Theorem filtop 22706

Description: The underlying set belongs to the filter. (Contributed by FL, 20-Jul-2007.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filtop	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐹)

Proof of Theorem filtop

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		filfbas 22699	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
2		fbasne0 22681	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝐹 ≠ ∅)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ≠ ∅)
4		n0 4247	. . 3 ⊢ (𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐹)
5		filelss 22703	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
6		ssid 3909	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 ⊆ 𝑋
7		filss 22704	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐹)
8	7	3exp2 1356	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑋 ⊆ 𝑋 → (𝑥 ⊆ 𝑋 → 𝑋 ∈ 𝐹))))
9	8	imp 410	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → (𝑋 ⊆ 𝑋 → (𝑥 ⊆ 𝑋 → 𝑋 ∈ 𝐹)))
10	6, 9	mpi 20	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → (𝑥 ⊆ 𝑋 → 𝑋 ∈ 𝐹))
11	5, 10	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → 𝑋 ∈ 𝐹)
12	11	ex 416	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝐹 → 𝑋 ∈ 𝐹))
13	12	exlimdv 1941	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐹 → 𝑋 ∈ 𝐹))
14	4, 13	syl5bi 245	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝐹 ≠ ∅ → 𝑋 ∈ 𝐹))
15	3, 14	mpd 15	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399  ∃wex 1787   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2932   ⊆ wss 3853  ∅c0 4223  ‘cfv 6358  fBascfbas 20305  Filcfil 22696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fv 6366  df-fbas 20314  df-fil 22697

This theorem is referenced by:  isfil2  22707  filn0  22713  infil  22714  filunibas  22732  filuni  22736  trfil1  22737  trfil2  22738  fgtr  22741  trfg  22742  isufil2  22759  filssufil  22763  ssufl  22769  ufileu  22770  filufint  22771  uffixfr  22774  cfinufil  22779  rnelfmlem  22803  rnelfm  22804  fmfnfmlem1  22805  fmfnfmlem2  22806  fmfnfmlem4  22808  fmfnfm  22809  flfval  22841  fclsfnflim  22878  flimfnfcls  22879  fcfval  22884  alexsublem  22895  metust  23410  cmetss  24167  minveclem4a  24281  filnetlem3  34255  filnetlem4  34256