Theorem cfilresi 24469

Description: A Cauchy filter on a metric subspace extends to a Cauchy filter in the larger space. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cfilresi	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (𝑋filGen𝐹) ∈ (CauFil‘𝐷))

Proof of Theorem cfilresi

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetres 23527	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
2		iscfil2 24440	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑌)) → (𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)))
3	2	simplbda 500	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)
4	1, 3	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)
5		cfilfil 24441	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐹 ∈ (Fil‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
6	1, 5	sylan 580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐹 ∈ (Fil‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
7		filelss 23013	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → 𝑦 ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌))
8	6, 7	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → 𝑦 ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌))
9		inss2 4163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌
10	8, 9	sstrdi 3932	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → 𝑦 ⊆ 𝑌)
11	10	sselda 3920	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ 𝑢 ∈ 𝑦) → 𝑢 ∈ 𝑌)
12	10	sselda 3920	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑦) → 𝑣 ∈ 𝑌)
13	11, 12	anim12dan 619	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑢 ∈ 𝑦 ∧ 𝑣 ∈ 𝑦)) → (𝑢 ∈ 𝑌 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))
14		ovres 7428	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌) → (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) = (𝑢𝐷𝑣))
15	13, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑢 ∈ 𝑦 ∧ 𝑣 ∈ 𝑦)) → (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) = (𝑢𝐷𝑣))
16	15	breq1d 5083	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑢 ∈ 𝑦 ∧ 𝑣 ∈ 𝑦)) → ((𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
17	16	2ralbidva 3122	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
18	17	rexbidva 3223	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
19	18	ralbidv 3121	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
20	4, 19	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥)
21		filfbas 23009	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘(𝑋 ∩ 𝑌)) → 𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
22	6, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
23		filsspw 23012	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘(𝑋 ∩ 𝑌)) → 𝐹 ⊆ 𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌))
24	6, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐹 ⊆ 𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌))
25		inss1 4162	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑋
26	25	sspwi 4547	. . . . 5 ⊢ 𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝒫 𝑋
27	24, 26	sstrdi 3932	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
28		elfvdm 6798	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
29	28	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
30		fbasweak 23026	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ∧ 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ dom ∞Met) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
31	22, 27, 29, 30	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
32		fgcfil 24445	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋)) → ((𝑋filGen𝐹) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
33	31, 32	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ((𝑋filGen𝐹) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
34	20, 33	mpbird 256	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (𝑋filGen𝐹) ∈ (CauFil‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   ∩ cin 3885   ⊆ wss 3886  𝒫 cpw 4533   class class class wbr 5073   × cxp 5582  dom cdm 5584   ↾ cres 5586  ‘cfv 6426  (class class class)co 7267   < clt 11019  ℝ⁺crp 12740  ∞Metcxmet 20592  fBascfbas 20595  filGencfg 20596  Filcfil 23006  CauFilccfil 24426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-id 5484  df-po 5498  df-so 5499  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-er 8485  df-map 8604  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-div 11643  df-2 12046  df-rp 12741  df-xneg 12858  df-xadd 12859  df-xmul 12860  df-ico 13095  df-xmet 20600  df-fbas 20604  df-fg 20605  df-fil 23007  df-cfil 24429

This theorem is referenced by:  cfilres  24470  cmetss  24490