Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt33 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt33 40609
Description: Construction of one solution of the increment equation system. (Contributed by metakunt, 18-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt33.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
metakunt33.2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
metakunt33.3 (𝜑𝐼𝑀)
metakunt33.4 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt33.5 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
metakunt33.6 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt33.7 𝐷 = (𝑤 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑤 = 𝐼, 𝑤, if(𝑤 < 𝐼, ((𝑤 + (𝑀𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑤 + (𝑀𝐼)), 1, 0)), ((𝑤𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑤𝐼), 1, 0)))))
Assertion
Ref Expression
metakunt33 (𝜑 → (𝐶 ∘ (𝐵𝐴)) = 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑤,𝐼   𝑥,𝐼   𝑦,𝐼   𝑧,𝐼   𝑤,𝑀   𝑥,𝑀   𝑦,𝑀   𝑧,𝑀   𝜑,𝑤   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem metakunt33
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metakunt33.1 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
2 metakunt33.2 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
3 metakunt33.3 . . . . 5 (𝜑𝐼𝑀)
4 metakunt33.6 . . . . 5 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
51, 2, 3, 4metakunt2 40578 . . . 4 (𝜑𝐶:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
6 metakunt33.5 . . . . . . 7 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
71, 2, 3, 6metakunt25 40601 . . . . . 6 (𝜑𝐵:(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀))
8 f1of 6784 . . . . . 6 (𝐵:(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀) → 𝐵:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
97, 8syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐵:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
10 metakunt33.4 . . . . . 6 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
111, 2, 3, 10metakunt1 40577 . . . . 5 (𝜑𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
129, 11fcod 6694 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴):(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
135, 12fcod 6694 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ∘ (𝐵𝐴)):(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
1413ffnd 6669 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∘ (𝐵𝐴)) Fn (1...𝑀))
15 nfv 1917 . . 3 𝑤𝜑
16 elfzelz 13441 . . . . 5 (𝑤 ∈ (1...𝑀) → 𝑤 ∈ ℤ)
1716adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ (1...𝑀)) → 𝑤 ∈ ℤ)
181nnzd 12526 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1918adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ (1...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
202nnzd 12526 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
2120adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ (1...𝑀)) → 𝐼 ∈ ℤ)
2219, 21zsubcld 12612 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ (1...𝑀)) → (𝑀𝐼) ∈ ℤ)
2317, 22zaddcld 12611 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ (1...𝑀)) → (𝑤 + (𝑀𝐼)) ∈ ℤ)
24 1zzd 12534 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ (1...𝑀)) → 1 ∈ ℤ)
25 0zd 12511 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ (1...𝑀)) → 0 ∈ ℤ)
2624, 25ifcld 4532 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ (1...𝑀)) → if(𝐼 ≤ (𝑤 + (𝑀𝐼)), 1, 0) ∈ ℤ)
2723, 26zaddcld 12611 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑤 + (𝑀𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑤 + (𝑀𝐼)), 1, 0)) ∈ ℤ)
2817, 21zsubcld 12612 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ (1...𝑀)) → (𝑤𝐼) ∈ ℤ)
2924, 25ifcld 4532 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ (1...𝑀)) → if(𝐼 ≤ (𝑤𝐼), 1, 0) ∈ ℤ)
3028, 29zaddcld 12611 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑤𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑤𝐼), 1, 0)) ∈ ℤ)
3127, 30ifcld 4532 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑤 < 𝐼, ((𝑤 + (𝑀𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑤 + (𝑀𝐼)), 1, 0)), ((𝑤𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑤𝐼), 1, 0))) ∈ ℤ)
3217, 31ifcld 4532 . . 3 ((𝜑𝑤 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑤 = 𝐼, 𝑤, if(𝑤 < 𝐼, ((𝑤 + (𝑀𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑤 + (𝑀𝐼)), 1, 0)), ((𝑤𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑤𝐼), 1, 0)))) ∈ ℤ)
33 metakunt33.7 . . 3 𝐷 = (𝑤 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑤 = 𝐼, 𝑤, if(𝑤 < 𝐼, ((𝑤 + (𝑀𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑤 + (𝑀𝐼)), 1, 0)), ((𝑤𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑤𝐼), 1, 0)))))
3415, 32, 33fnmptd 6642 . 2 (𝜑𝐷 Fn (1...𝑀))
3512adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵𝐴):(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
36 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (1...𝑀)) → 𝑎 ∈ (1...𝑀))
3735, 36fvco3d 6941 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐶 ∘ (𝐵𝐴))‘𝑎) = (𝐶‘((𝐵𝐴)‘𝑎)))
3811adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (1...𝑀)) → 𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
3938, 36fvco3d 6941 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐵𝐴)‘𝑎) = (𝐵‘(𝐴𝑎)))
4039fveq2d 6846 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (1...𝑀)) → (𝐶‘((𝐵𝐴)‘𝑎)) = (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑎))))
4137, 40eqtrd 2776 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐶 ∘ (𝐵𝐴))‘𝑎) = (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑎))))
421adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (1...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
432adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (1...𝑀)) → 𝐼 ∈ ℕ)
443adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (1...𝑀)) → 𝐼𝑀)
45 eqid 2736 . . . . 5 if(𝐼 ≤ (𝑎 + (𝑀𝐼)), 1, 0) = if(𝐼 ≤ (𝑎 + (𝑀𝐼)), 1, 0)
46 eqid 2736 . . . . 5 if(𝐼 ≤ (𝑎𝐼), 1, 0) = if(𝐼 ≤ (𝑎𝐼), 1, 0)
47 eqid 2736 . . . . 5 if(𝑎 = 𝐼, 𝑎, if(𝑎 < 𝐼, ((𝑎 + (𝑀𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑎 + (𝑀𝐼)), 1, 0)), ((𝑎𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑎𝐼), 1, 0)))) = if(𝑎 = 𝐼, 𝑎, if(𝑎 < 𝐼, ((𝑎 + (𝑀𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑎 + (𝑀𝐼)), 1, 0)), ((𝑎𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑎𝐼), 1, 0))))
4842, 43, 44, 36, 10, 6, 4, 45, 46, 47metakunt31 40607 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (1...𝑀)) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑎))) = if(𝑎 = 𝐼, 𝑎, if(𝑎 < 𝐼, ((𝑎 + (𝑀𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑎 + (𝑀𝐼)), 1, 0)), ((𝑎𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑎𝐼), 1, 0)))))
4942, 43, 44, 36, 33, 45, 46, 47metakunt32 40608 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷𝑎) = if(𝑎 = 𝐼, 𝑎, if(𝑎 < 𝐼, ((𝑎 + (𝑀𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑎 + (𝑀𝐼)), 1, 0)), ((𝑎𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑎𝐼), 1, 0)))))
5049eqcomd 2742 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑎 = 𝐼, 𝑎, if(𝑎 < 𝐼, ((𝑎 + (𝑀𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑎 + (𝑀𝐼)), 1, 0)), ((𝑎𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑎𝐼), 1, 0)))) = (𝐷𝑎))
5148, 50eqtrd 2776 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ (1...𝑀)) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑎))) = (𝐷𝑎))
5241, 51eqtrd 2776 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐶 ∘ (𝐵𝐴))‘𝑎) = (𝐷𝑎))
5314, 34, 52eqfnfvd 6985 1 (𝜑 → (𝐶 ∘ (𝐵𝐴)) = 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  ifcif 4486   class class class wbr 5105  cmpt 5188  ccom 5637  wf 6492  1-1-ontowf1o 6495  cfv 6496  (class class class)co 7357  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  cn 12153  cz 12499  ...cfz 13424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568
This theorem is referenced by:  metakunt34  40610
  Copyright terms: Public domain W3C validator