MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapfien Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapfien 8468
Description: A bijection of the base sets induces a bijection on the set of finitely supported functions. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 3-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mapfien.s 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐵𝑚 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍}
mapfien.t 𝑇 = {𝑥 ∈ (𝐷𝑚 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊}
mapfien.w 𝑊 = (𝐺𝑍)
mapfien.f (𝜑𝐹:𝐶1-1-onto𝐴)
mapfien.g (𝜑𝐺:𝐵1-1-onto𝐷)
mapfien.a (𝜑𝐴 ∈ V)
mapfien.b (𝜑𝐵 ∈ V)
mapfien.c (𝜑𝐶 ∈ V)
mapfien.d (𝜑𝐷 ∈ V)
mapfien.z (𝜑𝑍𝐵)
Assertion
Ref Expression
mapfien (𝜑 → (𝑓𝑆 ↦ (𝐺 ∘ (𝑓𝐹))):𝑆1-1-onto𝑇)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑓,𝐹   𝑓,𝐺,𝑥   𝜑,𝑓   𝑥,𝐷   𝑆,𝑓   𝑇,𝑓   𝑥,𝑊   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐶(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝑊(𝑓)   𝑍(𝑓)

Proof of Theorem mapfien
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2770 . 2 (𝑓𝑆 ↦ (𝐺 ∘ (𝑓𝐹))) = (𝑓𝑆 ↦ (𝐺 ∘ (𝑓𝐹)))
2 mapfien.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺:𝐵1-1-onto𝐷)
3 f1of 6278 . . . . . . 7 (𝐺:𝐵1-1-onto𝐷𝐺:𝐵𝐷)
42, 3syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺:𝐵𝐷)
54adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝑓𝑆) → 𝐺:𝐵𝐷)
6 breq1 4787 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑓 → (𝑥 finSupp 𝑍𝑓 finSupp 𝑍))
7 mapfien.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐵𝑚 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍}
86, 7elrab2 3516 . . . . . . . . 9 (𝑓𝑆 ↔ (𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐴) ∧ 𝑓 finSupp 𝑍))
98simplbi 479 . . . . . . . 8 (𝑓𝑆𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐴))
109adantl 467 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓𝑆) → 𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐴))
11 elmapi 8030 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐴) → 𝑓:𝐴𝐵)
1210, 11syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑓𝑆) → 𝑓:𝐴𝐵)
13 mapfien.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐶1-1-onto𝐴)
14 f1of 6278 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐶1-1-onto𝐴𝐹:𝐶𝐴)
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐶𝐴)
1615adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑓𝑆) → 𝐹:𝐶𝐴)
17 fco 6198 . . . . . 6 ((𝑓:𝐴𝐵𝐹:𝐶𝐴) → (𝑓𝐹):𝐶𝐵)
1812, 16, 17syl2anc 565 . . . . 5 ((𝜑𝑓𝑆) → (𝑓𝐹):𝐶𝐵)
19 fco 6198 . . . . 5 ((𝐺:𝐵𝐷 ∧ (𝑓𝐹):𝐶𝐵) → (𝐺 ∘ (𝑓𝐹)):𝐶𝐷)
205, 18, 19syl2anc 565 . . . 4 ((𝜑𝑓𝑆) → (𝐺 ∘ (𝑓𝐹)):𝐶𝐷)
21 mapfien.d . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ V)
22 mapfien.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ V)
2321, 22elmapd 8022 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺 ∘ (𝑓𝐹)) ∈ (𝐷𝑚 𝐶) ↔ (𝐺 ∘ (𝑓𝐹)):𝐶𝐷))
2423adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝑓𝑆) → ((𝐺 ∘ (𝑓𝐹)) ∈ (𝐷𝑚 𝐶) ↔ (𝐺 ∘ (𝑓𝐹)):𝐶𝐷))
2520, 24mpbird 247 . . 3 ((𝜑𝑓𝑆) → (𝐺 ∘ (𝑓𝐹)) ∈ (𝐷𝑚 𝐶))
26 mapfien.t . . . 4 𝑇 = {𝑥 ∈ (𝐷𝑚 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊}
27 mapfien.w . . . 4 𝑊 = (𝐺𝑍)
28 mapfien.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ V)
29 mapfien.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ V)
30 mapfien.z . . . 4 (𝜑𝑍𝐵)
317, 26, 27, 13, 2, 28, 29, 22, 21, 30mapfienlem1 8465 . . 3 ((𝜑𝑓𝑆) → (𝐺 ∘ (𝑓𝐹)) finSupp 𝑊)
32 breq1 4787 . . . 4 (𝑥 = (𝐺 ∘ (𝑓𝐹)) → (𝑥 finSupp 𝑊 ↔ (𝐺 ∘ (𝑓𝐹)) finSupp 𝑊))
3332, 26elrab2 3516 . . 3 ((𝐺 ∘ (𝑓𝐹)) ∈ 𝑇 ↔ ((𝐺 ∘ (𝑓𝐹)) ∈ (𝐷𝑚 𝐶) ∧ (𝐺 ∘ (𝑓𝐹)) finSupp 𝑊))
3425, 31, 33sylanbrc 564 . 2 ((𝜑𝑓𝑆) → (𝐺 ∘ (𝑓𝐹)) ∈ 𝑇)
357, 26, 27, 13, 2, 28, 29, 22, 21, 30mapfienlem3 8467 . 2 ((𝜑𝑔𝑇) → ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) ∈ 𝑆)
36 coass 5798 . . . . . 6 (((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) ∘ 𝐹) = ((𝐺𝑔) ∘ (𝐹𝐹))
3713adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → 𝐹:𝐶1-1-onto𝐴)
38 f1ococnv1 6306 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐶1-1-onto𝐴 → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐶))
3937, 38syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐶))
4039coeq2d 5423 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → ((𝐺𝑔) ∘ (𝐹𝐹)) = ((𝐺𝑔) ∘ ( I ↾ 𝐶)))
41 f1ocnv 6290 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺:𝐵1-1-onto𝐷𝐺:𝐷1-1-onto𝐵)
42 f1of 6278 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺:𝐷1-1-onto𝐵𝐺:𝐷𝐵)
432, 41, 423syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺:𝐷𝐵)
4443adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔𝑇) → 𝐺:𝐷𝐵)
45 simpr 471 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑔𝑇) → 𝑔𝑇)
46 breq1 4787 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑔 → (𝑥 finSupp 𝑊𝑔 finSupp 𝑊))
4746, 26elrab2 3516 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔𝑇 ↔ (𝑔 ∈ (𝐷𝑚 𝐶) ∧ 𝑔 finSupp 𝑊))
4845, 47sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔𝑇) → (𝑔 ∈ (𝐷𝑚 𝐶) ∧ 𝑔 finSupp 𝑊))
4948simpld 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔𝑇) → 𝑔 ∈ (𝐷𝑚 𝐶))
50 elmapi 8030 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 ∈ (𝐷𝑚 𝐶) → 𝑔:𝐶𝐷)
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔𝑇) → 𝑔:𝐶𝐷)
52 fco 6198 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:𝐷𝐵𝑔:𝐶𝐷) → (𝐺𝑔):𝐶𝐵)
5344, 51, 52syl2anc 565 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝑇) → (𝐺𝑔):𝐶𝐵)
5453adantrl 687 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → (𝐺𝑔):𝐶𝐵)
55 fcoi1 6218 . . . . . . . 8 ((𝐺𝑔):𝐶𝐵 → ((𝐺𝑔) ∘ ( I ↾ 𝐶)) = (𝐺𝑔))
5654, 55syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → ((𝐺𝑔) ∘ ( I ↾ 𝐶)) = (𝐺𝑔))
5740, 56eqtrd 2804 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → ((𝐺𝑔) ∘ (𝐹𝐹)) = (𝐺𝑔))
5836, 57syl5eq 2816 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → (((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) ∘ 𝐹) = (𝐺𝑔))
5958eqeq2d 2780 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → ((𝑓𝐹) = (((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) ∘ 𝐹) ↔ (𝑓𝐹) = (𝐺𝑔)))
60 coass 5798 . . . . . . 7 ((𝐺𝐺) ∘ (𝑓𝐹)) = (𝐺 ∘ (𝐺 ∘ (𝑓𝐹)))
612adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → 𝐺:𝐵1-1-onto𝐷)
62 f1ococnv1 6306 . . . . . . . . . 10 (𝐺:𝐵1-1-onto𝐷 → (𝐺𝐺) = ( I ↾ 𝐵))
6361, 62syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → (𝐺𝐺) = ( I ↾ 𝐵))
6463coeq1d 5422 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → ((𝐺𝐺) ∘ (𝑓𝐹)) = (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝑓𝐹)))
6518adantrr 688 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → (𝑓𝐹):𝐶𝐵)
66 fcoi2 6219 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝐹):𝐶𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝑓𝐹)) = (𝑓𝐹))
6765, 66syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝑓𝐹)) = (𝑓𝐹))
6864, 67eqtrd 2804 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → ((𝐺𝐺) ∘ (𝑓𝐹)) = (𝑓𝐹))
6960, 68syl5eqr 2818 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → (𝐺 ∘ (𝐺 ∘ (𝑓𝐹))) = (𝑓𝐹))
7069eqeq2d 2780 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → ((𝐺𝑔) = (𝐺 ∘ (𝐺 ∘ (𝑓𝐹))) ↔ (𝐺𝑔) = (𝑓𝐹)))
71 eqcom 2777 . . . . 5 ((𝐺𝑔) = (𝑓𝐹) ↔ (𝑓𝐹) = (𝐺𝑔))
7270, 71syl6bb 276 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → ((𝐺𝑔) = (𝐺 ∘ (𝐺 ∘ (𝑓𝐹))) ↔ (𝑓𝐹) = (𝐺𝑔)))
7359, 72bitr4d 271 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → ((𝑓𝐹) = (((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) ∘ 𝐹) ↔ (𝐺𝑔) = (𝐺 ∘ (𝐺 ∘ (𝑓𝐹)))))
74 f1ofo 6285 . . . . 5 (𝐹:𝐶1-1-onto𝐴𝐹:𝐶onto𝐴)
7537, 74syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → 𝐹:𝐶onto𝐴)
76 ffn 6185 . . . . . 6 (𝑓:𝐴𝐵𝑓 Fn 𝐴)
7710, 11, 763syl 18 . . . . 5 ((𝜑𝑓𝑆) → 𝑓 Fn 𝐴)
7877adantrr 688 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → 𝑓 Fn 𝐴)
79 f1ocnv 6290 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐶1-1-onto𝐴𝐹:𝐴1-1-onto𝐶)
80 f1of 6278 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐶𝐹:𝐴𝐶)
8113, 79, 803syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐴𝐶)
8281adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔𝑇) → 𝐹:𝐴𝐶)
83 fco 6198 . . . . . . 7 (((𝐺𝑔):𝐶𝐵𝐹:𝐴𝐶) → ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹):𝐴𝐵)
8453, 82, 83syl2anc 565 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝑇) → ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹):𝐴𝐵)
85 ffn 6185 . . . . . 6 (((𝐺𝑔) ∘ 𝐹):𝐴𝐵 → ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) Fn 𝐴)
8684, 85syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑇) → ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) Fn 𝐴)
8786adantrl 687 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) Fn 𝐴)
88 cocan2 6689 . . . 4 ((𝐹:𝐶onto𝐴𝑓 Fn 𝐴 ∧ ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) Fn 𝐴) → ((𝑓𝐹) = (((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) ∘ 𝐹) ↔ 𝑓 = ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹)))
8975, 78, 87, 88syl3anc 1475 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → ((𝑓𝐹) = (((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) ∘ 𝐹) ↔ 𝑓 = ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹)))
902, 41syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺:𝐷1-1-onto𝐵)
9190adantr 466 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → 𝐺:𝐷1-1-onto𝐵)
92 f1of1 6277 . . . . 5 (𝐺:𝐷1-1-onto𝐵𝐺:𝐷1-1𝐵)
9391, 92syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → 𝐺:𝐷1-1𝐵)
9451adantrl 687 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → 𝑔:𝐶𝐷)
9520adantrr 688 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → (𝐺 ∘ (𝑓𝐹)):𝐶𝐷)
96 cocan1 6688 . . . 4 ((𝐺:𝐷1-1𝐵𝑔:𝐶𝐷 ∧ (𝐺 ∘ (𝑓𝐹)):𝐶𝐷) → ((𝐺𝑔) = (𝐺 ∘ (𝐺 ∘ (𝑓𝐹))) ↔ 𝑔 = (𝐺 ∘ (𝑓𝐹))))
9793, 94, 95, 96syl3anc 1475 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → ((𝐺𝑔) = (𝐺 ∘ (𝐺 ∘ (𝑓𝐹))) ↔ 𝑔 = (𝐺 ∘ (𝑓𝐹))))
9873, 89, 973bitr3d 298 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → (𝑓 = ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) ↔ 𝑔 = (𝐺 ∘ (𝑓𝐹))))
991, 34, 35, 98f1o2d 7033 1 (𝜑 → (𝑓𝑆 ↦ (𝐺 ∘ (𝑓𝐹))):𝑆1-1-onto𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  {crab 3064  Vcvv 3349   class class class wbr 4784  cmpt 4861   I cid 5156  ccnv 5248  cres 5251  ccom 5253   Fn wfn 6026  wf 6027  1-1wf1 6028  ontowfo 6029  1-1-ontowf1o 6030  cfv 6031  (class class class)co 6792  𝑚 cmap 8008   finSupp cfsupp 8430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-supp 7446  df-1o 7712  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-fin 8112  df-fsupp 8431
This theorem is referenced by:  mapfien2  8469  wemapwe  8757  oef1o  8758  fcobijfs  29835
  Copyright terms: Public domain W3C validator