Theorem rp-isfinite5 44093

Description: A set is said to be finite if it can be put in one-to-one correspondence with all the natural numbers between 1 and some 𝑛 ∈ ℕ₀. (Contributed by RP, 3-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rp-isfinite5	⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (1...𝑛) ≈ 𝐴)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem rp-isfinite5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashcl 14369	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
2		isfinite4 14375	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ (1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴)
3	2	biimpi 218	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴)
4	1, 3	jca 519	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ (1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴))
5		eleq1 2850	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (♯‘𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0))
6		oveq2 7404	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (♯‘𝐴) → (1...𝑛) = (1...(♯‘𝐴)))
7	6	breq1d 5110	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (♯‘𝐴) → ((1...𝑛) ≈ 𝐴 ↔ (1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴))
8	5, 7	anbi12d 641	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (♯‘𝐴) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (1...𝑛) ≈ 𝐴) ↔ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ (1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴)))
9	1, 4, 8	spcedv 3557	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛(𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (1...𝑛) ≈ 𝐴))
10		df-rex 3087	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0 (1...𝑛) ≈ 𝐴 ↔ ∃𝑛(𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (1...𝑛) ≈ 𝐴))
11	9, 10	sylibr 236	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (1...𝑛) ≈ 𝐴)
12		hasheni 14361	. . . . . . 7 ⊢ ((1...𝑛) ≈ 𝐴 → (♯‘(1...𝑛)) = (♯‘𝐴))
13	12	eqcomd 2768	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝑛) ≈ 𝐴 → (♯‘𝐴) = (♯‘(1...𝑛)))
14		hashfz1 14359	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑛)) = 𝑛)
15		ovex 7429	. . . . . . 7 ⊢ (1...(♯‘𝐴)) ∈ V
16		eqtr 2782	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐴) = (♯‘(1...𝑛)) ∧ (♯‘(1...𝑛)) = 𝑛) → (♯‘𝐴) = 𝑛)
17		oveq2 7404	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝑛 → (1...(♯‘𝐴)) = (1...𝑛))
18		eqeng 8967	. . . . . . . 8 ⊢ ((1...(♯‘𝐴)) ∈ V → ((1...(♯‘𝐴)) = (1...𝑛) → (1...(♯‘𝐴)) ≈ (1...𝑛)))
19	17, 18	syl5 34	. . . . . . 7 ⊢ ((1...(♯‘𝐴)) ∈ V → ((♯‘𝐴) = 𝑛 → (1...(♯‘𝐴)) ≈ (1...𝑛)))
20	15, 16, 19	mpsyl 68	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐴) = (♯‘(1...𝑛)) ∧ (♯‘(1...𝑛)) = 𝑛) → (1...(♯‘𝐴)) ≈ (1...𝑛))
21	13, 14, 20	syl2anr 606	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (1...𝑛) ≈ 𝐴) → (1...(♯‘𝐴)) ≈ (1...𝑛))
22		entr 8987	. . . . 5 ⊢ (((1...(♯‘𝐴)) ≈ (1...𝑛) ∧ (1...𝑛) ≈ 𝐴) → (1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴)
23	21, 22	sylancom 597	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (1...𝑛) ≈ 𝐴) → (1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴)
24	23, 2	sylibr 236	. . 3 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (1...𝑛) ≈ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
25	24	rexlimiva 3155	. 2 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0 (1...𝑛) ≈ 𝐴 → 𝐴 ∈ Fin)
26	11, 25	impbii 211	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (1...𝑛) ≈ 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560  ∃wex 1799   ∈ wcel 2142  ∃wrex 3086  Vcvv 3454   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   ≈ cen 8924  Fincfn 8927  1c1 11074  ℕ₀cn0 12481  ...cfz 13512  ♯chash 14343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-fz 13513  df-hash 14344

This theorem is referenced by:  rp-isfinite6  44094