MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  filtop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem filtop 23758
Description: The underlying set belongs to the filter. (Contributed by FL, 20-Jul-2007.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
filtop (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋𝐹)

Proof of Theorem filtop
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 filfbas 23751 . . 3 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
2 fbasne0 23733 . . 3 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝐹 ≠ ∅)
31, 2syl 17 . 2 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ≠ ∅)
4 n0 4347 . . 3 (𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐹)
5 filelss 23755 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝐹) → 𝑥𝑋)
6 ssid 4002 . . . . . . 7 𝑋𝑋
7 filss 23756 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑥𝐹𝑋𝑋𝑥𝑋)) → 𝑋𝐹)
873exp2 1352 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑥𝐹 → (𝑋𝑋 → (𝑥𝑋𝑋𝐹))))
98imp 406 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝐹) → (𝑋𝑋 → (𝑥𝑋𝑋𝐹)))
106, 9mpi 20 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝐹) → (𝑥𝑋𝑋𝐹))
115, 10mpd 15 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝐹) → 𝑋𝐹)
1211ex 412 . . . 4 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑥𝐹𝑋𝐹))
1312exlimdv 1929 . . 3 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (∃𝑥 𝑥𝐹𝑋𝐹))
144, 13biimtrid 241 . 2 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝐹 ≠ ∅ → 𝑋𝐹))
153, 14mpd 15 1 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wex 1774  wcel 2099  wne 2937  wss 3947  c0 4323  cfv 6548  fBascfbas 21266  Filcfil 23748
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fv 6556  df-fbas 21275  df-fil 23749
This theorem is referenced by:  isfil2  23759  filn0  23765  infil  23766  filunibas  23784  filuni  23788  trfil1  23789  trfil2  23790  fgtr  23793  trfg  23794  isufil2  23811  filssufil  23815  ssufl  23821  ufileu  23822  filufint  23823  uffixfr  23826  cfinufil  23831  rnelfmlem  23855  rnelfm  23856  fmfnfmlem1  23857  fmfnfmlem2  23858  fmfnfmlem4  23860  fmfnfm  23861  flfval  23893  fclsfnflim  23930  flimfnfcls  23931  fcfval  23936  alexsublem  23947  metust  24466  cmetss  25243  minveclem4a  25357  filnetlem3  35864  filnetlem4  35865
  Copyright terms: Public domain W3C validator