MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin23lem25 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin23lem25 10321
Description: Lemma for fin23 10386. In a chain of finite sets, equinumerosity is equivalent to equality. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
fin23lem25 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem fin23lem25
StepHypRef Expression
1 dfpss2 4084 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵))
2 php3 9214 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
3 sdomnen 8979 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐵 → ¬ 𝐴𝐵)
42, 3syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐴𝐵)
54ex 411 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ Fin → (𝐴𝐵 → ¬ 𝐴𝐵))
61, 5biimtrrid 242 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ Fin → ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴𝐵))
76adantl 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴𝐵))
87expd 414 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝐵 → (¬ 𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴𝐵)))
9 dfpss2 4084 . . . . . . . . 9 (𝐵𝐴 ↔ (𝐵𝐴 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐴))
10 eqcom 2737 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 = 𝐴𝐴 = 𝐵)
1110notbii 319 . . . . . . . . . 10 𝐵 = 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 = 𝐵)
1211anbi2i 621 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝐴 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐴) ↔ (𝐵𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵))
139, 12bitri 274 . . . . . . . 8 (𝐵𝐴 ↔ (𝐵𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵))
14 php3 9214 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
15 sdomnen 8979 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝐴 → ¬ 𝐵𝐴)
16 ensym 9001 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
1715, 16nsyl 140 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝐴 → ¬ 𝐴𝐵)
1814, 17syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → ¬ 𝐴𝐵)
1918ex 411 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Fin → (𝐵𝐴 → ¬ 𝐴𝐵))
2013, 19biimtrrid 242 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → ((𝐵𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴𝐵))
2120adantr 479 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐵𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴𝐵))
2221expd 414 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵𝐴 → (¬ 𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴𝐵)))
238, 22jaod 855 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐴𝐵𝐵𝐴) → (¬ 𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴𝐵)))
24233impia 1115 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) → (¬ 𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴𝐵))
2524con4d 115 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵))
26 eqeng 8984 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = 𝐵𝐴𝐵))
27263ad2ant1 1131 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) → (𝐴 = 𝐵𝐴𝐵))
2825, 27impbid 211 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 843  w3a 1085   = wceq 1539  wcel 2104  wss 3947  wpss 3948   class class class wbr 5147  cen 8938  csdm 8940  Fincfn 8941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-om 7858  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945
This theorem is referenced by:  fin23lem23  10323  fin1a2lem9  10405
  Copyright terms: Public domain W3C validator