Theorem rp-isfinite5 44779

Description: A set is said to be finite if it can be put in one-to-one correspondence with all the natural numbers between 1 and some 𝑛 ∈ ℕ₀. (Contributed by RP, 3-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rp-isfinite5	⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (1...𝑛) ≈ 𝐴)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem rp-isfinite5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashcl 14541	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
2		isfinite4 14547	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ (1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴)
3	2	biimpi 219	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴)
4	1, 3	jca 521	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ (1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴))
5		eleq1 2852	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (♯‘𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0))
6		oveq2 7459	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (♯‘𝐴) → (1...𝑛) = (1...(♯‘𝐴)))
7	6	breq1d 5118	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (♯‘𝐴) → ((1...𝑛) ≈ 𝐴 ↔ (1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴))
8	5, 7	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (♯‘𝐴) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (1...𝑛) ≈ 𝐴) ↔ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ (1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴)))
9	1, 4, 8	spcedv 3556	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛(𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (1...𝑛) ≈ 𝐴))
10		df-rex 3091	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0 (1...𝑛) ≈ 𝐴 ↔ ∃𝑛(𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (1...𝑛) ≈ 𝐴))
11	9, 10	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (1...𝑛) ≈ 𝐴)
12		hasheni 14533	. . . . . . 7 ⊢ ((1...𝑛) ≈ 𝐴 → (♯‘(1...𝑛)) = (♯‘𝐴))
13	12	eqcomd 2769	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝑛) ≈ 𝐴 → (♯‘𝐴) = (♯‘(1...𝑛)))
14		hashfz1 14531	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑛)) = 𝑛)
15		ovex 7484	. . . . . . 7 ⊢ (1...(♯‘𝐴)) ∈ V
16		eqtr 2783	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐴) = (♯‘(1...𝑛)) ∧ (♯‘(1...𝑛)) = 𝑛) → (♯‘𝐴) = 𝑛)
17		oveq2 7459	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝑛 → (1...(♯‘𝐴)) = (1...𝑛))
18		eqeng 9051	. . . . . . . 8 ⊢ ((1...(♯‘𝐴)) ∈ V → ((1...(♯‘𝐴)) = (1...𝑛) → (1...(♯‘𝐴)) ≈ (1...𝑛)))
19	17, 18	syl5 35	. . . . . . 7 ⊢ ((1...(♯‘𝐴)) ∈ V → ((♯‘𝐴) = 𝑛 → (1...(♯‘𝐴)) ≈ (1...𝑛)))
20	15, 16, 19	mpsyl 69	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐴) = (♯‘(1...𝑛)) ∧ (♯‘(1...𝑛)) = 𝑛) → (1...(♯‘𝐴)) ≈ (1...𝑛))
21	13, 14, 20	syl2anr 609	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (1...𝑛) ≈ 𝐴) → (1...(♯‘𝐴)) ≈ (1...𝑛))
22		entr 9071	. . . . 5 ⊢ (((1...(♯‘𝐴)) ≈ (1...𝑛) ∧ (1...𝑛) ≈ 𝐴) → (1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴)
23	21, 22	sylancom 600	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (1...𝑛) ≈ 𝐴) → (1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴)
24	23, 2	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (1...𝑛) ≈ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
25	24	rexlimiva 3159	. 2 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0 (1...𝑛) ≈ 𝐴 → 𝐴 ∈ Fin)
26	11, 25	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (1...𝑛) ≈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090  Vcvv 3454   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ≈ cen 9008  Fincfn 9011  1c1 11240  ℕ₀cn0 12646  ...cfz 13679  ♯chash 14515

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-hash 14516

This theorem is used by:  rp-isfinite6  44780