Theorem ssin 4174

Description: Subclass of intersection. Theorem 2.8(vii) of [Monk1] p. 26. (Contributed by NM, 15-Jun-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 26-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ssin	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶) ↔ 𝐴 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶))

Proof of Theorem ssin

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3906	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶))
2	1	imbi2i 337	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶)))
3	2	albii 1826	. . 3 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶)))
4		jcab 522	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐶)))
5	4	albii 1826	. . 3 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶)) ↔ ∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐶)))
6		19.26 1877	. . 3 ⊢ (∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐶)) ↔ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐶)))
7	3, 5, 6	3bitrri 299	. 2 ⊢ ((∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐶)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)))
8		df-ss 3907	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
9		df-ss 3907	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐶))
10	8, 9	anbi12i 634	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶) ↔ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐶)))
11		df-ss 3907	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)))
12	7, 10, 11	3bitr4i 304	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶) ↔ 𝐴 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396  ∀wal 1545   ∈ wcel 2119   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2712

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-tru 1550  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-v 3434  df-in 3897  df-ss 3907

This theorem is referenced by:  ssini  4175  ssind  4176  uneqin  4224  disjpss  4396  trin  5198  pwin  5516  fin  6714  frrlem4  8236  frrlem13  8245  epfrs  9650  tcmin  9658  resscntz  19306  subgdmdprd  20009  tgval  22945  eltg3i  22951  innei  23115  cnprest2  23280  subislly  23471  lly1stc  23486  xkohaus  23643  xkoinjcn  23677  opnfbas  23832  supfil  23885  rnelfm  23943  tsmsres  24134  restmetu  24560  chabs2  31613  cmbr4i  31697  pjin3i  32290  mdbr2  32392  dmdbr2  32399  dmdbr5  32404  mdslle1i  32413  mdslle2i  32414  mdslj1i  32415  mdslj2i  32416  mdsl2i  32418  mdslmd1lem1  32421  mdslmd1lem2  32422  mdslmd1i  32425  mdslmd3i  32428  hatomistici  32458  chrelat2i  32461  cvexchlem  32464  mdsymlem1  32499  mdsymlem3  32501  mdsymlem6  32504  dmdbr5ati  32518  pnfneige0  34142  ballotlem2  34680  iccllysconn  35485  heibor1lem  38183  relssinxpdmrn  38723  dochexmidlem1  41959  superficl  44018  k0004lem1  44598  ismnushort  44752