Theorem trfbas2 24037

Description: Conditions for the trace of a filter base 𝐹 to be a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
trfbas2	⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)))

Proof of Theorem trfbas2

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6922	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝑌 ∈ dom fBas)
2		ssexg 5295	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ dom fBas) → 𝐴 ∈ V)
3	2	ancoms 464	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ dom fBas ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → 𝐴 ∈ V)
4	1, 3	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → 𝐴 ∈ V)
5		restsspw 17509	. . . 4 ⊢ (𝐹 ↾t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (𝐹 ↾t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴)
7		fbasne0 24024	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝐹 ≠ ∅)
8	7	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → 𝐹 ≠ ∅)
9		n0 4310	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐹)
10	8, 9	sylib 221	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐹)
11		elrestr 17506	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ (𝐹 ↾t 𝐴))
12	11	3expia 1139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)))
13	4, 12	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)))
14		ne0i 4297	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∈ (𝐹 ↾t 𝐴) → (𝐹 ↾t 𝐴) ≠ ∅)
15	13, 14	syl6 36	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (𝑥 ∈ 𝐹 → (𝐹 ↾t 𝐴) ≠ ∅))
16	15	exlimdv 1966	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐹 → (𝐹 ↾t 𝐴) ≠ ∅))
17	10, 16	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (𝐹 ↾t 𝐴) ≠ ∅)
18		fbasssin 24030	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑤))
19	18	3expb 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹)) → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑤))
20	19	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹)) → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑤))
21		simplll 787	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑤))) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑌))
22	4	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑤))) → 𝐴 ∈ V)
23		simprl 783	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑤))) → 𝑥 ∈ 𝐹)
24	21, 22, 23, 11	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑤))) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ (𝐹 ↾t 𝐴))
25		ssrin 4197	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑤) → (𝑥 ∩ 𝐴) ⊆ ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴))
26	25	ad2antll 742	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑤))) → (𝑥 ∩ 𝐴) ⊆ ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴))
27		vex 3462	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
28	27	inex1 5291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ V
29	28	elpw 4571	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴) ↔ (𝑥 ∩ 𝐴) ⊆ ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴))
30	26, 29	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑤))) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴))
31		inelcm 4428	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∩ 𝐴) ∈ (𝐹 ↾t 𝐴) ∧ (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴)) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅)
32	24, 30, 31	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑤))) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅)
33	20, 32	rexlimddv 3175	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹)) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅)
34	33	ralrimivva 3211	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ∀𝑧 ∈ 𝐹 ∀𝑤 ∈ 𝐹 ((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅)
35		vex 3462	. . . . . . 7 ⊢ 𝑧 ∈ V
36	35	inex1 5291	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∩ 𝐴) ∈ V
37	36	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → (𝑧 ∩ 𝐴) ∈ V)
38		elrest 17505	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐹 𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴)))
39	4, 38	syldan 603	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (𝑥 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐹 𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴)))
40		vex 3462	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑤 ∈ V
41	40	inex1 5291	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∩ 𝐴) ∈ V
42	41	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) → (𝑤 ∩ 𝐴) ∈ V)
43		elrest 17505	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐹 𝑦 = (𝑤 ∩ 𝐴)))
44	4, 43	syldan 603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐹 𝑦 = (𝑤 ∩ 𝐴)))
45	44	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴)) → (𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐹 𝑦 = (𝑤 ∩ 𝐴)))
46		ineq12 4171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑤 ∩ 𝐴)) → (𝑥 ∩ 𝑦) = ((𝑧 ∩ 𝐴) ∩ (𝑤 ∩ 𝐴)))
47		inindir 4191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴) = ((𝑧 ∩ 𝐴) ∩ (𝑤 ∩ 𝐴))
48	46, 47	eqtr4di 2819	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑤 ∩ 𝐴)) → (𝑥 ∩ 𝑦) = ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴))
49	48	pweqd 4584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑤 ∩ 𝐴)) → 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦) = 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴))
50	49	ineq2d 4176	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑤 ∩ 𝐴)) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) = ((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴)))
51	50	neeq1d 3020	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑤 ∩ 𝐴)) → (((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅ ↔ ((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅))
52	51	adantll 727	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 = (𝑤 ∩ 𝐴)) → (((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅ ↔ ((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅))
53	42, 45, 52	ralxfr2d 5386	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴)) → (∀𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐹 ((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅))
54	37, 39, 53	ralxfr2d 5386	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (∀𝑥 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅ ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐹 ∀𝑤 ∈ 𝐹 ((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧 ∩ 𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅))
55	34, 54	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ∀𝑥 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅)
56		isfbas 24023	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ((𝐹 ↾t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐹 ↾t 𝐴) ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ (𝐹 ↾t 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅))))
57	56	baibd 549	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐹 ↾t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ((𝐹 ↾t 𝐴) ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ (𝐹 ↾t 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅)))
58		3anan32 1113	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ↾t 𝐴) ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ (𝐹 ↾t 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅) ↔ (((𝐹 ↾t 𝐴) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅) ∧ ∅ ∉ (𝐹 ↾t 𝐴)))
59	57, 58	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐹 ↾t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ (((𝐹 ↾t 𝐴) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅) ∧ ∅ ∉ (𝐹 ↾t 𝐴))))
60	59	baibd 549	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝐹 ↾t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ ((𝐹 ↾t 𝐴) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)((𝐹 ↾t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅)) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ∅ ∉ (𝐹 ↾t 𝐴)))
61	4, 6, 17, 55, 60	syl22anc 852	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ∅ ∉ (𝐹 ↾t 𝐴)))
62		df-nel 3068	. 2 ⊢ (∅ ∉ (𝐹 ↾t 𝐴) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐹 ↾t 𝐴))
63	61, 62	bitrdi 290	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961   ∉ wnel 3067  ∀wral 3082  ∃wrex 3092  Vcvv 3458   ∩ cin 3907   ⊆ wss 3908  ∅c0 4289  𝒫 cpw 4567  dom cdm 5666  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   ↾_t crest 17498  fBascfbas 21547

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-rest 17500  df-fbas 21556

This theorem is used by:  trfbas  24038  uzfbas  24092  trcfilu  24487