MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trfbas2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trfbas2 23841
Description: Conditions for the trace of a filter base 𝐹 to be a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
trfbas2 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐹t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐹t 𝐴)))

Proof of Theorem trfbas2
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6940 . . . 4 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝑌 ∈ dom fBas)
2 ssexg 5330 . . . . 5 ((𝐴𝑌𝑌 ∈ dom fBas) → 𝐴 ∈ V)
32ancoms 457 . . . 4 ((𝑌 ∈ dom fBas ∧ 𝐴𝑌) → 𝐴 ∈ V)
41, 3sylan 578 . . 3 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐴 ∈ V)
5 restsspw 17448 . . . 4 (𝐹t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴
65a1i 11 . . 3 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (𝐹t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴)
7 fbasne0 23828 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝐹 ≠ ∅)
87adantr 479 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐹 ≠ ∅)
9 n0 4349 . . . . 5 (𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐹)
108, 9sylib 217 . . . 4 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ∃𝑥 𝑥𝐹)
11 elrestr 17445 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑥𝐹) → (𝑥𝐴) ∈ (𝐹t 𝐴))
12113expia 1118 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥𝐹 → (𝑥𝐴) ∈ (𝐹t 𝐴)))
134, 12syldan 589 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (𝑥𝐹 → (𝑥𝐴) ∈ (𝐹t 𝐴)))
14 ne0i 4337 . . . . . 6 ((𝑥𝐴) ∈ (𝐹t 𝐴) → (𝐹t 𝐴) ≠ ∅)
1513, 14syl6 35 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (𝑥𝐹 → (𝐹t 𝐴) ≠ ∅))
1615exlimdv 1929 . . . 4 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (∃𝑥 𝑥𝐹 → (𝐹t 𝐴) ≠ ∅))
1710, 16mpd 15 . . 3 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (𝐹t 𝐴) ≠ ∅)
18 fbasssin 23834 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑧𝐹𝑤𝐹) → ∃𝑥𝐹 𝑥 ⊆ (𝑧𝑤))
19183expb 1117 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ (𝑧𝐹𝑤𝐹)) → ∃𝑥𝐹 𝑥 ⊆ (𝑧𝑤))
2019adantlr 713 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑧𝐹𝑤𝐹)) → ∃𝑥𝐹 𝑥 ⊆ (𝑧𝑤))
21 simplll 773 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑧𝐹𝑤𝐹)) ∧ (𝑥𝐹𝑥 ⊆ (𝑧𝑤))) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑌))
224ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑧𝐹𝑤𝐹)) ∧ (𝑥𝐹𝑥 ⊆ (𝑧𝑤))) → 𝐴 ∈ V)
23 simprl 769 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑧𝐹𝑤𝐹)) ∧ (𝑥𝐹𝑥 ⊆ (𝑧𝑤))) → 𝑥𝐹)
2421, 22, 23, 11syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑧𝐹𝑤𝐹)) ∧ (𝑥𝐹𝑥 ⊆ (𝑧𝑤))) → (𝑥𝐴) ∈ (𝐹t 𝐴))
25 ssrin 4235 . . . . . . . . 9 (𝑥 ⊆ (𝑧𝑤) → (𝑥𝐴) ⊆ ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴))
2625ad2antll 727 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑧𝐹𝑤𝐹)) ∧ (𝑥𝐹𝑥 ⊆ (𝑧𝑤))) → (𝑥𝐴) ⊆ ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴))
27 vex 3466 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
2827inex1 5324 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐴) ∈ V
2928elpw 4611 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴) ∈ 𝒫 ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴) ↔ (𝑥𝐴) ⊆ ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴))
3026, 29sylibr 233 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑧𝐹𝑤𝐹)) ∧ (𝑥𝐹𝑥 ⊆ (𝑧𝑤))) → (𝑥𝐴) ∈ 𝒫 ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴))
31 inelcm 4469 . . . . . . 7 (((𝑥𝐴) ∈ (𝐹t 𝐴) ∧ (𝑥𝐴) ∈ 𝒫 ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴)) → ((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅)
3224, 30, 31syl2anc 582 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑧𝐹𝑤𝐹)) ∧ (𝑥𝐹𝑥 ⊆ (𝑧𝑤))) → ((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅)
3320, 32rexlimddv 3151 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑧𝐹𝑤𝐹)) → ((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅)
3433ralrimivva 3191 . . . 4 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ∀𝑧𝐹𝑤𝐹 ((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅)
35 vex 3466 . . . . . . 7 𝑧 ∈ V
3635inex1 5324 . . . . . 6 (𝑧𝐴) ∈ V
3736a1i 11 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑧𝐹) → (𝑧𝐴) ∈ V)
38 elrest 17444 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ (𝐹t 𝐴) ↔ ∃𝑧𝐹 𝑥 = (𝑧𝐴)))
394, 38syldan 589 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (𝑥 ∈ (𝐹t 𝐴) ↔ ∃𝑧𝐹 𝑥 = (𝑧𝐴)))
40 vex 3466 . . . . . . . 8 𝑤 ∈ V
4140inex1 5324 . . . . . . 7 (𝑤𝐴) ∈ V
4241a1i 11 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥 = (𝑧𝐴)) ∧ 𝑤𝐹) → (𝑤𝐴) ∈ V)
43 elrest 17444 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑦 ∈ (𝐹t 𝐴) ↔ ∃𝑤𝐹 𝑦 = (𝑤𝐴)))
444, 43syldan 589 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (𝑦 ∈ (𝐹t 𝐴) ↔ ∃𝑤𝐹 𝑦 = (𝑤𝐴)))
4544adantr 479 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥 = (𝑧𝐴)) → (𝑦 ∈ (𝐹t 𝐴) ↔ ∃𝑤𝐹 𝑦 = (𝑤𝐴)))
46 ineq12 4208 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = (𝑧𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑤𝐴)) → (𝑥𝑦) = ((𝑧𝐴) ∩ (𝑤𝐴)))
47 inindir 4229 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴) = ((𝑧𝐴) ∩ (𝑤𝐴))
4846, 47eqtr4di 2784 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = (𝑧𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑤𝐴)) → (𝑥𝑦) = ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴))
4948pweqd 4624 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = (𝑧𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑤𝐴)) → 𝒫 (𝑥𝑦) = 𝒫 ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴))
5049ineq2d 4213 . . . . . . . 8 ((𝑥 = (𝑧𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑤𝐴)) → ((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) = ((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴)))
5150neeq1d 2990 . . . . . . 7 ((𝑥 = (𝑧𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑤𝐴)) → (((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅ ↔ ((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅))
5251adantll 712 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥 = (𝑧𝐴)) ∧ 𝑦 = (𝑤𝐴)) → (((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅ ↔ ((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅))
5342, 45, 52ralxfr2d 5416 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥 = (𝑧𝐴)) → (∀𝑦 ∈ (𝐹t 𝐴)((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅ ↔ ∀𝑤𝐹 ((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅))
5437, 39, 53ralxfr2d 5416 . . . 4 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (∀𝑥 ∈ (𝐹t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹t 𝐴)((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅ ↔ ∀𝑧𝐹𝑤𝐹 ((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅))
5534, 54mpbird 256 . . 3 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ∀𝑥 ∈ (𝐹t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹t 𝐴)((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)
56 isfbas 23827 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → ((𝐹t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ((𝐹t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐹t 𝐴) ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ (𝐹t 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹t 𝐴)((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅))))
5756baibd 538 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐹t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴) → ((𝐹t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ((𝐹t 𝐴) ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ (𝐹t 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹t 𝐴)((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)))
58 3anan32 1094 . . . . 5 (((𝐹t 𝐴) ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ (𝐹t 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹t 𝐴)((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅) ↔ (((𝐹t 𝐴) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹t 𝐴)((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅) ∧ ∅ ∉ (𝐹t 𝐴)))
5957, 58bitrdi 286 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐹t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴) → ((𝐹t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ (((𝐹t 𝐴) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹t 𝐴)((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅) ∧ ∅ ∉ (𝐹t 𝐴))))
6059baibd 538 . . 3 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝐹t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ ((𝐹t 𝐴) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹t 𝐴)((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)) → ((𝐹t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ∅ ∉ (𝐹t 𝐴)))
614, 6, 17, 55, 60syl22anc 837 . 2 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐹t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ∅ ∉ (𝐹t 𝐴)))
62 df-nel 3037 . 2 (∅ ∉ (𝐹t 𝐴) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐹t 𝐴))
6361, 62bitrdi 286 1 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐹t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐹t 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wex 1774  wcel 2099  wne 2930  wnel 3036  wral 3051  wrex 3060  Vcvv 3462  cin 3946  wss 3947  c0 4325  𝒫 cpw 4607  dom cdm 5684  cfv 6556  (class class class)co 7426  t crest 17437  fBascfbas 21333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5292  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4916  df-iun 5005  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-id 5582  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-rest 17439  df-fbas 21342
This theorem is referenced by:  trfbas  23842  uzfbas  23896  trcfilu  24293
  Copyright terms: Public domain W3C validator