MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfilresi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cfilresi 25133
Description: A Cauchy filter on a metric subspace extends to a Cauchy filter in the larger space. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfilresi ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ (𝑋filGen𝐹) ∈ (CauFilβ€˜π·))
Proof of Theorem cfilresi
Dummy variables 𝑒 𝑣 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xmetres 24180 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
2 iscfil2 25104 . . . . 5 ((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) ↔ (𝐹 ∈ (Filβ€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯)))
32simplbda 499 . . . 4 (((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯)
41, 3sylan 579 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯)
5 cfilfil 25105 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝐹 ∈ (Filβ€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
61, 5sylan 579 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝐹 ∈ (Filβ€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
7 filelss 23666 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ 𝑦 βŠ† (𝑋 ∩ π‘Œ))
86, 7sylan 579 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ 𝑦 βŠ† (𝑋 ∩ π‘Œ))
9 inss2 4221 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† π‘Œ
108, 9sstrdi 3986 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ 𝑦 βŠ† π‘Œ)
1110sselda 3974 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ 𝑒 ∈ 𝑦) β†’ 𝑒 ∈ π‘Œ)
1210sselda 3974 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑦) β†’ 𝑣 ∈ π‘Œ)
1311, 12anim12dan 618 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑒 ∈ 𝑦 ∧ 𝑣 ∈ 𝑦)) β†’ (𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ))
14 ovres 7566 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) = (𝑒𝐷𝑣))
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑒 ∈ 𝑦 ∧ 𝑣 ∈ 𝑦)) β†’ (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) = (𝑒𝐷𝑣))
1615breq1d 5148 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑒 ∈ 𝑦 ∧ 𝑣 ∈ 𝑦)) β†’ ((𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯ ↔ (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯))
17162ralbidva 3208 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯))
1817rexbidva 3168 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯ ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯))
1918ralbidv 3169 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯))
204, 19mpbid 231 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯)
21 filfbas 23662 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Filβ€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
226, 21syl 17 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
23 filsspw 23665 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Filβ€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ 𝐹 βŠ† 𝒫 (𝑋 ∩ π‘Œ))
246, 23syl 17 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝐹 βŠ† 𝒫 (𝑋 ∩ π‘Œ))
25 inss1 4220 . . . . . 6 (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† 𝑋
2625sspwi 4606 . . . . 5 𝒫 (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† 𝒫 𝑋
2724, 26sstrdi 3986 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝐹 βŠ† 𝒫 𝑋)
28 elfvdm 6918 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ dom ∞Met)
2928adantr 480 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝑋 ∈ dom ∞Met)
30 fbasweak 23679 . . . 4 ((𝐹 ∈ (fBasβ€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) ∧ 𝐹 βŠ† 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ dom ∞Met) β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
3122, 27, 29, 30syl3anc 1368 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
32 fgcfil 25109 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝑋filGen𝐹) ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯))
3331, 32syldan 590 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ ((𝑋filGen𝐹) ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯))
3420, 33mpbird 257 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ (𝑋filGen𝐹) ∈ (CauFilβ€˜π·))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  βˆƒwrex 3062   ∩ cin 3939   βŠ† wss 3940  π’« cpw 4594   class class class wbr 5138   Γ— cxp 5664  dom cdm 5666   β†Ύ cres 5668  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401   < clt 11244  β„+crp 12970  βˆžMetcxmet 21208  fBascfbas 21211  filGencfg 21212  Filcfil 23659  CauFilccfil 25090
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-er 8698  df-map 8817  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-2 12271  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ico 13326  df-xmet 21216  df-fbas 21220  df-fg 21221  df-fil 23660  df-cfil 25093
This theorem is referenced by:  cfilres  25134  cmetss  25154
  Copyright terms: Public domain W3C validator