Theorem trfbas2 23830

Description: Conditions for the trace of a filter base 𝐹 to be a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
trfbas2	⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)))

Proof of Theorem trfbas2

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6865	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝑌 ∈ dom fBas)
2		ssexg 5254	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ dom fBas) → 𝐴 ∈ V)
3	2	ancoms 460	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ dom fBas ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → 𝐴 ∈ V)
4	1, 3	sylan 587	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → 𝐴 ∈ V)
5		restsspw 17389	. . . 4 ⊢ (𝐹 ↾t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (𝐹 ↾t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴)
7		fbasne0 23817	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝐹 ≠ ∅)
8	7	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → 𝐹 ≠ ∅)
9		n0 4284	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐹)
10	8, 9	sylib 220	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐹)
11		elrestr 17386	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ (𝐹 ↾t 𝐴))
12	11	3expia 1128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)))
13	4, 12	syldan 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)))
14		ne0i 4272	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∈ (𝐹 ↾t 𝐴) → (𝐹 ↾t 𝐴) ≠ ∅)
15	13, 14	syl6 35	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (𝑥 ∈ 𝐹 → (𝐹 ↾t 𝐴) ≠ ∅))
16	15	exlimdv 1941	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐹 → (𝐹 ↾t 𝐴) ≠ ∅))
17	10, 16	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (𝐹 ↾t 𝐴) ≠ ∅)
18		fbasssin 23823	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑤))
19	18	3expb 1127	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹)) → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑤))
20	19	adantlr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹)) → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑤))
21		simplll 781	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑤))) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑌))
22	4	ad2antrr 733	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑤))) → 𝐴 ∈ V)
23		simprl 777	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑤))) → 𝑥 ∈ 𝐹)
24	21, 22, 23, 11	syl3anc 1380	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑤))) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ (𝐹 ↾t 𝐴))
25		ssrin 4173	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑤) → (𝑥 ∩ 𝐴) ⊆ ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴))
26	25	ad2antll 736	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑤))) → (𝑥 ∩ 𝐴) ⊆ ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴))
27		vex 3437	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
28	27	inex1 5248	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ V
29	28	elpw 4536	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴) ↔ (𝑥 ∩ 𝐴) ⊆ ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴))
30	26, 29	sylibr 236	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑤))) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴))
31		inelcm 4396	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∩ 𝐴) ∈ (𝐹 ↾t 𝐴) ∧ (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴)) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅)
32	24, 30, 31	syl2anc 591	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑤))) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅)
33	20, 32	rexlimddv 3148	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹)) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅)
34	33	ralrimivva 3184	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ∀𝑧 ∈ 𝐹 ∀𝑤 ∈ 𝐹 ((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅)
35		vex 3437	. . . . . . 7 ⊢ 𝑧 ∈ V
36	35	inex1 5248	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∩ 𝐴) ∈ V
37	36	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → (𝑧 ∩ 𝐴) ∈ V)
38		elrest 17385	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐹 𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴)))
39	4, 38	syldan 598	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (𝑥 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐹 𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴)))
40		vex 3437	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑤 ∈ V
41	40	inex1 5248	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∩ 𝐴) ∈ V
42	41	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) → (𝑤 ∩ 𝐴) ∈ V)
43		elrest 17385	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐹 𝑦 = (𝑤 ∩ 𝐴)))
44	4, 43	syldan 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐹 𝑦 = (𝑤 ∩ 𝐴)))
45	44	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴)) → (𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐹 𝑦 = (𝑤 ∩ 𝐴)))
46		ineq12 4147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑤 ∩ 𝐴)) → (𝑥 ∩ 𝑦) = ((𝑧 ∩ 𝐴) ∩ (𝑤 ∩ 𝐴)))
47		inindir 4167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴) = ((𝑧 ∩ 𝐴) ∩ (𝑤 ∩ 𝐴))
48	46, 47	eqtr4di 2794	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑤 ∩ 𝐴)) → (𝑥 ∩ 𝑦) = ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴))
49	48	pweqd 4549	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑤 ∩ 𝐴)) → 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦) = 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴))
50	49	ineq2d 4152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑤 ∩ 𝐴)) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) = ((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴)))
51	50	neeq1d 2995	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑤 ∩ 𝐴)) → (((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅ ↔ ((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅))
52	51	adantll 721	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 = (𝑤 ∩ 𝐴)) → (((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅ ↔ ((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅))
53	42, 45, 52	ralxfr2d 5342	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴)) → (∀𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐹 ((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅))
54	37, 39, 53	ralxfr2d 5342	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (∀𝑥 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅ ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐹 ∀𝑤 ∈ 𝐹 ((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅))
55	34, 54	mpbird 259	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ∀𝑥 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅)
56		isfbas 23816	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ((𝐹 ↾t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐹 ↾t 𝐴) ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ (𝐹 ↾t 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅))))
57	56	baibd 545	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐹 ↾t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ((𝐹 ↾t 𝐴) ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ (𝐹 ↾t 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅)))
58		3anan32 1103	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ↾t 𝐴) ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ (𝐹 ↾t 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅) ↔ (((𝐹 ↾t 𝐴) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅) ∧ ∅ ∉ (𝐹 ↾t 𝐴)))
59	57, 58	bitrdi 289	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐹 ↾t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ (((𝐹 ↾t 𝐴) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅) ∧ ∅ ∉ (𝐹 ↾t 𝐴))))
60	59	baibd 545	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝐹 ↾t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ ((𝐹 ↾t 𝐴) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅)) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ∅ ∉ (𝐹 ↾t 𝐴)))
61	4, 6, 17, 55, 60	syl22anc 845	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ∅ ∉ (𝐹 ↾t 𝐴)))
62		df-nel 3041	. 2 ⊢ (∅ ∉ (𝐹 ↾t 𝐴) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐹 ↾t 𝐴))
63	61, 62	bitrdi 289	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548  ∃wex 1787   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936   ∉ wnel 3040  ∀wral 3055  ∃wrex 3065  Vcvv 3433   ∩ cin 3884   ⊆ wss 3885  ∅c0 4264  𝒫 cpw 4532  dom cdm 5621  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360   ↾_t crest 17378  fBascfbas 21339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-rest 17380  df-fbas 21348

This theorem is referenced by:  trfbas  23831  uzfbas  23885  trcfilu  24280