Theorem fbssint 23776

Description: A filter base contains subsets of its finite intersections. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fbssint	⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ ∩ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐵

Proof of Theorem fbssint

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fbasne0 23768	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → 𝐹 ≠ ∅)
2		n0 4328	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐹)
3	1, 2	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐹)
4		ssv 3983	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ⊆ V
5	4	jctr 524	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ V))
6	5	eximi 1835	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐹 → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ V))
7		df-rex 3061	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ V ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ V))
8	6, 7	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐹 → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ V)
9	3, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ V)
10		inteq 4925	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∩ 𝐴 = ∩ ∅)
11		int0 4938	. . . . . . 7 ⊢ ∩ ∅ = V
12	10, 11	eqtrdi 2786	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∩ 𝐴 = V)
13	12	sseq2d 3991	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑥 ⊆ ∩ 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ V))
14	13	rexbidv 3164	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ ∩ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ V))
15	9, 14	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → (𝐴 = ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ ∩ 𝐴))
16	15	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 = ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ ∩ 𝐴))
17		simpl1 1192	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝐵))
18		simpl2 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ 𝐹)
19		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
20		simpl3 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
21		elfir 9427	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∩ 𝐴 ∈ (fi‘𝐹))
22	17, 18, 19, 20, 21	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ (fi‘𝐹))
23		fbssfi 23775	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ ∩ 𝐴 ∈ (fi‘𝐹)) → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ ∩ 𝐴)
24	17, 22, 23	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ ∩ 𝐴)
25	24	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ ∩ 𝐴))
26	16, 25	pm2.61dne 3018	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ ∩ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060  Vcvv 3459   ⊆ wss 3926  ∅c0 4308  ∩ cint 4922  ‘cfv 6531  Fincfn 8959  ficfi 9422  fBascfbas 21303

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-om 7862  df-1o 8480  df-2o 8481  df-en 8960  df-fin 8963  df-fi 9423  df-fbas 21312

This theorem is referenced by:  fbasfip  23806