MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restutop Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem restutop 23733
Description: Restriction of a topology induced by an uniform structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
restutop ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ ((unifTopβ€˜π‘ˆ) β†Ύt 𝐴) βŠ† (unifTopβ€˜(π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))))
Proof of Theorem restutop
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑒 𝑣 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑏 ∈ ((unifTopβ€˜π‘ˆ) β†Ύt 𝐴)) β†’ (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋))
2 fvexd 6903 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (unifTopβ€˜π‘ˆ) ∈ V)
3 elfvex 6926 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ V)
43adantr 481 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ V)
5 simpr 485 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
64, 5ssexd 5323 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ V)
7 elrest 17369 . . . . . . 7 (((unifTopβ€˜π‘ˆ) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ (𝑏 ∈ ((unifTopβ€˜π‘ˆ) β†Ύt 𝐴) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ (unifTopβ€˜π‘ˆ)𝑏 = (π‘Ž ∩ 𝐴)))
82, 6, 7syl2anc 584 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝑏 ∈ ((unifTopβ€˜π‘ˆ) β†Ύt 𝐴) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ (unifTopβ€˜π‘ˆ)𝑏 = (π‘Ž ∩ 𝐴)))
98biimpa 477 . . . . 5 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑏 ∈ ((unifTopβ€˜π‘ˆ) β†Ύt 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (unifTopβ€˜π‘ˆ)𝑏 = (π‘Ž ∩ 𝐴))
10 inss2 4228 . . . . . . 7 (π‘Ž ∩ 𝐴) βŠ† 𝐴
11 sseq1 4006 . . . . . . 7 (𝑏 = (π‘Ž ∩ 𝐴) β†’ (𝑏 βŠ† 𝐴 ↔ (π‘Ž ∩ 𝐴) βŠ† 𝐴))
1210, 11mpbiri 257 . . . . . 6 (𝑏 = (π‘Ž ∩ 𝐴) β†’ 𝑏 βŠ† 𝐴)
1312rexlimivw 3151 . . . . 5 (βˆƒπ‘Ž ∈ (unifTopβ€˜π‘ˆ)𝑏 = (π‘Ž ∩ 𝐴) β†’ 𝑏 βŠ† 𝐴)
149, 13syl 17 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑏 ∈ ((unifTopβ€˜π‘ˆ) β†Ύt 𝐴)) β†’ 𝑏 βŠ† 𝐴)
15 simp-5l 783 . . . . . . . . . 10 ((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑏 ∈ ((unifTopβ€˜π‘ˆ) β†Ύt 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑏) ∧ π‘Ž ∈ (unifTopβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝑏 = (π‘Ž ∩ 𝐴)) β†’ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹))
1615ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 ((((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑏 ∈ ((unifTopβ€˜π‘ˆ) β†Ύt 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑏) ∧ π‘Ž ∈ (unifTopβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝑏 = (π‘Ž ∩ 𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 β€œ {π‘₯}) βŠ† π‘Ž) β†’ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹))
176ad6antr 734 . . . . . . . . . 10 ((((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑏 ∈ ((unifTopβ€˜π‘ˆ) β†Ύt 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑏) ∧ π‘Ž ∈ (unifTopβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝑏 = (π‘Ž ∩ 𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 β€œ {π‘₯}) βŠ† π‘Ž) β†’ 𝐴 ∈ V)
1817, 17xpexd 7734 . . . . . . . . 9 ((((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑏 ∈ ((unifTopβ€˜π‘ˆ) β†Ύt 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑏) ∧ π‘Ž ∈ (unifTopβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝑏 = (π‘Ž ∩ 𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 β€œ {π‘₯}) βŠ† π‘Ž) β†’ (𝐴 Γ— 𝐴) ∈ V)
19 simplr 767 . . . . . . . . 9 ((((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑏 ∈ ((unifTopβ€˜π‘ˆ) β†Ύt 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑏) ∧ π‘Ž ∈ (unifTopβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝑏 = (π‘Ž ∩ 𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 β€œ {π‘₯}) βŠ† π‘Ž) β†’ 𝑒 ∈ π‘ˆ)
20 elrestr 17370 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 Γ— 𝐴) ∈ V ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑒 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴)))
2116, 18, 19, 20syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑏 ∈ ((unifTopβ€˜π‘ˆ) β†Ύt 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑏) ∧ π‘Ž ∈ (unifTopβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝑏 = (π‘Ž ∩ 𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 β€œ {π‘₯}) βŠ† π‘Ž) β†’ (𝑒 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴)))
22 inss1 4227 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) βŠ† 𝑒
23 imass1 6097 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) βŠ† 𝑒 β†’ ((𝑒 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) β€œ {π‘₯}) βŠ† (𝑒 β€œ {π‘₯}))
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) β€œ {π‘₯}) βŠ† (𝑒 β€œ {π‘₯})
25 sstr 3989 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑒 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) β€œ {π‘₯}) βŠ† (𝑒 β€œ {π‘₯}) ∧ (𝑒 β€œ {π‘₯}) βŠ† π‘Ž) β†’ ((𝑒 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) β€œ {π‘₯}) βŠ† π‘Ž)
2624, 25mpan 688 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒 β€œ {π‘₯}) βŠ† π‘Ž β†’ ((𝑒 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) β€œ {π‘₯}) βŠ† π‘Ž)
27 imassrn 6068 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑒 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) β€œ {π‘₯}) βŠ† ran (𝑒 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))
28 rnin 6143 . . . . . . . . . . . . . . 15 ran (𝑒 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) βŠ† (ran 𝑒 ∩ ran (𝐴 Γ— 𝐴))
2927, 28sstri 3990 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) β€œ {π‘₯}) βŠ† (ran 𝑒 ∩ ran (𝐴 Γ— 𝐴))
30 inss2 4228 . . . . . . . . . . . . . 14 (ran 𝑒 ∩ ran (𝐴 Γ— 𝐴)) βŠ† ran (𝐴 Γ— 𝐴)
3129, 30sstri 3990 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) β€œ {π‘₯}) βŠ† ran (𝐴 Γ— 𝐴)
32 rnxpid 6169 . . . . . . . . . . . . 13 ran (𝐴 Γ— 𝐴) = 𝐴
3331, 32sseqtri 4017 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) β€œ {π‘₯}) βŠ† 𝐴
3433a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒 β€œ {π‘₯}) βŠ† π‘Ž β†’ ((𝑒 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) β€œ {π‘₯}) βŠ† 𝐴)
3526, 34ssind 4231 . . . . . . . . . 10 ((𝑒 β€œ {π‘₯}) βŠ† π‘Ž β†’ ((𝑒 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) β€œ {π‘₯}) βŠ† (π‘Ž ∩ 𝐴))
3635adantl 482 . . . . . . . . 9 ((((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑏 ∈ ((unifTopβ€˜π‘ˆ) β†Ύt 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑏) ∧ π‘Ž ∈ (unifTopβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝑏 = (π‘Ž ∩ 𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 β€œ {π‘₯}) βŠ† π‘Ž) β†’ ((𝑒 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) β€œ {π‘₯}) βŠ† (π‘Ž ∩ 𝐴))
37 simpllr 774 . . . . . . . . 9 ((((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑏 ∈ ((unifTopβ€˜π‘ˆ) β†Ύt 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑏) ∧ π‘Ž ∈ (unifTopβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝑏 = (π‘Ž ∩ 𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 β€œ {π‘₯}) βŠ† π‘Ž) β†’ 𝑏 = (π‘Ž ∩ 𝐴))
3836, 37sseqtrrd 4022 . . . . . . . 8 ((((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑏 ∈ ((unifTopβ€˜π‘ˆ) β†Ύt 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑏) ∧ π‘Ž ∈ (unifTopβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝑏 = (π‘Ž ∩ 𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 β€œ {π‘₯}) βŠ† π‘Ž) β†’ ((𝑒 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) β€œ {π‘₯}) βŠ† 𝑏)
39 imaeq1 6052 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = (𝑒 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) β†’ (𝑣 β€œ {π‘₯}) = ((𝑒 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) β€œ {π‘₯}))
4039sseq1d 4012 . . . . . . . . 9 (𝑣 = (𝑒 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) β†’ ((𝑣 β€œ {π‘₯}) βŠ† 𝑏 ↔ ((𝑒 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) β€œ {π‘₯}) βŠ† 𝑏))
4140rspcev 3612 . . . . . . . 8 (((𝑒 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴)) ∧ ((𝑒 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) β€œ {π‘₯}) βŠ† 𝑏) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))(𝑣 β€œ {π‘₯}) βŠ† 𝑏)
4221, 38, 41syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑏 ∈ ((unifTopβ€˜π‘ˆ) β†Ύt 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑏) ∧ π‘Ž ∈ (unifTopβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝑏 = (π‘Ž ∩ 𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 β€œ {π‘₯}) βŠ† π‘Ž) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))(𝑣 β€œ {π‘₯}) βŠ† 𝑏)
43 simplr 767 . . . . . . . 8 ((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑏 ∈ ((unifTopβ€˜π‘ˆ) β†Ύt 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑏) ∧ π‘Ž ∈ (unifTopβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝑏 = (π‘Ž ∩ 𝐴)) β†’ π‘Ž ∈ (unifTopβ€˜π‘ˆ))
44 simpllr 774 . . . . . . . . . 10 ((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑏 ∈ ((unifTopβ€˜π‘ˆ) β†Ύt 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑏) ∧ π‘Ž ∈ (unifTopβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝑏 = (π‘Ž ∩ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑏)
45 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑏 ∈ ((unifTopβ€˜π‘ˆ) β†Ύt 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑏) ∧ π‘Ž ∈ (unifTopβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝑏 = (π‘Ž ∩ 𝐴)) β†’ 𝑏 = (π‘Ž ∩ 𝐴))
4644, 45eleqtrd 2835 . . . . . . . . 9 ((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑏 ∈ ((unifTopβ€˜π‘ˆ) β†Ύt 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑏) ∧ π‘Ž ∈ (unifTopβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝑏 = (π‘Ž ∩ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ (π‘Ž ∩ 𝐴))
4746elin1d 4197 . . . . . . . 8 ((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑏 ∈ ((unifTopβ€˜π‘ˆ) β†Ύt 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑏) ∧ π‘Ž ∈ (unifTopβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝑏 = (π‘Ž ∩ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ π‘Ž)
48 elutop 23729 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (π‘Ž ∈ (unifTopβ€˜π‘ˆ) ↔ (π‘Ž βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ž βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (𝑒 β€œ {π‘₯}) βŠ† π‘Ž)))
4948simplbda 500 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž ∈ (unifTopβ€˜π‘ˆ)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ž βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (𝑒 β€œ {π‘₯}) βŠ† π‘Ž)
5049r19.21bi 3248 . . . . . . . 8 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž ∈ (unifTopβ€˜π‘ˆ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (𝑒 β€œ {π‘₯}) βŠ† π‘Ž)
5115, 43, 47, 50syl21anc 836 . . . . . . 7 ((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑏 ∈ ((unifTopβ€˜π‘ˆ) β†Ύt 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑏) ∧ π‘Ž ∈ (unifTopβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝑏 = (π‘Ž ∩ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (𝑒 β€œ {π‘₯}) βŠ† π‘Ž)
5242, 51r19.29a 3162 . . . . . 6 ((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑏 ∈ ((unifTopβ€˜π‘ˆ) β†Ύt 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑏) ∧ π‘Ž ∈ (unifTopβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝑏 = (π‘Ž ∩ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))(𝑣 β€œ {π‘₯}) βŠ† 𝑏)
539adantr 481 . . . . . 6 ((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑏 ∈ ((unifTopβ€˜π‘ˆ) β†Ύt 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑏) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (unifTopβ€˜π‘ˆ)𝑏 = (π‘Ž ∩ 𝐴))
5452, 53r19.29a 3162 . . . . 5 ((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑏 ∈ ((unifTopβ€˜π‘ˆ) β†Ύt 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑏) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))(𝑣 β€œ {π‘₯}) βŠ† 𝑏)
5554ralrimiva 3146 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑏 ∈ ((unifTopβ€˜π‘ˆ) β†Ύt 𝐴)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑏 βˆƒπ‘£ ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))(𝑣 β€œ {π‘₯}) βŠ† 𝑏)
56 trust 23725 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (UnifOnβ€˜π΄))
57 elutop 23729 . . . . . 6 ((π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (UnifOnβ€˜π΄) β†’ (𝑏 ∈ (unifTopβ€˜(π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))) ↔ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑏 βˆƒπ‘£ ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))(𝑣 β€œ {π‘₯}) βŠ† 𝑏)))
5856, 57syl 17 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝑏 ∈ (unifTopβ€˜(π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))) ↔ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑏 βˆƒπ‘£ ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))(𝑣 β€œ {π‘₯}) βŠ† 𝑏)))
5958biimpar 478 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑏 βˆƒπ‘£ ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))(𝑣 β€œ {π‘₯}) βŠ† 𝑏)) β†’ 𝑏 ∈ (unifTopβ€˜(π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))))
601, 14, 55, 59syl12anc 835 . . 3 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑏 ∈ ((unifTopβ€˜π‘ˆ) β†Ύt 𝐴)) β†’ 𝑏 ∈ (unifTopβ€˜(π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))))
6160ex 413 . 2 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝑏 ∈ ((unifTopβ€˜π‘ˆ) β†Ύt 𝐴) β†’ 𝑏 ∈ (unifTopβ€˜(π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴)))))
6261ssrdv 3987 1 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ ((unifTopβ€˜π‘ˆ) β†Ύt 𝐴) βŠ† (unifTopβ€˜(π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  {csn 4627   Γ— cxp 5673  ran crn 5676   β€œ cima 5678  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   β†Ύt crest 17362  UnifOncust 23695  unifTopcutop 23726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-rest 17364  df-ust 23696  df-utop 23727
This theorem is referenced by:  restutopopn  23734
  Copyright terms: Public domain W3C validator