MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapen 8675
Description: Two set exponentiations are equinumerous when their bases and exponents are equinumerous. Theorem 6H(c) of [Enderton] p. 139. (Contributed by NM, 16-Dec-2003.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
mapen ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐴m 𝐶) ≈ (𝐵m 𝐷))

Proof of Theorem mapen
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 8512 . 2 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵)
2 bren 8512 . 2 (𝐶𝐷 ↔ ∃𝑔 𝑔:𝐶1-1-onto𝐷)
3 exdistrv 1949 . . 3 (∃𝑓𝑔(𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ↔ (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐶1-1-onto𝐷))
4 ovexd 7185 . . . . 5 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝐴m 𝐶) ∈ V)
5 ovexd 7185 . . . . 5 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝐵m 𝐷) ∈ V)
6 elmapi 8423 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴m 𝐶) → 𝑥:𝐶𝐴)
7 f1of 6614 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐴𝐵)
87adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → 𝑓:𝐴𝐵)
9 fco 6530 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐴𝐵𝑥:𝐶𝐴) → (𝑓𝑥):𝐶𝐵)
108, 9sylan 580 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ 𝑥:𝐶𝐴) → (𝑓𝑥):𝐶𝐵)
11 f1ocnv 6626 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔:𝐶1-1-onto𝐷𝑔:𝐷1-1-onto𝐶)
1211adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → 𝑔:𝐷1-1-onto𝐶)
13 f1of 6614 . . . . . . . . . . 11 (𝑔:𝐷1-1-onto𝐶𝑔:𝐷𝐶)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → 𝑔:𝐷𝐶)
1514adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ 𝑥:𝐶𝐴) → 𝑔:𝐷𝐶)
16 fco 6530 . . . . . . . . 9 (((𝑓𝑥):𝐶𝐵𝑔:𝐷𝐶) → ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔):𝐷𝐵)
1710, 15, 16syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ 𝑥:𝐶𝐴) → ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔):𝐷𝐵)
1817ex 413 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑥:𝐶𝐴 → ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔):𝐷𝐵))
196, 18syl5 34 . . . . . 6 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑥 ∈ (𝐴m 𝐶) → ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔):𝐷𝐵))
20 f1ofo 6621 . . . . . . . . . 10 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐴onto𝐵)
2120adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → 𝑓:𝐴onto𝐵)
22 forn 6592 . . . . . . . . 9 (𝑓:𝐴onto𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → ran 𝑓 = 𝐵)
24 vex 3503 . . . . . . . . 9 𝑓 ∈ V
2524rnex 7610 . . . . . . . 8 ran 𝑓 ∈ V
2623, 25syl6eqelr 2927 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → 𝐵 ∈ V)
27 f1ofo 6621 . . . . . . . . . 10 (𝑔:𝐶1-1-onto𝐷𝑔:𝐶onto𝐷)
2827adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → 𝑔:𝐶onto𝐷)
29 forn 6592 . . . . . . . . 9 (𝑔:𝐶onto𝐷 → ran 𝑔 = 𝐷)
3028, 29syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → ran 𝑔 = 𝐷)
31 vex 3503 . . . . . . . . 9 𝑔 ∈ V
3231rnex 7610 . . . . . . . 8 ran 𝑔 ∈ V
3330, 32syl6eqelr 2927 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → 𝐷 ∈ V)
3426, 33elmapd 8415 . . . . . 6 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (((𝑓𝑥) ∘ 𝑔) ∈ (𝐵m 𝐷) ↔ ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔):𝐷𝐵))
3519, 34sylibrd 260 . . . . 5 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑥 ∈ (𝐴m 𝐶) → ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔) ∈ (𝐵m 𝐷)))
36 elmapi 8423 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝐵m 𝐷) → 𝑦:𝐷𝐵)
37 f1ocnv 6626 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐵1-1-onto𝐴)
3837adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → 𝑓:𝐵1-1-onto𝐴)
39 f1of 6614 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝑓:𝐵𝐴)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → 𝑓:𝐵𝐴)
4140adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ 𝑦:𝐷𝐵) → 𝑓:𝐵𝐴)
42 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑦:𝐷𝐵𝑦:𝐷𝐵)
43 f1of 6614 . . . . . . . . . . 11 (𝑔:𝐶1-1-onto𝐷𝑔:𝐶𝐷)
4443adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → 𝑔:𝐶𝐷)
45 fco 6530 . . . . . . . . . 10 ((𝑦:𝐷𝐵𝑔:𝐶𝐷) → (𝑦𝑔):𝐶𝐵)
4642, 44, 45syl2anr 596 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ 𝑦:𝐷𝐵) → (𝑦𝑔):𝐶𝐵)
47 fco 6530 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝐵𝐴 ∧ (𝑦𝑔):𝐶𝐵) → (𝑓 ∘ (𝑦𝑔)):𝐶𝐴)
4841, 46, 47syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ 𝑦:𝐷𝐵) → (𝑓 ∘ (𝑦𝑔)):𝐶𝐴)
4948ex 413 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑦:𝐷𝐵 → (𝑓 ∘ (𝑦𝑔)):𝐶𝐴))
5036, 49syl5 34 . . . . . 6 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑦 ∈ (𝐵m 𝐷) → (𝑓 ∘ (𝑦𝑔)):𝐶𝐴))
51 f1odm 6618 . . . . . . . . 9 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
5251adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → dom 𝑓 = 𝐴)
5324dmex 7609 . . . . . . . 8 dom 𝑓 ∈ V
5452, 53syl6eqelr 2927 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → 𝐴 ∈ V)
55 f1odm 6618 . . . . . . . . 9 (𝑔:𝐶1-1-onto𝐷 → dom 𝑔 = 𝐶)
5655adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → dom 𝑔 = 𝐶)
5731dmex 7609 . . . . . . . 8 dom 𝑔 ∈ V
5856, 57syl6eqelr 2927 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → 𝐶 ∈ V)
5954, 58elmapd 8415 . . . . . 6 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → ((𝑓 ∘ (𝑦𝑔)) ∈ (𝐴m 𝐶) ↔ (𝑓 ∘ (𝑦𝑔)):𝐶𝐴))
6050, 59sylibrd 260 . . . . 5 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑦 ∈ (𝐵m 𝐷) → (𝑓 ∘ (𝑦𝑔)) ∈ (𝐴m 𝐶)))
61 coass 6117 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓𝑓) ∘ (𝑦𝑔)) = (𝑓 ∘ (𝑓 ∘ (𝑦𝑔)))
62 f1ococnv2 6640 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝑓𝑓) = ( I ↾ 𝐵))
6362ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → (𝑓𝑓) = ( I ↾ 𝐵))
6463coeq1d 5731 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → ((𝑓𝑓) ∘ (𝑦𝑔)) = (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝑦𝑔)))
6546adantrl 712 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → (𝑦𝑔):𝐶𝐵)
66 fcoi2 6552 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝑔):𝐶𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝑦𝑔)) = (𝑦𝑔))
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝑦𝑔)) = (𝑦𝑔))
6864, 67eqtrd 2861 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → ((𝑓𝑓) ∘ (𝑦𝑔)) = (𝑦𝑔))
6961, 68syl5eqr 2875 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → (𝑓 ∘ (𝑓 ∘ (𝑦𝑔))) = (𝑦𝑔))
7069eqeq2d 2837 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → ((𝑓𝑥) = (𝑓 ∘ (𝑓 ∘ (𝑦𝑔))) ↔ (𝑓𝑥) = (𝑦𝑔)))
71 coass 6117 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔) = ((𝑓𝑥) ∘ (𝑔𝑔))
72 f1ococnv1 6642 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔:𝐶1-1-onto𝐷 → (𝑔𝑔) = ( I ↾ 𝐶))
7372ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → (𝑔𝑔) = ( I ↾ 𝐶))
7473coeq2d 5732 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → ((𝑓𝑥) ∘ (𝑔𝑔)) = ((𝑓𝑥) ∘ ( I ↾ 𝐶)))
7510adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → (𝑓𝑥):𝐶𝐵)
76 fcoi1 6551 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓𝑥):𝐶𝐵 → ((𝑓𝑥) ∘ ( I ↾ 𝐶)) = (𝑓𝑥))
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → ((𝑓𝑥) ∘ ( I ↾ 𝐶)) = (𝑓𝑥))
7874, 77eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → ((𝑓𝑥) ∘ (𝑔𝑔)) = (𝑓𝑥))
7971, 78syl5eq 2873 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → (((𝑓𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔) = (𝑓𝑥))
8079eqeq2d 2837 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → ((𝑦𝑔) = (((𝑓𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔) ↔ (𝑦𝑔) = (𝑓𝑥)))
81 eqcom 2833 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝑔) = (𝑓𝑥) ↔ (𝑓𝑥) = (𝑦𝑔))
8280, 81syl6bb 288 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → ((𝑦𝑔) = (((𝑓𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔) ↔ (𝑓𝑥) = (𝑦𝑔)))
8370, 82bitr4d 283 . . . . . . . 8 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → ((𝑓𝑥) = (𝑓 ∘ (𝑓 ∘ (𝑦𝑔))) ↔ (𝑦𝑔) = (((𝑓𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔)))
84 f1of1 6613 . . . . . . . . . 10 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐴1-1𝐵)
8584ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → 𝑓:𝐴1-1𝐵)
86 simprl 767 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → 𝑥:𝐶𝐴)
8748adantrl 712 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → (𝑓 ∘ (𝑦𝑔)):𝐶𝐴)
88 cocan1 7043 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥:𝐶𝐴 ∧ (𝑓 ∘ (𝑦𝑔)):𝐶𝐴) → ((𝑓𝑥) = (𝑓 ∘ (𝑓 ∘ (𝑦𝑔))) ↔ 𝑥 = (𝑓 ∘ (𝑦𝑔))))
8985, 86, 87, 88syl3anc 1365 . . . . . . . 8 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → ((𝑓𝑥) = (𝑓 ∘ (𝑓 ∘ (𝑦𝑔))) ↔ 𝑥 = (𝑓 ∘ (𝑦𝑔))))
9028adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → 𝑔:𝐶onto𝐷)
91 ffn 6513 . . . . . . . . . 10 (𝑦:𝐷𝐵𝑦 Fn 𝐷)
9291ad2antll 725 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → 𝑦 Fn 𝐷)
9317adantrr 713 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔):𝐷𝐵)
9493ffnd 6514 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔) Fn 𝐷)
95 cocan2 7044 . . . . . . . . 9 ((𝑔:𝐶onto𝐷𝑦 Fn 𝐷 ∧ ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔) Fn 𝐷) → ((𝑦𝑔) = (((𝑓𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔) ↔ 𝑦 = ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔)))
9690, 92, 94, 95syl3anc 1365 . . . . . . . 8 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → ((𝑦𝑔) = (((𝑓𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔) ↔ 𝑦 = ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔)))
9783, 89, 963bitr3d 310 . . . . . . 7 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → (𝑥 = (𝑓 ∘ (𝑦𝑔)) ↔ 𝑦 = ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔)))
9897ex 413 . . . . . 6 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → ((𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵) → (𝑥 = (𝑓 ∘ (𝑦𝑔)) ↔ 𝑦 = ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔))))
996, 36, 98syl2ani 606 . . . . 5 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → ((𝑥 ∈ (𝐴m 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵m 𝐷)) → (𝑥 = (𝑓 ∘ (𝑦𝑔)) ↔ 𝑦 = ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔))))
1004, 5, 35, 60, 99en3d 8540 . . . 4 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝐴m 𝐶) ≈ (𝐵m 𝐷))
101100exlimivv 1926 . . 3 (∃𝑓𝑔(𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝐴m 𝐶) ≈ (𝐵m 𝐷))
1023, 101sylbir 236 . 2 ((∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝐴m 𝐶) ≈ (𝐵m 𝐷))
1031, 2, 102syl2anb 597 1 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐴m 𝐶) ≈ (𝐵m 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wex 1773  wcel 2107  Vcvv 3500   class class class wbr 5063   I cid 5458  ccnv 5553  dom cdm 5554  ran crn 5555  cres 5556  ccom 5558   Fn wfn 6349  wf 6350  1-1wf1 6351  ontowfo 6352  1-1-ontowf1o 6353  (class class class)co 7150  m cmap 8401  cen 8500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-map 8403  df-en 8504
This theorem is referenced by:  mapdom1  8676  mapdom2  8682  pwen  8684  mappwen  9532  mapdjuen  9600  cfpwsdom  10000  rpnnen  15575  rexpen  15576  enrelmap  40227
  Copyright terms: Public domain W3C validator