Theorem trfbas2 23872

Description: Conditions for the trace of a filter base 𝐹 to be a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
trfbas2	⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)))

Proof of Theorem trfbas2

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6957	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝑌 ∈ dom fBas)
2		ssexg 5341	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ dom fBas) → 𝐴 ∈ V)
3	2	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ dom fBas ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → 𝐴 ∈ V)
4	1, 3	sylan 579	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → 𝐴 ∈ V)
5		restsspw 17491	. . . 4 ⊢ (𝐹 ↾t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (𝐹 ↾t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴)
7		fbasne0 23859	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝐹 ≠ ∅)
8	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → 𝐹 ≠ ∅)
9		n0 4376	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐹)
10	8, 9	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐹)
11		elrestr 17488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ (𝐹 ↾t 𝐴))
12	11	3expia 1121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)))
13	4, 12	syldan 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)))
14		ne0i 4364	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∈ (𝐹 ↾t 𝐴) → (𝐹 ↾t 𝐴) ≠ ∅)
15	13, 14	syl6 35	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (𝑥 ∈ 𝐹 → (𝐹 ↾t 𝐴) ≠ ∅))
16	15	exlimdv 1932	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐹 → (𝐹 ↾t 𝐴) ≠ ∅))
17	10, 16	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (𝐹 ↾t 𝐴) ≠ ∅)
18		fbasssin 23865	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑤))
19	18	3expb 1120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹)) → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑤))
20	19	adantlr 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹)) → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑤))
21		simplll 774	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑤))) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑌))
22	4	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑤))) → 𝐴 ∈ V)
23		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑤))) → 𝑥 ∈ 𝐹)
24	21, 22, 23, 11	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑤))) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ (𝐹 ↾t 𝐴))
25		ssrin 4263	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑤) → (𝑥 ∩ 𝐴) ⊆ ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴))
26	25	ad2antll 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑤))) → (𝑥 ∩ 𝐴) ⊆ ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴))
27		vex 3492	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
28	27	inex1 5335	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ V
29	28	elpw 4626	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴) ↔ (𝑥 ∩ 𝐴) ⊆ ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴))
30	26, 29	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑤))) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴))
31		inelcm 4488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∩ 𝐴) ∈ (𝐹 ↾t 𝐴) ∧ (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴)) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅)
32	24, 30, 31	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑤))) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅)
33	20, 32	rexlimddv 3167	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹)) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅)
34	33	ralrimivva 3208	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ∀𝑧 ∈ 𝐹 ∀𝑤 ∈ 𝐹 ((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅)
35		vex 3492	. . . . . . 7 ⊢ 𝑧 ∈ V
36	35	inex1 5335	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∩ 𝐴) ∈ V
37	36	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → (𝑧 ∩ 𝐴) ∈ V)
38		elrest 17487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐹 𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴)))
39	4, 38	syldan 590	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (𝑥 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐹 𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴)))
40		vex 3492	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑤 ∈ V
41	40	inex1 5335	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∩ 𝐴) ∈ V
42	41	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) → (𝑤 ∩ 𝐴) ∈ V)
43		elrest 17487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐹 𝑦 = (𝑤 ∩ 𝐴)))
44	4, 43	syldan 590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐹 𝑦 = (𝑤 ∩ 𝐴)))
45	44	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴)) → (𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐹 𝑦 = (𝑤 ∩ 𝐴)))
46		ineq12 4236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑤 ∩ 𝐴)) → (𝑥 ∩ 𝑦) = ((𝑧 ∩ 𝐴) ∩ (𝑤 ∩ 𝐴)))
47		inindir 4257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴) = ((𝑧 ∩ 𝐴) ∩ (𝑤 ∩ 𝐴))
48	46, 47	eqtr4di 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑤 ∩ 𝐴)) → (𝑥 ∩ 𝑦) = ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴))
49	48	pweqd 4639	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑤 ∩ 𝐴)) → 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦) = 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴))
50	49	ineq2d 4241	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑤 ∩ 𝐴)) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) = ((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴)))
51	50	neeq1d 3006	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑤 ∩ 𝐴)) → (((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅ ↔ ((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅))
52	51	adantll 713	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 = (𝑤 ∩ 𝐴)) → (((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅ ↔ ((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅))
53	42, 45, 52	ralxfr2d 5428	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴)) → (∀𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐹 ((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅))
54	37, 39, 53	ralxfr2d 5428	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (∀𝑥 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅ ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐹 ∀𝑤 ∈ 𝐹 ((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅))
55	34, 54	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ∀𝑥 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅)
56		isfbas 23858	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ((𝐹 ↾t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐹 ↾t 𝐴) ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ (𝐹 ↾t 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅))))
57	56	baibd 539	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐹 ↾t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ((𝐹 ↾t 𝐴) ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ (𝐹 ↾t 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅)))
58		3anan32 1097	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ↾t 𝐴) ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ (𝐹 ↾t 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅) ↔ (((𝐹 ↾t 𝐴) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅) ∧ ∅ ∉ (𝐹 ↾t 𝐴)))
59	57, 58	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐹 ↾t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ (((𝐹 ↾t 𝐴) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅) ∧ ∅ ∉ (𝐹 ↾t 𝐴))))
60	59	baibd 539	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝐹 ↾t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ ((𝐹 ↾t 𝐴) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅)) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ∅ ∉ (𝐹 ↾t 𝐴)))
61	4, 6, 17, 55, 60	syl22anc 838	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ∅ ∉ (𝐹 ↾t 𝐴)))
62		df-nel 3053	. 2 ⊢ (∅ ∉ (𝐹 ↾t 𝐴) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐹 ↾t 𝐴))
63	61, 62	bitrdi 287	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   ∉ wnel 3052  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  Vcvv 3488   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  𝒫 cpw 4622  dom cdm 5700  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ↾_t crest 17480  fBascfbas 21375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-rest 17482  df-fbas 21384

This theorem is referenced by:  trfbas  23873  uzfbas  23927  trcfilu  24324