MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elutop Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem elutop 23662
Description: Open sets in the topology induced by an uniform structure π‘ˆ on 𝑋 (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
elutop (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐴 ∈ (unifTopβ€˜π‘ˆ) ↔ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘£ ∈ π‘ˆ (𝑣 β€œ {π‘₯}) βŠ† 𝐴)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑣,𝐴   𝑣,π‘ˆ,π‘₯   π‘₯,𝑋
Allowed substitution hint:   𝑋(𝑣)
Proof of Theorem elutop
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 utopval 23661 . . . 4 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (unifTopβ€˜π‘ˆ) = {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ž βˆƒπ‘£ ∈ π‘ˆ (𝑣 β€œ {π‘₯}) βŠ† π‘Ž})
21eleq2d 2818 . . 3 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐴 ∈ (unifTopβ€˜π‘ˆ) ↔ 𝐴 ∈ {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ž βˆƒπ‘£ ∈ π‘ˆ (𝑣 β€œ {π‘₯}) βŠ† π‘Ž}))
3 sseq2 4001 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝐴 β†’ ((𝑣 β€œ {π‘₯}) βŠ† π‘Ž ↔ (𝑣 β€œ {π‘₯}) βŠ† 𝐴))
43rexbidv 3177 . . . . 5 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ π‘ˆ (𝑣 β€œ {π‘₯}) βŠ† π‘Ž ↔ βˆƒπ‘£ ∈ π‘ˆ (𝑣 β€œ {π‘₯}) βŠ† 𝐴))
54raleqbi1dv 3332 . . . 4 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ž βˆƒπ‘£ ∈ π‘ˆ (𝑣 β€œ {π‘₯}) βŠ† π‘Ž ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘£ ∈ π‘ˆ (𝑣 β€œ {π‘₯}) βŠ† 𝐴))
65elrab 3676 . . 3 (𝐴 ∈ {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ž βˆƒπ‘£ ∈ π‘ˆ (𝑣 β€œ {π‘₯}) βŠ† π‘Ž} ↔ (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘£ ∈ π‘ˆ (𝑣 β€œ {π‘₯}) βŠ† 𝐴))
72, 6bitrdi 286 . 2 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐴 ∈ (unifTopβ€˜π‘ˆ) ↔ (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘£ ∈ π‘ˆ (𝑣 β€œ {π‘₯}) βŠ† 𝐴)))
8 elex 3488 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 β†’ 𝐴 ∈ V)
98a1i 11 . . . 4 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 β†’ 𝐴 ∈ V))
10 elfvex 6913 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ V)
1110adantr 481 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ V)
12 simpr 485 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
1311, 12ssexd 5314 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ V)
1413ex 413 . . . 4 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐴 βŠ† 𝑋 β†’ 𝐴 ∈ V))
15 elpwg 4596 . . . . 5 (𝐴 ∈ V β†’ (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐴 βŠ† 𝑋))
1615a1i 11 . . . 4 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐴 ∈ V β†’ (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐴 βŠ† 𝑋)))
179, 14, 16pm5.21ndd 380 . . 3 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐴 βŠ† 𝑋))
1817anbi1d 630 . 2 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ ((𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘£ ∈ π‘ˆ (𝑣 β€œ {π‘₯}) βŠ† 𝐴) ↔ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘£ ∈ π‘ˆ (𝑣 β€œ {π‘₯}) βŠ† 𝐴)))
197, 18bitrd 278 1 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐴 ∈ (unifTopβ€˜π‘ˆ) ↔ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘£ ∈ π‘ˆ (𝑣 β€œ {π‘₯}) βŠ† 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  {crab 3429  Vcvv 3470   βŠ† wss 3941  π’« cpw 4593  {csn 4619   β€œ cima 5669  β€˜cfv 6529  UnifOncust 23628  unifTopcutop 23659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7705
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3430  df-v 3472  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4520  df-pw 4595  df-sn 4620  df-pr 4622  df-op 4626  df-uni 4899  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-iota 6481  df-fun 6531  df-fv 6537  df-ust 23629  df-utop 23660
This theorem is referenced by:  utoptop  23663  utopbas  23664  restutop  23666  restutopopn  23667  ucncn  23714
  Copyright terms: Public domain W3C validator