Theorem metakunt33 40085

Description: Construction of one solution of the increment equation system. (Contributed by metakunt, 18-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt33.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt33.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt33.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt33.4	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt33.5	⊢ 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
metakunt33.6	⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt33.7	⊢ 𝐷 = (𝑤 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑤 = 𝐼, 𝑤, if(𝑤 < 𝐼, ((𝑤 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑤 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑤 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑤 − 𝐼), 1, 0)))))

Assertion

Ref	Expression
metakunt33	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∘ (𝐵 ∘ 𝐴)) = 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑤,𝐼   𝑥,𝐼   𝑦,𝐼   𝑧,𝐼   𝑤,𝑀   𝑥,𝑀   𝑦,𝑀   𝑧,𝑀   𝜑,𝑤   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem metakunt33

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt33.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2		metakunt33.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
3		metakunt33.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
4		metakunt33.6	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
5	1, 2, 3, 4	metakunt2 40054	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
6		metakunt33.5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
7	1, 2, 3, 6	metakunt25 40077	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵:(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀))
8		f1of 6700	. . . . . 6 ⊢ (𝐵:(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀) → 𝐵:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
10		metakunt33.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
11	1, 2, 3, 10	metakunt1 40053	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
12	9, 11	fcod 6610	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∘ 𝐴):(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
13	5, 12	fcod 6610	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∘ (𝐵 ∘ 𝐴)):(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
14	13	ffnd 6585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∘ (𝐵 ∘ 𝐴)) Fn (1...𝑀))
15		nfv 1918	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑤𝜑
16		elfzelz 13185	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (1...𝑀) → 𝑤 ∈ ℤ)
17	16	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑀)) → 𝑤 ∈ ℤ)
18	1	nnzd 12354	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
19	18	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
20	2	nnzd 12354	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
21	20	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑀)) → 𝐼 ∈ ℤ)
22	19, 21	zsubcld 12360	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑀)) → (𝑀 − 𝐼) ∈ ℤ)
23	17, 22	zaddcld 12359	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑀)) → (𝑤 + (𝑀 − 𝐼)) ∈ ℤ)
24		1zzd 12281	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑀)) → 1 ∈ ℤ)
25		0zd 12261	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑀)) → 0 ∈ ℤ)
26	24, 25	ifcld 4502	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑀)) → if(𝐼 ≤ (𝑤 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0) ∈ ℤ)
27	23, 26	zaddcld 12359	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑤 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑤 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)) ∈ ℤ)
28	17, 21	zsubcld 12360	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑀)) → (𝑤 − 𝐼) ∈ ℤ)
29	24, 25	ifcld 4502	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑀)) → if(𝐼 ≤ (𝑤 − 𝐼), 1, 0) ∈ ℤ)
30	28, 29	zaddcld 12359	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑤 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑤 − 𝐼), 1, 0)) ∈ ℤ)
31	27, 30	ifcld 4502	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑤 < 𝐼, ((𝑤 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑤 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑤 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑤 − 𝐼), 1, 0))) ∈ ℤ)
32	17, 31	ifcld 4502	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑤 = 𝐼, 𝑤, if(𝑤 < 𝐼, ((𝑤 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑤 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑤 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑤 − 𝐼), 1, 0)))) ∈ ℤ)
33		metakunt33.7	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑤 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑤 = 𝐼, 𝑤, if(𝑤 < 𝐼, ((𝑤 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑤 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑤 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑤 − 𝐼), 1, 0)))))
34	15, 32, 33	fnmptd 6558	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 Fn (1...𝑀))
35	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵 ∘ 𝐴):(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
36		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → 𝑎 ∈ (1...𝑀))
37	35, 36	fvco3d 6850	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐶 ∘ (𝐵 ∘ 𝐴))‘𝑎) = (𝐶‘((𝐵 ∘ 𝐴)‘𝑎)))
38	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → 𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
39	38, 36	fvco3d 6850	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐵 ∘ 𝐴)‘𝑎) = (𝐵‘(𝐴‘𝑎)))
40	39	fveq2d 6760	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → (𝐶‘((𝐵 ∘ 𝐴)‘𝑎)) = (𝐶‘(𝐵‘(𝐴‘𝑎))))
41	37, 40	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐶 ∘ (𝐵 ∘ 𝐴))‘𝑎) = (𝐶‘(𝐵‘(𝐴‘𝑎))))
42	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
43	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → 𝐼 ∈ ℕ)
44	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → 𝐼 ≤ 𝑀)
45		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ if(𝐼 ≤ (𝑎 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0) = if(𝐼 ≤ (𝑎 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)
46		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ if(𝐼 ≤ (𝑎 − 𝐼), 1, 0) = if(𝐼 ≤ (𝑎 − 𝐼), 1, 0)
47		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ if(𝑎 = 𝐼, 𝑎, if(𝑎 < 𝐼, ((𝑎 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑎 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑎 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑎 − 𝐼), 1, 0)))) = if(𝑎 = 𝐼, 𝑎, if(𝑎 < 𝐼, ((𝑎 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑎 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑎 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑎 − 𝐼), 1, 0))))
48	42, 43, 44, 36, 10, 6, 4, 45, 46, 47	metakunt31 40083	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴‘𝑎))) = if(𝑎 = 𝐼, 𝑎, if(𝑎 < 𝐼, ((𝑎 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑎 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑎 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑎 − 𝐼), 1, 0)))))
49	42, 43, 44, 36, 33, 45, 46, 47	metakunt32 40084	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷‘𝑎) = if(𝑎 = 𝐼, 𝑎, if(𝑎 < 𝐼, ((𝑎 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑎 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑎 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑎 − 𝐼), 1, 0)))))
50	49	eqcomd 2744	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑎 = 𝐼, 𝑎, if(𝑎 < 𝐼, ((𝑎 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑎 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑎 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑎 − 𝐼), 1, 0)))) = (𝐷‘𝑎))
51	48, 50	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴‘𝑎))) = (𝐷‘𝑎))
52	41, 51	eqtrd 2778	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐶 ∘ (𝐵 ∘ 𝐴))‘𝑎) = (𝐷‘𝑎))
53	14, 34, 52	eqfnfvd 6894	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∘ (𝐵 ∘ 𝐴)) = 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ifcif 4456   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153   ∘ ccom 5584  ⟶wf 6414  –1-1-onto→wf1o 6417  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135  ℕcn 11903  ℤcz 12249  ...cfz 13168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312

This theorem is referenced by:  metakunt34  40086