Theorem eltg3i 22936

Description: The union of a set of basic open sets is in the generated topology. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eltg3i	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ∪ 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵))

Proof of Theorem eltg3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		pwuni 4889	. . . 4 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝒫 ∪ 𝐴
3		ssin 4180	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝒫 ∪ 𝐴) ↔ 𝐴 ⊆ (𝐵 ∩ 𝒫 ∪ 𝐴))
4	1, 2, 3	sylanblc 590	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ⊆ (𝐵 ∩ 𝒫 ∪ 𝐴))
5	4	unissd 4861	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ∪ 𝐴 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 ∪ 𝐴))
6		eltg 22932	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (∪ 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∪ 𝐴 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 ∪ 𝐴)))
7	6	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (∪ 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∪ 𝐴 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 ∪ 𝐴)))
8	5, 7	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ∪ 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  𝒫 cpw 4542  ∪ cuni 4851  ‘cfv 6492  topGenctg 17391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-topgen 17397

This theorem is referenced by:  eltg3  22937  tgiun  22954  tgidm  22955  tgrest  23134  leordtval2  23187  fnemeet1  36564  fnejoin2  36567  ontgval  36629