Theorem itcovalendof 48680

Description: The n-th iterate of an endofunction is an endofunction. (Contributed by AV, 7-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
itcovalendof.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
itcovalendof.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐴)
itcovalendof.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
itcovalendof	⊢ (𝜑 → ((IterComp‘𝐹)‘𝑁):𝐴⟶𝐴)

Proof of Theorem itcovalendof

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itcovalendof.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		fveq2 6817	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((IterComp‘𝐹)‘𝑥) = ((IterComp‘𝐹)‘0))
3	2	feq1d 6629	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → (((IterComp‘𝐹)‘𝑥):𝐴⟶𝐴 ↔ ((IterComp‘𝐹)‘0):𝐴⟶𝐴))
4		fveq2 6817	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((IterComp‘𝐹)‘𝑥) = ((IterComp‘𝐹)‘𝑦))
5	4	feq1d 6629	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((IterComp‘𝐹)‘𝑥):𝐴⟶𝐴 ↔ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦):𝐴⟶𝐴))
6		fveq2 6817	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((IterComp‘𝐹)‘𝑥) = ((IterComp‘𝐹)‘(𝑦 + 1)))
7	6	feq1d 6629	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((IterComp‘𝐹)‘𝑥):𝐴⟶𝐴 ↔ ((IterComp‘𝐹)‘(𝑦 + 1)):𝐴⟶𝐴))
8		fveq2 6817	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((IterComp‘𝐹)‘𝑥) = ((IterComp‘𝐹)‘𝑁))
9	8	feq1d 6629	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (((IterComp‘𝐹)‘𝑥):𝐴⟶𝐴 ↔ ((IterComp‘𝐹)‘𝑁):𝐴⟶𝐴))
10		f1oi 6797	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴
11		f1of 6759	. . . . . 6 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴 → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴)
12	10, 11	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴)
13		itcovalendof.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐴)
14	13	fdmd 6657	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
15	14	reseq2d 5925	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ dom 𝐹) = ( I ↾ 𝐴))
16	15	feq1d 6629	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ dom 𝐹):𝐴⟶𝐴 ↔ ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴))
17	12, 16	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ dom 𝐹):𝐴⟶𝐴)
18		itcovalendof.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
19	13, 18	fexd 7156	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
20		itcoval0 48673	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ V → ((IterComp‘𝐹)‘0) = ( I ↾ dom 𝐹))
21	19, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((IterComp‘𝐹)‘0) = ( I ↾ dom 𝐹))
22	21	feq1d 6629	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((IterComp‘𝐹)‘0):𝐴⟶𝐴 ↔ ( I ↾ dom 𝐹):𝐴⟶𝐴))
23	17, 22	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((IterComp‘𝐹)‘0):𝐴⟶𝐴)
24	13	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦):𝐴⟶𝐴) → 𝐹:𝐴⟶𝐴)
25		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦):𝐴⟶𝐴) → ((IterComp‘𝐹)‘𝑦):𝐴⟶𝐴)
26	24, 25	fcod 6672	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦):𝐴⟶𝐴) → (𝐹 ∘ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦)):𝐴⟶𝐴)
27	19	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦):𝐴⟶𝐴) → 𝐹 ∈ V)
28		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦):𝐴⟶𝐴) → 𝑦 ∈ ℕ0)
29		eqidd 2731	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦):𝐴⟶𝐴) → ((IterComp‘𝐹)‘𝑦) = ((IterComp‘𝐹)‘𝑦))
30		itcovalsucov 48679	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦) = ((IterComp‘𝐹)‘𝑦)) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑦 + 1)) = (𝐹 ∘ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦)))
31	27, 28, 29, 30	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦):𝐴⟶𝐴) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑦 + 1)) = (𝐹 ∘ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦)))
32	31	feq1d 6629	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦):𝐴⟶𝐴) → (((IterComp‘𝐹)‘(𝑦 + 1)):𝐴⟶𝐴 ↔ (𝐹 ∘ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦)):𝐴⟶𝐴))
33	26, 32	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦):𝐴⟶𝐴) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑦 + 1)):𝐴⟶𝐴)
34	3, 5, 7, 9, 23, 33	nn0indd 12562	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((IterComp‘𝐹)‘𝑁):𝐴⟶𝐴)
35	1, 34	mpdan 687	1 ⊢ (𝜑 → ((IterComp‘𝐹)‘𝑁):𝐴⟶𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  Vcvv 3434   I cid 5508  dom cdm 5614   ↾ cres 5616   ∘ ccom 5618  ⟶wf 6473  –1-1-onto→wf1o 6476  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  0cc0 10998  1c1 10999   + caddc 11001  ℕ₀cn0 12373  IterCompcitco 48668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-seq 13901  df-itco 48670

This theorem is referenced by:  ackendofnn0  48695  ackvalsucsucval  48699