MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psdmplcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psdmplcl 22041
Description: The derivative of a polynomial is a polynomial. (Contributed by SN, 12-Apr-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
psdmplcl.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
psdmplcl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
psdmplcl.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
psdmplcl.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
psdmplcl.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐼)
psdmplcl.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
psdmplcl (πœ‘ β†’ (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ) ∈ 𝐡)

Proof of Theorem psdmplcl
Dummy variables 𝑏 𝑑 β„Ž 𝑖 π‘˜ 𝑦 𝑧 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . 3 (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 eqid 2726 . . 3 (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))
3 psdmplcl.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
4 psdmplcl.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
5 mndmgm 18672 . . . 4 (𝑅 ∈ Mnd β†’ 𝑅 ∈ Mgm)
64, 5syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Mgm)
7 psdmplcl.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐼)
8 psdmplcl.p . . . . 5 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
9 psdmplcl.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
108, 1, 9, 2mplbasss 21894 . . . 4 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))
11 psdmplcl.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
1210, 11sselid 3975 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)))
131, 2, 3, 6, 7, 12psdcl 22040 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)))
14 eqid 2726 . . . 4 {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
151, 2, 14, 3, 6, 7, 12psdval 22038 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ) = (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘˜β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
16 ovex 7437 . . . . . . 7 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
1716rabex 5325 . . . . . 6 {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V
1817a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V)
1918mptexd 7220 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘˜β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) ∈ V)
20 fvexd 6899 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ V)
21 funmpt 6579 . . . . 5 Fun (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘˜β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
2221a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ Fun (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘˜β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
23 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
2414psrbagsn 21962 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
253, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
2625adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
2714psrbagaddcl 21818 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
2823, 26, 27syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
29 eqidd 2727 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))
30 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
318, 30, 9, 14, 11mplelf 21895 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘…))
3231feqmptd 6953 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (πΉβ€˜π‘§)))
33 fveq2 6884 . . . . . . . 8 (𝑧 = (π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜(π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))
3428, 29, 32, 33fmptco 7122 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) = (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (πΉβ€˜(π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
35 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
368, 9, 35, 11, 4mplelsfi 21892 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…))
3728fmpttd 7109 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))):{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
38 ovex 7437 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ V
39 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = (𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))
4038, 39fnmpti 6686 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) Fn {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) Fn {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
42 dffn3 6723 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) Fn {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↔ (𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))):{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢ran (𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))
4341, 42sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))):{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢ran (𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))
4443, 37fcod 6736 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) ∘ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))):{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢ran (𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))
4544ffnd 6711 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) ∘ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) Fn {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
46 fnresi 6672 . . . . . . . . . . 11 ( I β†Ύ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) Fn {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
4746a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) Fn {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
4814psrbagf 21808 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ 𝑑:πΌβŸΆβ„•0)
4948adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑑:πΌβŸΆβ„•0)
5049ffvelcdmda 7079 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‘β€˜π‘–) ∈ β„•0)
5150nn0cnd 12535 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‘β€˜π‘–) ∈ β„‚)
52 ax-1cn 11167 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ β„‚
53 0cn 11207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ β„‚
5452, 53ifcli 4570 . . . . . . . . . . . . . . 15 if(𝑖 = 𝑋, 1, 0) ∈ β„‚
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ if(𝑖 = 𝑋, 1, 0) ∈ β„‚)
5651, 55pncand 11573 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (((π‘‘β€˜π‘–) + if(𝑖 = 𝑋, 1, 0)) βˆ’ if(𝑖 = 𝑋, 1, 0)) = (π‘‘β€˜π‘–))
5756mpteq2dva 5241 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (((π‘‘β€˜π‘–) + if(𝑖 = 𝑋, 1, 0)) βˆ’ if(𝑖 = 𝑋, 1, 0))) = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‘β€˜π‘–)))
58 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
5925adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
6014psrbagaddcl 21818 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
6158, 59, 60syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
6214psrbagf 21808 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ (𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))):πΌβŸΆβ„•0)
6362ffnd 6711 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ (𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) Fn 𝐼)
6461, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) Fn 𝐼)
65 1ex 11211 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ V
66 c0ex 11209 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ V
6765, 66ifex 4573 . . . . . . . . . . . . . . 15 if(𝑦 = 𝑋, 1, 0) ∈ V
68 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))
6967, 68fnmpti 6686 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) Fn 𝐼
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) Fn 𝐼)
713adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
72 inidm 4213 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
7348ffnd 6711 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ 𝑑 Fn 𝐼)
7473adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑑 Fn 𝐼)
75 eqidd 2727 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‘β€˜π‘–) = (π‘‘β€˜π‘–))
76 eqeq1 2730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑖 β†’ (𝑦 = 𝑋 ↔ 𝑖 = 𝑋))
7776ifbid 4546 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑖 β†’ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0) = if(𝑖 = 𝑋, 1, 0))
78 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ 𝑖 ∈ 𝐼)
7965, 66ifex 4573 . . . . . . . . . . . . . . . 16 if(𝑖 = 𝑋, 1, 0) ∈ V
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ if(𝑖 = 𝑋, 1, 0) ∈ V)
8168, 77, 78, 80fvmptd3 7014 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))β€˜π‘–) = if(𝑖 = 𝑋, 1, 0))
8274, 70, 71, 71, 72, 75, 81ofval 7677 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ ((𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))β€˜π‘–) = ((π‘‘β€˜π‘–) + if(𝑖 = 𝑋, 1, 0)))
8364, 70, 71, 71, 72, 82, 81offval 7675 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (((π‘‘β€˜π‘–) + if(𝑖 = 𝑋, 1, 0)) βˆ’ if(𝑖 = 𝑋, 1, 0))))
8449feqmptd 6953 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑑 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‘β€˜π‘–)))
8557, 83, 843eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) = 𝑑)
8628adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
8786fmpttd 7109 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))):{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
8887, 58fvco3d 6984 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) ∘ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))β€˜π‘‘) = ((𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))β€˜((π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))β€˜π‘‘)))
89 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))
90 oveq1 7411 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑑 β†’ (π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) = (𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))
91 ovexd 7439 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ V)
9289, 90, 58, 91fvmptd3 7014 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))β€˜π‘‘) = (𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))
9392fveq2d 6888 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))β€˜((π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))β€˜π‘‘)) = ((𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))β€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))
94 oveq1 7411 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = (𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) β†’ (𝑏 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) = ((𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))
95 ovexd 7439 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ V)
9639, 94, 61, 95fvmptd3 7014 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))β€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = ((𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))
9788, 93, 963eqtrd 2770 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) ∘ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))β€˜π‘‘) = ((𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))
98 fvresi 7166 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ (( I β†Ύ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})β€˜π‘‘) = 𝑑)
9998adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (( I β†Ύ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})β€˜π‘‘) = 𝑑)
10085, 97, 993eqtr4d 2776 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) ∘ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))β€˜π‘‘) = (( I β†Ύ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})β€˜π‘‘))
10145, 47, 100eqfnfvd 7028 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) ∘ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) = ( I β†Ύ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}))
102 fcof1 7280 . . . . . . . . 9 (((π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))):{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ ((𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) ∘ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) = ( I β†Ύ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))):{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}–1-1β†’{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
10337, 101, 102syl2anc 583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))):{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}–1-1β†’{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
10436, 103, 20, 11fsuppco 9396 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
10534, 104eqbrtrrd 5165 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (πΉβ€˜(π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
106105fsuppimpd 9368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (πΉβ€˜(π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) supp (0gβ€˜π‘…)) ∈ Fin)
107 ssidd 4000 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (πΉβ€˜(π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† ((π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (πΉβ€˜(π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) supp (0gβ€˜π‘…)))
108 eqid 2726 . . . . . . . 8 (.gβ€˜π‘…) = (.gβ€˜π‘…)
10930, 108, 35mulgnn0z 19026 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑛(.gβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
1104, 109sylan 579 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑛(.gβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
11114psrbagf 21808 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ π‘˜:πΌβŸΆβ„•0)
112111adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ π‘˜:πΌβŸΆβ„•0)
1137adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑋 ∈ 𝐼)
114112, 113ffvelcdmd 7080 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘˜β€˜π‘‹) ∈ β„•0)
115 peano2nn0 12513 . . . . . . 7 ((π‘˜β€˜π‘‹) ∈ β„•0 β†’ ((π‘˜β€˜π‘‹) + 1) ∈ β„•0)
116114, 115syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((π‘˜β€˜π‘‹) + 1) ∈ β„•0)
117 fvexd 6899 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) ∈ V)
118107, 110, 116, 117, 20suppssov2 8181 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘˜β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† ((π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (πΉβ€˜(π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) supp (0gβ€˜π‘…)))
119106, 118ssfid 9266 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘˜β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) supp (0gβ€˜π‘…)) ∈ Fin)
12019, 20, 22, 119isfsuppd 9365 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘˜β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
12115, 120eqbrtrd 5163 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ) finSupp (0gβ€˜π‘…))
1228, 1, 2, 35, 9mplelbas 21888 . 2 ((((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ) ∈ 𝐡 ↔ ((((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ) finSupp (0gβ€˜π‘…)))
12313, 121, 122sylanbrc 582 1 (πœ‘ β†’ (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ) ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426  Vcvv 3468  ifcif 4523   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   I cid 5566  β—‘ccnv 5668  ran crn 5670   β†Ύ cres 5671   β€œ cima 5672   ∘ ccom 5673  Fun wfun 6530   Fn wfn 6531  βŸΆwf 6532  β€“1-1β†’wf1 6533  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ∘f cof 7664   supp csupp 8143   ↑m cmap 8819  Fincfn 8938   finSupp cfsupp 9360  β„‚cc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   βˆ’ cmin 11445  β„•cn 12213  β„•0cn0 12473  Basecbs 17151  0gc0g 17392  Mgmcmgm 18569  Mndcmnd 18665  .gcmg 18993   mPwSer cmps 21794   mPoly cmpl 21796   mPSDer cpsd 22011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-seq 13970  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-tset 17223  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mulg 18994  df-psr 21799  df-mpl 21801  df-psd 22035
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator