Theorem fbssint 23271

Description: A filter base contains subsets of its finite intersections. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fbssint	⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ ∩ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐵

Proof of Theorem fbssint

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fbasne0 23263	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → 𝐹 ≠ ∅)
2		n0 4342	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐹)
3	1, 2	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐹)
4		ssv 4002	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ⊆ V
5	4	jctr 525	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ V))
6	5	eximi 1837	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐹 → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ V))
7		df-rex 3070	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ V ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ V))
8	6, 7	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐹 → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ V)
9	3, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ V)
10		inteq 4946	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∩ 𝐴 = ∩ ∅)
11		int0 4959	. . . . . . 7 ⊢ ∩ ∅ = V
12	10, 11	eqtrdi 2787	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∩ 𝐴 = V)
13	12	sseq2d 4010	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑥 ⊆ ∩ 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ V))
14	13	rexbidv 3177	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ ∩ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ V))
15	9, 14	syl5ibrcom 246	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → (𝐴 = ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ ∩ 𝐴))
16	15	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 = ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ ∩ 𝐴))
17		simpl1 1191	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝐵))
18		simpl2 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ 𝐹)
19		simpr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
20		simpl3 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
21		elfir 9392	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∩ 𝐴 ∈ (fi‘𝐹))
22	17, 18, 19, 20, 21	syl13anc 1372	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ (fi‘𝐹))
23		fbssfi 23270	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ ∩ 𝐴 ∈ (fi‘𝐹)) → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ ∩ 𝐴)
24	17, 22, 23	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ ∩ 𝐴)
25	24	ex 413	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ ∩ 𝐴))
26	16, 25	pm2.61dne 3027	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ ∩ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  ∃wrex 3069  Vcvv 3473   ⊆ wss 3944  ∅c0 4318  ∩ cint 4943  ‘cfv 6532  Fincfn 8922  ficfi 9387  fBascfbas 20866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-om 7839  df-1o 8448  df-er 8686  df-en 8923  df-fin 8926  df-fi 9388  df-fbas 20875

This theorem is referenced by:  fbasfip  23301