MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trfg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trfg 23739
Description: The trace operation and the filGen operation are inverses to one another in some sense, with filGen growing the base set and t shrinking it. See fgtr 23738 for the converse cancellation law. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
trfg ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝐴) = 𝐹)

Proof of Theorem trfg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 filfbas 23696 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝐴))
213ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝐴))
3 filsspw 23699 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝐴)
433ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝐴)
5 simp2 1134 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → 𝐴𝑋)
65sspwd 4608 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → 𝒫 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋)
74, 6sstrd 3985 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
8 simp3 1135 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → 𝑋𝑉)
9 fbasweak 23713 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐴) ∧ 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋𝑋𝑉) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
102, 7, 8, 9syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
11 fgcl 23726 . . . . 5 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋))
1210, 11syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → (𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋))
13 filtop 23703 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) → 𝐴𝐹)
14133ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → 𝐴𝐹)
15 restval 17377 . . . 4 (((𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) → ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝐴) = ran (𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↦ (𝑥𝐴)))
1612, 14, 15syl2anc 583 . . 3 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝐴) = ran (𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↦ (𝑥𝐴)))
17 elfg 23719 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ (𝑥𝑋 ∧ ∃𝑦𝐹 𝑦𝑥)))
1810, 17syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → (𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ (𝑥𝑋 ∧ ∃𝑦𝐹 𝑦𝑥)))
1918simplbda 499 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹)) → ∃𝑦𝐹 𝑦𝑥)
20 simpll1 1209 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹)) ∧ (𝑦𝐹𝑦𝑥)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝐴))
21 simprl 768 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹)) ∧ (𝑦𝐹𝑦𝑥)) → 𝑦𝐹)
22 inss2 4222 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴) ⊆ 𝐴
2322a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹)) ∧ (𝑦𝐹𝑦𝑥)) → (𝑥𝐴) ⊆ 𝐴)
24 simprr 770 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹)) ∧ (𝑦𝐹𝑦𝑥)) → 𝑦𝑥)
25 filelss 23700 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝑦𝐹) → 𝑦𝐴)
26253ad2antl1 1182 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑦𝐹) → 𝑦𝐴)
2726ad2ant2r 744 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹)) ∧ (𝑦𝐹𝑦𝑥)) → 𝑦𝐴)
2824, 27ssind 4225 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹)) ∧ (𝑦𝐹𝑦𝑥)) → 𝑦 ⊆ (𝑥𝐴))
29 filss 23701 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ (𝑦𝐹 ∧ (𝑥𝐴) ⊆ 𝐴𝑦 ⊆ (𝑥𝐴))) → (𝑥𝐴) ∈ 𝐹)
3020, 21, 23, 28, 29syl13anc 1369 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹)) ∧ (𝑦𝐹𝑦𝑥)) → (𝑥𝐴) ∈ 𝐹)
3119, 30rexlimddv 3153 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹)) → (𝑥𝐴) ∈ 𝐹)
3231fmpttd 7107 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → (𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↦ (𝑥𝐴)):(𝑋filGen𝐹)⟶𝐹)
3332frnd 6716 . . 3 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → ran (𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↦ (𝑥𝐴)) ⊆ 𝐹)
3416, 33eqsstrd 4013 . 2 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝐴) ⊆ 𝐹)
35 filelss 23700 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝑥𝐹) → 𝑥𝐴)
36353ad2antl1 1182 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥𝐹) → 𝑥𝐴)
37 df-ss 3958 . . . 4 (𝑥𝐴 ↔ (𝑥𝐴) = 𝑥)
3836, 37sylib 217 . . 3 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥𝐹) → (𝑥𝐴) = 𝑥)
3912adantr 480 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥𝐹) → (𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋))
4014adantr 480 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥𝐹) → 𝐴𝐹)
41 ssfg 23720 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝐹 ⊆ (𝑋filGen𝐹))
4210, 41syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → 𝐹 ⊆ (𝑋filGen𝐹))
4342sselda 3975 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥𝐹) → 𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹))
44 elrestr 17379 . . . 4 (((𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹)) → (𝑥𝐴) ∈ ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝐴))
4539, 40, 43, 44syl3anc 1368 . . 3 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥𝐹) → (𝑥𝐴) ∈ ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝐴))
4638, 45eqeltrrd 2826 . 2 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥𝐹) → 𝑥 ∈ ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝐴))
4734, 46eqelssd 3996 1 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝐴) = 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wrex 3062  cin 3940  wss 3941  𝒫 cpw 4595  cmpt 5222  ran crn 5668  cfv 6534  (class class class)co 7402  t crest 17371  fBascfbas 21222  filGencfg 21223  Filcfil 23693
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-rest 17373  df-fbas 21231  df-fg 21232  df-fil 23694
This theorem is referenced by:  cmetss  25188  minveclem4a  25302
  Copyright terms: Public domain W3C validator