Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fnemeet1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnemeet1 36091
Description: The meet of a collection of equivalence classes of covers with respect to fineness. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnemeet1 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))Fne𝐴)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑡,𝐴   𝑡,𝑆,𝑦   𝑡,𝑉   𝑡,𝑋,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem fnemeet1
StepHypRef Expression
1 unitg 22958 . . . . . . . 8 (𝑡𝑆 (topGen‘𝑡) = 𝑡)
21adantl 480 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) ∧ 𝑡𝑆) → (topGen‘𝑡) = 𝑡)
3 unieq 4916 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑡 𝑦 = 𝑡)
43eqeq2d 2737 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑡 → (𝑋 = 𝑦𝑋 = 𝑡))
54rspccva 3606 . . . . . . . 8 ((∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝑡𝑆) → 𝑋 = 𝑡)
653ad2antl2 1183 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) ∧ 𝑡𝑆) → 𝑋 = 𝑡)
72, 6eqtr4d 2769 . . . . . 6 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) ∧ 𝑡𝑆) → (topGen‘𝑡) = 𝑋)
8 eqimss 4037 . . . . . 6 ( (topGen‘𝑡) = 𝑋 (topGen‘𝑡) ⊆ 𝑋)
97, 8syl 17 . . . . 5 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) ∧ 𝑡𝑆) → (topGen‘𝑡) ⊆ 𝑋)
10 sspwuni 5100 . . . . 5 ((topGen‘𝑡) ⊆ 𝒫 𝑋 (topGen‘𝑡) ⊆ 𝑋)
119, 10sylibr 233 . . . 4 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) ∧ 𝑡𝑆) → (topGen‘𝑡) ⊆ 𝒫 𝑋)
1211ralrimiva 3136 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → ∀𝑡𝑆 (topGen‘𝑡) ⊆ 𝒫 𝑋)
13 ne0i 4334 . . . 4 (𝐴𝑆𝑆 ≠ ∅)
14133ad2ant3 1132 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → 𝑆 ≠ ∅)
15 riinn0 5083 . . 3 ((∀𝑡𝑆 (topGen‘𝑡) ⊆ 𝒫 𝑋𝑆 ≠ ∅) → (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) = 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))
1612, 14, 15syl2anc 582 . 2 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) = 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))
17 simp3 1135 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → 𝐴𝑆)
18 ssid 4001 . . . . . . . 8 (topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐴)
19 fveq2 6893 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝐴 → (topGen‘𝑡) = (topGen‘𝐴))
2019sseq1d 4010 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝐴 → ((topGen‘𝑡) ⊆ (topGen‘𝐴) ↔ (topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐴)))
2120rspcev 3607 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑆 ∧ (topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐴)) → ∃𝑡𝑆 (topGen‘𝑡) ⊆ (topGen‘𝐴))
2217, 18, 21sylancl 584 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → ∃𝑡𝑆 (topGen‘𝑡) ⊆ (topGen‘𝐴))
23 iinss 5056 . . . . . . 7 (∃𝑡𝑆 (topGen‘𝑡) ⊆ (topGen‘𝐴) → 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡) ⊆ (topGen‘𝐴))
2422, 23syl 17 . . . . . 6 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡) ⊆ (topGen‘𝐴))
2524unissd 4915 . . . . 5 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡) ⊆ (topGen‘𝐴))
26 unitg 22958 . . . . . 6 (𝐴𝑆 (topGen‘𝐴) = 𝐴)
27263ad2ant3 1132 . . . . 5 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → (topGen‘𝐴) = 𝐴)
2825, 27sseqtrd 4019 . . . 4 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡) ⊆ 𝐴)
29 unieq 4916 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝐴 𝑦 = 𝐴)
3029eqeq2d 2737 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐴 → (𝑋 = 𝑦𝑋 = 𝐴))
3130rspccva 3606 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → 𝑋 = 𝐴)
32313adant1 1127 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → 𝑋 = 𝐴)
3332adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) ∧ 𝑡𝑆) → 𝑋 = 𝐴)
3433, 6eqtr3d 2768 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) ∧ 𝑡𝑆) → 𝐴 = 𝑡)
35 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) ∧ 𝑡𝑆) → 𝑡𝑆)
36 ssid 4001 . . . . . . . . 9 𝑡𝑡
37 eltg3i 22952 . . . . . . . . 9 ((𝑡𝑆𝑡𝑡) → 𝑡 ∈ (topGen‘𝑡))
3835, 36, 37sylancl 584 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) ∧ 𝑡𝑆) → 𝑡 ∈ (topGen‘𝑡))
3934, 38eqeltrd 2826 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) ∧ 𝑡𝑆) → 𝐴 ∈ (topGen‘𝑡))
4039ralrimiva 3136 . . . . . 6 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → ∀𝑡𝑆 𝐴 ∈ (topGen‘𝑡))
41 uniexg 7743 . . . . . . . 8 (𝐴𝑆 𝐴 ∈ V)
42413ad2ant3 1132 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → 𝐴 ∈ V)
43 eliin 4998 . . . . . . 7 ( 𝐴 ∈ V → ( 𝐴 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡) ↔ ∀𝑡𝑆 𝐴 ∈ (topGen‘𝑡)))
4442, 43syl 17 . . . . . 6 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → ( 𝐴 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡) ↔ ∀𝑡𝑆 𝐴 ∈ (topGen‘𝑡)))
4540, 44mpbird 256 . . . . 5 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → 𝐴 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))
46 elssuni 4937 . . . . 5 ( 𝐴 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡) → 𝐴 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))
4745, 46syl 17 . . . 4 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → 𝐴 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))
4828, 47eqssd 3996 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡) = 𝐴)
49 eqid 2726 . . . 4 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡) = 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)
50 eqid 2726 . . . 4 𝐴 = 𝐴
5149, 50isfne4 36065 . . 3 ( 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)Fne𝐴 ↔ ( 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡) = 𝐴 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡) ⊆ (topGen‘𝐴)))
5248, 24, 51sylanbrc 581 . 2 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)Fne𝐴)
5316, 52eqbrtrd 5167 1 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))Fne𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wral 3051  wrex 3060  Vcvv 3462  cin 3945  wss 3946  c0 4322  𝒫 cpw 4597   cuni 4905   ciin 4994   class class class wbr 5145  cfv 6546  topGenctg 17447  Fnecfne 36061
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iin 4996  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-id 5572  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fv 6554  df-topgen 17453  df-fne 36062
This theorem is referenced by:  fnemeet2  36092
  Copyright terms: Public domain W3C validator