Theorem fbssint 23846

Description: A filter base contains subsets of its finite intersections. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fbssint	⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ ∩ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐵

Proof of Theorem fbssint

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fbasne0 23838	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → 𝐹 ≠ ∅)
2		n0 4353	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐹)
3	1, 2	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐹)
4		ssv 4008	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ⊆ V
5	4	jctr 524	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ V))
6	5	eximi 1835	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐹 → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ V))
7		df-rex 3071	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ V ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ V))
8	6, 7	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐹 → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ V)
9	3, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ V)
10		inteq 4949	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∩ 𝐴 = ∩ ∅)
11		int0 4962	. . . . . . 7 ⊢ ∩ ∅ = V
12	10, 11	eqtrdi 2793	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∩ 𝐴 = V)
13	12	sseq2d 4016	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑥 ⊆ ∩ 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ V))
14	13	rexbidv 3179	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ ∩ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ V))
15	9, 14	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → (𝐴 = ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ ∩ 𝐴))
16	15	3ad2ant1 1134	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 = ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ ∩ 𝐴))
17		simpl1 1192	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝐵))
18		simpl2 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ 𝐹)
19		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
20		simpl3 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
21		elfir 9455	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∩ 𝐴 ∈ (fi‘𝐹))
22	17, 18, 19, 20, 21	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ (fi‘𝐹))
23		fbssfi 23845	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ ∩ 𝐴 ∈ (fi‘𝐹)) → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ ∩ 𝐴)
24	17, 22, 23	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ ∩ 𝐴)
25	24	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ ∩ 𝐴))
26	16, 25	pm2.61dne 3028	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ ∩ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  ∩ cint 4946  ‘cfv 6561  Fincfn 8985  ficfi 9450  fBascfbas 21352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-om 7888  df-1o 8506  df-2o 8507  df-en 8986  df-fin 8989  df-fi 9451  df-fbas 21361

This theorem is referenced by:  fbasfip  23876