Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eltg3i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eltg3i 21253
 Description: The union of a set of basic open sets is in the generated topology. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
eltg3i ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵))

Proof of Theorem eltg3i
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . 4 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
2 pwuni 4781 . . . 4 𝐴 ⊆ 𝒫 𝐴
3 ssin 4127 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐴 ⊆ 𝒫 𝐴) ↔ 𝐴 ⊆ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴))
41, 2, 3sylanblc 589 . . 3 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → 𝐴 ⊆ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴))
54unissd 4769 . 2 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → 𝐴 (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴))
6 eltg 21249 . . 3 (𝐵𝑉 → ( 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝐴 (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴)))
76adantr 481 . 2 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → ( 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝐴 (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴)))
85, 7mpbird 258 1 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∈ wcel 2081   ∩ cin 3858   ⊆ wss 3859  𝒫 cpw 4453  ∪ cuni 4745  ‘cfv 6225  topGenctg 16540 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ral 3110  df-rex 3111  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-uni 4746  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-id 5348  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fv 6233  df-topgen 16546 This theorem is referenced by:  eltg3  21254  tgiun  21271  tgidm  21272  tgrest  21451  leordtval2  21504  fnemeet1  33323  fnejoin2  33326  ontgval  33388
 Copyright terms: Public domain W3C validator