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Theorem fgabs 22484
Description: Absorption law for filter generation. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
fgabs ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) → (𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)) = (𝑋filGen𝐹))

Proof of Theorem fgabs
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑌))
2 fgcl 22483 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) → (𝑌filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑌))
3 filfbas 22453 . . . . . . . . 9 ((𝑌filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑌) → (𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑌))
41, 2, 33syl 18 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑌))
5 fbsspw 22437 . . . . . . . . . 10 ((𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑌) → (𝑌filGen𝐹) ⊆ 𝒫 𝑌)
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝑌filGen𝐹) ⊆ 𝒫 𝑌)
7 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝑌𝑋)
87sspwd 4512 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝒫 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋)
96, 8sstrd 3925 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝑌filGen𝐹) ⊆ 𝒫 𝑋)
10 simpr 488 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝑋 ∈ V)
11 fbasweak 22470 . . . . . . . 8 (((𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑌) ∧ (𝑌filGen𝐹) ⊆ 𝒫 𝑋𝑋 ∈ V) → (𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑋))
124, 9, 10, 11syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑋))
13 elfg 22476 . . . . . . 7 ((𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑥 ∈ (𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)) ↔ (𝑥𝑋 ∧ ∃𝑦 ∈ (𝑌filGen𝐹)𝑦𝑥)))
1412, 13syl 17 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝑥 ∈ (𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)) ↔ (𝑥𝑋 ∧ ∃𝑦 ∈ (𝑌filGen𝐹)𝑦𝑥)))
151adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑌))
16 elfg 22476 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) → (𝑦 ∈ (𝑌filGen𝐹) ↔ (𝑦𝑌 ∧ ∃𝑧𝐹 𝑧𝑦)))
1715, 16syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑦 ∈ (𝑌filGen𝐹) ↔ (𝑦𝑌 ∧ ∃𝑧𝐹 𝑧𝑦)))
18 fbsspw 22437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌)
191, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌)
2019, 8sstrd 3925 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
21 fbasweak 22470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋𝑋 ∈ V) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
221, 20, 10, 21syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
23 fgcl 22483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋))
2524ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌)) ∧ ((𝑧𝐹𝑧𝑦) ∧ 𝑦𝑥)) → (𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋))
26 ssfg 22477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝐹 ⊆ (𝑋filGen𝐹))
2722, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝐹 ⊆ (𝑋filGen𝐹))
2827adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌)) → 𝐹 ⊆ (𝑋filGen𝐹))
2928sselda 3915 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌)) ∧ 𝑧𝐹) → 𝑧 ∈ (𝑋filGen𝐹))
3029adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌)) ∧ (𝑧𝐹𝑧𝑦)) → 𝑧 ∈ (𝑋filGen𝐹))
3130adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌)) ∧ ((𝑧𝐹𝑧𝑦) ∧ 𝑦𝑥)) → 𝑧 ∈ (𝑋filGen𝐹))
32 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌)) ∧ ((𝑧𝐹𝑧𝑦) ∧ 𝑦𝑥)) → 𝑥𝑋)
33 simprlr 779 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌)) ∧ ((𝑧𝐹𝑧𝑦) ∧ 𝑦𝑥)) → 𝑧𝑦)
34 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌)) ∧ ((𝑧𝐹𝑧𝑦) ∧ 𝑦𝑥)) → 𝑦𝑥)
3533, 34sstrd 3925 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌)) ∧ ((𝑧𝐹𝑧𝑦) ∧ 𝑦𝑥)) → 𝑧𝑥)
36 filss 22458 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋filGen𝐹) ∧ 𝑥𝑋𝑧𝑥)) → 𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹))
3725, 31, 32, 35, 36syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌)) ∧ ((𝑧𝐹𝑧𝑦) ∧ 𝑦𝑥)) → 𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹))
3837expr 460 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌)) ∧ (𝑧𝐹𝑧𝑦)) → (𝑦𝑥𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹)))
3938rexlimdvaa 3244 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌)) → (∃𝑧𝐹 𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹))))
4039anassrs 471 . . . . . . . . . 10 (((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑌) → (∃𝑧𝐹 𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹))))
4140expimpd 457 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑦𝑌 ∧ ∃𝑧𝐹 𝑧𝑦) → (𝑦𝑥𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹))))
4217, 41sylbid 243 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑦 ∈ (𝑌filGen𝐹) → (𝑦𝑥𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹))))
4342rexlimdv 3242 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ 𝑥𝑋) → (∃𝑦 ∈ (𝑌filGen𝐹)𝑦𝑥𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹)))
4443expimpd 457 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → ((𝑥𝑋 ∧ ∃𝑦 ∈ (𝑌filGen𝐹)𝑦𝑥) → 𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹)))
4514, 44sylbid 243 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝑥 ∈ (𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)) → 𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹)))
4645ssrdv 3921 . . . 4 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)) ⊆ (𝑋filGen𝐹))
47 ssfg 22477 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝐹 ⊆ (𝑌filGen𝐹))
4847ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝐹 ⊆ (𝑌filGen𝐹))
49 fgss 22478 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ (𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐹 ⊆ (𝑌filGen𝐹)) → (𝑋filGen𝐹) ⊆ (𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)))
5022, 12, 48, 49syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝑋filGen𝐹) ⊆ (𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)))
5146, 50eqssd 3932 . . 3 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)) = (𝑋filGen𝐹))
5251ex 416 . 2 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) → (𝑋 ∈ V → (𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)) = (𝑋filGen𝐹)))
53 df-fg 20089 . . . . 5 filGen = (𝑤 ∈ V, 𝑥 ∈ (fBas‘𝑤) ↦ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑤 ∣ (𝑥 ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅})
5453reldmmpo 7264 . . . 4 Rel dom filGen
5554ovprc1 7174 . . 3 𝑋 ∈ V → (𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)) = ∅)
5654ovprc1 7174 . . 3 𝑋 ∈ V → (𝑋filGen𝐹) = ∅)
5755, 56eqtr4d 2836 . 2 𝑋 ∈ V → (𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)) = (𝑋filGen𝐹))
5852, 57pm2.61d1 183 1 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) → (𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)) = (𝑋filGen𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2111  wne 2987  wrex 3107  {crab 3110  Vcvv 3441  cin 3880  wss 3881  c0 4243  𝒫 cpw 4497  cfv 6324  (class class class)co 7135  fBascfbas 20079  filGencfg 20080  Filcfil 22450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-fbas 20088  df-fg 20089  df-fil 22451
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