Theorem itcovalendof 49300

Description: The n-th iterate of an endofunction is an endofunction. (Contributed by AV, 7-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
itcovalendof.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
itcovalendof.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐴)
itcovalendof.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
itcovalendof	⊢ (𝜑 → ((IterComp‘𝐹)‘𝑁):𝐴⟶𝐴)

Proof of Theorem itcovalendof

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itcovalendof.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		fveq2 6871	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((IterComp‘𝐹)‘𝑥) = ((IterComp‘𝐹)‘0))
3	2	feq1d 6677	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → (((IterComp‘𝐹)‘𝑥):𝐴⟶𝐴 ↔ ((IterComp‘𝐹)‘0):𝐴⟶𝐴))
4		fveq2 6871	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((IterComp‘𝐹)‘𝑥) = ((IterComp‘𝐹)‘𝑦))
5	4	feq1d 6677	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((IterComp‘𝐹)‘𝑥):𝐴⟶𝐴 ↔ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦):𝐴⟶𝐴))
6		fveq2 6871	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((IterComp‘𝐹)‘𝑥) = ((IterComp‘𝐹)‘(𝑦 + 1)))
7	6	feq1d 6677	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((IterComp‘𝐹)‘𝑥):𝐴⟶𝐴 ↔ ((IterComp‘𝐹)‘(𝑦 + 1)):𝐴⟶𝐴))
8		fveq2 6871	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((IterComp‘𝐹)‘𝑥) = ((IterComp‘𝐹)‘𝑁))
9	8	feq1d 6677	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (((IterComp‘𝐹)‘𝑥):𝐴⟶𝐴 ↔ ((IterComp‘𝐹)‘𝑁):𝐴⟶𝐴))
10		f1oi 6849	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴
11		f1of 6810	. . . . . 6 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴 → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴)
12	10, 11	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴)
13		itcovalendof.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐴)
14	13	fdmd 6706	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
15	14	reseq2d 5969	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ dom 𝐹) = ( I ↾ 𝐴))
16	15	feq1d 6677	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ dom 𝐹):𝐴⟶𝐴 ↔ ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴))
17	12, 16	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ dom 𝐹):𝐴⟶𝐴)
18		itcovalendof.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
19	13, 18	fexd 7215	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
20		itcoval0 49293	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ V → ((IterComp‘𝐹)‘0) = ( I ↾ dom 𝐹))
21	19, 20	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((IterComp‘𝐹)‘0) = ( I ↾ dom 𝐹))
22	21	feq1d 6677	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((IterComp‘𝐹)‘0):𝐴⟶𝐴 ↔ ( I ↾ dom 𝐹):𝐴⟶𝐴))
23	17, 22	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((IterComp‘𝐹)‘0):𝐴⟶𝐴)
24	13	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦):𝐴⟶𝐴) → 𝐹:𝐴⟶𝐴)
25		simpr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦):𝐴⟶𝐴) → ((IterComp‘𝐹)‘𝑦):𝐴⟶𝐴)
26	24, 25	fcod 6721	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦):𝐴⟶𝐴) → (𝐹 ∘ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦)):𝐴⟶𝐴)
27	19	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦):𝐴⟶𝐴) → 𝐹 ∈ V)
28		simplr 780	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦):𝐴⟶𝐴) → 𝑦 ∈ ℕ0)
29		eqidd 2766	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦):𝐴⟶𝐴) → ((IterComp‘𝐹)‘𝑦) = ((IterComp‘𝐹)‘𝑦))
30		itcovalsucov 49299	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦) = ((IterComp‘𝐹)‘𝑦)) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑦 + 1)) = (𝐹 ∘ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦)))
31	27, 28, 29, 30	syl3anc 1394	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦):𝐴⟶𝐴) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑦 + 1)) = (𝐹 ∘ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦)))
32	31	feq1d 6677	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦):𝐴⟶𝐴) → (((IterComp‘𝐹)‘(𝑦 + 1)):𝐴⟶𝐴 ↔ (𝐹 ∘ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦)):𝐴⟶𝐴))
33	26, 32	mpbird 260	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦):𝐴⟶𝐴) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑦 + 1)):𝐴⟶𝐴)
34	3, 5, 7, 9, 23, 33	nn0indd 12684	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((IterComp‘𝐹)‘𝑁):𝐴⟶𝐴)
35	1, 34	mpdan 699	1 ⊢ (𝜑 → ((IterComp‘𝐹)‘𝑁):𝐴⟶𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457   I cid 5546  dom cdm 5652   ↾ cres 5654   ∘ ccom 5656  ⟶wf 6521  –1-1-onto→wf1o 6524  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091  ℕ₀cn0 12495  IterCompcitco 49288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-seq 14029  df-itco 49290

This theorem is referenced by:  ackendofnn0  49315  ackvalsucsucval  49319