MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin23lem25 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin23lem25 9352
Description: Lemma for fin23 9417. In a chain of finite sets, equinumerosity is equivalent to equality. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
fin23lem25 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem fin23lem25
StepHypRef Expression
1 dfpss2 3842 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵))
2 php3 8306 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
3 sdomnen 8142 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐵 → ¬ 𝐴𝐵)
42, 3syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐴𝐵)
54ex 397 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ Fin → (𝐴𝐵 → ¬ 𝐴𝐵))
61, 5syl5bir 233 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ Fin → ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴𝐵))
76adantl 467 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴𝐵))
87expd 400 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝐵 → (¬ 𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴𝐵)))
9 dfpss2 3842 . . . . . . . . 9 (𝐵𝐴 ↔ (𝐵𝐴 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐴))
10 eqcom 2778 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 = 𝐴𝐴 = 𝐵)
1110notbii 309 . . . . . . . . . 10 𝐵 = 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 = 𝐵)
1211anbi2i 609 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝐴 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐴) ↔ (𝐵𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵))
139, 12bitri 264 . . . . . . . 8 (𝐵𝐴 ↔ (𝐵𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵))
14 php3 8306 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
15 sdomnen 8142 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝐴 → ¬ 𝐵𝐴)
16 ensym 8162 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
1715, 16nsyl 137 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝐴 → ¬ 𝐴𝐵)
1814, 17syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → ¬ 𝐴𝐵)
1918ex 397 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Fin → (𝐵𝐴 → ¬ 𝐴𝐵))
2013, 19syl5bir 233 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → ((𝐵𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴𝐵))
2120adantr 466 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐵𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴𝐵))
2221expd 400 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵𝐴 → (¬ 𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴𝐵)))
238, 22jaod 848 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐴𝐵𝐵𝐴) → (¬ 𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴𝐵)))
24233impia 1109 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) → (¬ 𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴𝐵))
2524con4d 115 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵))
26 eqeng 8147 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = 𝐵𝐴𝐵))
27263ad2ant1 1127 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) → (𝐴 = 𝐵𝐴𝐵))
2825, 27impbid 202 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wo 836  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wss 3723  wpss 3724   class class class wbr 4787  cen 8110  csdm 8112  Fincfn 8113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-om 7217  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117
This theorem is referenced by:  fin23lem23  9354  fin1a2lem9  9436
  Copyright terms: Public domain W3C validator