MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfiluweak Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cfiluweak 24021
Description: A Cauchy filter base is also a Cauchy filter base on any coarser uniform structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
cfiluweak ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜(π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴)))) β†’ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ))
Proof of Theorem cfiluweak
Dummy variables 𝑒 π‘Ž 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 trust 23955 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (UnifOnβ€˜π΄))
2 iscfilu 24014 . . . . . 6 ((π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (UnifOnβ€˜π΄) β†’ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜(π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))) ↔ (𝐹 ∈ (fBasβ€˜π΄) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐹 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑒)))
32biimpa 476 . . . . 5 (((π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (UnifOnβ€˜π΄) ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜(π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴)))) β†’ (𝐹 ∈ (fBasβ€˜π΄) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐹 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑒))
41, 3stoic3 1777 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜(π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴)))) β†’ (𝐹 ∈ (fBasβ€˜π΄) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐹 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑒))
54simpld 494 . . 3 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜(π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴)))) β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜π΄))
6 fbsspw 23557 . . . . 5 (𝐹 ∈ (fBasβ€˜π΄) β†’ 𝐹 βŠ† 𝒫 𝐴)
75, 6syl 17 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜(π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴)))) β†’ 𝐹 βŠ† 𝒫 𝐴)
8 simp2 1136 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜(π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴)))) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
98sspwd 4615 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜(π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴)))) β†’ 𝒫 𝐴 βŠ† 𝒫 𝑋)
107, 9sstrd 3992 . . 3 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜(π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴)))) β†’ 𝐹 βŠ† 𝒫 𝑋)
11 simp1 1135 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜(π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴)))) β†’ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹))
1211elfvexd 6930 . . 3 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜(π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴)))) β†’ 𝑋 ∈ V)
13 fbasweak 23590 . . 3 ((𝐹 ∈ (fBasβ€˜π΄) ∧ 𝐹 βŠ† 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ V) β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
145, 10, 12, 13syl3anc 1370 . 2 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜(π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴)))) β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
15 sseq2 4008 . . . . . 6 (𝑒 = (𝑣 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) β†’ ((π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑒 ↔ (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† (𝑣 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
1615rexbidv 3177 . . . . 5 (𝑒 = (𝑣 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐹 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑒 ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐹 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† (𝑣 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
174simprd 495 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜(π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴)))) β†’ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐹 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑒)
1817adantr 480 . . . . 5 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜(π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴)))) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐹 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑒)
1911adantr 480 . . . . . 6 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜(π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴)))) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹))
2012adantr 480 . . . . . . . 8 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜(π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴)))) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ V)
218adantr 480 . . . . . . . 8 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜(π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴)))) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
2220, 21ssexd 5324 . . . . . . 7 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜(π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴)))) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐴 ∈ V)
2322, 22xpexd 7742 . . . . . 6 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜(π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴)))) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐴 Γ— 𝐴) ∈ V)
24 simpr 484 . . . . . 6 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜(π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴)))) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑣 ∈ π‘ˆ)
25 elrestr 17379 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 Γ— 𝐴) ∈ V ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑣 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴)))
2619, 23, 24, 25syl3anc 1370 . . . . 5 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜(π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴)))) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑣 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴)))
2716, 18, 26rspcdva 3613 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜(π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴)))) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐹 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† (𝑣 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))
28 inss1 4228 . . . . . 6 (𝑣 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) βŠ† 𝑣
29 sstr 3990 . . . . . 6 (((π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† (𝑣 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∧ (𝑣 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) βŠ† 𝑣) β†’ (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣)
3028, 29mpan2 688 . . . . 5 ((π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† (𝑣 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) β†’ (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣)
3130reximi 3083 . . . 4 (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐹 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† (𝑣 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐹 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣)
3227, 31syl 17 . . 3 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜(π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴)))) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐹 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣)
3332ralrimiva 3145 . 2 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜(π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴)))) β†’ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐹 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣)
34 iscfilu 24014 . . 3 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ↔ (𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐹 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣)))
35343ad2ant1 1132 . 2 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜(π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴)))) β†’ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ↔ (𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐹 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣)))
3614, 33, 35mpbir2and 710 1 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜(π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴)))) β†’ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  Vcvv 3473   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602   Γ— cxp 5674  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   β†Ύt crest 17371  fBascfbas 21133  UnifOncust 23925  CauFiluccfilu 24012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-rest 17373  df-fbas 21142  df-ust 23926  df-cfilu 24013
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator