Theorem rp-isfinite5 44358

Description: A set is said to be finite if it can be put in one-to-one correspondence with all the natural numbers between 1 and some 𝑛 ∈ ℕ₀. (Contributed by RP, 3-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rp-isfinite5	⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (1...𝑛) ≈ 𝐴)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem rp-isfinite5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashcl 14421	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
2		isfinite4 14427	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ (1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴)
3	2	biimpi 219	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴)
4	1, 3	jca 521	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ (1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴))
5		eleq1 2848	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (♯‘𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0))
6		oveq2 7422	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (♯‘𝐴) → (1...𝑛) = (1...(♯‘𝐴)))
7	6	breq1d 5113	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (♯‘𝐴) → ((1...𝑛) ≈ 𝐴 ↔ (1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴))
8	5, 7	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (♯‘𝐴) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (1...𝑛) ≈ 𝐴) ↔ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ (1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴)))
9	1, 4, 8	spcedv 3552	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛(𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (1...𝑛) ≈ 𝐴))
10		df-rex 3087	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0 (1...𝑛) ≈ 𝐴 ↔ ∃𝑛(𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (1...𝑛) ≈ 𝐴))
11	9, 10	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (1...𝑛) ≈ 𝐴)
12		hasheni 14413	. . . . . . 7 ⊢ ((1...𝑛) ≈ 𝐴 → (♯‘(1...𝑛)) = (♯‘𝐴))
13	12	eqcomd 2766	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝑛) ≈ 𝐴 → (♯‘𝐴) = (♯‘(1...𝑛)))
14		hashfz1 14411	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑛)) = 𝑛)
15		ovex 7447	. . . . . . 7 ⊢ (1...(♯‘𝐴)) ∈ V
16		eqtr 2780	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐴) = (♯‘(1...𝑛)) ∧ (♯‘(1...𝑛)) = 𝑛) → (♯‘𝐴) = 𝑛)
17		oveq2 7422	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝑛 → (1...(♯‘𝐴)) = (1...𝑛))
18		eqeng 8993	. . . . . . . 8 ⊢ ((1...(♯‘𝐴)) ∈ V → ((1...(♯‘𝐴)) = (1...𝑛) → (1...(♯‘𝐴)) ≈ (1...𝑛)))
19	17, 18	syl5 35	. . . . . . 7 ⊢ ((1...(♯‘𝐴)) ∈ V → ((♯‘𝐴) = 𝑛 → (1...(♯‘𝐴)) ≈ (1...𝑛)))
20	15, 16, 19	mpsyl 69	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐴) = (♯‘(1...𝑛)) ∧ (♯‘(1...𝑛)) = 𝑛) → (1...(♯‘𝐴)) ≈ (1...𝑛))
21	13, 14, 20	syl2anr 609	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (1...𝑛) ≈ 𝐴) → (1...(♯‘𝐴)) ≈ (1...𝑛))
22		entr 9013	. . . . 5 ⊢ (((1...(♯‘𝐴)) ≈ (1...𝑛) ∧ (1...𝑛) ≈ 𝐴) → (1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴)
23	21, 22	sylancom 600	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (1...𝑛) ≈ 𝐴) → (1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴)
24	23, 2	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (1...𝑛) ≈ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
25	24	rexlimiva 3155	. 2 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0 (1...𝑛) ≈ 𝐴 → 𝐴 ∈ Fin)
26	11, 25	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (1...𝑛) ≈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   ≈ cen 8950  Fincfn 8953  1c1 11126  ℕ₀cn0 12529  ...cfz 13562  ♯chash 14395

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-card 9945  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-fz 13563  df-hash 14396

This theorem is used by:  rp-isfinite6  44359