Theorem eltg3i 22904

Description: The union of a set of basic open sets is in the generated topology. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eltg3i	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ∪ 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵))

Proof of Theorem eltg3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		pwuni 4926	. . . 4 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝒫 ∪ 𝐴
3		ssin 4219	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝒫 ∪ 𝐴) ↔ 𝐴 ⊆ (𝐵 ∩ 𝒫 ∪ 𝐴))
4	1, 2, 3	sylanblc 589	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ⊆ (𝐵 ∩ 𝒫 ∪ 𝐴))
5	4	unissd 4898	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ∪ 𝐴 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 ∪ 𝐴))
6		eltg 22900	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (∪ 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∪ 𝐴 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 ∪ 𝐴)))
7	6	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (∪ 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∪ 𝐴 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 ∪ 𝐴)))
8	5, 7	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ∪ 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3930   ⊆ wss 3931  𝒫 cpw 4580  ∪ cuni 4888  ‘cfv 6536  topGenctg 17456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fv 6544  df-topgen 17462

This theorem is referenced by:  eltg3  22905  tgiun  22922  tgidm  22923  tgrest  23102  leordtval2  23155  fnemeet1  36389  fnejoin2  36392  ontgval  36454