Theorem itcovalendof 48658

Description: The n-th iterate of an endofunction is an endofunction. (Contributed by AV, 7-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
itcovalendof.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
itcovalendof.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐴)
itcovalendof.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
itcovalendof	⊢ (𝜑 → ((IterComp‘𝐹)‘𝑁):𝐴⟶𝐴)

Proof of Theorem itcovalendof

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itcovalendof.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		fveq2 6858	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((IterComp‘𝐹)‘𝑥) = ((IterComp‘𝐹)‘0))
3	2	feq1d 6670	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → (((IterComp‘𝐹)‘𝑥):𝐴⟶𝐴 ↔ ((IterComp‘𝐹)‘0):𝐴⟶𝐴))
4		fveq2 6858	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((IterComp‘𝐹)‘𝑥) = ((IterComp‘𝐹)‘𝑦))
5	4	feq1d 6670	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((IterComp‘𝐹)‘𝑥):𝐴⟶𝐴 ↔ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦):𝐴⟶𝐴))
6		fveq2 6858	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((IterComp‘𝐹)‘𝑥) = ((IterComp‘𝐹)‘(𝑦 + 1)))
7	6	feq1d 6670	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((IterComp‘𝐹)‘𝑥):𝐴⟶𝐴 ↔ ((IterComp‘𝐹)‘(𝑦 + 1)):𝐴⟶𝐴))
8		fveq2 6858	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((IterComp‘𝐹)‘𝑥) = ((IterComp‘𝐹)‘𝑁))
9	8	feq1d 6670	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (((IterComp‘𝐹)‘𝑥):𝐴⟶𝐴 ↔ ((IterComp‘𝐹)‘𝑁):𝐴⟶𝐴))
10		f1oi 6838	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴
11		f1of 6800	. . . . . 6 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴 → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴)
12	10, 11	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴)
13		itcovalendof.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐴)
14	13	fdmd 6698	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
15	14	reseq2d 5950	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ dom 𝐹) = ( I ↾ 𝐴))
16	15	feq1d 6670	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ dom 𝐹):𝐴⟶𝐴 ↔ ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴))
17	12, 16	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ dom 𝐹):𝐴⟶𝐴)
18		itcovalendof.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
19	13, 18	fexd 7201	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
20		itcoval0 48651	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ V → ((IterComp‘𝐹)‘0) = ( I ↾ dom 𝐹))
21	19, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((IterComp‘𝐹)‘0) = ( I ↾ dom 𝐹))
22	21	feq1d 6670	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((IterComp‘𝐹)‘0):𝐴⟶𝐴 ↔ ( I ↾ dom 𝐹):𝐴⟶𝐴))
23	17, 22	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((IterComp‘𝐹)‘0):𝐴⟶𝐴)
24	13	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦):𝐴⟶𝐴) → 𝐹:𝐴⟶𝐴)
25		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦):𝐴⟶𝐴) → ((IterComp‘𝐹)‘𝑦):𝐴⟶𝐴)
26	24, 25	fcod 6713	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦):𝐴⟶𝐴) → (𝐹 ∘ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦)):𝐴⟶𝐴)
27	19	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦):𝐴⟶𝐴) → 𝐹 ∈ V)
28		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦):𝐴⟶𝐴) → 𝑦 ∈ ℕ0)
29		eqidd 2730	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦):𝐴⟶𝐴) → ((IterComp‘𝐹)‘𝑦) = ((IterComp‘𝐹)‘𝑦))
30		itcovalsucov 48657	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦) = ((IterComp‘𝐹)‘𝑦)) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑦 + 1)) = (𝐹 ∘ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦)))
31	27, 28, 29, 30	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦):𝐴⟶𝐴) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑦 + 1)) = (𝐹 ∘ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦)))
32	31	feq1d 6670	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦):𝐴⟶𝐴) → (((IterComp‘𝐹)‘(𝑦 + 1)):𝐴⟶𝐴 ↔ (𝐹 ∘ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦)):𝐴⟶𝐴))
33	26, 32	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦):𝐴⟶𝐴) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑦 + 1)):𝐴⟶𝐴)
34	3, 5, 7, 9, 23, 33	nn0indd 12631	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((IterComp‘𝐹)‘𝑁):𝐴⟶𝐴)
35	1, 34	mpdan 687	1 ⊢ (𝜑 → ((IterComp‘𝐹)‘𝑁):𝐴⟶𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   I cid 5532  dom cdm 5638   ↾ cres 5640   ∘ ccom 5642  ⟶wf 6507  –1-1-onto→wf1o 6510  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071  ℕ₀cn0 12442  IterCompcitco 48646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-seq 13967  df-itco 48648

This theorem is referenced by:  ackendofnn0  48673  ackvalsucsucval  48677