Theorem filtop 23006

Description: The underlying set belongs to the filter. (Contributed by FL, 20-Jul-2007.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filtop	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐹)

Proof of Theorem filtop

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		filfbas 22999	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
2		fbasne0 22981	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝐹 ≠ ∅)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ≠ ∅)
4		n0 4280	. . 3 ⊢ (𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐹)
5		filelss 23003	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
6		ssid 3943	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 ⊆ 𝑋
7		filss 23004	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐹)
8	7	3exp2 1353	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑋 ⊆ 𝑋 → (𝑥 ⊆ 𝑋 → 𝑋 ∈ 𝐹))))
9	8	imp 407	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → (𝑋 ⊆ 𝑋 → (𝑥 ⊆ 𝑋 → 𝑋 ∈ 𝐹)))
10	6, 9	mpi 20	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → (𝑥 ⊆ 𝑋 → 𝑋 ∈ 𝐹))
11	5, 10	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → 𝑋 ∈ 𝐹)
12	11	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝐹 → 𝑋 ∈ 𝐹))
13	12	exlimdv 1936	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐹 → 𝑋 ∈ 𝐹))
14	4, 13	syl5bi 241	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝐹 ≠ ∅ → 𝑋 ∈ 𝐹))
15	3, 14	mpd 15	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  ‘cfv 6433  fBascfbas 20585  Filcfil 22996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fv 6441  df-fbas 20594  df-fil 22997

This theorem is referenced by:  isfil2  23007  filn0  23013  infil  23014  filunibas  23032  filuni  23036  trfil1  23037  trfil2  23038  fgtr  23041  trfg  23042  isufil2  23059  filssufil  23063  ssufl  23069  ufileu  23070  filufint  23071  uffixfr  23074  cfinufil  23079  rnelfmlem  23103  rnelfm  23104  fmfnfmlem1  23105  fmfnfmlem2  23106  fmfnfmlem4  23108  fmfnfm  23109  flfval  23141  fclsfnflim  23178  flimfnfcls  23179  fcfval  23184  alexsublem  23195  metust  23714  cmetss  24480  minveclem4a  24594  filnetlem3  34569  filnetlem4  34570