MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trfbas2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trfbas2 21926
Description: Conditions for the trace of a filter base 𝐹 to be a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
trfbas2 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐹t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐹t 𝐴)))

Proof of Theorem trfbas2
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6407 . . . 4 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝑌 ∈ dom fBas)
2 ssexg 4965 . . . . 5 ((𝐴𝑌𝑌 ∈ dom fBas) → 𝐴 ∈ V)
32ancoms 450 . . . 4 ((𝑌 ∈ dom fBas ∧ 𝐴𝑌) → 𝐴 ∈ V)
41, 3sylan 575 . . 3 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐴 ∈ V)
5 restsspw 16358 . . . 4 (𝐹t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴
65a1i 11 . . 3 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (𝐹t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴)
7 fbasne0 21913 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝐹 ≠ ∅)
87adantr 472 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐹 ≠ ∅)
9 n0 4095 . . . . 5 (𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐹)
108, 9sylib 209 . . . 4 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ∃𝑥 𝑥𝐹)
11 elrestr 16355 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑥𝐹) → (𝑥𝐴) ∈ (𝐹t 𝐴))
12113expia 1150 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥𝐹 → (𝑥𝐴) ∈ (𝐹t 𝐴)))
134, 12syldan 585 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (𝑥𝐹 → (𝑥𝐴) ∈ (𝐹t 𝐴)))
14 ne0i 4085 . . . . . 6 ((𝑥𝐴) ∈ (𝐹t 𝐴) → (𝐹t 𝐴) ≠ ∅)
1513, 14syl6 35 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (𝑥𝐹 → (𝐹t 𝐴) ≠ ∅))
1615exlimdv 2028 . . . 4 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (∃𝑥 𝑥𝐹 → (𝐹t 𝐴) ≠ ∅))
1710, 16mpd 15 . . 3 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (𝐹t 𝐴) ≠ ∅)
18 fbasssin 21919 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑧𝐹𝑤𝐹) → ∃𝑥𝐹 𝑥 ⊆ (𝑧𝑤))
19183expb 1149 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ (𝑧𝐹𝑤𝐹)) → ∃𝑥𝐹 𝑥 ⊆ (𝑧𝑤))
2019adantlr 706 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑧𝐹𝑤𝐹)) → ∃𝑥𝐹 𝑥 ⊆ (𝑧𝑤))
21 simplll 791 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑧𝐹𝑤𝐹)) ∧ (𝑥𝐹𝑥 ⊆ (𝑧𝑤))) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑌))
224ad2antrr 717 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑧𝐹𝑤𝐹)) ∧ (𝑥𝐹𝑥 ⊆ (𝑧𝑤))) → 𝐴 ∈ V)
23 simprl 787 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑧𝐹𝑤𝐹)) ∧ (𝑥𝐹𝑥 ⊆ (𝑧𝑤))) → 𝑥𝐹)
2421, 22, 23, 11syl3anc 1490 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑧𝐹𝑤𝐹)) ∧ (𝑥𝐹𝑥 ⊆ (𝑧𝑤))) → (𝑥𝐴) ∈ (𝐹t 𝐴))
25 ssrin 3997 . . . . . . . . 9 (𝑥 ⊆ (𝑧𝑤) → (𝑥𝐴) ⊆ ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴))
2625ad2antll 720 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑧𝐹𝑤𝐹)) ∧ (𝑥𝐹𝑥 ⊆ (𝑧𝑤))) → (𝑥𝐴) ⊆ ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴))
27 vex 3353 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
2827inex1 4960 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐴) ∈ V
2928elpw 4321 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴) ∈ 𝒫 ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴) ↔ (𝑥𝐴) ⊆ ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴))
3026, 29sylibr 225 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑧𝐹𝑤𝐹)) ∧ (𝑥𝐹𝑥 ⊆ (𝑧𝑤))) → (𝑥𝐴) ∈ 𝒫 ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴))
31 inelcm 4193 . . . . . . 7 (((𝑥𝐴) ∈ (𝐹t 𝐴) ∧ (𝑥𝐴) ∈ 𝒫 ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴)) → ((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅)
3224, 30, 31syl2anc 579 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑧𝐹𝑤𝐹)) ∧ (𝑥𝐹𝑥 ⊆ (𝑧𝑤))) → ((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅)
3320, 32rexlimddv 3182 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑧𝐹𝑤𝐹)) → ((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅)
3433ralrimivva 3118 . . . 4 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ∀𝑧𝐹𝑤𝐹 ((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅)
35 vex 3353 . . . . . . 7 𝑧 ∈ V
3635inex1 4960 . . . . . 6 (𝑧𝐴) ∈ V
3736a1i 11 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑧𝐹) → (𝑧𝐴) ∈ V)
38 elrest 16354 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ (𝐹t 𝐴) ↔ ∃𝑧𝐹 𝑥 = (𝑧𝐴)))
394, 38syldan 585 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (𝑥 ∈ (𝐹t 𝐴) ↔ ∃𝑧𝐹 𝑥 = (𝑧𝐴)))
40 vex 3353 . . . . . . . 8 𝑤 ∈ V
4140inex1 4960 . . . . . . 7 (𝑤𝐴) ∈ V
4241a1i 11 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥 = (𝑧𝐴)) ∧ 𝑤𝐹) → (𝑤𝐴) ∈ V)
43 elrest 16354 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑦 ∈ (𝐹t 𝐴) ↔ ∃𝑤𝐹 𝑦 = (𝑤𝐴)))
444, 43syldan 585 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (𝑦 ∈ (𝐹t 𝐴) ↔ ∃𝑤𝐹 𝑦 = (𝑤𝐴)))
4544adantr 472 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥 = (𝑧𝐴)) → (𝑦 ∈ (𝐹t 𝐴) ↔ ∃𝑤𝐹 𝑦 = (𝑤𝐴)))
46 ineq12 3971 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = (𝑧𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑤𝐴)) → (𝑥𝑦) = ((𝑧𝐴) ∩ (𝑤𝐴)))
47 inindir 3991 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴) = ((𝑧𝐴) ∩ (𝑤𝐴))
4846, 47syl6eqr 2817 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = (𝑧𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑤𝐴)) → (𝑥𝑦) = ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴))
4948pweqd 4320 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = (𝑧𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑤𝐴)) → 𝒫 (𝑥𝑦) = 𝒫 ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴))
5049ineq2d 3976 . . . . . . . 8 ((𝑥 = (𝑧𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑤𝐴)) → ((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) = ((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴)))
5150neeq1d 2996 . . . . . . 7 ((𝑥 = (𝑧𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑤𝐴)) → (((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅ ↔ ((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅))
5251adantll 705 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥 = (𝑧𝐴)) ∧ 𝑦 = (𝑤𝐴)) → (((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅ ↔ ((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅))
5342, 45, 52ralxfr2d 5045 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥 = (𝑧𝐴)) → (∀𝑦 ∈ (𝐹t 𝐴)((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅ ↔ ∀𝑤𝐹 ((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅))
5437, 39, 53ralxfr2d 5045 . . . 4 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (∀𝑥 ∈ (𝐹t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹t 𝐴)((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅ ↔ ∀𝑧𝐹𝑤𝐹 ((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅))
5534, 54mpbird 248 . . 3 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ∀𝑥 ∈ (𝐹t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹t 𝐴)((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)
56 isfbas 21912 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → ((𝐹t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ((𝐹t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐹t 𝐴) ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ (𝐹t 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹t 𝐴)((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅))))
5756baibd 535 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐹t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴) → ((𝐹t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ((𝐹t 𝐴) ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ (𝐹t 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹t 𝐴)((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)))
58 3anan32 1118 . . . . 5 (((𝐹t 𝐴) ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ (𝐹t 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹t 𝐴)((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅) ↔ (((𝐹t 𝐴) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹t 𝐴)((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅) ∧ ∅ ∉ (𝐹t 𝐴)))
5957, 58syl6bb 278 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐹t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴) → ((𝐹t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ (((𝐹t 𝐴) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹t 𝐴)((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅) ∧ ∅ ∉ (𝐹t 𝐴))))
6059baibd 535 . . 3 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝐹t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ ((𝐹t 𝐴) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹t 𝐴)((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)) → ((𝐹t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ∅ ∉ (𝐹t 𝐴)))
614, 6, 17, 55, 60syl22anc 867 . 2 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐹t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ∅ ∉ (𝐹t 𝐴)))
62 df-nel 3041 . 2 (∅ ∉ (𝐹t 𝐴) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐹t 𝐴))
6361, 62syl6bb 278 1 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐹t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐹t 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wex 1874  wcel 2155  wne 2937  wnel 3040  wral 3055  wrex 3056  Vcvv 3350  cin 3731  wss 3732  c0 4079  𝒫 cpw 4315  dom cdm 5277  cfv 6068  (class class class)co 6842  t crest 16347  fBascfbas 20007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-rest 16349  df-fbas 20016
This theorem is referenced by:  trfbas  21927  uzfbas  21981  trcfilu  22377
  Copyright terms: Public domain W3C validator