MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfilresi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cfilresi 23890
Description: A Cauchy filter on a metric subspace extends to a Cauchy filter in the larger space. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfilresi ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (𝑋filGen𝐹) ∈ (CauFil‘𝐷))

Proof of Theorem cfilresi
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xmetres 22966 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋𝑌)))
2 iscfil2 23861 . . . . 5 ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋𝑌)) → (𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘(𝑋𝑌)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐹𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)))
32simplbda 502 . . . 4 (((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐹𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)
41, 3sylan 582 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐹𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)
5 cfilfil 23862 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐹 ∈ (Fil‘(𝑋𝑌)))
61, 5sylan 582 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐹 ∈ (Fil‘(𝑋𝑌)))
7 filelss 22452 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Fil‘(𝑋𝑌)) ∧ 𝑦𝐹) → 𝑦 ⊆ (𝑋𝑌))
86, 7sylan 582 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) ∧ 𝑦𝐹) → 𝑦 ⊆ (𝑋𝑌))
9 inss2 4204 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑌
108, 9sstrdi 3977 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) ∧ 𝑦𝐹) → 𝑦𝑌)
1110sselda 3965 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) ∧ 𝑦𝐹) ∧ 𝑢𝑦) → 𝑢𝑌)
1210sselda 3965 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) ∧ 𝑦𝐹) ∧ 𝑣𝑦) → 𝑣𝑌)
1311, 12anim12dan 620 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) ∧ 𝑦𝐹) ∧ (𝑢𝑦𝑣𝑦)) → (𝑢𝑌𝑣𝑌))
14 ovres 7306 . . . . . . . 8 ((𝑢𝑌𝑣𝑌) → (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) = (𝑢𝐷𝑣))
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) ∧ 𝑦𝐹) ∧ (𝑢𝑦𝑣𝑦)) → (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) = (𝑢𝐷𝑣))
1615breq1d 5067 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) ∧ 𝑦𝐹) ∧ (𝑢𝑦𝑣𝑦)) → ((𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
17162ralbidva 3196 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) ∧ 𝑦𝐹) → (∀𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
1817rexbidva 3294 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (∃𝑦𝐹𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ ∃𝑦𝐹𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
1918ralbidv 3195 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐹𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐹𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
204, 19mpbid 234 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐹𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥)
21 filfbas 22448 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Fil‘(𝑋𝑌)) → 𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋𝑌)))
226, 21syl 17 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋𝑌)))
23 filsspw 22451 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Fil‘(𝑋𝑌)) → 𝐹 ⊆ 𝒫 (𝑋𝑌))
246, 23syl 17 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐹 ⊆ 𝒫 (𝑋𝑌))
25 inss1 4203 . . . . . 6 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑋
26 sspwb 5332 . . . . . 6 ((𝑋𝑌) ⊆ 𝑋 ↔ 𝒫 (𝑋𝑌) ⊆ 𝒫 𝑋)
2725, 26mpbi 232 . . . . 5 𝒫 (𝑋𝑌) ⊆ 𝒫 𝑋
2824, 27sstrdi 3977 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
29 elfvdm 6695 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
3029adantr 483 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
31 fbasweak 22465 . . . 4 ((𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋𝑌)) ∧ 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋𝑋 ∈ dom ∞Met) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
3222, 28, 30, 31syl3anc 1366 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
33 fgcfil 23866 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋)) → ((𝑋filGen𝐹) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐹𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
3432, 33syldan 593 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ((𝑋filGen𝐹) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐹𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
3520, 34mpbird 259 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (𝑋filGen𝐹) ∈ (CauFil‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1531  wcel 2108  wral 3136  wrex 3137  cin 3933  wss 3934  𝒫 cpw 4537   class class class wbr 5057   × cxp 5546  dom cdm 5548  cres 5550  cfv 6348  (class class class)co 7148   < clt 10667  +crp 12381  ∞Metcxmet 20522  fBascfbas 20525  filGencfg 20526  Filcfil 22445  CauFilccfil 23847
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-2 11692  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ico 12736  df-xmet 20530  df-fbas 20534  df-fg 20535  df-fil 22446  df-cfil 23850
This theorem is referenced by:  cfilres  23891  cmetss  23911
  Copyright terms: Public domain W3C validator