Theorem metakunt33 40157

Description: Construction of one solution of the increment equation system. (Contributed by metakunt, 18-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt33.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt33.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt33.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt33.4	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt33.5	⊢ 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
metakunt33.6	⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt33.7	⊢ 𝐷 = (𝑤 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑤 = 𝐼, 𝑤, if(𝑤 < 𝐼, ((𝑤 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑤 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑤 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑤 − 𝐼), 1, 0)))))

Assertion

Ref	Expression
metakunt33	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∘ (𝐵 ∘ 𝐴)) = 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑤,𝐼   𝑥,𝐼   𝑦,𝐼   𝑧,𝐼   𝑤,𝑀   𝑥,𝑀   𝑦,𝑀   𝑧,𝑀   𝜑,𝑤   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem metakunt33

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt33.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2		metakunt33.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
3		metakunt33.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
4		metakunt33.6	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
5	1, 2, 3, 4	metakunt2 40126	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
6		metakunt33.5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
7	1, 2, 3, 6	metakunt25 40149	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵:(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀))
8		f1of 6716	. . . . . 6 ⊢ (𝐵:(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀) → 𝐵:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
10		metakunt33.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
11	1, 2, 3, 10	metakunt1 40125	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
12	9, 11	fcod 6626	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∘ 𝐴):(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
13	5, 12	fcod 6626	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∘ (𝐵 ∘ 𝐴)):(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
14	13	ffnd 6601	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∘ (𝐵 ∘ 𝐴)) Fn (1...𝑀))
15		nfv 1917	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑤𝜑
16		elfzelz 13256	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (1...𝑀) → 𝑤 ∈ ℤ)
17	16	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑀)) → 𝑤 ∈ ℤ)
18	1	nnzd 12425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
19	18	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
20	2	nnzd 12425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
21	20	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑀)) → 𝐼 ∈ ℤ)
22	19, 21	zsubcld 12431	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑀)) → (𝑀 − 𝐼) ∈ ℤ)
23	17, 22	zaddcld 12430	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑀)) → (𝑤 + (𝑀 − 𝐼)) ∈ ℤ)
24		1zzd 12351	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑀)) → 1 ∈ ℤ)
25		0zd 12331	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑀)) → 0 ∈ ℤ)
26	24, 25	ifcld 4505	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑀)) → if(𝐼 ≤ (𝑤 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0) ∈ ℤ)
27	23, 26	zaddcld 12430	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑤 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑤 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)) ∈ ℤ)
28	17, 21	zsubcld 12431	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑀)) → (𝑤 − 𝐼) ∈ ℤ)
29	24, 25	ifcld 4505	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑀)) → if(𝐼 ≤ (𝑤 − 𝐼), 1, 0) ∈ ℤ)
30	28, 29	zaddcld 12430	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑤 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑤 − 𝐼), 1, 0)) ∈ ℤ)
31	27, 30	ifcld 4505	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑤 < 𝐼, ((𝑤 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑤 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑤 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑤 − 𝐼), 1, 0))) ∈ ℤ)
32	17, 31	ifcld 4505	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑤 = 𝐼, 𝑤, if(𝑤 < 𝐼, ((𝑤 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑤 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑤 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑤 − 𝐼), 1, 0)))) ∈ ℤ)
33		metakunt33.7	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑤 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑤 = 𝐼, 𝑤, if(𝑤 < 𝐼, ((𝑤 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑤 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑤 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑤 − 𝐼), 1, 0)))))
34	15, 32, 33	fnmptd 6574	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 Fn (1...𝑀))
35	12	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵 ∘ 𝐴):(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
36		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → 𝑎 ∈ (1...𝑀))
37	35, 36	fvco3d 6868	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐶 ∘ (𝐵 ∘ 𝐴))‘𝑎) = (𝐶‘((𝐵 ∘ 𝐴)‘𝑎)))
38	11	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → 𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
39	38, 36	fvco3d 6868	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐵 ∘ 𝐴)‘𝑎) = (𝐵‘(𝐴‘𝑎)))
40	39	fveq2d 6778	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → (𝐶‘((𝐵 ∘ 𝐴)‘𝑎)) = (𝐶‘(𝐵‘(𝐴‘𝑎))))
41	37, 40	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐶 ∘ (𝐵 ∘ 𝐴))‘𝑎) = (𝐶‘(𝐵‘(𝐴‘𝑎))))
42	1	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
43	2	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → 𝐼 ∈ ℕ)
44	3	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → 𝐼 ≤ 𝑀)
45		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ if(𝐼 ≤ (𝑎 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0) = if(𝐼 ≤ (𝑎 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)
46		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ if(𝐼 ≤ (𝑎 − 𝐼), 1, 0) = if(𝐼 ≤ (𝑎 − 𝐼), 1, 0)
47		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ if(𝑎 = 𝐼, 𝑎, if(𝑎 < 𝐼, ((𝑎 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑎 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑎 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑎 − 𝐼), 1, 0)))) = if(𝑎 = 𝐼, 𝑎, if(𝑎 < 𝐼, ((𝑎 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑎 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑎 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑎 − 𝐼), 1, 0))))
48	42, 43, 44, 36, 10, 6, 4, 45, 46, 47	metakunt31 40155	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴‘𝑎))) = if(𝑎 = 𝐼, 𝑎, if(𝑎 < 𝐼, ((𝑎 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑎 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑎 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑎 − 𝐼), 1, 0)))))
49	42, 43, 44, 36, 33, 45, 46, 47	metakunt32 40156	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷‘𝑎) = if(𝑎 = 𝐼, 𝑎, if(𝑎 < 𝐼, ((𝑎 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑎 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑎 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑎 − 𝐼), 1, 0)))))
50	49	eqcomd 2744	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑎 = 𝐼, 𝑎, if(𝑎 < 𝐼, ((𝑎 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑎 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑎 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑎 − 𝐼), 1, 0)))) = (𝐷‘𝑎))
51	48, 50	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴‘𝑎))) = (𝐷‘𝑎))
52	41, 51	eqtrd 2778	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐶 ∘ (𝐵 ∘ 𝐴))‘𝑎) = (𝐷‘𝑎))
53	14, 34, 52	eqfnfvd 6912	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∘ (𝐵 ∘ 𝐴)) = 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ifcif 4459   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157   ∘ ccom 5593  ⟶wf 6429  –1-1-onto→wf1o 6432  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205  ℕcn 11973  ℤcz 12319  ...cfz 13239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383

This theorem is referenced by:  metakunt34  40158