Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fnemeet1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnemeet1 35555
Description: The meet of a collection of equivalence classes of covers with respect to fineness. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnemeet1 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘))Fne𝐴)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑑,𝐴   𝑑,𝑆,𝑦   𝑑,𝑉   𝑑,𝑋,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem fnemeet1
StepHypRef Expression
1 unitg 22691 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ 𝑆 β†’ βˆͺ (topGenβ€˜π‘‘) = βˆͺ 𝑑)
21adantl 481 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ (topGenβ€˜π‘‘) = βˆͺ 𝑑)
3 unieq 4919 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑑 β†’ βˆͺ 𝑦 = βˆͺ 𝑑)
43eqeq2d 2742 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑑 β†’ (𝑋 = βˆͺ 𝑦 ↔ 𝑋 = βˆͺ 𝑑))
54rspccva 3611 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝑑)
653ad2antl2 1185 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝑑)
72, 6eqtr4d 2774 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ (topGenβ€˜π‘‘) = 𝑋)
8 eqimss 4040 . . . . . 6 (βˆͺ (topGenβ€˜π‘‘) = 𝑋 β†’ βˆͺ (topGenβ€˜π‘‘) βŠ† 𝑋)
97, 8syl 17 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ (topGenβ€˜π‘‘) βŠ† 𝑋)
10 sspwuni 5103 . . . . 5 ((topGenβ€˜π‘‘) βŠ† 𝒫 𝑋 ↔ βˆͺ (topGenβ€˜π‘‘) βŠ† 𝑋)
119, 10sylibr 233 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) β†’ (topGenβ€˜π‘‘) βŠ† 𝒫 𝑋)
1211ralrimiva 3145 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘) βŠ† 𝒫 𝑋)
13 ne0i 4334 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ 𝑆 β‰  βˆ…)
14133ad2ant3 1134 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ 𝑆 β‰  βˆ…)
15 riinn0 5086 . . 3 ((βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘) βŠ† 𝒫 𝑋 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)) = ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘))
1612, 14, 15syl2anc 583 . 2 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)) = ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘))
17 simp3 1137 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
18 ssid 4004 . . . . . . . 8 (topGenβ€˜π΄) βŠ† (topGenβ€˜π΄)
19 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝐴 β†’ (topGenβ€˜π‘‘) = (topGenβ€˜π΄))
2019sseq1d 4013 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝐴 β†’ ((topGenβ€˜π‘‘) βŠ† (topGenβ€˜π΄) ↔ (topGenβ€˜π΄) βŠ† (topGenβ€˜π΄)))
2120rspcev 3612 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (topGenβ€˜π΄) βŠ† (topGenβ€˜π΄)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘) βŠ† (topGenβ€˜π΄))
2217, 18, 21sylancl 585 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘) βŠ† (topGenβ€˜π΄))
23 iinss 5059 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘) βŠ† (topGenβ€˜π΄) β†’ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘) βŠ† (topGenβ€˜π΄))
2422, 23syl 17 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘) βŠ† (topGenβ€˜π΄))
2524unissd 4918 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘) βŠ† βˆͺ (topGenβ€˜π΄))
26 unitg 22691 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ βˆͺ (topGenβ€˜π΄) = βˆͺ 𝐴)
27263ad2ant3 1134 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ (topGenβ€˜π΄) = βˆͺ 𝐴)
2825, 27sseqtrd 4022 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘) βŠ† βˆͺ 𝐴)
29 unieq 4919 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝐴 β†’ βˆͺ 𝑦 = βˆͺ 𝐴)
3029eqeq2d 2742 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐴 β†’ (𝑋 = βˆͺ 𝑦 ↔ 𝑋 = βˆͺ 𝐴))
3130rspccva 3611 . . . . . . . . . . 11 ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐴)
32313adant1 1129 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐴)
3332adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐴)
3433, 6eqtr3d 2773 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ 𝐴 = βˆͺ 𝑑)
35 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) β†’ 𝑑 ∈ 𝑆)
36 ssid 4004 . . . . . . . . 9 𝑑 βŠ† 𝑑
37 eltg3i 22685 . . . . . . . . 9 ((𝑑 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑑) β†’ βˆͺ 𝑑 ∈ (topGenβ€˜π‘‘))
3835, 36, 37sylancl 585 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ 𝑑 ∈ (topGenβ€˜π‘‘))
3934, 38eqeltrd 2832 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ 𝐴 ∈ (topGenβ€˜π‘‘))
4039ralrimiva 3145 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 βˆͺ 𝐴 ∈ (topGenβ€˜π‘‘))
41 uniexg 7734 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ βˆͺ 𝐴 ∈ V)
42413ad2ant3 1134 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ 𝐴 ∈ V)
43 eliin 5002 . . . . . . 7 (βˆͺ 𝐴 ∈ V β†’ (βˆͺ 𝐴 ∈ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 βˆͺ 𝐴 ∈ (topGenβ€˜π‘‘)))
4442, 43syl 17 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (βˆͺ 𝐴 ∈ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 βˆͺ 𝐴 ∈ (topGenβ€˜π‘‘)))
4540, 44mpbird 257 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ 𝐴 ∈ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘))
46 elssuni 4941 . . . . 5 (βˆͺ 𝐴 ∈ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘) β†’ βˆͺ 𝐴 βŠ† βˆͺ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘))
4745, 46syl 17 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ 𝐴 βŠ† βˆͺ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘))
4828, 47eqssd 3999 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘) = βˆͺ 𝐴)
49 eqid 2731 . . . 4 βˆͺ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘) = βˆͺ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)
50 eqid 2731 . . . 4 βˆͺ 𝐴 = βˆͺ 𝐴
5149, 50isfne4 35529 . . 3 (∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)Fne𝐴 ↔ (βˆͺ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘) = βˆͺ 𝐴 ∧ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘) βŠ† (topGenβ€˜π΄)))
5248, 24, 51sylanbrc 582 . 2 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)Fne𝐴)
5316, 52eqbrtrd 5170 1 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘))Fne𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  Vcvv 3473   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  βˆͺ cuni 4908  βˆ© ciin 4998   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  topGenctg 17388  Fnecfne 35525
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-topgen 17394  df-fne 35526
This theorem is referenced by:  fnemeet2  35556
  Copyright terms: Public domain W3C validator