Theorem cfilresi 25616

Description: A Cauchy filter on a metric subspace extends to a Cauchy filter in the larger space. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cfilresi	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (𝑋filGen𝐹) ∈ (CauFil‘𝐷))

Proof of Theorem cfilresi

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetres 24683	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
2		iscfil2 25587	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑌)) → (𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)))
3	2	simplbda 505	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)
4	1, 3	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)
5		cfilfil 25588	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐹 ∈ (Fil‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
6	1, 5	sylan 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐹 ∈ (Fil‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
7		filelss 24171	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → 𝑦 ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌))
8	6, 7	sylan 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → 𝑦 ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌))
9		inss2 4134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌
10	8, 9	sstrdi 3920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → 𝑦 ⊆ 𝑌)
11	10	sselda 3908	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ 𝑢 ∈ 𝑦) → 𝑢 ∈ 𝑌)
12	10	sselda 3908	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑦) → 𝑣 ∈ 𝑌)
13	11, 12	anim12dan 631	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑢 ∈ 𝑦 ∧ 𝑣 ∈ 𝑦)) → (𝑢 ∈ 𝑌 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))
14		ovres 7586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌) → (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) = (𝑢𝐷𝑣))
15	13, 14	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑢 ∈ 𝑦 ∧ 𝑣 ∈ 𝑦)) → (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) = (𝑢𝐷𝑣))
16	15	breq1d 5112	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑢 ∈ 𝑦 ∧ 𝑣 ∈ 𝑦)) → ((𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
17	16	2ralbidva 3224	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
18	17	rexbidva 3184	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
19	18	ralbidv 3185	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
20	4, 19	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥)
21		filfbas 24167	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘(𝑋 ∩ 𝑌)) → 𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
22	6, 21	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
23		filsspw 24170	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘(𝑋 ∩ 𝑌)) → 𝐹 ⊆ 𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌))
24	6, 23	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐹 ⊆ 𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌))
25		inss1 4133	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑋
26	25	sspwi 4568	. . . . 5 ⊢ 𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝒫 𝑋
27	24, 26	sstrdi 3920	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
28		elfvdm 6919	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
29	28	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
30		fbasweak 24184	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ∧ 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ dom ∞Met) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
31	22, 27, 29, 30	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
32		fgcfil 25592	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋)) → ((𝑋filGen𝐹) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
33	31, 32	syldan 603	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ((𝑋filGen𝐹) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
34	20, 33	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (𝑋filGen𝐹) ∈ (CauFil‘𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089  𝒫 cpw 4556   class class class wbr 5102   × cxp 5648  dom cdm 5650   ↾ cres 5652  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   < clt 11343  ℝ⁺crp 13120  ∞Metcxmet 21663  fBascfbas 21666  filGencfg 21667  Filcfil 24164  CauFilccfil 25573

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ico 13482  df-xmet 21671  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-fil 24165  df-cfil 25576

This theorem is used by:  cfilres  25617  cmetss  25637