MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfilresi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cfilresi 24804
Description: A Cauchy filter on a metric subspace extends to a Cauchy filter in the larger space. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfilresi ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ (𝑋filGen𝐹) ∈ (CauFilβ€˜π·))
Proof of Theorem cfilresi
Dummy variables 𝑒 𝑣 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xmetres 23862 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
2 iscfil2 24775 . . . . 5 ((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) ↔ (𝐹 ∈ (Filβ€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯)))
32simplbda 501 . . . 4 (((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯)
41, 3sylan 581 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯)
5 cfilfil 24776 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝐹 ∈ (Filβ€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
61, 5sylan 581 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝐹 ∈ (Filβ€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
7 filelss 23348 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ 𝑦 βŠ† (𝑋 ∩ π‘Œ))
86, 7sylan 581 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ 𝑦 βŠ† (𝑋 ∩ π‘Œ))
9 inss2 4229 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† π‘Œ
108, 9sstrdi 3994 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ 𝑦 βŠ† π‘Œ)
1110sselda 3982 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ 𝑒 ∈ 𝑦) β†’ 𝑒 ∈ π‘Œ)
1210sselda 3982 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑦) β†’ 𝑣 ∈ π‘Œ)
1311, 12anim12dan 620 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑒 ∈ 𝑦 ∧ 𝑣 ∈ 𝑦)) β†’ (𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ))
14 ovres 7570 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) = (𝑒𝐷𝑣))
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑒 ∈ 𝑦 ∧ 𝑣 ∈ 𝑦)) β†’ (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) = (𝑒𝐷𝑣))
1615breq1d 5158 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑒 ∈ 𝑦 ∧ 𝑣 ∈ 𝑦)) β†’ ((𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯ ↔ (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯))
17162ralbidva 3217 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯))
1817rexbidva 3177 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯ ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯))
1918ralbidv 3178 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯))
204, 19mpbid 231 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯)
21 filfbas 23344 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Filβ€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
226, 21syl 17 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
23 filsspw 23347 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Filβ€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ 𝐹 βŠ† 𝒫 (𝑋 ∩ π‘Œ))
246, 23syl 17 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝐹 βŠ† 𝒫 (𝑋 ∩ π‘Œ))
25 inss1 4228 . . . . . 6 (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† 𝑋
2625sspwi 4614 . . . . 5 𝒫 (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† 𝒫 𝑋
2724, 26sstrdi 3994 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝐹 βŠ† 𝒫 𝑋)
28 elfvdm 6926 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ dom ∞Met)
2928adantr 482 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝑋 ∈ dom ∞Met)
30 fbasweak 23361 . . . 4 ((𝐹 ∈ (fBasβ€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) ∧ 𝐹 βŠ† 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ dom ∞Met) β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
3122, 27, 29, 30syl3anc 1372 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
32 fgcfil 24780 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝑋filGen𝐹) ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯))
3331, 32syldan 592 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ ((𝑋filGen𝐹) ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯))
3420, 33mpbird 257 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ (𝑋filGen𝐹) ∈ (CauFilβ€˜π·))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676   β†Ύ cres 5678  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406   < clt 11245  β„+crp 12971  βˆžMetcxmet 20922  fBascfbas 20925  filGencfg 20926  Filcfil 23341  CauFilccfil 24761
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-2 12272  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ico 13327  df-xmet 20930  df-fbas 20934  df-fg 20935  df-fil 23342  df-cfil 24764
This theorem is referenced by:  cfilres  24805  cmetss  24825
  Copyright terms: Public domain W3C validator