Theorem fin23lem25 10080

Description: Lemma for fin23 10145. In a chain of finite sets, equinumerosity is equivalent to equality. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fin23lem25	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem fin23lem25

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfpss2 4020	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊊ 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵))
2		php3 8995	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → 𝐴 ≺ 𝐵)
3		sdomnen 8769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)
5	4	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝐴 ⊊ 𝐵 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
6	1, 5	syl5bir 242	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
7	6	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
8	7	expd 416	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (¬ 𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)))
9		dfpss2 4020	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ⊊ 𝐴 ↔ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐴))
10		eqcom 2745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝐵)
11	10	notbii 320	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝐵 = 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 = 𝐵)
12	11	anbi2i 623	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐴) ↔ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵))
13	9, 12	bitri 274	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ⊊ 𝐴 ↔ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵))
14		php3 8995	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝐴)
15		sdomnen 8769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → ¬ 𝐵 ≈ 𝐴)
16		ensym 8789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
17	15, 16	nsyl 140	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)
18	14, 17	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)
19	18	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ⊊ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
20	13, 19	syl5bir 242	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
21	20	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
22	21	expd 416	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (¬ 𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)))
23	8, 22	jaod 856	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (¬ 𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)))
24	23	3impia 1116	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (¬ 𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
25	24	con4d 115	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 = 𝐵))
26		eqeng 8774	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≈ 𝐵))
27	26	3ad2ant1 1132	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≈ 𝐵))
28	25, 27	impbid 211	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887   ⊊ wpss 3888   class class class wbr 5074   ≈ cen 8730   ≺ csdm 8732  Fincfn 8733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-om 7713  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737

This theorem is referenced by:  fin23lem23  10082  fin1a2lem9  10164