Theorem enreceq 10998

Description: Equivalence class equality of positive fractions in terms of positive integers. (Contributed by NM, 29-Nov-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
enreceq	⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ (𝐶 ∈ P ∧ 𝐷 ∈ P)) → ([⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~R ↔ (𝐴 +P 𝐷) = (𝐵 +P 𝐶)))

Proof of Theorem enreceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrer 10995	. . . 4 ⊢ ~R Er (P × P)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ (𝐶 ∈ P ∧ 𝐷 ∈ P)) → ~R Er (P × P))
3		opelxpi 5668	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (P × P))
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ (𝐶 ∈ P ∧ 𝐷 ∈ P)) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (P × P))
5	2, 4	erth 8703	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ (𝐶 ∈ P ∧ 𝐷 ∈ P)) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ~R ⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~R ))
6		enrbreq 10997	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ (𝐶 ∈ P ∧ 𝐷 ∈ P)) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ~R ⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ (𝐴 +P 𝐷) = (𝐵 +P 𝐶)))
7	5, 6	bitr3d 281	1 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ (𝐶 ∈ P ∧ 𝐷 ∈ P)) → ([⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~R ↔ (𝐴 +P 𝐷) = (𝐵 +P 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4591   class class class wbr 5102   × cxp 5629  (class class class)co 7370   Er wer 8646  [cec 8647  Pcnp 10791   +_P cpp 10793   ~_R cer 10796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7692  ax-inf2 9573

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6453  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7824  df-1st 7948  df-2nd 7949  df-frecs 8238  df-wrecs 8269  df-recs 8318  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8649  df-ec 8651  df-ni 10804  df-pli 10805  df-mi 10806  df-lti 10807  df-plpq 10840  df-mpq 10841  df-ltpq 10842  df-enq 10843  df-nq 10844  df-erq 10845  df-plq 10846  df-mq 10847  df-1nq 10848  df-rq 10849  df-ltnq 10850  df-np 10913  df-plp 10915  df-ltp 10917  df-enr 10987

This theorem is referenced by:  ltsrpr  11009  m1p1sr  11024  m1m1sr  11025  ltsosr  11026  0idsr  11029  1idsr  11030  00sr  11031  recexsrlem  11035  map2psrpr  11042