Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fnemeet1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnemeet1 35554
Description: The meet of a collection of equivalence classes of covers with respect to fineness. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnemeet1 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘))Fne𝐴)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑑,𝐴   𝑑,𝑆,𝑦   𝑑,𝑉   𝑑,𝑋,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem fnemeet1
StepHypRef Expression
1 unitg 22690 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ 𝑆 β†’ βˆͺ (topGenβ€˜π‘‘) = βˆͺ 𝑑)
21adantl 480 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ (topGenβ€˜π‘‘) = βˆͺ 𝑑)
3 unieq 4918 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑑 β†’ βˆͺ 𝑦 = βˆͺ 𝑑)
43eqeq2d 2741 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑑 β†’ (𝑋 = βˆͺ 𝑦 ↔ 𝑋 = βˆͺ 𝑑))
54rspccva 3610 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝑑)
653ad2antl2 1184 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝑑)
72, 6eqtr4d 2773 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ (topGenβ€˜π‘‘) = 𝑋)
8 eqimss 4039 . . . . . 6 (βˆͺ (topGenβ€˜π‘‘) = 𝑋 β†’ βˆͺ (topGenβ€˜π‘‘) βŠ† 𝑋)
97, 8syl 17 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ (topGenβ€˜π‘‘) βŠ† 𝑋)
10 sspwuni 5102 . . . . 5 ((topGenβ€˜π‘‘) βŠ† 𝒫 𝑋 ↔ βˆͺ (topGenβ€˜π‘‘) βŠ† 𝑋)
119, 10sylibr 233 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) β†’ (topGenβ€˜π‘‘) βŠ† 𝒫 𝑋)
1211ralrimiva 3144 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘) βŠ† 𝒫 𝑋)
13 ne0i 4333 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ 𝑆 β‰  βˆ…)
14133ad2ant3 1133 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ 𝑆 β‰  βˆ…)
15 riinn0 5085 . . 3 ((βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘) βŠ† 𝒫 𝑋 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)) = ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘))
1612, 14, 15syl2anc 582 . 2 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)) = ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘))
17 simp3 1136 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
18 ssid 4003 . . . . . . . 8 (topGenβ€˜π΄) βŠ† (topGenβ€˜π΄)
19 fveq2 6890 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝐴 β†’ (topGenβ€˜π‘‘) = (topGenβ€˜π΄))
2019sseq1d 4012 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝐴 β†’ ((topGenβ€˜π‘‘) βŠ† (topGenβ€˜π΄) ↔ (topGenβ€˜π΄) βŠ† (topGenβ€˜π΄)))
2120rspcev 3611 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (topGenβ€˜π΄) βŠ† (topGenβ€˜π΄)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘) βŠ† (topGenβ€˜π΄))
2217, 18, 21sylancl 584 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘) βŠ† (topGenβ€˜π΄))
23 iinss 5058 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘) βŠ† (topGenβ€˜π΄) β†’ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘) βŠ† (topGenβ€˜π΄))
2422, 23syl 17 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘) βŠ† (topGenβ€˜π΄))
2524unissd 4917 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘) βŠ† βˆͺ (topGenβ€˜π΄))
26 unitg 22690 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ βˆͺ (topGenβ€˜π΄) = βˆͺ 𝐴)
27263ad2ant3 1133 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ (topGenβ€˜π΄) = βˆͺ 𝐴)
2825, 27sseqtrd 4021 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘) βŠ† βˆͺ 𝐴)
29 unieq 4918 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝐴 β†’ βˆͺ 𝑦 = βˆͺ 𝐴)
3029eqeq2d 2741 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐴 β†’ (𝑋 = βˆͺ 𝑦 ↔ 𝑋 = βˆͺ 𝐴))
3130rspccva 3610 . . . . . . . . . . 11 ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐴)
32313adant1 1128 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐴)
3332adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐴)
3433, 6eqtr3d 2772 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ 𝐴 = βˆͺ 𝑑)
35 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) β†’ 𝑑 ∈ 𝑆)
36 ssid 4003 . . . . . . . . 9 𝑑 βŠ† 𝑑
37 eltg3i 22684 . . . . . . . . 9 ((𝑑 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑑) β†’ βˆͺ 𝑑 ∈ (topGenβ€˜π‘‘))
3835, 36, 37sylancl 584 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ 𝑑 ∈ (topGenβ€˜π‘‘))
3934, 38eqeltrd 2831 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ 𝐴 ∈ (topGenβ€˜π‘‘))
4039ralrimiva 3144 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 βˆͺ 𝐴 ∈ (topGenβ€˜π‘‘))
41 uniexg 7732 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ βˆͺ 𝐴 ∈ V)
42413ad2ant3 1133 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ 𝐴 ∈ V)
43 eliin 5001 . . . . . . 7 (βˆͺ 𝐴 ∈ V β†’ (βˆͺ 𝐴 ∈ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 βˆͺ 𝐴 ∈ (topGenβ€˜π‘‘)))
4442, 43syl 17 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (βˆͺ 𝐴 ∈ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 βˆͺ 𝐴 ∈ (topGenβ€˜π‘‘)))
4540, 44mpbird 256 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ 𝐴 ∈ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘))
46 elssuni 4940 . . . . 5 (βˆͺ 𝐴 ∈ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘) β†’ βˆͺ 𝐴 βŠ† βˆͺ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘))
4745, 46syl 17 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ 𝐴 βŠ† βˆͺ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘))
4828, 47eqssd 3998 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘) = βˆͺ 𝐴)
49 eqid 2730 . . . 4 βˆͺ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘) = βˆͺ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)
50 eqid 2730 . . . 4 βˆͺ 𝐴 = βˆͺ 𝐴
5149, 50isfne4 35528 . . 3 (∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)Fne𝐴 ↔ (βˆͺ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘) = βˆͺ 𝐴 ∧ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘) βŠ† (topGenβ€˜π΄)))
5248, 24, 51sylanbrc 581 . 2 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)Fne𝐴)
5316, 52eqbrtrd 5169 1 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘))Fne𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  Vcvv 3472   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  π’« cpw 4601  βˆͺ cuni 4907  βˆ© ciin 4997   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  topGenctg 17387  Fnecfne 35524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fv 6550  df-topgen 17393  df-fne 35525
This theorem is referenced by:  fnemeet2  35555
  Copyright terms: Public domain W3C validator