Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumval3lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumval3lem2 19099
 Description: Lemma 2 for gsumval3 19100. (Contributed by AV, 31-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumval3.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumval3.0 0 = (0g𝐺)
gsumval3.p + = (+g𝐺)
gsumval3.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumval3.g (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
gsumval3.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumval3.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
gsumval3.c (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
gsumval3.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
gsumval3.h (𝜑𝐻:(1...𝑀)–1-1𝐴)
gsumval3.n (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻)
gsumval3.w 𝑊 = ((𝐹𝐻) supp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsumval3lem2 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐺 Σg 𝐹) = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)))
Distinct variable groups:   + ,𝑓   𝐴,𝑓   𝜑,𝑓   𝑓,𝐺   𝑓,𝑀   𝐵,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐻   𝑓,𝑊
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑓)   0 (𝑓)   𝑍(𝑓)

Proof of Theorem gsumval3lem2
Dummy variables 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumval3.h . . . . . . 7 (𝜑𝐻:(1...𝑀)–1-1𝐴)
2 f1f 6564 . . . . . . 7 (𝐻:(1...𝑀)–1-1𝐴𝐻:(1...𝑀)⟶𝐴)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐻:(1...𝑀)⟶𝐴)
4 fzfid 13395 . . . . . 6 (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
53, 4fexd 6986 . . . . 5 (𝜑𝐻 ∈ V)
6 vex 3413 . . . . 5 𝑓 ∈ V
7 coexg 7644 . . . . 5 ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ V) → (𝐻𝑓) ∈ V)
85, 6, 7sylancl 589 . . . 4 (𝜑 → (𝐻𝑓) ∈ V)
98ad2antrr 725 . . 3 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻𝑓) ∈ V)
10 gsumval3.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
11 gsumval3.0 . . . . 5 0 = (0g𝐺)
12 gsumval3.p . . . . 5 + = (+g𝐺)
13 gsumval3.z . . . . 5 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
14 gsumval3.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
15 gsumval3.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
16 gsumval3.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
17 gsumval3.c . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
18 gsumval3.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
19 gsumval3.n . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻)
20 gsumval3.w . . . . 5 𝑊 = ((𝐹𝐻) supp 0 )
2110, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 1, 19, 20gsumval3lem1 19098 . . . 4 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻𝑓):(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))
22 fzfi 13394 . . . . . . . 8 (1...𝑀) ∈ Fin
23 suppssdm 7856 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐻) supp 0 ) ⊆ dom (𝐹𝐻)
2420, 23eqsstri 3928 . . . . . . . . 9 𝑊 ⊆ dom (𝐹𝐻)
2516, 3fcod 6521 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝐻):(1...𝑀)⟶𝐵)
2624, 25fssdm 6519 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ⊆ (1...𝑀))
27 ssfi 8747 . . . . . . . 8 (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ 𝑊 ⊆ (1...𝑀)) → 𝑊 ∈ Fin)
2822, 26, 27sylancr 590 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ Fin)
2928ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → 𝑊 ∈ Fin)
301ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → 𝐻:(1...𝑀)–1-1𝐴)
3126ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → 𝑊 ⊆ (1...𝑀))
32 f1ores 6620 . . . . . . . 8 ((𝐻:(1...𝑀)–1-1𝐴𝑊 ⊆ (1...𝑀)) → (𝐻𝑊):𝑊1-1-onto→(𝐻𝑊))
3330, 31, 32syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻𝑊):𝑊1-1-onto→(𝐻𝑊))
3420imaeq2i 5903 . . . . . . . . . 10 (𝐻𝑊) = (𝐻 “ ((𝐹𝐻) supp 0 ))
3516, 15fexd 6986 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 ∈ V)
36 ovex 7188 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...𝑀) ∈ V
37 fex 6985 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐻:(1...𝑀)⟶𝐴 ∧ (1...𝑀) ∈ V) → 𝐻 ∈ V)
383, 36, 37sylancl 589 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐻 ∈ V)
3935, 38jca 515 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V))
40 f1fun 6566 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐻:(1...𝑀)–1-1𝐴 → Fun 𝐻)
411, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → Fun 𝐻)
4241, 19jca 515 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (Fun 𝐻 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻))
43 imacosupp 7889 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) → ((Fun 𝐻 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻) → (𝐻 “ ((𝐹𝐻) supp 0 )) = (𝐹 supp 0 )))
4439, 42, 43sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐻 “ ((𝐹𝐻) supp 0 )) = (𝐹 supp 0 ))
4544adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑊 ≠ ∅) → (𝐻 “ ((𝐹𝐻) supp 0 )) = (𝐹 supp 0 ))
4634, 45syl5eq 2805 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑊 ≠ ∅) → (𝐻𝑊) = (𝐹 supp 0 ))
4746adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻𝑊) = (𝐹 supp 0 ))
4847f1oeq3d 6603 . . . . . . 7 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ((𝐻𝑊):𝑊1-1-onto→(𝐻𝑊) ↔ (𝐻𝑊):𝑊1-1-onto→(𝐹 supp 0 )))
4933, 48mpbid 235 . . . . . 6 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻𝑊):𝑊1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))
5029, 49hasheqf1od 13769 . . . . 5 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (♯‘𝑊) = (♯‘(𝐹 supp 0 )))
5150fveq2d 6666 . . . 4 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))
5221, 51jca 515 . . 3 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ((𝐻𝑓):(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))))
53 f1oeq1 6594 . . . 4 (𝑔 = (𝐻𝑓) → (𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ↔ (𝐻𝑓):(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 )))
54 coeq2 5703 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝐻𝑓) → (𝐹𝑔) = (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))
5554seqeq3d 13431 . . . . . 6 (𝑔 = (𝐻𝑓) → seq1( + , (𝐹𝑔)) = seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓))))
5655fveq1d 6664 . . . . 5 (𝑔 = (𝐻𝑓) → (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))) = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))
5756eqeq2d 2769 . . . 4 (𝑔 = (𝐻𝑓) → ((seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))) ↔ (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))))
5853, 57anbi12d 633 . . 3 (𝑔 = (𝐻𝑓) → ((𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))) ↔ ((𝐻𝑓):(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))))
599, 52, 58spcedv 3519 . 2 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ∃𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))))
6014ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → 𝐺 ∈ Mnd)
6115ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → 𝐴𝑉)
6216ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → 𝐹:𝐴𝐵)
6317ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
64 f1f1orn 6617 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐻:(1...𝑀)–1-1𝐴𝐻:(1...𝑀)–1-1-onto→ran 𝐻)
651, 64syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐻:(1...𝑀)–1-1-onto→ran 𝐻)
66 f1oen3g 8548 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐻 ∈ V ∧ 𝐻:(1...𝑀)–1-1-onto→ran 𝐻) → (1...𝑀) ≈ ran 𝐻)
675, 65, 66syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1...𝑀) ≈ ran 𝐻)
68 enfi 8777 . . . . . . . . . . 11 ((1...𝑀) ≈ ran 𝐻 → ((1...𝑀) ∈ Fin ↔ ran 𝐻 ∈ Fin))
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1...𝑀) ∈ Fin ↔ ran 𝐻 ∈ Fin))
7022, 69mpbii 236 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ran 𝐻 ∈ Fin)
7170, 19ssfid 8783 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
7271ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
7320neeq1i 3015 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ≠ ∅ ↔ ((𝐹𝐻) supp 0 ) ≠ ∅)
74 supp0cosupp0 7887 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ → ((𝐹𝐻) supp 0 ) = ∅))
7574necon3d 2972 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) → (((𝐹𝐻) supp 0 ) ≠ ∅ → (𝐹 supp 0 ) ≠ ∅))
7635, 38, 75syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐹𝐻) supp 0 ) ≠ ∅ → (𝐹 supp 0 ) ≠ ∅))
7773, 76syl5bi 245 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑊 ≠ ∅ → (𝐹 supp 0 ) ≠ ∅))
7877imp 410 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑊 ≠ ∅) → (𝐹 supp 0 ) ≠ ∅)
7978adantr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐹 supp 0 ) ≠ ∅)
8019ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻)
813frnd 6509 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ran 𝐻𝐴)
8281ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ran 𝐻𝐴)
8380, 82sstrd 3904 . . . . . . 7 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
8410, 11, 12, 13, 60, 61, 62, 63, 72, 79, 83gsumval3eu 19097 . . . . . 6 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ∃!𝑥𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))))
85 iota1 6316 . . . . . 6 (∃!𝑥𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))) → (∃𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))) ↔ (℩𝑥𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))) = 𝑥))
8684, 85syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (∃𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))) ↔ (℩𝑥𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))) = 𝑥))
87 eqid 2758 . . . . . . 7 (𝐹 supp 0 ) = (𝐹 supp 0 )
88 simprl 770 . . . . . . 7 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ¬ 𝐴 ∈ ran ...)
8910, 11, 12, 13, 60, 61, 62, 63, 72, 79, 87, 88gsumval3a 19096 . . . . . 6 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐺 Σg 𝐹) = (℩𝑥𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))))
9089eqeq1d 2760 . . . . 5 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ((𝐺 Σg 𝐹) = 𝑥 ↔ (℩𝑥𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))) = 𝑥))
9186, 90bitr4d 285 . . . 4 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (∃𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))) ↔ (𝐺 Σg 𝐹) = 𝑥))
9291alrimiv 1928 . . 3 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ∀𝑥(∃𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))) ↔ (𝐺 Σg 𝐹) = 𝑥))
93 fvex 6675 . . . 4 (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) ∈ V
94 eqeq1 2762 . . . . . . 7 (𝑥 = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) → (𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))) ↔ (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))))
9594anbi2d 631 . . . . . 6 (𝑥 = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) → ((𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))) ↔ (𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))))
9695exbidv 1922 . . . . 5 (𝑥 = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) → (∃𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))) ↔ ∃𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))))
97 eqeq2 2770 . . . . 5 (𝑥 = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) → ((𝐺 Σg 𝐹) = 𝑥 ↔ (𝐺 Σg 𝐹) = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊))))
9896, 97bibi12d 349 . . . 4 (𝑥 = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) → ((∃𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))) ↔ (𝐺 Σg 𝐹) = 𝑥) ↔ (∃𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))) ↔ (𝐺 Σg 𝐹) = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)))))
9993, 98spcv 3526 . . 3 (∀𝑥(∃𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))) ↔ (𝐺 Σg 𝐹) = 𝑥) → (∃𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))) ↔ (𝐺 Σg 𝐹) = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊))))
10092, 99syl 17 . 2 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (∃𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))) ↔ (𝐺 Σg 𝐹) = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊))))
10159, 100mpbid 235 1 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐺 Σg 𝐹) = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399  ∀wal 1536   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111  ∃!weu 2587   ≠ wne 2951  Vcvv 3409   ⊆ wss 3860  ∅c0 4227   class class class wbr 5035  dom cdm 5527  ran crn 5528   ↾ cres 5529   “ cima 5530   ∘ ccom 5531  ℩cio 6296  Fun wfun 6333  ⟶wf 6335  –1-1→wf1 6336  –1-1-onto→wf1o 6338  ‘cfv 6339   Isom wiso 6340  (class class class)co 7155   supp csupp 7840   ≈ cen 8529  Fincfn 8532  1c1 10581   < clt 10718  ℕcn 11679  ...cfz 12944  seqcseq 13423  ♯chash 13745  Basecbs 16546  +gcplusg 16628  0gc0g 16776   Σg cgsu 16777  Mndcmnd 17982  Cntzccntz 18517 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-supp 7841  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-card 9406  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-n0 11940  df-z 12026  df-uz 12288  df-fz 12945  df-fzo 13088  df-seq 13424  df-hash 13746  df-0g 16778  df-gsum 16779  df-mgm 17923  df-sgrp 17972  df-mnd 17983  df-cntz 18519 This theorem is referenced by:  gsumval3  19100
 Copyright terms: Public domain W3C validator