Theorem fin23lem25 10343

Description: Lemma for fin23 10408. In a chain of finite sets, equinumerosity is equivalent to equality. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fin23lem25	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem fin23lem25

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfpss2 4068	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊊ 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵))
2		php3 9228	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → 𝐴 ≺ 𝐵)
3		sdomnen 9000	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)
5	4	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝐴 ⊊ 𝐵 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
6	1, 5	biimtrrid 243	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
7	6	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
8	7	expd 415	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (¬ 𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)))
9		dfpss2 4068	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ⊊ 𝐴 ↔ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐴))
10		eqcom 2743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝐵)
11	10	notbii 320	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝐵 = 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 = 𝐵)
12	11	anbi2i 623	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐴) ↔ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵))
13	9, 12	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ⊊ 𝐴 ↔ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵))
14		php3 9228	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝐴)
15		sdomnen 9000	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → ¬ 𝐵 ≈ 𝐴)
16		ensym 9022	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
17	15, 16	nsyl 140	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)
18	14, 17	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)
19	18	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ⊊ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
20	13, 19	biimtrrid 243	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
21	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
22	21	expd 415	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (¬ 𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)))
23	8, 22	jaod 859	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (¬ 𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)))
24	23	3impia 1117	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (¬ 𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
25	24	con4d 115	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 = 𝐵))
26		eqeng 9005	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≈ 𝐵))
27	26	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≈ 𝐵))
28	25, 27	impbid 212	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3931   ⊊ wpss 3932   class class class wbr 5124   ≈ cen 8961   ≺ csdm 8963  Fincfn 8964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7867  df-1o 8485  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968

This theorem is referenced by:  fin23lem23  10345  fin1a2lem9  10427