Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapfien Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapfien 8722
 Description: A bijection of the base sets induces a bijection on the set of finitely supported functions. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 3-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mapfien.s 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐵𝑚 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍}
mapfien.t 𝑇 = {𝑥 ∈ (𝐷𝑚 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊}
mapfien.w 𝑊 = (𝐺𝑍)
mapfien.f (𝜑𝐹:𝐶1-1-onto𝐴)
mapfien.g (𝜑𝐺:𝐵1-1-onto𝐷)
mapfien.a (𝜑𝐴 ∈ V)
mapfien.b (𝜑𝐵 ∈ V)
mapfien.c (𝜑𝐶 ∈ V)
mapfien.d (𝜑𝐷 ∈ V)
mapfien.z (𝜑𝑍𝐵)
Assertion
Ref Expression
mapfien (𝜑 → (𝑓𝑆 ↦ (𝐺 ∘ (𝑓𝐹))):𝑆1-1-onto𝑇)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑓,𝐹   𝑓,𝐺,𝑥   𝜑,𝑓   𝑥,𝐷   𝑆,𝑓   𝑇,𝑓   𝑥,𝑊   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐶(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝑊(𝑓)   𝑍(𝑓)

Proof of Theorem mapfien
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2795 . 2 (𝑓𝑆 ↦ (𝐺 ∘ (𝑓𝐹))) = (𝑓𝑆 ↦ (𝐺 ∘ (𝑓𝐹)))
2 mapfien.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺:𝐵1-1-onto𝐷)
3 f1of 6488 . . . . . . 7 (𝐺:𝐵1-1-onto𝐷𝐺:𝐵𝐷)
42, 3syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺:𝐵𝐷)
54adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑓𝑆) → 𝐺:𝐵𝐷)
6 breq1 4969 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑓 → (𝑥 finSupp 𝑍𝑓 finSupp 𝑍))
7 mapfien.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐵𝑚 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍}
86, 7elrab2 3622 . . . . . . . . 9 (𝑓𝑆 ↔ (𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐴) ∧ 𝑓 finSupp 𝑍))
98simplbi 498 . . . . . . . 8 (𝑓𝑆𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐴))
109adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓𝑆) → 𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐴))
11 elmapi 8283 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐴) → 𝑓:𝐴𝐵)
1210, 11syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑓𝑆) → 𝑓:𝐴𝐵)
13 mapfien.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐶1-1-onto𝐴)
14 f1of 6488 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐶1-1-onto𝐴𝐹:𝐶𝐴)
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐶𝐴)
1615adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑓𝑆) → 𝐹:𝐶𝐴)
17 fco 6404 . . . . . 6 ((𝑓:𝐴𝐵𝐹:𝐶𝐴) → (𝑓𝐹):𝐶𝐵)
1812, 16, 17syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑓𝑆) → (𝑓𝐹):𝐶𝐵)
19 fco 6404 . . . . 5 ((𝐺:𝐵𝐷 ∧ (𝑓𝐹):𝐶𝐵) → (𝐺 ∘ (𝑓𝐹)):𝐶𝐷)
205, 18, 19syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑓𝑆) → (𝐺 ∘ (𝑓𝐹)):𝐶𝐷)
21 mapfien.d . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ V)
22 mapfien.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ V)
2321, 22elmapd 8275 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺 ∘ (𝑓𝐹)) ∈ (𝐷𝑚 𝐶) ↔ (𝐺 ∘ (𝑓𝐹)):𝐶𝐷))
2423adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑓𝑆) → ((𝐺 ∘ (𝑓𝐹)) ∈ (𝐷𝑚 𝐶) ↔ (𝐺 ∘ (𝑓𝐹)):𝐶𝐷))
2520, 24mpbird 258 . . 3 ((𝜑𝑓𝑆) → (𝐺 ∘ (𝑓𝐹)) ∈ (𝐷𝑚 𝐶))
26 mapfien.t . . . 4 𝑇 = {𝑥 ∈ (𝐷𝑚 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊}
27 mapfien.w . . . 4 𝑊 = (𝐺𝑍)
28 mapfien.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ V)
29 mapfien.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ V)
30 mapfien.z . . . 4 (𝜑𝑍𝐵)
317, 26, 27, 13, 2, 28, 29, 22, 21, 30mapfienlem1 8719 . . 3 ((𝜑𝑓𝑆) → (𝐺 ∘ (𝑓𝐹)) finSupp 𝑊)
32 breq1 4969 . . . 4 (𝑥 = (𝐺 ∘ (𝑓𝐹)) → (𝑥 finSupp 𝑊 ↔ (𝐺 ∘ (𝑓𝐹)) finSupp 𝑊))
3332, 26elrab2 3622 . . 3 ((𝐺 ∘ (𝑓𝐹)) ∈ 𝑇 ↔ ((𝐺 ∘ (𝑓𝐹)) ∈ (𝐷𝑚 𝐶) ∧ (𝐺 ∘ (𝑓𝐹)) finSupp 𝑊))
3425, 31, 33sylanbrc 583 . 2 ((𝜑𝑓𝑆) → (𝐺 ∘ (𝑓𝐹)) ∈ 𝑇)
357, 26, 27, 13, 2, 28, 29, 22, 21, 30mapfienlem3 8721 . 2 ((𝜑𝑔𝑇) → ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) ∈ 𝑆)
36 coass 5998 . . . . . 6 (((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) ∘ 𝐹) = ((𝐺𝑔) ∘ (𝐹𝐹))
3713adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → 𝐹:𝐶1-1-onto𝐴)
38 f1ococnv1 6516 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐶1-1-onto𝐴 → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐶))
3937, 38syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐶))
4039coeq2d 5624 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → ((𝐺𝑔) ∘ (𝐹𝐹)) = ((𝐺𝑔) ∘ ( I ↾ 𝐶)))
41 f1ocnv 6500 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺:𝐵1-1-onto𝐷𝐺:𝐷1-1-onto𝐵)
42 f1of 6488 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺:𝐷1-1-onto𝐵𝐺:𝐷𝐵)
432, 41, 423syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺:𝐷𝐵)
4443adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔𝑇) → 𝐺:𝐷𝐵)
45 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑔𝑇) → 𝑔𝑇)
46 breq1 4969 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑔 → (𝑥 finSupp 𝑊𝑔 finSupp 𝑊))
4746, 26elrab2 3622 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔𝑇 ↔ (𝑔 ∈ (𝐷𝑚 𝐶) ∧ 𝑔 finSupp 𝑊))
4845, 47sylib 219 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔𝑇) → (𝑔 ∈ (𝐷𝑚 𝐶) ∧ 𝑔 finSupp 𝑊))
4948simpld 495 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔𝑇) → 𝑔 ∈ (𝐷𝑚 𝐶))
50 elmapi 8283 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 ∈ (𝐷𝑚 𝐶) → 𝑔:𝐶𝐷)
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔𝑇) → 𝑔:𝐶𝐷)
52 fco 6404 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:𝐷𝐵𝑔:𝐶𝐷) → (𝐺𝑔):𝐶𝐵)
5344, 51, 52syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝑇) → (𝐺𝑔):𝐶𝐵)
5453adantrl 712 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → (𝐺𝑔):𝐶𝐵)
55 fcoi1 6425 . . . . . . . 8 ((𝐺𝑔):𝐶𝐵 → ((𝐺𝑔) ∘ ( I ↾ 𝐶)) = (𝐺𝑔))
5654, 55syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → ((𝐺𝑔) ∘ ( I ↾ 𝐶)) = (𝐺𝑔))
5740, 56eqtrd 2831 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → ((𝐺𝑔) ∘ (𝐹𝐹)) = (𝐺𝑔))
5836, 57syl5eq 2843 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → (((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) ∘ 𝐹) = (𝐺𝑔))
5958eqeq2d 2805 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → ((𝑓𝐹) = (((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) ∘ 𝐹) ↔ (𝑓𝐹) = (𝐺𝑔)))
60 coass 5998 . . . . . . 7 ((𝐺𝐺) ∘ (𝑓𝐹)) = (𝐺 ∘ (𝐺 ∘ (𝑓𝐹)))
612adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → 𝐺:𝐵1-1-onto𝐷)
62 f1ococnv1 6516 . . . . . . . . . 10 (𝐺:𝐵1-1-onto𝐷 → (𝐺𝐺) = ( I ↾ 𝐵))
6361, 62syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → (𝐺𝐺) = ( I ↾ 𝐵))
6463coeq1d 5623 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → ((𝐺𝐺) ∘ (𝑓𝐹)) = (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝑓𝐹)))
6518adantrr 713 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → (𝑓𝐹):𝐶𝐵)
66 fcoi2 6426 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝐹):𝐶𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝑓𝐹)) = (𝑓𝐹))
6765, 66syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝑓𝐹)) = (𝑓𝐹))
6864, 67eqtrd 2831 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → ((𝐺𝐺) ∘ (𝑓𝐹)) = (𝑓𝐹))
6960, 68syl5eqr 2845 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → (𝐺 ∘ (𝐺 ∘ (𝑓𝐹))) = (𝑓𝐹))
7069eqeq2d 2805 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → ((𝐺𝑔) = (𝐺 ∘ (𝐺 ∘ (𝑓𝐹))) ↔ (𝐺𝑔) = (𝑓𝐹)))
71 eqcom 2802 . . . . 5 ((𝐺𝑔) = (𝑓𝐹) ↔ (𝑓𝐹) = (𝐺𝑔))
7270, 71syl6bb 288 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → ((𝐺𝑔) = (𝐺 ∘ (𝐺 ∘ (𝑓𝐹))) ↔ (𝑓𝐹) = (𝐺𝑔)))
7359, 72bitr4d 283 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → ((𝑓𝐹) = (((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) ∘ 𝐹) ↔ (𝐺𝑔) = (𝐺 ∘ (𝐺 ∘ (𝑓𝐹)))))
74 f1ofo 6495 . . . . 5 (𝐹:𝐶1-1-onto𝐴𝐹:𝐶onto𝐴)
7537, 74syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → 𝐹:𝐶onto𝐴)
76 ffn 6387 . . . . . 6 (𝑓:𝐴𝐵𝑓 Fn 𝐴)
7710, 11, 763syl 18 . . . . 5 ((𝜑𝑓𝑆) → 𝑓 Fn 𝐴)
7877adantrr 713 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → 𝑓 Fn 𝐴)
79 f1ocnv 6500 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐶1-1-onto𝐴𝐹:𝐴1-1-onto𝐶)
80 f1of 6488 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐶𝐹:𝐴𝐶)
8113, 79, 803syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐴𝐶)
8281adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔𝑇) → 𝐹:𝐴𝐶)
83 fco 6404 . . . . . . 7 (((𝐺𝑔):𝐶𝐵𝐹:𝐴𝐶) → ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹):𝐴𝐵)
8453, 82, 83syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝑇) → ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹):𝐴𝐵)
8584ffnd 6388 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑇) → ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) Fn 𝐴)
8685adantrl 712 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) Fn 𝐴)
87 cocan2 6918 . . . 4 ((𝐹:𝐶onto𝐴𝑓 Fn 𝐴 ∧ ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) Fn 𝐴) → ((𝑓𝐹) = (((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) ∘ 𝐹) ↔ 𝑓 = ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹)))
8875, 78, 86, 87syl3anc 1364 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → ((𝑓𝐹) = (((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) ∘ 𝐹) ↔ 𝑓 = ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹)))
892, 41syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺:𝐷1-1-onto𝐵)
9089adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → 𝐺:𝐷1-1-onto𝐵)
91 f1of1 6487 . . . . 5 (𝐺:𝐷1-1-onto𝐵𝐺:𝐷1-1𝐵)
9290, 91syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → 𝐺:𝐷1-1𝐵)
9351adantrl 712 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → 𝑔:𝐶𝐷)
9420adantrr 713 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → (𝐺 ∘ (𝑓𝐹)):𝐶𝐷)
95 cocan1 6917 . . . 4 ((𝐺:𝐷1-1𝐵𝑔:𝐶𝐷 ∧ (𝐺 ∘ (𝑓𝐹)):𝐶𝐷) → ((𝐺𝑔) = (𝐺 ∘ (𝐺 ∘ (𝑓𝐹))) ↔ 𝑔 = (𝐺 ∘ (𝑓𝐹))))
9692, 93, 94, 95syl3anc 1364 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → ((𝐺𝑔) = (𝐺 ∘ (𝐺 ∘ (𝑓𝐹))) ↔ 𝑔 = (𝐺 ∘ (𝑓𝐹))))
9773, 88, 963bitr3d 310 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → (𝑓 = ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) ↔ 𝑔 = (𝐺 ∘ (𝑓𝐹))))
981, 34, 35, 97f1o2d 7262 1 (𝜑 → (𝑓𝑆 ↦ (𝐺 ∘ (𝑓𝐹))):𝑆1-1-onto𝑇)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  {crab 3109  Vcvv 3437   class class class wbr 4966   ↦ cmpt 5045   I cid 5352  ◡ccnv 5447   ↾ cres 5450   ∘ ccom 5452   Fn wfn 6225  ⟶wf 6226  –1-1→wf1 6227  –onto→wfo 6228  –1-1-onto→wf1o 6229  ‘cfv 6230  (class class class)co 7021   ↑𝑚 cmap 8261   finSupp cfsupp 8684 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-iun 4831  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-supp 7687  df-1o 7958  df-er 8144  df-map 8263  df-en 8363  df-dom 8364  df-fin 8366  df-fsupp 8685 This theorem is referenced by:  mapfien2  8723  wemapwe  9011  oef1o  9012  fcobijfs  30152
 Copyright terms: Public domain W3C validator