Theorem fin23lem25 10426

Description: Lemma for fin23 10491. In a chain of finite sets, equinumerosity is equivalent to equality. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fin23lem25	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem fin23lem25

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfpss2 4018	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊊ 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵))
2		php3 9249	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → 𝐴 ≺ 𝐵)
3		sdomnen 9033	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)
4	2, 3	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)
5	4	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝐴 ⊊ 𝐵 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
6	1, 5	biimtrrid 246	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
7	6	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
8	7	expd 421	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (¬ 𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)))
9		dfpss2 4018	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ⊊ 𝐴 ↔ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐴))
10		eqcom 2770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝐵)
11	10	notbii 323	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝐵 = 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 = 𝐵)
12	11	anbi2i 635	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐴) ↔ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵))
13	9, 12	bitri 278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ⊊ 𝐴 ↔ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵))
14		php3 9249	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝐴)
15		sdomnen 9033	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → ¬ 𝐵 ≈ 𝐴)
16		ensym 9055	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
17	15, 16	nsyl 141	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)
18	14, 17	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)
19	18	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ⊊ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
20	13, 19	biimtrrid 246	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
21	20	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
22	21	expd 421	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (¬ 𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)))
23	8, 22	jaod 873	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (¬ 𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)))
24	23	3impia 1135	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (¬ 𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
25	24	con4d 116	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 = 𝐵))
26		eqeng 9038	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≈ 𝐵))
27	26	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≈ 𝐵))
28	25, 27	impbid 215	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ⊊ wpss 4016   class class class wbr 5106   ≈ cen 8995   ≺ csdm 8997  Fincfn 8998

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-om 7899  df-1o 8501  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002

This theorem is used by:  fin23lem23  10428  fin1a2lem9  10510