MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssufl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssufl 23926
Description: If 𝑌 is a subset of 𝑋 and filters extend to ultrafilters in 𝑋, then they still do in 𝑌. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ssufl ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) → 𝑌 ∈ UFL)

Proof of Theorem ssufl
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 767 . . . . 5 (((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) → 𝑋 ∈ UFL)
2 filfbas 23856 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (Fil‘𝑌) → 𝑓 ∈ (fBas‘𝑌))
32adantl 481 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) → 𝑓 ∈ (fBas‘𝑌))
4 filsspw 23859 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (Fil‘𝑌) → 𝑓 ⊆ 𝒫 𝑌)
54adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) → 𝑓 ⊆ 𝒫 𝑌)
6 simplr 769 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) → 𝑌𝑋)
76sspwd 4613 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) → 𝒫 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋)
85, 7sstrd 3994 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) → 𝑓 ⊆ 𝒫 𝑋)
9 fbasweak 23873 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑓 ⊆ 𝒫 𝑋𝑋 ∈ UFL) → 𝑓 ∈ (fBas‘𝑋))
103, 8, 1, 9syl3anc 1373 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) → 𝑓 ∈ (fBas‘𝑋))
11 fgcl 23886 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen𝑓) ∈ (Fil‘𝑋))
1210, 11syl 17 . . . . 5 (((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) → (𝑋filGen𝑓) ∈ (Fil‘𝑋))
13 ufli 23922 . . . . 5 ((𝑋 ∈ UFL ∧ (𝑋filGen𝑓) ∈ (Fil‘𝑋)) → ∃𝑢 ∈ (UFil‘𝑋)(𝑋filGen𝑓) ⊆ 𝑢)
141, 12, 13syl2anc 584 . . . 4 (((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) → ∃𝑢 ∈ (UFil‘𝑋)(𝑋filGen𝑓) ⊆ 𝑢)
15 ssfg 23880 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝑓 ⊆ (𝑋filGen𝑓))
1610, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) → 𝑓 ⊆ (𝑋filGen𝑓))
1716adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑢 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ (𝑋filGen𝑓) ⊆ 𝑢)) → 𝑓 ⊆ (𝑋filGen𝑓))
18 simprr 773 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑢 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ (𝑋filGen𝑓) ⊆ 𝑢)) → (𝑋filGen𝑓) ⊆ 𝑢)
1917, 18sstrd 3994 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑢 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ (𝑋filGen𝑓) ⊆ 𝑢)) → 𝑓𝑢)
20 filtop 23863 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (Fil‘𝑌) → 𝑌𝑓)
2120ad2antlr 727 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑢 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ (𝑋filGen𝑓) ⊆ 𝑢)) → 𝑌𝑓)
2219, 21sseldd 3984 . . . . . 6 ((((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑢 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ (𝑋filGen𝑓) ⊆ 𝑢)) → 𝑌𝑢)
23 simprl 771 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑢 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ (𝑋filGen𝑓) ⊆ 𝑢)) → 𝑢 ∈ (UFil‘𝑋))
246adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑢 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ (𝑋filGen𝑓) ⊆ 𝑢)) → 𝑌𝑋)
25 trufil 23918 . . . . . . 7 ((𝑢 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → ((𝑢t 𝑌) ∈ (UFil‘𝑌) ↔ 𝑌𝑢))
2623, 24, 25syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑢 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ (𝑋filGen𝑓) ⊆ 𝑢)) → ((𝑢t 𝑌) ∈ (UFil‘𝑌) ↔ 𝑌𝑢))
2722, 26mpbird 257 . . . . 5 ((((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑢 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ (𝑋filGen𝑓) ⊆ 𝑢)) → (𝑢t 𝑌) ∈ (UFil‘𝑌))
285adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑢 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ (𝑋filGen𝑓) ⊆ 𝑢)) → 𝑓 ⊆ 𝒫 𝑌)
29 restid2 17475 . . . . . . 7 ((𝑌𝑓𝑓 ⊆ 𝒫 𝑌) → (𝑓t 𝑌) = 𝑓)
3021, 28, 29syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑢 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ (𝑋filGen𝑓) ⊆ 𝑢)) → (𝑓t 𝑌) = 𝑓)
31 ssrest 23184 . . . . . . 7 ((𝑢 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑓𝑢) → (𝑓t 𝑌) ⊆ (𝑢t 𝑌))
3223, 19, 31syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑢 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ (𝑋filGen𝑓) ⊆ 𝑢)) → (𝑓t 𝑌) ⊆ (𝑢t 𝑌))
3330, 32eqsstrrd 4019 . . . . 5 ((((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑢 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ (𝑋filGen𝑓) ⊆ 𝑢)) → 𝑓 ⊆ (𝑢t 𝑌))
34 sseq2 4010 . . . . . 6 (𝑔 = (𝑢t 𝑌) → (𝑓𝑔𝑓 ⊆ (𝑢t 𝑌)))
3534rspcev 3622 . . . . 5 (((𝑢t 𝑌) ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑢t 𝑌)) → ∃𝑔 ∈ (UFil‘𝑌)𝑓𝑔)
3627, 33, 35syl2anc 584 . . . 4 ((((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑢 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ (𝑋filGen𝑓) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑔 ∈ (UFil‘𝑌)𝑓𝑔)
3714, 36rexlimddv 3161 . . 3 (((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) → ∃𝑔 ∈ (UFil‘𝑌)𝑓𝑔)
3837ralrimiva 3146 . 2 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) → ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)∃𝑔 ∈ (UFil‘𝑌)𝑓𝑔)
39 ssexg 5323 . . . 4 ((𝑌𝑋𝑋 ∈ UFL) → 𝑌 ∈ V)
4039ancoms 458 . . 3 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) → 𝑌 ∈ V)
41 isufl 23921 . . 3 (𝑌 ∈ V → (𝑌 ∈ UFL ↔ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)∃𝑔 ∈ (UFil‘𝑌)𝑓𝑔))
4240, 41syl 17 . 2 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) → (𝑌 ∈ UFL ↔ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)∃𝑔 ∈ (UFil‘𝑌)𝑓𝑔))
4338, 42mpbird 257 1 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) → 𝑌 ∈ UFL)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  wss 3951  𝒫 cpw 4600  cfv 6561  (class class class)co 7431  t crest 17465  fBascfbas 21352  filGencfg 21353  Filcfil 23853  UFilcufil 23907  UFLcufl 23908
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-rest 17467  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-fil 23854  df-ufil 23909  df-ufl 23910
This theorem is referenced by:  ufldom  23970
  Copyright terms: Public domain W3C validator