MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psdmplcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem psdmplcl 22086
Description: The derivative of a polynomial is a polynomial. (Contributed by SN, 12-Apr-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
psdmplcl.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
psdmplcl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
psdmplcl.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
psdmplcl.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
psdmplcl.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐼)
psdmplcl.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
psdmplcl (πœ‘ β†’ (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ) ∈ 𝐡)
Proof of Theorem psdmplcl
Dummy variables 𝑏 𝑑 β„Ž 𝑖 π‘˜ 𝑦 𝑧 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . 3 (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 eqid 2728 . . 3 (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))
3 psdmplcl.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
4 psdmplcl.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
5 mndmgm 18701 . . . 4 (𝑅 ∈ Mnd β†’ 𝑅 ∈ Mgm)
64, 5syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Mgm)
7 psdmplcl.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐼)
8 psdmplcl.p . . . . 5 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
9 psdmplcl.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
108, 1, 9, 2mplbasss 21939 . . . 4 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))
11 psdmplcl.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
1210, 11sselid 3978 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)))
131, 2, 3, 6, 7, 12psdcl 22085 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)))
14 eqid 2728 . . . 4 {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
151, 2, 14, 3, 6, 7, 12psdval 22083 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ) = (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘˜β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
16 ovex 7453 . . . . . . 7 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
1716rabex 5334 . . . . . 6 {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V
1817a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V)
1918mptexd 7236 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘˜β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) ∈ V)
20 fvexd 6912 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ V)
21 funmpt 6591 . . . . 5 Fun (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘˜β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
2221a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ Fun (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘˜β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
23 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
2414psrbagsn 22007 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
253, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
2625adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
2714psrbagaddcl 21861 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
2823, 26, 27syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
29 eqidd 2729 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))
30 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
318, 30, 9, 14, 11mplelf 21940 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘…))
3231feqmptd 6967 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (πΉβ€˜π‘§)))
33 fveq2 6897 . . . . . . . 8 (𝑧 = (π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜(π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))
3428, 29, 32, 33fmptco 7138 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) = (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (πΉβ€˜(π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
35 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
368, 9, 35, 11, 4mplelsfi 21937 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…))
3728fmpttd 7125 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))):{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
38 ovex 7453 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ V
39 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = (𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))
4038, 39fnmpti 6698 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) Fn {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) Fn {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
42 dffn3 6735 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) Fn {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↔ (𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))):{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢ran (𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))
4341, 42sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))):{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢ran (𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))
4443, 37fcod 6749 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) ∘ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))):{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢ran (𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))
4544ffnd 6723 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) ∘ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) Fn {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
46 fnresi 6684 . . . . . . . . . . 11 ( I β†Ύ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) Fn {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
4746a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) Fn {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
4814psrbagf 21851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ 𝑑:πΌβŸΆβ„•0)
4948adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑑:πΌβŸΆβ„•0)
5049ffvelcdmda 7094 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‘β€˜π‘–) ∈ β„•0)
5150nn0cnd 12565 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‘β€˜π‘–) ∈ β„‚)
52 ax-1cn 11197 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ β„‚
53 0cn 11237 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ β„‚
5452, 53ifcli 4576 . . . . . . . . . . . . . . 15 if(𝑖 = 𝑋, 1, 0) ∈ β„‚
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ if(𝑖 = 𝑋, 1, 0) ∈ β„‚)
5651, 55pncand 11603 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (((π‘‘β€˜π‘–) + if(𝑖 = 𝑋, 1, 0)) βˆ’ if(𝑖 = 𝑋, 1, 0)) = (π‘‘β€˜π‘–))
5756mpteq2dva 5248 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (((π‘‘β€˜π‘–) + if(𝑖 = 𝑋, 1, 0)) βˆ’ if(𝑖 = 𝑋, 1, 0))) = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‘β€˜π‘–)))
58 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
5925adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
6014psrbagaddcl 21861 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
6158, 59, 60syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
6214psrbagf 21851 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ (𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))):πΌβŸΆβ„•0)
6362ffnd 6723 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ (𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) Fn 𝐼)
6461, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) Fn 𝐼)
65 1ex 11241 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ V
66 c0ex 11239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ V
6765, 66ifex 4579 . . . . . . . . . . . . . . 15 if(𝑦 = 𝑋, 1, 0) ∈ V
68 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))
6967, 68fnmpti 6698 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) Fn 𝐼
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) Fn 𝐼)
713adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
72 inidm 4219 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
7348ffnd 6723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ 𝑑 Fn 𝐼)
7473adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑑 Fn 𝐼)
75 eqidd 2729 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‘β€˜π‘–) = (π‘‘β€˜π‘–))
76 eqeq1 2732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑖 β†’ (𝑦 = 𝑋 ↔ 𝑖 = 𝑋))
7776ifbid 4552 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑖 β†’ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0) = if(𝑖 = 𝑋, 1, 0))
78 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ 𝑖 ∈ 𝐼)
7965, 66ifex 4579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 if(𝑖 = 𝑋, 1, 0) ∈ V
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ if(𝑖 = 𝑋, 1, 0) ∈ V)
8168, 77, 78, 80fvmptd3 7028 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))β€˜π‘–) = if(𝑖 = 𝑋, 1, 0))
8274, 70, 71, 71, 72, 75, 81ofval 7696 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ ((𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))β€˜π‘–) = ((π‘‘β€˜π‘–) + if(𝑖 = 𝑋, 1, 0)))
8364, 70, 71, 71, 72, 82, 81offval 7694 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (((π‘‘β€˜π‘–) + if(𝑖 = 𝑋, 1, 0)) βˆ’ if(𝑖 = 𝑋, 1, 0))))
8449feqmptd 6967 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑑 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‘β€˜π‘–)))
8557, 83, 843eqtr4d 2778 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) = 𝑑)
8628adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
8786fmpttd 7125 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))):{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
8887, 58fvco3d 6998 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) ∘ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))β€˜π‘‘) = ((𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))β€˜((π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))β€˜π‘‘)))
89 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))
90 oveq1 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑑 β†’ (π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) = (𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))
91 ovexd 7455 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ V)
9289, 90, 58, 91fvmptd3 7028 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))β€˜π‘‘) = (𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))
9392fveq2d 6901 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))β€˜((π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))β€˜π‘‘)) = ((𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))β€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))
94 oveq1 7427 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = (𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) β†’ (𝑏 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) = ((𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))
95 ovexd 7455 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ V)
9639, 94, 61, 95fvmptd3 7028 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))β€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = ((𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))
9788, 93, 963eqtrd 2772 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) ∘ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))β€˜π‘‘) = ((𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))
98 fvresi 7182 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ (( I β†Ύ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})β€˜π‘‘) = 𝑑)
9998adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (( I β†Ύ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})β€˜π‘‘) = 𝑑)
10085, 97, 993eqtr4d 2778 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) ∘ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))β€˜π‘‘) = (( I β†Ύ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})β€˜π‘‘))
10145, 47, 100eqfnfvd 7043 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) ∘ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) = ( I β†Ύ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}))
102 fcof1 7296 . . . . . . . . 9 (((π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))):{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ ((𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) ∘ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) = ( I β†Ύ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))):{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}–1-1β†’{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
10337, 101, 102syl2anc 583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))):{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}–1-1β†’{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
10436, 103, 20, 11fsuppco 9426 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
10534, 104eqbrtrrd 5172 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (πΉβ€˜(π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
106105fsuppimpd 9394 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (πΉβ€˜(π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) supp (0gβ€˜π‘…)) ∈ Fin)
107 ssidd 4003 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (πΉβ€˜(π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† ((π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (πΉβ€˜(π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) supp (0gβ€˜π‘…)))
108 eqid 2728 . . . . . . . 8 (.gβ€˜π‘…) = (.gβ€˜π‘…)
10930, 108, 35mulgnn0z 19056 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑛(.gβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
1104, 109sylan 579 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑛(.gβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
11114psrbagf 21851 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ π‘˜:πΌβŸΆβ„•0)
112111adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ π‘˜:πΌβŸΆβ„•0)
1137adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑋 ∈ 𝐼)
114112, 113ffvelcdmd 7095 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘˜β€˜π‘‹) ∈ β„•0)
115 peano2nn0 12543 . . . . . . 7 ((π‘˜β€˜π‘‹) ∈ β„•0 β†’ ((π‘˜β€˜π‘‹) + 1) ∈ β„•0)
116114, 115syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((π‘˜β€˜π‘‹) + 1) ∈ β„•0)
117 fvexd 6912 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) ∈ V)
118107, 110, 116, 117, 20suppssov2 8204 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘˜β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† ((π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (πΉβ€˜(π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) supp (0gβ€˜π‘…)))
119106, 118ssfid 9292 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘˜β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) supp (0gβ€˜π‘…)) ∈ Fin)
12019, 20, 22, 119isfsuppd 9391 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘˜β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
12115, 120eqbrtrd 5170 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ) finSupp (0gβ€˜π‘…))
1228, 1, 2, 35, 9mplelbas 21933 . 2 ((((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ) ∈ 𝐡 ↔ ((((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ) finSupp (0gβ€˜π‘…)))
12313, 121, 122sylanbrc 582 1 (πœ‘ β†’ (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ) ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3429  Vcvv 3471  ifcif 4529   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   I cid 5575  β—‘ccnv 5677  ran crn 5679   β†Ύ cres 5680   β€œ cima 5681   ∘ ccom 5682  Fun wfun 6542   Fn wfn 6543  βŸΆwf 6544  β€“1-1β†’wf1 6545  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   ∘f cof 7683   supp csupp 8165   ↑m cmap 8845  Fincfn 8964   finSupp cfsupp 9386  β„‚cc 11137  0cc0 11139  1c1 11140   + caddc 11142   βˆ’ cmin 11475  β„•cn 12243  β„•0cn0 12503  Basecbs 17180  0gc0g 17421  Mgmcmgm 18598  Mndcmnd 18694  .gcmg 19023   mPwSer cmps 21837   mPoly cmpl 21839   mPSDer cpsd 22056
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-seq 14000  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-tset 17252  df-0g 17423  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-mulg 19024  df-psr 21842  df-mpl 21844  df-psd 22080
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator