Theorem filtop 24186

Description: The underlying set belongs to the filter. (Contributed by FL, 20-Jul-2007.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filtop	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐹)

Proof of Theorem filtop

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		filfbas 24179	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
2		fbasne0 24161	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝐹 ≠ ∅)
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ≠ ∅)
4		n0 4302	. . 3 ⊢ (𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐹)
5		filelss 24183	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
6		ssid 3934	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 ⊆ 𝑋
7		filss 24184	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐹)
8	7	3exp2 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑋 ⊆ 𝑋 → (𝑥 ⊆ 𝑋 → 𝑋 ∈ 𝐹))))
9	8	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → (𝑋 ⊆ 𝑋 → (𝑥 ⊆ 𝑋 → 𝑋 ∈ 𝐹)))
10	6, 9	mpi 21	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → (𝑥 ⊆ 𝑋 → 𝑋 ∈ 𝐹))
11	5, 10	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → 𝑋 ∈ 𝐹)
12	11	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝐹 → 𝑋 ∈ 𝐹))
13	12	exlimdv 1967	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐹 → 𝑋 ∈ 𝐹))
14	4, 13	biimtrid 245	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝐹 ≠ ∅ → 𝑋 ∈ 𝐹))
15	3, 14	mpd 16	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐹)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401  ∃wex 1811   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2958   ⊆ wss 3899  ∅c0 4280  ‘cfv 6546  fBascfbas 21678  Filcfil 24176

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5549  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fv 6554  df-fbas 21687  df-fil 24177

This theorem is used by:  isfil2  24187  filn0  24193  infil  24194  filunibas  24212  filuni  24216  trfil1  24217  trfil2  24218  fgtr  24221  trfg  24222  isufil2  24239  filssufil  24243  ssufl  24249  ufileu  24250  filufint  24251  uffixfr  24254  cfinufil  24259  rnelfmlem  24283  rnelfm  24284  fmfnfmlem1  24285  fmfnfmlem2  24286  fmfnfmlem4  24288  fmfnfm  24289  flfval  24321  fclsfnflim  24358  flimfnfcls  24359  fcfval  24364  alexsublem  24375  metust  24889  cmetss  25649  minveclem4a  25763  filnetlem3  37295  filnetlem4  37296