MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssufl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssufl 22233
Description: If 𝑌 is a subset of 𝑋 and filters extend to ultrafilters in 𝑋, then they still do in 𝑌. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ssufl ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) → 𝑌 ∈ UFL)

Proof of Theorem ssufl
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 754 . . . . 5 (((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) → 𝑋 ∈ UFL)
2 filfbas 22163 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (Fil‘𝑌) → 𝑓 ∈ (fBas‘𝑌))
32adantl 474 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) → 𝑓 ∈ (fBas‘𝑌))
4 filsspw 22166 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (Fil‘𝑌) → 𝑓 ⊆ 𝒫 𝑌)
54adantl 474 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) → 𝑓 ⊆ 𝒫 𝑌)
6 simplr 756 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) → 𝑌𝑋)
7 sspwb 5199 . . . . . . . . 9 (𝑌𝑋 ↔ 𝒫 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋)
86, 7sylib 210 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) → 𝒫 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋)
95, 8sstrd 3870 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) → 𝑓 ⊆ 𝒫 𝑋)
10 fbasweak 22180 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑓 ⊆ 𝒫 𝑋𝑋 ∈ UFL) → 𝑓 ∈ (fBas‘𝑋))
113, 9, 1, 10syl3anc 1351 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) → 𝑓 ∈ (fBas‘𝑋))
12 fgcl 22193 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen𝑓) ∈ (Fil‘𝑋))
1311, 12syl 17 . . . . 5 (((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) → (𝑋filGen𝑓) ∈ (Fil‘𝑋))
14 ufli 22229 . . . . 5 ((𝑋 ∈ UFL ∧ (𝑋filGen𝑓) ∈ (Fil‘𝑋)) → ∃𝑢 ∈ (UFil‘𝑋)(𝑋filGen𝑓) ⊆ 𝑢)
151, 13, 14syl2anc 576 . . . 4 (((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) → ∃𝑢 ∈ (UFil‘𝑋)(𝑋filGen𝑓) ⊆ 𝑢)
16 ssfg 22187 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝑓 ⊆ (𝑋filGen𝑓))
1711, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) → 𝑓 ⊆ (𝑋filGen𝑓))
1817adantr 473 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑢 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ (𝑋filGen𝑓) ⊆ 𝑢)) → 𝑓 ⊆ (𝑋filGen𝑓))
19 simprr 760 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑢 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ (𝑋filGen𝑓) ⊆ 𝑢)) → (𝑋filGen𝑓) ⊆ 𝑢)
2018, 19sstrd 3870 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑢 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ (𝑋filGen𝑓) ⊆ 𝑢)) → 𝑓𝑢)
21 filtop 22170 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (Fil‘𝑌) → 𝑌𝑓)
2221ad2antlr 714 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑢 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ (𝑋filGen𝑓) ⊆ 𝑢)) → 𝑌𝑓)
2320, 22sseldd 3861 . . . . . 6 ((((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑢 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ (𝑋filGen𝑓) ⊆ 𝑢)) → 𝑌𝑢)
24 simprl 758 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑢 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ (𝑋filGen𝑓) ⊆ 𝑢)) → 𝑢 ∈ (UFil‘𝑋))
256adantr 473 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑢 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ (𝑋filGen𝑓) ⊆ 𝑢)) → 𝑌𝑋)
26 trufil 22225 . . . . . . 7 ((𝑢 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → ((𝑢t 𝑌) ∈ (UFil‘𝑌) ↔ 𝑌𝑢))
2724, 25, 26syl2anc 576 . . . . . 6 ((((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑢 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ (𝑋filGen𝑓) ⊆ 𝑢)) → ((𝑢t 𝑌) ∈ (UFil‘𝑌) ↔ 𝑌𝑢))
2823, 27mpbird 249 . . . . 5 ((((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑢 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ (𝑋filGen𝑓) ⊆ 𝑢)) → (𝑢t 𝑌) ∈ (UFil‘𝑌))
295adantr 473 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑢 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ (𝑋filGen𝑓) ⊆ 𝑢)) → 𝑓 ⊆ 𝒫 𝑌)
30 restid2 16563 . . . . . . 7 ((𝑌𝑓𝑓 ⊆ 𝒫 𝑌) → (𝑓t 𝑌) = 𝑓)
3122, 29, 30syl2anc 576 . . . . . 6 ((((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑢 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ (𝑋filGen𝑓) ⊆ 𝑢)) → (𝑓t 𝑌) = 𝑓)
32 ssrest 21491 . . . . . . 7 ((𝑢 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑓𝑢) → (𝑓t 𝑌) ⊆ (𝑢t 𝑌))
3324, 20, 32syl2anc 576 . . . . . 6 ((((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑢 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ (𝑋filGen𝑓) ⊆ 𝑢)) → (𝑓t 𝑌) ⊆ (𝑢t 𝑌))
3431, 33eqsstr3d 3898 . . . . 5 ((((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑢 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ (𝑋filGen𝑓) ⊆ 𝑢)) → 𝑓 ⊆ (𝑢t 𝑌))
35 sseq2 3885 . . . . . 6 (𝑔 = (𝑢t 𝑌) → (𝑓𝑔𝑓 ⊆ (𝑢t 𝑌)))
3635rspcev 3535 . . . . 5 (((𝑢t 𝑌) ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑢t 𝑌)) → ∃𝑔 ∈ (UFil‘𝑌)𝑓𝑔)
3728, 34, 36syl2anc 576 . . . 4 ((((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑢 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ (𝑋filGen𝑓) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑔 ∈ (UFil‘𝑌)𝑓𝑔)
3815, 37rexlimddv 3236 . . 3 (((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) → ∃𝑔 ∈ (UFil‘𝑌)𝑓𝑔)
3938ralrimiva 3132 . 2 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) → ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)∃𝑔 ∈ (UFil‘𝑌)𝑓𝑔)
40 ssexg 5084 . . . 4 ((𝑌𝑋𝑋 ∈ UFL) → 𝑌 ∈ V)
4140ancoms 451 . . 3 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) → 𝑌 ∈ V)
42 isufl 22228 . . 3 (𝑌 ∈ V → (𝑌 ∈ UFL ↔ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)∃𝑔 ∈ (UFil‘𝑌)𝑓𝑔))
4341, 42syl 17 . 2 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) → (𝑌 ∈ UFL ↔ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)∃𝑔 ∈ (UFil‘𝑌)𝑓𝑔))
4439, 43mpbird 249 1 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) → 𝑌 ∈ UFL)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  wral 3088  wrex 3089  Vcvv 3415  wss 3831  𝒫 cpw 4423  cfv 6190  (class class class)co 6978  t crest 16553  fBascfbas 20238  filGencfg 20239  Filcfil 22160  UFilcufil 22214  UFLcufl 22215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-op 4449  df-uni 4714  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-id 5313  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-rest 16555  df-fbas 20247  df-fg 20248  df-fil 22161  df-ufil 22216  df-ufl 22217
This theorem is referenced by:  ufldom  22277
  Copyright terms: Public domain W3C validator