Theorem itcovalendof 49142

Description: The n-th iterate of an endofunction is an endofunction. (Contributed by AV, 7-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
itcovalendof.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
itcovalendof.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐴)
itcovalendof.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
itcovalendof	⊢ (𝜑 → ((IterComp‘𝐹)‘𝑁):𝐴⟶𝐴)

Proof of Theorem itcovalendof

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itcovalendof.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		fveq2 6832	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((IterComp‘𝐹)‘𝑥) = ((IterComp‘𝐹)‘0))
3	2	feq1d 6642	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → (((IterComp‘𝐹)‘𝑥):𝐴⟶𝐴 ↔ ((IterComp‘𝐹)‘0):𝐴⟶𝐴))
4		fveq2 6832	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((IterComp‘𝐹)‘𝑥) = ((IterComp‘𝐹)‘𝑦))
5	4	feq1d 6642	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((IterComp‘𝐹)‘𝑥):𝐴⟶𝐴 ↔ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦):𝐴⟶𝐴))
6		fveq2 6832	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((IterComp‘𝐹)‘𝑥) = ((IterComp‘𝐹)‘(𝑦 + 1)))
7	6	feq1d 6642	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((IterComp‘𝐹)‘𝑥):𝐴⟶𝐴 ↔ ((IterComp‘𝐹)‘(𝑦 + 1)):𝐴⟶𝐴))
8		fveq2 6832	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((IterComp‘𝐹)‘𝑥) = ((IterComp‘𝐹)‘𝑁))
9	8	feq1d 6642	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (((IterComp‘𝐹)‘𝑥):𝐴⟶𝐴 ↔ ((IterComp‘𝐹)‘𝑁):𝐴⟶𝐴))
10		f1oi 6810	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴
11		f1of 6772	. . . . . 6 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴 → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴)
12	10, 11	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴)
13		itcovalendof.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐴)
14	13	fdmd 6670	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
15	14	reseq2d 5936	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ dom 𝐹) = ( I ↾ 𝐴))
16	15	feq1d 6642	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ dom 𝐹):𝐴⟶𝐴 ↔ ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴))
17	12, 16	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ dom 𝐹):𝐴⟶𝐴)
18		itcovalendof.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
19	13, 18	fexd 7173	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
20		itcoval0 49135	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ V → ((IterComp‘𝐹)‘0) = ( I ↾ dom 𝐹))
21	19, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((IterComp‘𝐹)‘0) = ( I ↾ dom 𝐹))
22	21	feq1d 6642	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((IterComp‘𝐹)‘0):𝐴⟶𝐴 ↔ ( I ↾ dom 𝐹):𝐴⟶𝐴))
23	17, 22	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((IterComp‘𝐹)‘0):𝐴⟶𝐴)
24	13	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦):𝐴⟶𝐴) → 𝐹:𝐴⟶𝐴)
25		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦):𝐴⟶𝐴) → ((IterComp‘𝐹)‘𝑦):𝐴⟶𝐴)
26	24, 25	fcod 6685	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦):𝐴⟶𝐴) → (𝐹 ∘ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦)):𝐴⟶𝐴)
27	19	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦):𝐴⟶𝐴) → 𝐹 ∈ V)
28		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦):𝐴⟶𝐴) → 𝑦 ∈ ℕ0)
29		eqidd 2738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦):𝐴⟶𝐴) → ((IterComp‘𝐹)‘𝑦) = ((IterComp‘𝐹)‘𝑦))
30		itcovalsucov 49141	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦) = ((IterComp‘𝐹)‘𝑦)) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑦 + 1)) = (𝐹 ∘ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦)))
31	27, 28, 29, 30	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦):𝐴⟶𝐴) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑦 + 1)) = (𝐹 ∘ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦)))
32	31	feq1d 6642	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦):𝐴⟶𝐴) → (((IterComp‘𝐹)‘(𝑦 + 1)):𝐴⟶𝐴 ↔ (𝐹 ∘ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦)):𝐴⟶𝐴))
33	26, 32	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦):𝐴⟶𝐴) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑦 + 1)):𝐴⟶𝐴)
34	3, 5, 7, 9, 23, 33	nn0indd 12615	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((IterComp‘𝐹)‘𝑁):𝐴⟶𝐴)
35	1, 34	mpdan 688	1 ⊢ (𝜑 → ((IterComp‘𝐹)‘𝑁):𝐴⟶𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   I cid 5516  dom cdm 5622   ↾ cres 5624   ∘ ccom 5626  ⟶wf 6486  –1-1-onto→wf1o 6489  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  0cc0 11027  1c1 11028   + caddc 11030  ℕ₀cn0 12426  IterCompcitco 49130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-inf2 9551  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-seq 13953  df-itco 49132

This theorem is referenced by:  ackendofnn0  49157  ackvalsucsucval  49161