MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trfbas2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trfbas2 23099
Description: Conditions for the trace of a filter base 𝐹 to be a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
trfbas2 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐹t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐹t 𝐴)))

Proof of Theorem trfbas2
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6866 . . . 4 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝑌 ∈ dom fBas)
2 ssexg 5271 . . . . 5 ((𝐴𝑌𝑌 ∈ dom fBas) → 𝐴 ∈ V)
32ancoms 460 . . . 4 ((𝑌 ∈ dom fBas ∧ 𝐴𝑌) → 𝐴 ∈ V)
41, 3sylan 581 . . 3 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐴 ∈ V)
5 restsspw 17239 . . . 4 (𝐹t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴
65a1i 11 . . 3 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (𝐹t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴)
7 fbasne0 23086 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝐹 ≠ ∅)
87adantr 482 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐹 ≠ ∅)
9 n0 4297 . . . . 5 (𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐹)
108, 9sylib 217 . . . 4 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ∃𝑥 𝑥𝐹)
11 elrestr 17236 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑥𝐹) → (𝑥𝐴) ∈ (𝐹t 𝐴))
12113expia 1121 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥𝐹 → (𝑥𝐴) ∈ (𝐹t 𝐴)))
134, 12syldan 592 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (𝑥𝐹 → (𝑥𝐴) ∈ (𝐹t 𝐴)))
14 ne0i 4285 . . . . . 6 ((𝑥𝐴) ∈ (𝐹t 𝐴) → (𝐹t 𝐴) ≠ ∅)
1513, 14syl6 35 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (𝑥𝐹 → (𝐹t 𝐴) ≠ ∅))
1615exlimdv 1936 . . . 4 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (∃𝑥 𝑥𝐹 → (𝐹t 𝐴) ≠ ∅))
1710, 16mpd 15 . . 3 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (𝐹t 𝐴) ≠ ∅)
18 fbasssin 23092 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑧𝐹𝑤𝐹) → ∃𝑥𝐹 𝑥 ⊆ (𝑧𝑤))
19183expb 1120 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ (𝑧𝐹𝑤𝐹)) → ∃𝑥𝐹 𝑥 ⊆ (𝑧𝑤))
2019adantlr 713 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑧𝐹𝑤𝐹)) → ∃𝑥𝐹 𝑥 ⊆ (𝑧𝑤))
21 simplll 773 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑧𝐹𝑤𝐹)) ∧ (𝑥𝐹𝑥 ⊆ (𝑧𝑤))) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑌))
224ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑧𝐹𝑤𝐹)) ∧ (𝑥𝐹𝑥 ⊆ (𝑧𝑤))) → 𝐴 ∈ V)
23 simprl 769 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑧𝐹𝑤𝐹)) ∧ (𝑥𝐹𝑥 ⊆ (𝑧𝑤))) → 𝑥𝐹)
2421, 22, 23, 11syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑧𝐹𝑤𝐹)) ∧ (𝑥𝐹𝑥 ⊆ (𝑧𝑤))) → (𝑥𝐴) ∈ (𝐹t 𝐴))
25 ssrin 4184 . . . . . . . . 9 (𝑥 ⊆ (𝑧𝑤) → (𝑥𝐴) ⊆ ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴))
2625ad2antll 727 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑧𝐹𝑤𝐹)) ∧ (𝑥𝐹𝑥 ⊆ (𝑧𝑤))) → (𝑥𝐴) ⊆ ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴))
27 vex 3446 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
2827inex1 5265 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐴) ∈ V
2928elpw 4555 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴) ∈ 𝒫 ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴) ↔ (𝑥𝐴) ⊆ ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴))
3026, 29sylibr 233 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑧𝐹𝑤𝐹)) ∧ (𝑥𝐹𝑥 ⊆ (𝑧𝑤))) → (𝑥𝐴) ∈ 𝒫 ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴))
31 inelcm 4415 . . . . . . 7 (((𝑥𝐴) ∈ (𝐹t 𝐴) ∧ (𝑥𝐴) ∈ 𝒫 ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴)) → ((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅)
3224, 30, 31syl2anc 585 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑧𝐹𝑤𝐹)) ∧ (𝑥𝐹𝑥 ⊆ (𝑧𝑤))) → ((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅)
3320, 32rexlimddv 3155 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑧𝐹𝑤𝐹)) → ((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅)
3433ralrimivva 3194 . . . 4 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ∀𝑧𝐹𝑤𝐹 ((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅)
35 vex 3446 . . . . . . 7 𝑧 ∈ V
3635inex1 5265 . . . . . 6 (𝑧𝐴) ∈ V
3736a1i 11 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑧𝐹) → (𝑧𝐴) ∈ V)
38 elrest 17235 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ (𝐹t 𝐴) ↔ ∃𝑧𝐹 𝑥 = (𝑧𝐴)))
394, 38syldan 592 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (𝑥 ∈ (𝐹t 𝐴) ↔ ∃𝑧𝐹 𝑥 = (𝑧𝐴)))
40 vex 3446 . . . . . . . 8 𝑤 ∈ V
4140inex1 5265 . . . . . . 7 (𝑤𝐴) ∈ V
4241a1i 11 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥 = (𝑧𝐴)) ∧ 𝑤𝐹) → (𝑤𝐴) ∈ V)
43 elrest 17235 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑦 ∈ (𝐹t 𝐴) ↔ ∃𝑤𝐹 𝑦 = (𝑤𝐴)))
444, 43syldan 592 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (𝑦 ∈ (𝐹t 𝐴) ↔ ∃𝑤𝐹 𝑦 = (𝑤𝐴)))
4544adantr 482 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥 = (𝑧𝐴)) → (𝑦 ∈ (𝐹t 𝐴) ↔ ∃𝑤𝐹 𝑦 = (𝑤𝐴)))
46 ineq12 4158 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = (𝑧𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑤𝐴)) → (𝑥𝑦) = ((𝑧𝐴) ∩ (𝑤𝐴)))
47 inindir 4178 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴) = ((𝑧𝐴) ∩ (𝑤𝐴))
4846, 47eqtr4di 2795 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = (𝑧𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑤𝐴)) → (𝑥𝑦) = ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴))
4948pweqd 4568 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = (𝑧𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑤𝐴)) → 𝒫 (𝑥𝑦) = 𝒫 ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴))
5049ineq2d 4163 . . . . . . . 8 ((𝑥 = (𝑧𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑤𝐴)) → ((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) = ((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴)))
5150neeq1d 3001 . . . . . . 7 ((𝑥 = (𝑧𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑤𝐴)) → (((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅ ↔ ((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅))
5251adantll 712 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥 = (𝑧𝐴)) ∧ 𝑦 = (𝑤𝐴)) → (((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅ ↔ ((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅))
5342, 45, 52ralxfr2d 5357 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥 = (𝑧𝐴)) → (∀𝑦 ∈ (𝐹t 𝐴)((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅ ↔ ∀𝑤𝐹 ((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅))
5437, 39, 53ralxfr2d 5357 . . . 4 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (∀𝑥 ∈ (𝐹t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹t 𝐴)((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅ ↔ ∀𝑧𝐹𝑤𝐹 ((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅))
5534, 54mpbird 257 . . 3 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ∀𝑥 ∈ (𝐹t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹t 𝐴)((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)
56 isfbas 23085 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → ((𝐹t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ((𝐹t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐹t 𝐴) ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ (𝐹t 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹t 𝐴)((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅))))
5756baibd 541 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐹t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴) → ((𝐹t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ((𝐹t 𝐴) ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ (𝐹t 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹t 𝐴)((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)))
58 3anan32 1097 . . . . 5 (((𝐹t 𝐴) ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ (𝐹t 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹t 𝐴)((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅) ↔ (((𝐹t 𝐴) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹t 𝐴)((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅) ∧ ∅ ∉ (𝐹t 𝐴)))
5957, 58bitrdi 287 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐹t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴) → ((𝐹t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ (((𝐹t 𝐴) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹t 𝐴)((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅) ∧ ∅ ∉ (𝐹t 𝐴))))
6059baibd 541 . . 3 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝐹t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ ((𝐹t 𝐴) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹t 𝐴)((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)) → ((𝐹t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ∅ ∉ (𝐹t 𝐴)))
614, 6, 17, 55, 60syl22anc 837 . 2 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐹t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ∅ ∉ (𝐹t 𝐴)))
62 df-nel 3048 . 2 (∅ ∉ (𝐹t 𝐴) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐹t 𝐴))
6361, 62bitrdi 287 1 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐹t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐹t 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1087   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wne 2941  wnel 3047  wral 3062  wrex 3071  Vcvv 3442  cin 3900  wss 3901  c0 4273  𝒫 cpw 4551  dom cdm 5624  cfv 6483  (class class class)co 7341  t crest 17228  fBascfbas 20690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5233  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4857  df-iun 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-id 5522  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-1st 7903  df-2nd 7904  df-rest 17230  df-fbas 20699
This theorem is referenced by:  trfbas  23100  uzfbas  23154  trcfilu  23551
  Copyright terms: Public domain W3C validator