Theorem eqeng 8992

Description: Equality implies equinumerosity. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
eqeng	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≈ 𝐵))

Proof of Theorem eqeng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefg 8990	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ 𝐴)
2		breq2 5107	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ≈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
3	1, 2	syl5ibcom 248	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≈ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103   ≈ cen 8949

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-en 8953

This theorem is used by:  idssen  9003  alephord  10078  alephdom  10084  fin23lem25  10326  alephadd  10586  kardeq0  35682  aks5lem7  43066  safesnsupfidom1o  44257  rp-isfinite5  44357  sn1dom  44366  prstchom2ALT  50490