Theorem eqeng 8971

Description: Equality implies equinumerosity. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
eqeng	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≈ 𝐵))

Proof of Theorem eqeng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefg 8969	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ 𝐴)
2		breq2 5108	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ≈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
3	1, 2	syl5ibcom 248	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5104   ≈ cen 8928

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-sb 2094  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5105  df-opab 5167  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-en 8932

This theorem is referenced by:  idssen  8982  alephord  10047  alephdom  10053  fin23lem25  10296  alephadd  10550  aks5lem7  42824  safesnsupfidom1o  44000  rp-isfinite5  44100  sn1dom  44109  prstchom2ALT  50194