪ 𝐴 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 ∪ 𝐴)))
7	6	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (∪ 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∪ 𝐴 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 ∪ 𝐴)))
8	5, 7	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ∪ 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911  𝒫 cpw 4559  ∪ cuni 4867  ‘cfv 6499  topGenctg 17376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fv 6507  df-topgen 17382

This theorem is referenced by:  eltg3  22825  tgiun  22842  tgidm  22843  tgrest  23022  leordtval2  23075  fnemeet1  36327  fnejoin2  36330  ontgval  36392