Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ontgval Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ontgval 35619
Description: The topology generated from an ordinal number 𝐡 is suc βˆͺ 𝐡. (Contributed by Chen-Pang He, 10-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
ontgval (𝐡 ∈ On β†’ (topGenβ€˜π΅) = suc βˆͺ 𝐡)
Proof of Theorem ontgval
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eltg4i 22683 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅) β†’ π‘₯ = βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯))
2 inex1g 5318 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ On β†’ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯) ∈ V)
3 onss 7774 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ On β†’ 𝐡 βŠ† On)
4 ssinss1 4236 . . . . . . . 8 (𝐡 βŠ† On β†’ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯) βŠ† On)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ On β†’ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯) βŠ† On)
6 ssonuni 7769 . . . . . . 7 ((𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯) ∈ V β†’ ((𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯) βŠ† On β†’ βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯) ∈ On))
72, 5, 6sylc 65 . . . . . 6 (𝐡 ∈ On β†’ βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯) ∈ On)
8 eleq1 2819 . . . . . . 7 (π‘₯ = βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯) β†’ (π‘₯ ∈ On ↔ βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯) ∈ On))
98biimprd 247 . . . . . 6 (π‘₯ = βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯) β†’ (βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯) ∈ On β†’ π‘₯ ∈ On))
101, 7, 9syl2imc 41 . . . . 5 (𝐡 ∈ On β†’ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅) β†’ π‘₯ ∈ On))
11 onuni 7778 . . . . . 6 (𝐡 ∈ On β†’ βˆͺ 𝐡 ∈ On)
12 onsuc 7801 . . . . . 6 (βˆͺ 𝐡 ∈ On β†’ suc βˆͺ 𝐡 ∈ On)
1311, 12syl 17 . . . . 5 (𝐡 ∈ On β†’ suc βˆͺ 𝐡 ∈ On)
1410, 13jctird 525 . . . 4 (𝐡 ∈ On β†’ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅) β†’ (π‘₯ ∈ On ∧ suc βˆͺ 𝐡 ∈ On)))
15 tg1 22687 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅) β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝐡)
1615a1i 11 . . . . 5 (𝐡 ∈ On β†’ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅) β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝐡))
17 sucidg 6444 . . . . . 6 (βˆͺ 𝐡 ∈ On β†’ βˆͺ 𝐡 ∈ suc βˆͺ 𝐡)
1811, 17syl 17 . . . . 5 (𝐡 ∈ On β†’ βˆͺ 𝐡 ∈ suc βˆͺ 𝐡)
1916, 18jctird 525 . . . 4 (𝐡 ∈ On β†’ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅) β†’ (π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝐡 ∧ βˆͺ 𝐡 ∈ suc βˆͺ 𝐡)))
20 ontr2 6410 . . . 4 ((π‘₯ ∈ On ∧ suc βˆͺ 𝐡 ∈ On) β†’ ((π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝐡 ∧ βˆͺ 𝐡 ∈ suc βˆͺ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ suc βˆͺ 𝐡))
2114, 19, 20syl6c 70 . . 3 (𝐡 ∈ On β†’ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅) β†’ π‘₯ ∈ suc βˆͺ 𝐡))
22 elsuci 6430 . . . 4 (π‘₯ ∈ suc βˆͺ 𝐡 β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∨ π‘₯ = βˆͺ 𝐡))
23 eloni 6373 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ On β†’ Ord 𝐡)
24 orduniss 6460 . . . . . . . 8 (Ord 𝐡 β†’ βˆͺ 𝐡 βŠ† 𝐡)
2523, 24syl 17 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ On β†’ βˆͺ 𝐡 βŠ† 𝐡)
26 bastg 22689 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ On β†’ 𝐡 βŠ† (topGenβ€˜π΅))
2725, 26sstrd 3991 . . . . . 6 (𝐡 ∈ On β†’ βˆͺ 𝐡 βŠ† (topGenβ€˜π΅))
2827sseld 3980 . . . . 5 (𝐡 ∈ On β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 β†’ π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅)))
29 ssid 4003 . . . . . . 7 𝐡 βŠ† 𝐡
30 eltg3i 22684 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ On ∧ 𝐡 βŠ† 𝐡) β†’ βˆͺ 𝐡 ∈ (topGenβ€˜π΅))
3129, 30mpan2 687 . . . . . 6 (𝐡 ∈ On β†’ βˆͺ 𝐡 ∈ (topGenβ€˜π΅))
32 eleq1a 2826 . . . . . 6 (βˆͺ 𝐡 ∈ (topGenβ€˜π΅) β†’ (π‘₯ = βˆͺ 𝐡 β†’ π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅)))
3331, 32syl 17 . . . . 5 (𝐡 ∈ On β†’ (π‘₯ = βˆͺ 𝐡 β†’ π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅)))
3428, 33jaod 855 . . . 4 (𝐡 ∈ On β†’ ((π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∨ π‘₯ = βˆͺ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅)))
3522, 34syl5 34 . . 3 (𝐡 ∈ On β†’ (π‘₯ ∈ suc βˆͺ 𝐡 β†’ π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅)))
3621, 35impbid 211 . 2 (𝐡 ∈ On β†’ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅) ↔ π‘₯ ∈ suc βˆͺ 𝐡))
3736eqrdv 2728 1 (𝐡 ∈ On β†’ (topGenβ€˜π΅) = suc βˆͺ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601  βˆͺ cuni 4907  Ord word 6362  Oncon0 6363  suc csuc 6365  β€˜cfv 6542  topGenctg 17387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-ord 6366  df-on 6367  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fv 6550  df-topgen 17393
This theorem is referenced by:  ontgsucval  35620
  Copyright terms: Public domain W3C validator