MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  filtop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem filtop 23879
Description: The underlying set belongs to the filter. (Contributed by FL, 20-Jul-2007.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
filtop (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋𝐹)

Proof of Theorem filtop
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 filfbas 23872 . . 3 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
2 fbasne0 23854 . . 3 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝐹 ≠ ∅)
31, 2syl 17 . 2 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ≠ ∅)
4 n0 4359 . . 3 (𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐹)
5 filelss 23876 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝐹) → 𝑥𝑋)
6 ssid 4018 . . . . . . 7 𝑋𝑋
7 filss 23877 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑥𝐹𝑋𝑋𝑥𝑋)) → 𝑋𝐹)
873exp2 1353 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑥𝐹 → (𝑋𝑋 → (𝑥𝑋𝑋𝐹))))
98imp 406 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝐹) → (𝑋𝑋 → (𝑥𝑋𝑋𝐹)))
106, 9mpi 20 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝐹) → (𝑥𝑋𝑋𝐹))
115, 10mpd 15 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝐹) → 𝑋𝐹)
1211ex 412 . . . 4 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑥𝐹𝑋𝐹))
1312exlimdv 1931 . . 3 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (∃𝑥 𝑥𝐹𝑋𝐹))
144, 13biimtrid 242 . 2 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝐹 ≠ ∅ → 𝑋𝐹))
153, 14mpd 15 1 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wex 1776  wcel 2106  wne 2938  wss 3963  c0 4339  cfv 6563  fBascfbas 21370  Filcfil 23869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-fbas 21379  df-fil 23870
This theorem is referenced by:  isfil2  23880  filn0  23886  infil  23887  filunibas  23905  filuni  23909  trfil1  23910  trfil2  23911  fgtr  23914  trfg  23915  isufil2  23932  filssufil  23936  ssufl  23942  ufileu  23943  filufint  23944  uffixfr  23947  cfinufil  23952  rnelfmlem  23976  rnelfm  23977  fmfnfmlem1  23978  fmfnfmlem2  23979  fmfnfmlem4  23981  fmfnfm  23982  flfval  24014  fclsfnflim  24051  flimfnfcls  24052  fcfval  24057  alexsublem  24068  metust  24587  cmetss  25364  minveclem4a  25478  filnetlem3  36363  filnetlem4  36364
  Copyright terms: Public domain W3C validator