Theorem metakunt33 41943

Description: Construction of one solution of the increment equation system. (Contributed by metakunt, 18-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt33.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt33.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt33.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt33.4	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt33.5	⊢ 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
metakunt33.6	⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt33.7	⊢ 𝐷 = (𝑤 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑤 = 𝐼, 𝑤, if(𝑤 < 𝐼, ((𝑤 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑤 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑤 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑤 − 𝐼), 1, 0)))))

Assertion

Ref	Expression
metakunt33	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∘ (𝐵 ∘ 𝐴)) = 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑤,𝐼   𝑥,𝐼   𝑦,𝐼   𝑧,𝐼   𝑤,𝑀   𝑥,𝑀   𝑦,𝑀   𝑧,𝑀   𝜑,𝑤   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem metakunt33

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt33.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2		metakunt33.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
3		metakunt33.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
4		metakunt33.6	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
5	1, 2, 3, 4	metakunt2 41912	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
6		metakunt33.5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
7	1, 2, 3, 6	metakunt25 41935	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵:(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀))
8		f1of 6833	. . . . . 6 ⊢ (𝐵:(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀) → 𝐵:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
10		metakunt33.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
11	1, 2, 3, 10	metakunt1 41911	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
12	9, 11	fcod 6744	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∘ 𝐴):(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
13	5, 12	fcod 6744	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∘ (𝐵 ∘ 𝐴)):(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
14	13	ffnd 6719	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∘ (𝐵 ∘ 𝐴)) Fn (1...𝑀))
15		nfv 1910	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑤𝜑
16		elfzelz 13547	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (1...𝑀) → 𝑤 ∈ ℤ)
17	16	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑀)) → 𝑤 ∈ ℤ)
18	1	nnzd 12629	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
19	18	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
20	2	nnzd 12629	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
21	20	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑀)) → 𝐼 ∈ ℤ)
22	19, 21	zsubcld 12715	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑀)) → (𝑀 − 𝐼) ∈ ℤ)
23	17, 22	zaddcld 12714	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑀)) → (𝑤 + (𝑀 − 𝐼)) ∈ ℤ)
24		1zzd 12637	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑀)) → 1 ∈ ℤ)
25		0zd 12614	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑀)) → 0 ∈ ℤ)
26	24, 25	ifcld 4570	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑀)) → if(𝐼 ≤ (𝑤 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0) ∈ ℤ)
27	23, 26	zaddcld 12714	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑤 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑤 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)) ∈ ℤ)
28	17, 21	zsubcld 12715	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑀)) → (𝑤 − 𝐼) ∈ ℤ)
29	24, 25	ifcld 4570	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑀)) → if(𝐼 ≤ (𝑤 − 𝐼), 1, 0) ∈ ℤ)
30	28, 29	zaddcld 12714	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑤 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑤 − 𝐼), 1, 0)) ∈ ℤ)
31	27, 30	ifcld 4570	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑤 < 𝐼, ((𝑤 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑤 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑤 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑤 − 𝐼), 1, 0))) ∈ ℤ)
32	17, 31	ifcld 4570	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑤 = 𝐼, 𝑤, if(𝑤 < 𝐼, ((𝑤 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑤 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑤 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑤 − 𝐼), 1, 0)))) ∈ ℤ)
33		metakunt33.7	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑤 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑤 = 𝐼, 𝑤, if(𝑤 < 𝐼, ((𝑤 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑤 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑤 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑤 − 𝐼), 1, 0)))))
34	15, 32, 33	fnmptd 6692	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 Fn (1...𝑀))
35	12	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵 ∘ 𝐴):(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
36		simpr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → 𝑎 ∈ (1...𝑀))
37	35, 36	fvco3d 6992	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐶 ∘ (𝐵 ∘ 𝐴))‘𝑎) = (𝐶‘((𝐵 ∘ 𝐴)‘𝑎)))
38	11	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → 𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
39	38, 36	fvco3d 6992	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐵 ∘ 𝐴)‘𝑎) = (𝐵‘(𝐴‘𝑎)))
40	39	fveq2d 6895	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → (𝐶‘((𝐵 ∘ 𝐴)‘𝑎)) = (𝐶‘(𝐵‘(𝐴‘𝑎))))
41	37, 40	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐶 ∘ (𝐵 ∘ 𝐴))‘𝑎) = (𝐶‘(𝐵‘(𝐴‘𝑎))))
42	1	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
43	2	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → 𝐼 ∈ ℕ)
44	3	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → 𝐼 ≤ 𝑀)
45		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ if(𝐼 ≤ (𝑎 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0) = if(𝐼 ≤ (𝑎 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)
46		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ if(𝐼 ≤ (𝑎 − 𝐼), 1, 0) = if(𝐼 ≤ (𝑎 − 𝐼), 1, 0)
47		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ if(𝑎 = 𝐼, 𝑎, if(𝑎 < 𝐼, ((𝑎 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑎 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑎 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑎 − 𝐼), 1, 0)))) = if(𝑎 = 𝐼, 𝑎, if(𝑎 < 𝐼, ((𝑎 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑎 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑎 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑎 − 𝐼), 1, 0))))
48	42, 43, 44, 36, 10, 6, 4, 45, 46, 47	metakunt31 41941	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴‘𝑎))) = if(𝑎 = 𝐼, 𝑎, if(𝑎 < 𝐼, ((𝑎 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑎 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑎 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑎 − 𝐼), 1, 0)))))
49	42, 43, 44, 36, 33, 45, 46, 47	metakunt32 41942	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷‘𝑎) = if(𝑎 = 𝐼, 𝑎, if(𝑎 < 𝐼, ((𝑎 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑎 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑎 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑎 − 𝐼), 1, 0)))))
50	49	eqcomd 2732	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑎 = 𝐼, 𝑎, if(𝑎 < 𝐼, ((𝑎 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑎 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑎 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑎 − 𝐼), 1, 0)))) = (𝐷‘𝑎))
51	48, 50	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴‘𝑎))) = (𝐷‘𝑎))
52	41, 51	eqtrd 2766	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐶 ∘ (𝐵 ∘ 𝐴))‘𝑎) = (𝐷‘𝑎))
53	14, 34, 52	eqfnfvd 7037	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∘ (𝐵 ∘ 𝐴)) = 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ifcif 4524   class class class wbr 5144   ↦ cmpt 5227   ∘ ccom 5677  ⟶wf 6540  –1-1-onto→wf1o 6543  ‘cfv 6544  (class class class)co 7414  0cc0 11147  1c1 11148   + caddc 11150   < clt 11287   ≤ cle 11288   − cmin 11483  ℕcn 12256  ℤcz 12602  ...cfz 13530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-iun 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-nn 12257  df-n0 12517  df-z 12603  df-uz 12867  df-rp 13021  df-fz 13531  df-fzo 13674

This theorem is referenced by:  metakunt34  41944