Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itcovalendof Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itcovalendof 45010
 Description: The n-th iterate of an endofunction is an endofunction. (Contributed by AV, 7-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
itcovalendof.a (𝜑𝐴𝑉)
itcovalendof.f (𝜑𝐹:𝐴𝐴)
itcovalendof.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
itcovalendof (𝜑 → ((IterComp‘𝐹)‘𝑁):𝐴𝐴)

Proof of Theorem itcovalendof
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itcovalendof.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2 fveq2 6662 . . . 4 (𝑥 = 0 → ((IterComp‘𝐹)‘𝑥) = ((IterComp‘𝐹)‘0))
32feq1d 6489 . . 3 (𝑥 = 0 → (((IterComp‘𝐹)‘𝑥):𝐴𝐴 ↔ ((IterComp‘𝐹)‘0):𝐴𝐴))
4 fveq2 6662 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((IterComp‘𝐹)‘𝑥) = ((IterComp‘𝐹)‘𝑦))
54feq1d 6489 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (((IterComp‘𝐹)‘𝑥):𝐴𝐴 ↔ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦):𝐴𝐴))
6 fveq2 6662 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((IterComp‘𝐹)‘𝑥) = ((IterComp‘𝐹)‘(𝑦 + 1)))
76feq1d 6489 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((IterComp‘𝐹)‘𝑥):𝐴𝐴 ↔ ((IterComp‘𝐹)‘(𝑦 + 1)):𝐴𝐴))
8 fveq2 6662 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((IterComp‘𝐹)‘𝑥) = ((IterComp‘𝐹)‘𝑁))
98feq1d 6489 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → (((IterComp‘𝐹)‘𝑥):𝐴𝐴 ↔ ((IterComp‘𝐹)‘𝑁):𝐴𝐴))
10 f1oi 6644 . . . . . 6 ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto𝐴
11 f1of 6607 . . . . . 6 (( I ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto𝐴 → ( I ↾ 𝐴):𝐴𝐴)
1210, 11mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → ( I ↾ 𝐴):𝐴𝐴)
13 itcovalendof.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐴𝐴)
1413fdmd 6514 . . . . . . 7 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
1514reseq2d 5841 . . . . . 6 (𝜑 → ( I ↾ dom 𝐹) = ( I ↾ 𝐴))
1615feq1d 6489 . . . . 5 (𝜑 → (( I ↾ dom 𝐹):𝐴𝐴 ↔ ( I ↾ 𝐴):𝐴𝐴))
1712, 16mpbird 260 . . . 4 (𝜑 → ( I ↾ dom 𝐹):𝐴𝐴)
18 itcovalendof.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑉)
1913, 18fexd 6982 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ V)
20 itcoval0 45003 . . . . . 6 (𝐹 ∈ V → ((IterComp‘𝐹)‘0) = ( I ↾ dom 𝐹))
2119, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((IterComp‘𝐹)‘0) = ( I ↾ dom 𝐹))
2221feq1d 6489 . . . 4 (𝜑 → (((IterComp‘𝐹)‘0):𝐴𝐴 ↔ ( I ↾ dom 𝐹):𝐴𝐴))
2317, 22mpbird 260 . . 3 (𝜑 → ((IterComp‘𝐹)‘0):𝐴𝐴)
2413ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦):𝐴𝐴) → 𝐹:𝐴𝐴)
25 simpr 488 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦):𝐴𝐴) → ((IterComp‘𝐹)‘𝑦):𝐴𝐴)
2624, 25fcod 6523 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦):𝐴𝐴) → (𝐹 ∘ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦)):𝐴𝐴)
2719ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦):𝐴𝐴) → 𝐹 ∈ V)
28 simplr 768 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦):𝐴𝐴) → 𝑦 ∈ ℕ0)
29 eqidd 2825 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦):𝐴𝐴) → ((IterComp‘𝐹)‘𝑦) = ((IterComp‘𝐹)‘𝑦))
30 itcovalsucov 45009 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦) = ((IterComp‘𝐹)‘𝑦)) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑦 + 1)) = (𝐹 ∘ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦)))
3127, 28, 29, 30syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦):𝐴𝐴) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑦 + 1)) = (𝐹 ∘ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦)))
3231feq1d 6489 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦):𝐴𝐴) → (((IterComp‘𝐹)‘(𝑦 + 1)):𝐴𝐴 ↔ (𝐹 ∘ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦)):𝐴𝐴))
3326, 32mpbird 260 . . 3 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦):𝐴𝐴) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑦 + 1)):𝐴𝐴)
343, 5, 7, 9, 23, 33nn0indd 12079 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → ((IterComp‘𝐹)‘𝑁):𝐴𝐴)
351, 34mpdan 686 1 (𝜑 → ((IterComp‘𝐹)‘𝑁):𝐴𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3481   I cid 5447  dom cdm 5543   ↾ cres 5545   ∘ ccom 5547  ⟶wf 6340  –1-1-onto→wf1o 6343  ‘cfv 6344  (class class class)co 7150  0cc0 10536  1c1 10537   + caddc 10539  ℕ0cn0 11897  IterCompcitco 44998 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-inf2 9102  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7576  df-2nd 7686  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-er 8286  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-n0 11898  df-z 11982  df-uz 12244  df-seq 13377  df-itco 45000 This theorem is referenced by:  ackendofnn0  45025  ackvalsucsucval  45029
 Copyright terms: Public domain W3C validator