MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  filtop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem filtop 23863
Description: The underlying set belongs to the filter. (Contributed by FL, 20-Jul-2007.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
filtop (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋𝐹)

Proof of Theorem filtop
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 filfbas 23856 . . 3 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
2 fbasne0 23838 . . 3 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝐹 ≠ ∅)
31, 2syl 17 . 2 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ≠ ∅)
4 n0 4353 . . 3 (𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐹)
5 filelss 23860 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝐹) → 𝑥𝑋)
6 ssid 4006 . . . . . . 7 𝑋𝑋
7 filss 23861 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑥𝐹𝑋𝑋𝑥𝑋)) → 𝑋𝐹)
873exp2 1355 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑥𝐹 → (𝑋𝑋 → (𝑥𝑋𝑋𝐹))))
98imp 406 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝐹) → (𝑋𝑋 → (𝑥𝑋𝑋𝐹)))
106, 9mpi 20 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝐹) → (𝑥𝑋𝑋𝐹))
115, 10mpd 15 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝐹) → 𝑋𝐹)
1211ex 412 . . . 4 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑥𝐹𝑋𝐹))
1312exlimdv 1933 . . 3 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (∃𝑥 𝑥𝐹𝑋𝐹))
144, 13biimtrid 242 . 2 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝐹 ≠ ∅ → 𝑋𝐹))
153, 14mpd 15 1 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wex 1779  wcel 2108  wne 2940  wss 3951  c0 4333  cfv 6561  fBascfbas 21352  Filcfil 23853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-fbas 21361  df-fil 23854
This theorem is referenced by:  isfil2  23864  filn0  23870  infil  23871  filunibas  23889  filuni  23893  trfil1  23894  trfil2  23895  fgtr  23898  trfg  23899  isufil2  23916  filssufil  23920  ssufl  23926  ufileu  23927  filufint  23928  uffixfr  23931  cfinufil  23936  rnelfmlem  23960  rnelfm  23961  fmfnfmlem1  23962  fmfnfmlem2  23963  fmfnfmlem4  23965  fmfnfm  23966  flfval  23998  fclsfnflim  24035  flimfnfcls  24036  fcfval  24041  alexsublem  24052  metust  24571  cmetss  25350  minveclem4a  25464  filnetlem3  36381  filnetlem4  36382
  Copyright terms: Public domain W3C validator