MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfilresi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cfilresi 24659
Description: A Cauchy filter on a metric subspace extends to a Cauchy filter in the larger space. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfilresi ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (𝑋filGen𝐹) ∈ (CauFil‘𝐷))

Proof of Theorem cfilresi
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xmetres 23717 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋𝑌)))
2 iscfil2 24630 . . . . 5 ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋𝑌)) → (𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘(𝑋𝑌)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐹𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)))
32simplbda 500 . . . 4 (((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐹𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)
41, 3sylan 580 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐹𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)
5 cfilfil 24631 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐹 ∈ (Fil‘(𝑋𝑌)))
61, 5sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐹 ∈ (Fil‘(𝑋𝑌)))
7 filelss 23203 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Fil‘(𝑋𝑌)) ∧ 𝑦𝐹) → 𝑦 ⊆ (𝑋𝑌))
86, 7sylan 580 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) ∧ 𝑦𝐹) → 𝑦 ⊆ (𝑋𝑌))
9 inss2 4189 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑌
108, 9sstrdi 3956 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) ∧ 𝑦𝐹) → 𝑦𝑌)
1110sselda 3944 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) ∧ 𝑦𝐹) ∧ 𝑢𝑦) → 𝑢𝑌)
1210sselda 3944 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) ∧ 𝑦𝐹) ∧ 𝑣𝑦) → 𝑣𝑌)
1311, 12anim12dan 619 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) ∧ 𝑦𝐹) ∧ (𝑢𝑦𝑣𝑦)) → (𝑢𝑌𝑣𝑌))
14 ovres 7520 . . . . . . . 8 ((𝑢𝑌𝑣𝑌) → (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) = (𝑢𝐷𝑣))
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) ∧ 𝑦𝐹) ∧ (𝑢𝑦𝑣𝑦)) → (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) = (𝑢𝐷𝑣))
1615breq1d 5115 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) ∧ 𝑦𝐹) ∧ (𝑢𝑦𝑣𝑦)) → ((𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
17162ralbidva 3210 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) ∧ 𝑦𝐹) → (∀𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
1817rexbidva 3173 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (∃𝑦𝐹𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ ∃𝑦𝐹𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
1918ralbidv 3174 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐹𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐹𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
204, 19mpbid 231 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐹𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥)
21 filfbas 23199 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Fil‘(𝑋𝑌)) → 𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋𝑌)))
226, 21syl 17 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋𝑌)))
23 filsspw 23202 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Fil‘(𝑋𝑌)) → 𝐹 ⊆ 𝒫 (𝑋𝑌))
246, 23syl 17 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐹 ⊆ 𝒫 (𝑋𝑌))
25 inss1 4188 . . . . . 6 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑋
2625sspwi 4572 . . . . 5 𝒫 (𝑋𝑌) ⊆ 𝒫 𝑋
2724, 26sstrdi 3956 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
28 elfvdm 6879 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
2928adantr 481 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
30 fbasweak 23216 . . . 4 ((𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋𝑌)) ∧ 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋𝑋 ∈ dom ∞Met) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
3122, 27, 29, 30syl3anc 1371 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
32 fgcfil 24635 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋)) → ((𝑋filGen𝐹) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐹𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
3331, 32syldan 591 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ((𝑋filGen𝐹) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐹𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
3420, 33mpbird 256 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (𝑋filGen𝐹) ∈ (CauFil‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  cin 3909  wss 3910  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5105   × cxp 5631  dom cdm 5633  cres 5635  cfv 6496  (class class class)co 7357   < clt 11189  +crp 12915  ∞Metcxmet 20781  fBascfbas 20784  filGencfg 20785  Filcfil 23196  CauFilccfil 24616
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-2 12216  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ico 13270  df-xmet 20789  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-fil 23197  df-cfil 24619
This theorem is referenced by:  cfilres  24660  cmetss  24680
  Copyright terms: Public domain W3C validator