Theorem eqeng 9051

Description: Equality implies equinumerosity. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
eqeng	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≈ 𝐵))

Proof of Theorem eqeng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefg 9049	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ 𝐴)
2		breq2 5112	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ≈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
3	1, 2	syl5ibcom 248	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≈ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108   ≈ cen 9008

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-en 9012

This theorem is used by:  idssen  9062  alephord  10193  alephdom  10199  fin23lem25  10441  alephadd  10701  kardeq0  35965  aks5lem7  43516  safesnsupfidom1o  44679  rp-isfinite5  44779  sn1dom  44788  prstchom2ALT  51033