MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin23lem25 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin23lem25 10318
Description: Lemma for fin23 10383. In a chain of finite sets, equinumerosity is equivalent to equality. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
fin23lem25 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem fin23lem25
StepHypRef Expression
1 dfpss2 4085 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵))
2 php3 9211 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
3 sdomnen 8976 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐵 → ¬ 𝐴𝐵)
42, 3syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐴𝐵)
54ex 413 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ Fin → (𝐴𝐵 → ¬ 𝐴𝐵))
61, 5biimtrrid 242 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ Fin → ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴𝐵))
76adantl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴𝐵))
87expd 416 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝐵 → (¬ 𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴𝐵)))
9 dfpss2 4085 . . . . . . . . 9 (𝐵𝐴 ↔ (𝐵𝐴 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐴))
10 eqcom 2739 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 = 𝐴𝐴 = 𝐵)
1110notbii 319 . . . . . . . . . 10 𝐵 = 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 = 𝐵)
1211anbi2i 623 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝐴 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐴) ↔ (𝐵𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵))
139, 12bitri 274 . . . . . . . 8 (𝐵𝐴 ↔ (𝐵𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵))
14 php3 9211 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
15 sdomnen 8976 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝐴 → ¬ 𝐵𝐴)
16 ensym 8998 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
1715, 16nsyl 140 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝐴 → ¬ 𝐴𝐵)
1814, 17syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → ¬ 𝐴𝐵)
1918ex 413 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Fin → (𝐵𝐴 → ¬ 𝐴𝐵))
2013, 19biimtrrid 242 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → ((𝐵𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴𝐵))
2120adantr 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐵𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴𝐵))
2221expd 416 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵𝐴 → (¬ 𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴𝐵)))
238, 22jaod 857 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐴𝐵𝐵𝐴) → (¬ 𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴𝐵)))
24233impia 1117 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) → (¬ 𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴𝐵))
2524con4d 115 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵))
26 eqeng 8981 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = 𝐵𝐴𝐵))
27263ad2ant1 1133 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) → (𝐴 = 𝐵𝐴𝐵))
2825, 27impbid 211 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3948  wpss 3949   class class class wbr 5148  cen 8935  csdm 8937  Fincfn 8938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7855  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942
This theorem is referenced by:  fin23lem23  10320  fin1a2lem9  10402
  Copyright terms: Public domain W3C validator