Theorem cfilresi 25359

Description: A Cauchy filter on a metric subspace extends to a Cauchy filter in the larger space. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cfilresi	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (𝑋filGen𝐹) ∈ (CauFil‘𝐷))

Proof of Theorem cfilresi

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetres 24426	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
2		iscfil2 25330	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑌)) → (𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)))
3	2	simplbda 503	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)
4	1, 3	sylan 589	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)
5		cfilfil 25331	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐹 ∈ (Fil‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
6	1, 5	sylan 589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐹 ∈ (Fil‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
7		filelss 23914	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → 𝑦 ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌))
8	6, 7	sylan 589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → 𝑦 ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌))
9		inss2 4191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌
10	8, 9	sstrdi 3950	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → 𝑦 ⊆ 𝑌)
11	10	sselda 3938	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ 𝑢 ∈ 𝑦) → 𝑢 ∈ 𝑌)
12	10	sselda 3938	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑦) → 𝑣 ∈ 𝑌)
13	11, 12	anim12dan 628	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑢 ∈ 𝑦 ∧ 𝑣 ∈ 𝑦)) → (𝑢 ∈ 𝑌 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))
14		ovres 7564	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌) → (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) = (𝑢𝐷𝑣))
15	13, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑢 ∈ 𝑦 ∧ 𝑣 ∈ 𝑦)) → (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) = (𝑢𝐷𝑣))
16	15	breq1d 5112	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑢 ∈ 𝑦 ∧ 𝑣 ∈ 𝑦)) → ((𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
17	16	2ralbidva 3226	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
18	17	rexbidva 3186	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
19	18	ralbidv 3187	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
20	4, 19	mpbid 234	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥)
21		filfbas 23910	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘(𝑋 ∩ 𝑌)) → 𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
22	6, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
23		filsspw 23913	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘(𝑋 ∩ 𝑌)) → 𝐹 ⊆ 𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌))
24	6, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐹 ⊆ 𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌))
25		inss1 4190	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑋
26	25	sspwi 4569	. . . . 5 ⊢ 𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝒫 𝑋
27	24, 26	sstrdi 3950	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
28		elfvdm 6903	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
29	28	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
30		fbasweak 23927	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ∧ 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ dom ∞Met) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
31	22, 27, 29, 30	syl3anc 1392	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
32		fgcfil 25335	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋)) → ((𝑋filGen𝐹) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
33	31, 32	syldan 600	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ((𝑋filGen𝐹) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
34	20, 33	mpbird 259	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (𝑋filGen𝐹) ∈ (CauFil‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ∀wral 3078  ∃wrex 3088   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  𝒫 cpw 4557   class class class wbr 5102   × cxp 5647  dom cdm 5649   ↾ cres 5651  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398   < clt 11218  ℝ⁺crp 12995  ∞Metcxmet 21411  fBascfbas 21414  filGencfg 21415  Filcfil 23907  CauFilccfil 25316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-map 8812  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-rp 12996  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ico 13357  df-xmet 21419  df-fbas 21423  df-fg 21424  df-fil 23908  df-cfil 25319

This theorem is referenced by:  cfilres  25360  cmetss  25380