Theorem trfbas2 23194

Description: Conditions for the trace of a filter base 𝐹 to be a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
trfbas2	⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)))

Proof of Theorem trfbas2

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6879	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝑌 ∈ dom fBas)
2		ssexg 5280	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ dom fBas) → 𝐴 ∈ V)
3	2	ancoms 459	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ dom fBas ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → 𝐴 ∈ V)
4	1, 3	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → 𝐴 ∈ V)
5		restsspw 17313	. . . 4 ⊢ (𝐹 ↾t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (𝐹 ↾t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴)
7		fbasne0 23181	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝐹 ≠ ∅)
8	7	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → 𝐹 ≠ ∅)
9		n0 4306	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐹)
10	8, 9	sylib 217	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐹)
11		elrestr 17310	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ (𝐹 ↾t 𝐴))
12	11	3expia 1121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)))
13	4, 12	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)))
14		ne0i 4294	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∈ (𝐹 ↾t 𝐴) → (𝐹 ↾t 𝐴) ≠ ∅)
15	13, 14	syl6 35	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (𝑥 ∈ 𝐹 → (𝐹 ↾t 𝐴) ≠ ∅))
16	15	exlimdv 1936	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐹 → (𝐹 ↾t 𝐴) ≠ ∅))
17	10, 16	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (𝐹 ↾t 𝐴) ≠ ∅)
18		fbasssin 23187	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑤))
19	18	3expb 1120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹)) → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑤))
20	19	adantlr 713	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹)) → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑤))
21		simplll 773	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑤))) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑌))
22	4	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑤))) → 𝐴 ∈ V)
23		simprl 769	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑤))) → 𝑥 ∈ 𝐹)
24	21, 22, 23, 11	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑤))) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ (𝐹 ↾t 𝐴))
25		ssrin 4193	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑤) → (𝑥 ∩ 𝐴) ⊆ ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴))
26	25	ad2antll 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑤))) → (𝑥 ∩ 𝐴) ⊆ ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴))
27		vex 3449	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
28	27	inex1 5274	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ V
29	28	elpw 4564	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴) ↔ (𝑥 ∩ 𝐴) ⊆ ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴))
30	26, 29	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑤))) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴))
31		inelcm 4424	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∩ 𝐴) ∈ (𝐹 ↾t 𝐴) ∧ (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴)) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅)
32	24, 30, 31	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑤))) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅)
33	20, 32	rexlimddv 3158	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹)) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅)
34	33	ralrimivva 3197	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ∀𝑧 ∈ 𝐹 ∀𝑤 ∈ 𝐹 ((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅)
35		vex 3449	. . . . . . 7 ⊢ 𝑧 ∈ V
36	35	inex1 5274	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∩ 𝐴) ∈ V
37	36	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → (𝑧 ∩ 𝐴) ∈ V)
38		elrest 17309	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐹 𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴)))
39	4, 38	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (𝑥 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐹 𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴)))
40		vex 3449	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑤 ∈ V
41	40	inex1 5274	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∩ 𝐴) ∈ V
42	41	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) → (𝑤 ∩ 𝐴) ∈ V)
43		elrest 17309	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐹 𝑦 = (𝑤 ∩ 𝐴)))
44	4, 43	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐹 𝑦 = (𝑤 ∩ 𝐴)))
45	44	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴)) → (𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐹 𝑦 = (𝑤 ∩ 𝐴)))
46		ineq12 4167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑤 ∩ 𝐴)) → (𝑥 ∩ 𝑦) = ((𝑧 ∩ 𝐴) ∩ (𝑤 ∩ 𝐴)))
47		inindir 4187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴) = ((𝑧 ∩ 𝐴) ∩ (𝑤 ∩ 𝐴))
48	46, 47	eqtr4di 2794	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑤 ∩ 𝐴)) → (𝑥 ∩ 𝑦) = ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴))
49	48	pweqd 4577	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑤 ∩ 𝐴)) → 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦) = 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴))
50	49	ineq2d 4172	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑤 ∩ 𝐴)) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) = ((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴)))
51	50	neeq1d 3003	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑤 ∩ 𝐴)) → (((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅ ↔ ((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅))
52	51	adantll 712	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 = (𝑤 ∩ 𝐴)) → (((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅ ↔ ((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅))
53	42, 45, 52	ralxfr2d 5365	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴)) → (∀𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐹 ((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅))
54	37, 39, 53	ralxfr2d 5365	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (∀𝑥 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅ ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐹 ∀𝑤 ∈ 𝐹 ((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅))
55	34, 54	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ∀𝑥 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅)
56		isfbas 23180	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ((𝐹 ↾t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐹 ↾t 𝐴) ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ (𝐹 ↾t 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅))))
57	56	baibd 540	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐹 ↾t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ((𝐹 ↾t 𝐴) ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ (𝐹 ↾t 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅)))
58		3anan32 1097	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ↾t 𝐴) ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ (𝐹 ↾t 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅) ↔ (((𝐹 ↾t 𝐴) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅) ∧ ∅ ∉ (𝐹 ↾t 𝐴)))
59	57, 58	bitrdi 286	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐹 ↾t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ (((𝐹 ↾t 𝐴) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅) ∧ ∅ ∉ (𝐹 ↾t 𝐴))))
60	59	baibd 540	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝐹 ↾t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ ((𝐹 ↾t 𝐴) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅)) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ∅ ∉ (𝐹 ↾t 𝐴)))
61	4, 6, 17, 55, 60	syl22anc 837	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ∅ ∉ (𝐹 ↾t 𝐴)))
62		df-nel 3050	. 2 ⊢ (∅ ∉ (𝐹 ↾t 𝐴) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐹 ↾t 𝐴))
63	61, 62	bitrdi 286	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ∉ wnel 3049  ∀wral 3064  ∃wrex 3073  Vcvv 3445   ∩ cin 3909   ⊆ wss 3910  ∅c0 4282  𝒫 cpw 4560  dom cdm 5633  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ↾_t crest 17302  fBascfbas 20784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-rest 17304  df-fbas 20793

This theorem is referenced by:  trfbas  23195  uzfbas  23249  trcfilu  23646