Theorem ssin 4191

Description: Subclass of intersection. Theorem 2.8(vii) of [Monk1] p. 26. (Contributed by NM, 15-Jun-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 26-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ssin	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶) ↔ 𝐴 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶))

Proof of Theorem ssin

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3917	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶))
2	1	imbi2i 336	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶)))
3	2	albii 1820	. . 3 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶)))
4		jcab 517	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐶)))
5	4	albii 1820	. . 3 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶)) ↔ ∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐶)))
6		19.26 1871	. . 3 ⊢ (∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐶)) ↔ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐶)))
7	3, 5, 6	3bitrri 298	. 2 ⊢ ((∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐶)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)))
8		df-ss 3918	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
9		df-ss 3918	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐶))
10	8, 9	anbi12i 628	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶) ↔ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐶)))
11		df-ss 3918	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)))
12	7, 10, 11	3bitr4i 303	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶) ↔ 𝐴 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1539   ∈ wcel 2113   ∩ cin 3900   ⊆ wss 3901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-tru 1544  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-v 3442  df-in 3908  df-ss 3918

This theorem is referenced by:  ssini  4192  ssind  4193  uneqin  4241  disjpss  4413  trin  5216  pwin  5515  fin  6714  frrlem4  8231  frrlem13  8240  epfrs  9640  tcmin  9648  resscntz  19262  subgdmdprd  19965  tgval  22899  eltg3i  22905  innei  23069  cnprest2  23234  subislly  23425  lly1stc  23440  xkohaus  23597  xkoinjcn  23631  opnfbas  23786  supfil  23839  rnelfm  23897  tsmsres  24088  restmetu  24514  chabs2  31592  cmbr4i  31676  pjin3i  32269  mdbr2  32371  dmdbr2  32378  dmdbr5  32383  mdslle1i  32392  mdslle2i  32393  mdslj1i  32394  mdslj2i  32395  mdsl2i  32397  mdslmd1lem1  32400  mdslmd1lem2  32401  mdslmd1i  32404  mdslmd3i  32407  hatomistici  32437  chrelat2i  32440  cvexchlem  32443  mdsymlem1  32478  mdsymlem3  32480  mdsymlem6  32483  dmdbr5ati  32497  pnfneige0  34108  ballotlem2  34646  iccllysconn  35444  heibor1lem  38006  relssinxpdmrn  38538  dochexmidlem1  41716  superficl  43804  k0004lem1  44384  ismnushort  44538