Theorem enreceq 11050

Description: Equivalence class equality of positive fractions in terms of positive integers. (Contributed by NM, 29-Nov-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
enreceq	⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ (𝐶 ∈ P ∧ 𝐷 ∈ P)) → ([⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~R ↔ (𝐴 +P 𝐷) = (𝐵 +P 𝐶)))

Proof of Theorem enreceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrer 11047	. . . 4 ⊢ ~R Er (P × P)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ (𝐶 ∈ P ∧ 𝐷 ∈ P)) → ~R Er (P × P))
3		opelxpi 5698	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (P × P))
4	3	adantr 485	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ (𝐶 ∈ P ∧ 𝐷 ∈ P)) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (P × P))
5	2, 4	erth 8748	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ (𝐶 ∈ P ∧ 𝐷 ∈ P)) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ~R ⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~R ))
6		enrbreq 11049	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ (𝐶 ∈ P ∧ 𝐷 ∈ P)) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ~R ⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ (𝐴 +P 𝐷) = (𝐵 +P 𝐶)))
7	5, 6	bitr3d 284	1 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ (𝐶 ∈ P ∧ 𝐷 ∈ P)) → ([⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~R ↔ (𝐴 +P 𝐷) = (𝐵 +P 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ⟨cop 4594   class class class wbr 5108   × cxp 5659  (class class class)co 7410   Er wer 8690  [cec 8691  Pcnp 10843   +_P cpp 10845   ~_R cer 10848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9609

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-oadd 8456  df-omul 8457  df-er 8693  df-ec 8695  df-ni 10856  df-pli 10857  df-mi 10858  df-lti 10859  df-plpq 10892  df-mpq 10893  df-ltpq 10894  df-enq 10895  df-nq 10896  df-erq 10897  df-plq 10898  df-mq 10899  df-1nq 10900  df-rq 10901  df-ltnq 10902  df-np 10965  df-plp 10967  df-ltp 10969  df-enr 11039

This theorem is referenced by:  ltsrpr  11061  m1p1sr  11076  m1m1sr  11077  ltsosr  11078  0idsr  11081  1idsr  11082  00sr  11083  recexsrlem  11087  map2psrpr  11094