MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumval3lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumval3lem2 18948
Description: Lemma 2 for gsumval3 18949. (Contributed by AV, 31-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumval3.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumval3.0 0 = (0g𝐺)
gsumval3.p + = (+g𝐺)
gsumval3.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumval3.g (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
gsumval3.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumval3.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
gsumval3.c (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
gsumval3.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
gsumval3.h (𝜑𝐻:(1...𝑀)–1-1𝐴)
gsumval3.n (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻)
gsumval3.w 𝑊 = ((𝐹𝐻) supp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsumval3lem2 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐺 Σg 𝐹) = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)))
Distinct variable groups:   + ,𝑓   𝐴,𝑓   𝜑,𝑓   𝑓,𝐺   𝑓,𝑀   𝐵,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐻   𝑓,𝑊
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑓)   0 (𝑓)   𝑍(𝑓)

Proof of Theorem gsumval3lem2
Dummy variables 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumval3.h . . . . . . 7 (𝜑𝐻:(1...𝑀)–1-1𝐴)
2 f1f 6571 . . . . . . 7 (𝐻:(1...𝑀)–1-1𝐴𝐻:(1...𝑀)⟶𝐴)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐻:(1...𝑀)⟶𝐴)
4 fzfid 13334 . . . . . 6 (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
5 gsumval3.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑉)
6 fex2 7629 . . . . . 6 ((𝐻:(1...𝑀)⟶𝐴 ∧ (1...𝑀) ∈ Fin ∧ 𝐴𝑉) → 𝐻 ∈ V)
73, 4, 5, 6syl3anc 1365 . . . . 5 (𝜑𝐻 ∈ V)
8 vex 3502 . . . . 5 𝑓 ∈ V
9 coexg 7625 . . . . 5 ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ V) → (𝐻𝑓) ∈ V)
107, 8, 9sylancl 586 . . . 4 (𝜑 → (𝐻𝑓) ∈ V)
1110ad2antrr 722 . . 3 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻𝑓) ∈ V)
12 gsumval3.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
13 gsumval3.0 . . . . 5 0 = (0g𝐺)
14 gsumval3.p . . . . 5 + = (+g𝐺)
15 gsumval3.z . . . . 5 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
16 gsumval3.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
17 gsumval3.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
18 gsumval3.c . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
19 gsumval3.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
20 gsumval3.n . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻)
21 gsumval3.w . . . . 5 𝑊 = ((𝐹𝐻) supp 0 )
2212, 13, 14, 15, 16, 5, 17, 18, 19, 1, 20, 21gsumval3lem1 18947 . . . 4 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻𝑓):(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))
23 fzfi 13333 . . . . . . . 8 (1...𝑀) ∈ Fin
24 suppssdm 7837 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐻) supp 0 ) ⊆ dom (𝐹𝐻)
2521, 24eqsstri 4004 . . . . . . . . 9 𝑊 ⊆ dom (𝐹𝐻)
26 fco 6527 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐴𝐵𝐻:(1...𝑀)⟶𝐴) → (𝐹𝐻):(1...𝑀)⟶𝐵)
2717, 3, 26syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝐻):(1...𝑀)⟶𝐵)
2825, 27fssdm 6526 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ⊆ (1...𝑀))
29 ssfi 8730 . . . . . . . 8 (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ 𝑊 ⊆ (1...𝑀)) → 𝑊 ∈ Fin)
3023, 28, 29sylancr 587 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ Fin)
3130ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → 𝑊 ∈ Fin)
321ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → 𝐻:(1...𝑀)–1-1𝐴)
3328ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → 𝑊 ⊆ (1...𝑀))
34 f1ores 6625 . . . . . . . 8 ((𝐻:(1...𝑀)–1-1𝐴𝑊 ⊆ (1...𝑀)) → (𝐻𝑊):𝑊1-1-onto→(𝐻𝑊))
3532, 33, 34syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻𝑊):𝑊1-1-onto→(𝐻𝑊))
3621imaeq2i 5924 . . . . . . . . . 10 (𝐻𝑊) = (𝐻 “ ((𝐹𝐻) supp 0 ))
37 fex 6987 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:𝐴𝐵𝐴𝑉) → 𝐹 ∈ V)
3817, 5, 37syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 ∈ V)
39 ovex 7184 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...𝑀) ∈ V
40 fex 6987 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐻:(1...𝑀)⟶𝐴 ∧ (1...𝑀) ∈ V) → 𝐻 ∈ V)
413, 39, 40sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐻 ∈ V)
4238, 41jca 512 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V))
43 f1fun 6573 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐻:(1...𝑀)–1-1𝐴 → Fun 𝐻)
441, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → Fun 𝐻)
4544, 20jca 512 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (Fun 𝐻 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻))
46 imacosupp 7868 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) → ((Fun 𝐻 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻) → (𝐻 “ ((𝐹𝐻) supp 0 )) = (𝐹 supp 0 )))
4742, 45, 46sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐻 “ ((𝐹𝐻) supp 0 )) = (𝐹 supp 0 ))
4847adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑊 ≠ ∅) → (𝐻 “ ((𝐹𝐻) supp 0 )) = (𝐹 supp 0 ))
4936, 48syl5eq 2872 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑊 ≠ ∅) → (𝐻𝑊) = (𝐹 supp 0 ))
5049adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻𝑊) = (𝐹 supp 0 ))
5150f1oeq3d 6608 . . . . . . 7 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ((𝐻𝑊):𝑊1-1-onto→(𝐻𝑊) ↔ (𝐻𝑊):𝑊1-1-onto→(𝐹 supp 0 )))
5235, 51mpbid 233 . . . . . 6 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻𝑊):𝑊1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))
5331, 52hasheqf1od 13707 . . . . 5 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (♯‘𝑊) = (♯‘(𝐹 supp 0 )))
5453fveq2d 6670 . . . 4 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))
5522, 54jca 512 . . 3 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ((𝐻𝑓):(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))))
56 f1oeq1 6600 . . . 4 (𝑔 = (𝐻𝑓) → (𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ↔ (𝐻𝑓):(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 )))
57 coeq2 5727 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝐻𝑓) → (𝐹𝑔) = (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))
5857seqeq3d 13370 . . . . . 6 (𝑔 = (𝐻𝑓) → seq1( + , (𝐹𝑔)) = seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓))))
5958fveq1d 6668 . . . . 5 (𝑔 = (𝐻𝑓) → (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))) = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))
6059eqeq2d 2836 . . . 4 (𝑔 = (𝐻𝑓) → ((seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))) ↔ (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))))
6156, 60anbi12d 630 . . 3 (𝑔 = (𝐻𝑓) → ((𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))) ↔ ((𝐻𝑓):(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))))
6211, 55, 61elabd 3671 . 2 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ∃𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))))
6316ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → 𝐺 ∈ Mnd)
645ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → 𝐴𝑉)
6517ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → 𝐹:𝐴𝐵)
6618ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
67 f1f1orn 6622 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐻:(1...𝑀)–1-1𝐴𝐻:(1...𝑀)–1-1-onto→ran 𝐻)
681, 67syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐻:(1...𝑀)–1-1-onto→ran 𝐻)
69 f1oen3g 8517 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐻 ∈ V ∧ 𝐻:(1...𝑀)–1-1-onto→ran 𝐻) → (1...𝑀) ≈ ran 𝐻)
707, 68, 69syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1...𝑀) ≈ ran 𝐻)
71 enfi 8726 . . . . . . . . . . 11 ((1...𝑀) ≈ ran 𝐻 → ((1...𝑀) ∈ Fin ↔ ran 𝐻 ∈ Fin))
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1...𝑀) ∈ Fin ↔ ran 𝐻 ∈ Fin))
7323, 72mpbii 234 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ran 𝐻 ∈ Fin)
7473, 20ssfid 8733 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
7574ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
7621neeq1i 3084 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ≠ ∅ ↔ ((𝐹𝐻) supp 0 ) ≠ ∅)
77 supp0cosupp0 7866 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ → ((𝐹𝐻) supp 0 ) = ∅))
7877necon3d 3041 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) → (((𝐹𝐻) supp 0 ) ≠ ∅ → (𝐹 supp 0 ) ≠ ∅))
7938, 41, 78syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐹𝐻) supp 0 ) ≠ ∅ → (𝐹 supp 0 ) ≠ ∅))
8076, 79syl5bi 243 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑊 ≠ ∅ → (𝐹 supp 0 ) ≠ ∅))
8180imp 407 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑊 ≠ ∅) → (𝐹 supp 0 ) ≠ ∅)
8281adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐹 supp 0 ) ≠ ∅)
8320ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻)
843frnd 6517 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ran 𝐻𝐴)
8584ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ran 𝐻𝐴)
8683, 85sstrd 3980 . . . . . . 7 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
8712, 13, 14, 15, 63, 64, 65, 66, 75, 82, 86gsumval3eu 18946 . . . . . 6 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ∃!𝑥𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))))
88 iota1 6329 . . . . . 6 (∃!𝑥𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))) → (∃𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))) ↔ (℩𝑥𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))) = 𝑥))
8987, 88syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (∃𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))) ↔ (℩𝑥𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))) = 𝑥))
90 eqid 2825 . . . . . . 7 (𝐹 supp 0 ) = (𝐹 supp 0 )
91 simprl 767 . . . . . . 7 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ¬ 𝐴 ∈ ran ...)
9212, 13, 14, 15, 63, 64, 65, 66, 75, 82, 90, 91gsumval3a 18945 . . . . . 6 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐺 Σg 𝐹) = (℩𝑥𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))))
9392eqeq1d 2827 . . . . 5 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ((𝐺 Σg 𝐹) = 𝑥 ↔ (℩𝑥𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))) = 𝑥))
9489, 93bitr4d 283 . . . 4 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (∃𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))) ↔ (𝐺 Σg 𝐹) = 𝑥))
9594alrimiv 1921 . . 3 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ∀𝑥(∃𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))) ↔ (𝐺 Σg 𝐹) = 𝑥))
96 fvex 6679 . . . 4 (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) ∈ V
97 eqeq1 2829 . . . . . . 7 (𝑥 = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) → (𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))) ↔ (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))))
9897anbi2d 628 . . . . . 6 (𝑥 = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) → ((𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))) ↔ (𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))))
9998exbidv 1915 . . . . 5 (𝑥 = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) → (∃𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))) ↔ ∃𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))))
100 eqeq2 2837 . . . . 5 (𝑥 = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) → ((𝐺 Σg 𝐹) = 𝑥 ↔ (𝐺 Σg 𝐹) = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊))))
10199, 100bibi12d 347 . . . 4 (𝑥 = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) → ((∃𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))) ↔ (𝐺 Σg 𝐹) = 𝑥) ↔ (∃𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))) ↔ (𝐺 Σg 𝐹) = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)))))
10296, 101spcv 3609 . . 3 (∀𝑥(∃𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))) ↔ (𝐺 Σg 𝐹) = 𝑥) → (∃𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))) ↔ (𝐺 Σg 𝐹) = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊))))
10395, 102syl 17 . 2 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (∃𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))) ↔ (𝐺 Σg 𝐹) = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊))))
10462, 103mpbid 233 1 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐺 Σg 𝐹) = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wal 1528   = wceq 1530  wex 1773  wcel 2107  ∃!weu 2650  wne 3020  Vcvv 3499  wss 3939  c0 4294   class class class wbr 5062  dom cdm 5553  ran crn 5554  cres 5555  cima 5556  ccom 5557  cio 6309  Fun wfun 6345  wf 6347  1-1wf1 6348  1-1-ontowf1o 6350  cfv 6351   Isom wiso 6352  (class class class)co 7151   supp csupp 7824  cen 8498  Fincfn 8501  1c1 10530   < clt 10667  cn 11630  ...cfz 12885  seqcseq 13362  chash 13683  Basecbs 16475  +gcplusg 16557  0gc0g 16705   Σg cgsu 16706  Mndcmnd 17902  Cntzccntz 18377
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-seq 13363  df-hash 13684  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-cntz 18379
This theorem is referenced by:  gsumval3  18949
  Copyright terms: Public domain W3C validator