Theorem trfbas2 22139

Description: Conditions for the trace of a filter base 𝐹 to be a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
trfbas2	⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)))

Proof of Theorem trfbas2

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6577	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝑌 ∈ dom fBas)
2		ssexg 5125	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ dom fBas) → 𝐴 ∈ V)
3	2	ancoms 459	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ dom fBas ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → 𝐴 ∈ V)
4	1, 3	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → 𝐴 ∈ V)
5		restsspw 16538	. . . 4 ⊢ (𝐹 ↾t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (𝐹 ↾t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴)
7		fbasne0 22126	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝐹 ≠ ∅)
8	7	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → 𝐹 ≠ ∅)
9		n0 4236	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐹)
10	8, 9	sylib 219	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐹)
11		elrestr 16535	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ (𝐹 ↾t 𝐴))
12	11	3expia 1114	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)))
13	4, 12	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)))
14		ne0i 4226	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∈ (𝐹 ↾t 𝐴) → (𝐹 ↾t 𝐴) ≠ ∅)
15	13, 14	syl6 35	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (𝑥 ∈ 𝐹 → (𝐹 ↾t 𝐴) ≠ ∅))
16	15	exlimdv 1915	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐹 → (𝐹 ↾t 𝐴) ≠ ∅))
17	10, 16	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (𝐹 ↾t 𝐴) ≠ ∅)
18		fbasssin 22132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑤))
19	18	3expb 1113	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹)) → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑤))
20	19	adantlr 711	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹)) → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑤))
21		simplll 771	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑤))) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑌))
22	4	ad2antrr 722	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑤))) → 𝐴 ∈ V)
23		simprl 767	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑤))) → 𝑥 ∈ 𝐹)
24	21, 22, 23, 11	syl3anc 1364	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑤))) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ (𝐹 ↾t 𝐴))
25		ssrin 4136	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑤) → (𝑥 ∩ 𝐴) ⊆ ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴))
26	25	ad2antll 725	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑤))) → (𝑥 ∩ 𝐴) ⊆ ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴))
27		vex 3443	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
28	27	inex1 5119	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ V
29	28	elpw 4465	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴) ↔ (𝑥 ∩ 𝐴) ⊆ ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴))
30	26, 29	sylibr 235	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑤))) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴))
31		inelcm 4334	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∩ 𝐴) ∈ (𝐹 ↾t 𝐴) ∧ (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴)) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅)
32	24, 30, 31	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑤))) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅)
33	20, 32	rexlimddv 3256	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹)) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅)
34	33	ralrimivva 3160	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ∀𝑧 ∈ 𝐹 ∀𝑤 ∈ 𝐹 ((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅)
35		vex 3443	. . . . . . 7 ⊢ 𝑧 ∈ V
36	35	inex1 5119	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∩ 𝐴) ∈ V
37	36	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → (𝑧 ∩ 𝐴) ∈ V)
38		elrest 16534	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐹 𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴)))
39	4, 38	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (𝑥 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐹 𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴)))
40		vex 3443	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑤 ∈ V
41	40	inex1 5119	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∩ 𝐴) ∈ V
42	41	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) → (𝑤 ∩ 𝐴) ∈ V)
43		elrest 16534	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐹 𝑦 = (𝑤 ∩ 𝐴)))
44	4, 43	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐹 𝑦 = (𝑤 ∩ 𝐴)))
45	44	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴)) → (𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐹 𝑦 = (𝑤 ∩ 𝐴)))
46		ineq12 4110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑤 ∩ 𝐴)) → (𝑥 ∩ 𝑦) = ((𝑧 ∩ 𝐴) ∩ (𝑤 ∩ 𝐴)))
47		inindir 4130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴) = ((𝑧 ∩ 𝐴) ∩ (𝑤 ∩ 𝐴))
48	46, 47	syl6eqr 2851	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑤 ∩ 𝐴)) → (𝑥 ∩ 𝑦) = ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴))
49	48	pweqd 4464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑤 ∩ 𝐴)) → 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦) = 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴))
50	49	ineq2d 4115	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑤 ∩ 𝐴)) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) = ((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴)))
51	50	neeq1d 3045	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑤 ∩ 𝐴)) → (((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅ ↔ ((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅))
52	51	adantll 710	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 = (𝑤 ∩ 𝐴)) → (((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅ ↔ ((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅))
53	42, 45, 52	ralxfr2d 5209	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴)) → (∀𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐹 ((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅))
54	37, 39, 53	ralxfr2d 5209	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (∀𝑥 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅ ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐹 ∀𝑤 ∈ 𝐹 ((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅))
55	34, 54	mpbird 258	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ∀𝑥 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅)
56		isfbas 22125	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ((𝐹 ↾t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐹 ↾t 𝐴) ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ (𝐹 ↾t 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅))))
57	56	baibd 540	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐹 ↾t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ((𝐹 ↾t 𝐴) ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ (𝐹 ↾t 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅)))
58		3anan32 1090	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ↾t 𝐴) ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ (𝐹 ↾t 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅) ↔ (((𝐹 ↾t 𝐴) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅) ∧ ∅ ∉ (𝐹 ↾t 𝐴)))
59	57, 58	syl6bb 288	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐹 ↾t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ (((𝐹 ↾t 𝐴) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅) ∧ ∅ ∉ (𝐹 ↾t 𝐴))))
60	59	baibd 540	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝐹 ↾t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ ((𝐹 ↾t 𝐴) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅)) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ∅ ∉ (𝐹 ↾t 𝐴)))
61	4, 6, 17, 55, 60	syl22anc 835	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ∅ ∉ (𝐹 ↾t 𝐴)))
62		df-nel 3093	. 2 ⊢ (∅ ∉ (𝐹 ↾t 𝐴) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐹 ↾t 𝐴))
63	61, 62	syl6bb 288	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   = wceq 1525  ∃wex 1765   ∈ wcel 2083   ≠ wne 2986   ∉ wnel 3092  ∀wral 3107  ∃wrex 3108  Vcvv 3440   ∩ cin 3864   ⊆ wss 3865  ∅c0 4217  𝒫 cpw 4459  dom cdm 5450  ‘cfv 6232  (class class class)co 7023   ↾_t crest 16527  fBascfbas 20219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-id 5355  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-rest 16529  df-fbas 20228

This theorem is referenced by:  trfbas  22140  uzfbas  22194  trcfilu  22590