MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eltg3i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eltg3i 22815
Description: The union of a set of basic open sets is in the generated topology. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
eltg3i ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ βˆͺ 𝐴 ∈ (topGenβ€˜π΅))

Proof of Theorem eltg3i
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . 4 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
2 pwuni 4942 . . . 4 𝐴 βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝐴
3 ssin 4225 . . . 4 ((𝐴 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝐴) ↔ 𝐴 βŠ† (𝐡 ∩ 𝒫 βˆͺ 𝐴))
41, 2, 3sylanblc 588 . . 3 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ 𝐴 βŠ† (𝐡 ∩ 𝒫 βˆͺ 𝐴))
54unissd 4912 . 2 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ βˆͺ 𝐴 βŠ† βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 βˆͺ 𝐴))
6 eltg 22811 . . 3 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (βˆͺ 𝐴 ∈ (topGenβ€˜π΅) ↔ βˆͺ 𝐴 βŠ† βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 βˆͺ 𝐴)))
76adantr 480 . 2 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (βˆͺ 𝐴 ∈ (topGenβ€˜π΅) ↔ βˆͺ 𝐴 βŠ† βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 βˆͺ 𝐴)))
85, 7mpbird 257 1 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ βˆͺ 𝐴 ∈ (topGenβ€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  π’« cpw 4597  βˆͺ cuni 4902  β€˜cfv 6536  topGenctg 17390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fv 6544  df-topgen 17396
This theorem is referenced by:  eltg3  22816  tgiun  22833  tgidm  22834  tgrest  23014  leordtval2  23067  fnemeet1  35759  fnejoin2  35762  ontgval  35824
  Copyright terms: Public domain W3C validator