Theorem eqeng 9013

Description: Equality implies equinumerosity. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
eqeng	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≈ 𝐵))

Proof of Theorem eqeng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefg 9011	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ 𝐴)
2		breq2 5156	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ≈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
3	1, 2	syl5ibcom 244	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152   ≈ cen 8967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-en 8971

This theorem is referenced by:  idssen  9024  nneneqOLD  9252  onomeneqOLD  9260  pr2neOLD  10036  alephord  10106  alephdom  10112  fin23lem25  10355  alephadd  10608  safesnsupfidom1o  42878  rp-isfinite5  42978  sn1dom  42987  prstchom2ALT  48163