Theorem filtop 23718

Description: The underlying set belongs to the filter. (Contributed by FL, 20-Jul-2007.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filtop	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐹)

Proof of Theorem filtop

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		filfbas 23711	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
2		fbasne0 23693	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝐹 ≠ ∅)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ≠ ∅)
4		n0 4312	. . 3 ⊢ (𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐹)
5		filelss 23715	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
6		ssid 3966	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 ⊆ 𝑋
7		filss 23716	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐹)
8	7	3exp2 1355	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑋 ⊆ 𝑋 → (𝑥 ⊆ 𝑋 → 𝑋 ∈ 𝐹))))
9	8	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → (𝑋 ⊆ 𝑋 → (𝑥 ⊆ 𝑋 → 𝑋 ∈ 𝐹)))
10	6, 9	mpi 20	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → (𝑥 ⊆ 𝑋 → 𝑋 ∈ 𝐹))
11	5, 10	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → 𝑋 ∈ 𝐹)
12	11	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝐹 → 𝑋 ∈ 𝐹))
13	12	exlimdv 1933	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐹 → 𝑋 ∈ 𝐹))
14	4, 13	biimtrid 242	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝐹 ≠ ∅ → 𝑋 ∈ 𝐹))
15	3, 14	mpd 15	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  ‘cfv 6499  fBascfbas 21228  Filcfil 23708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fv 6507  df-fbas 21237  df-fil 23709

This theorem is referenced by:  isfil2  23719  filn0  23725  infil  23726  filunibas  23744  filuni  23748  trfil1  23749  trfil2  23750  fgtr  23753  trfg  23754  isufil2  23771  filssufil  23775  ssufl  23781  ufileu  23782  filufint  23783  uffixfr  23786  cfinufil  23791  rnelfmlem  23815  rnelfm  23816  fmfnfmlem1  23817  fmfnfmlem2  23818  fmfnfmlem4  23820  fmfnfm  23821  flfval  23853  fclsfnflim  23890  flimfnfcls  23891  fcfval  23896  alexsublem  23907  metust  24422  cmetss  25192  minveclem4a  25306  filnetlem3  36341  filnetlem4  36342