Theorem metakunt33 39879

Description: Construction of one solution of the increment equation system. (Contributed by metakunt, 18-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt33.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt33.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt33.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt33.4	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt33.5	⊢ 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
metakunt33.6	⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt33.7	⊢ 𝐷 = (𝑤 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑤 = 𝐼, 𝑤, if(𝑤 < 𝐼, ((𝑤 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑤 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑤 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑤 − 𝐼), 1, 0)))))

Assertion

Ref	Expression
metakunt33	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∘ (𝐵 ∘ 𝐴)) = 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑤,𝐼   𝑥,𝐼   𝑦,𝐼   𝑧,𝐼   𝑤,𝑀   𝑥,𝑀   𝑦,𝑀   𝑧,𝑀   𝜑,𝑤   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem metakunt33

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt33.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2		metakunt33.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
3		metakunt33.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
4		metakunt33.6	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
5	1, 2, 3, 4	metakunt2 39848	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
6		metakunt33.5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
7	1, 2, 3, 6	metakunt25 39871	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵:(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀))
8		f1of 6661	. . . . . 6 ⊢ (𝐵:(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀) → 𝐵:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
10		metakunt33.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
11	1, 2, 3, 10	metakunt1 39847	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
12	9, 11	fcod 6571	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∘ 𝐴):(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
13	5, 12	fcod 6571	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∘ (𝐵 ∘ 𝐴)):(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
14	13	ffnd 6546	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∘ (𝐵 ∘ 𝐴)) Fn (1...𝑀))
15		nfv 1922	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑤𝜑
16		elfzelz 13112	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (1...𝑀) → 𝑤 ∈ ℤ)
17	16	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑀)) → 𝑤 ∈ ℤ)
18	1	nnzd 12281	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
19	18	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
20	2	nnzd 12281	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
21	20	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑀)) → 𝐼 ∈ ℤ)
22	19, 21	zsubcld 12287	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑀)) → (𝑀 − 𝐼) ∈ ℤ)
23	17, 22	zaddcld 12286	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑀)) → (𝑤 + (𝑀 − 𝐼)) ∈ ℤ)
24		1zzd 12208	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑀)) → 1 ∈ ℤ)
25		0zd 12188	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑀)) → 0 ∈ ℤ)
26	24, 25	ifcld 4485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑀)) → if(𝐼 ≤ (𝑤 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0) ∈ ℤ)
27	23, 26	zaddcld 12286	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑤 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑤 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)) ∈ ℤ)
28	17, 21	zsubcld 12287	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑀)) → (𝑤 − 𝐼) ∈ ℤ)
29	24, 25	ifcld 4485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑀)) → if(𝐼 ≤ (𝑤 − 𝐼), 1, 0) ∈ ℤ)
30	28, 29	zaddcld 12286	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑤 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑤 − 𝐼), 1, 0)) ∈ ℤ)
31	27, 30	ifcld 4485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑤 < 𝐼, ((𝑤 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑤 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑤 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑤 − 𝐼), 1, 0))) ∈ ℤ)
32	17, 31	ifcld 4485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑤 = 𝐼, 𝑤, if(𝑤 < 𝐼, ((𝑤 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑤 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑤 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑤 − 𝐼), 1, 0)))) ∈ ℤ)
33		metakunt33.7	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑤 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑤 = 𝐼, 𝑤, if(𝑤 < 𝐼, ((𝑤 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑤 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑤 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑤 − 𝐼), 1, 0)))))
34	15, 32, 33	fnmptd 6519	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 Fn (1...𝑀))
35	12	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵 ∘ 𝐴):(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
36		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → 𝑎 ∈ (1...𝑀))
37	35, 36	fvco3d 6811	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐶 ∘ (𝐵 ∘ 𝐴))‘𝑎) = (𝐶‘((𝐵 ∘ 𝐴)‘𝑎)))
38	11	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → 𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
39	38, 36	fvco3d 6811	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐵 ∘ 𝐴)‘𝑎) = (𝐵‘(𝐴‘𝑎)))
40	39	fveq2d 6721	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → (𝐶‘((𝐵 ∘ 𝐴)‘𝑎)) = (𝐶‘(𝐵‘(𝐴‘𝑎))))
41	37, 40	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐶 ∘ (𝐵 ∘ 𝐴))‘𝑎) = (𝐶‘(𝐵‘(𝐴‘𝑎))))
42	1	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
43	2	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → 𝐼 ∈ ℕ)
44	3	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → 𝐼 ≤ 𝑀)
45		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ if(𝐼 ≤ (𝑎 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0) = if(𝐼 ≤ (𝑎 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)
46		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ if(𝐼 ≤ (𝑎 − 𝐼), 1, 0) = if(𝐼 ≤ (𝑎 − 𝐼), 1, 0)
47		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ if(𝑎 = 𝐼, 𝑎, if(𝑎 < 𝐼, ((𝑎 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑎 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑎 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑎 − 𝐼), 1, 0)))) = if(𝑎 = 𝐼, 𝑎, if(𝑎 < 𝐼, ((𝑎 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑎 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑎 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑎 − 𝐼), 1, 0))))
48	42, 43, 44, 36, 10, 6, 4, 45, 46, 47	metakunt31 39877	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴‘𝑎))) = if(𝑎 = 𝐼, 𝑎, if(𝑎 < 𝐼, ((𝑎 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑎 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑎 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑎 − 𝐼), 1, 0)))))
49	42, 43, 44, 36, 33, 45, 46, 47	metakunt32 39878	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷‘𝑎) = if(𝑎 = 𝐼, 𝑎, if(𝑎 < 𝐼, ((𝑎 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑎 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑎 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑎 − 𝐼), 1, 0)))))
50	49	eqcomd 2743	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑎 = 𝐼, 𝑎, if(𝑎 < 𝐼, ((𝑎 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑎 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑎 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑎 − 𝐼), 1, 0)))) = (𝐷‘𝑎))
51	48, 50	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴‘𝑎))) = (𝐷‘𝑎))
52	41, 51	eqtrd 2777	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐶 ∘ (𝐵 ∘ 𝐴))‘𝑎) = (𝐷‘𝑎))
53	14, 34, 52	eqfnfvd 6855	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∘ (𝐵 ∘ 𝐴)) = 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ifcif 4439   class class class wbr 5053   ↦ cmpt 5135   ∘ ccom 5555  ⟶wf 6376  –1-1-onto→wf1o 6379  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732   < clt 10867   ≤ cle 10868   − cmin 11062  ℕcn 11830  ℤcz 12176  ...cfz 13095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-fz 13096  df-fzo 13239

This theorem is referenced by:  metakunt34  39880