MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapfien Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapfien 9024
Description: A bijection of the base sets induces a bijection on the set of finitely supported functions. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 3-Jul-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mapfien.s 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐵m 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍}
mapfien.t 𝑇 = {𝑥 ∈ (𝐷m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊}
mapfien.w 𝑊 = (𝐺𝑍)
mapfien.f (𝜑𝐹:𝐶1-1-onto𝐴)
mapfien.g (𝜑𝐺:𝐵1-1-onto𝐷)
mapfien.a (𝜑𝐴𝑈)
mapfien.b (𝜑𝐵𝑉)
mapfien.c (𝜑𝐶𝑋)
mapfien.d (𝜑𝐷𝑌)
mapfien.z (𝜑𝑍𝐵)
Assertion
Ref Expression
mapfien (𝜑 → (𝑓𝑆 ↦ (𝐺 ∘ (𝑓𝐹))):𝑆1-1-onto𝑇)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑓,𝐹   𝑓,𝐺,𝑥   𝜑,𝑓   𝑥,𝐷   𝑆,𝑓   𝑇,𝑓   𝑥,𝑊   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐶(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝑈(𝑥,𝑓)   𝑉(𝑥,𝑓)   𝑊(𝑓)   𝑋(𝑥,𝑓)   𝑌(𝑥,𝑓)   𝑍(𝑓)

Proof of Theorem mapfien
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . 2 (𝑓𝑆 ↦ (𝐺 ∘ (𝑓𝐹))) = (𝑓𝑆 ↦ (𝐺 ∘ (𝑓𝐹)))
2 mapfien.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺:𝐵1-1-onto𝐷)
3 f1of 6661 . . . . . . 7 (𝐺:𝐵1-1-onto𝐷𝐺:𝐵𝐷)
42, 3syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺:𝐵𝐷)
54adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑓𝑆) → 𝐺:𝐵𝐷)
6 breq1 5056 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑓 → (𝑥 finSupp 𝑍𝑓 finSupp 𝑍))
7 mapfien.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐵m 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍}
86, 7elrab2 3605 . . . . . . . . 9 (𝑓𝑆 ↔ (𝑓 ∈ (𝐵m 𝐴) ∧ 𝑓 finSupp 𝑍))
98simplbi 501 . . . . . . . 8 (𝑓𝑆𝑓 ∈ (𝐵m 𝐴))
109adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓𝑆) → 𝑓 ∈ (𝐵m 𝐴))
11 elmapi 8530 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (𝐵m 𝐴) → 𝑓:𝐴𝐵)
1210, 11syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑓𝑆) → 𝑓:𝐴𝐵)
13 mapfien.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐶1-1-onto𝐴)
14 f1of 6661 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐶1-1-onto𝐴𝐹:𝐶𝐴)
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐶𝐴)
1615adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑓𝑆) → 𝐹:𝐶𝐴)
1712, 16fcod 6571 . . . . 5 ((𝜑𝑓𝑆) → (𝑓𝐹):𝐶𝐵)
185, 17fcod 6571 . . . 4 ((𝜑𝑓𝑆) → (𝐺 ∘ (𝑓𝐹)):𝐶𝐷)
19 mapfien.d . . . . . 6 (𝜑𝐷𝑌)
20 mapfien.c . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑋)
2119, 20elmapd 8522 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺 ∘ (𝑓𝐹)) ∈ (𝐷m 𝐶) ↔ (𝐺 ∘ (𝑓𝐹)):𝐶𝐷))
2221adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑓𝑆) → ((𝐺 ∘ (𝑓𝐹)) ∈ (𝐷m 𝐶) ↔ (𝐺 ∘ (𝑓𝐹)):𝐶𝐷))
2318, 22mpbird 260 . . 3 ((𝜑𝑓𝑆) → (𝐺 ∘ (𝑓𝐹)) ∈ (𝐷m 𝐶))
24 mapfien.t . . . 4 𝑇 = {𝑥 ∈ (𝐷m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊}
25 mapfien.w . . . 4 𝑊 = (𝐺𝑍)
26 mapfien.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑈)
27 mapfien.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑉)
28 mapfien.z . . . 4 (𝜑𝑍𝐵)
297, 24, 25, 13, 2, 26, 27, 20, 19, 28mapfienlem1 9021 . . 3 ((𝜑𝑓𝑆) → (𝐺 ∘ (𝑓𝐹)) finSupp 𝑊)
30 breq1 5056 . . . 4 (𝑥 = (𝐺 ∘ (𝑓𝐹)) → (𝑥 finSupp 𝑊 ↔ (𝐺 ∘ (𝑓𝐹)) finSupp 𝑊))
3130, 24elrab2 3605 . . 3 ((𝐺 ∘ (𝑓𝐹)) ∈ 𝑇 ↔ ((𝐺 ∘ (𝑓𝐹)) ∈ (𝐷m 𝐶) ∧ (𝐺 ∘ (𝑓𝐹)) finSupp 𝑊))
3223, 29, 31sylanbrc 586 . 2 ((𝜑𝑓𝑆) → (𝐺 ∘ (𝑓𝐹)) ∈ 𝑇)
337, 24, 25, 13, 2, 26, 27, 20, 19, 28mapfienlem3 9023 . 2 ((𝜑𝑔𝑇) → ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) ∈ 𝑆)
34 coass 6129 . . . . . 6 (((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) ∘ 𝐹) = ((𝐺𝑔) ∘ (𝐹𝐹))
3513adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → 𝐹:𝐶1-1-onto𝐴)
36 f1ococnv1 6689 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐶1-1-onto𝐴 → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐶))
3735, 36syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐶))
3837coeq2d 5731 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → ((𝐺𝑔) ∘ (𝐹𝐹)) = ((𝐺𝑔) ∘ ( I ↾ 𝐶)))
39 f1ocnv 6673 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺:𝐵1-1-onto𝐷𝐺:𝐷1-1-onto𝐵)
40 f1of 6661 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺:𝐷1-1-onto𝐵𝐺:𝐷𝐵)
412, 39, 403syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺:𝐷𝐵)
4241adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔𝑇) → 𝐺:𝐷𝐵)
43 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑔𝑇) → 𝑔𝑇)
44 breq1 5056 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑔 → (𝑥 finSupp 𝑊𝑔 finSupp 𝑊))
4544, 24elrab2 3605 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔𝑇 ↔ (𝑔 ∈ (𝐷m 𝐶) ∧ 𝑔 finSupp 𝑊))
4643, 45sylib 221 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔𝑇) → (𝑔 ∈ (𝐷m 𝐶) ∧ 𝑔 finSupp 𝑊))
4746simpld 498 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔𝑇) → 𝑔 ∈ (𝐷m 𝐶))
48 elmapi 8530 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 ∈ (𝐷m 𝐶) → 𝑔:𝐶𝐷)
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔𝑇) → 𝑔:𝐶𝐷)
5042, 49fcod 6571 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝑇) → (𝐺𝑔):𝐶𝐵)
5150adantrl 716 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → (𝐺𝑔):𝐶𝐵)
52 fcoi1 6593 . . . . . . . 8 ((𝐺𝑔):𝐶𝐵 → ((𝐺𝑔) ∘ ( I ↾ 𝐶)) = (𝐺𝑔))
5351, 52syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → ((𝐺𝑔) ∘ ( I ↾ 𝐶)) = (𝐺𝑔))
5438, 53eqtrd 2777 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → ((𝐺𝑔) ∘ (𝐹𝐹)) = (𝐺𝑔))
5534, 54eqtrid 2789 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → (((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) ∘ 𝐹) = (𝐺𝑔))
5655eqeq2d 2748 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → ((𝑓𝐹) = (((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) ∘ 𝐹) ↔ (𝑓𝐹) = (𝐺𝑔)))
57 coass 6129 . . . . . . 7 ((𝐺𝐺) ∘ (𝑓𝐹)) = (𝐺 ∘ (𝐺 ∘ (𝑓𝐹)))
582adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → 𝐺:𝐵1-1-onto𝐷)
59 f1ococnv1 6689 . . . . . . . . . 10 (𝐺:𝐵1-1-onto𝐷 → (𝐺𝐺) = ( I ↾ 𝐵))
6058, 59syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → (𝐺𝐺) = ( I ↾ 𝐵))
6160coeq1d 5730 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → ((𝐺𝐺) ∘ (𝑓𝐹)) = (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝑓𝐹)))
6217adantrr 717 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → (𝑓𝐹):𝐶𝐵)
63 fcoi2 6594 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝐹):𝐶𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝑓𝐹)) = (𝑓𝐹))
6462, 63syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝑓𝐹)) = (𝑓𝐹))
6561, 64eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → ((𝐺𝐺) ∘ (𝑓𝐹)) = (𝑓𝐹))
6657, 65eqtr3id 2792 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → (𝐺 ∘ (𝐺 ∘ (𝑓𝐹))) = (𝑓𝐹))
6766eqeq2d 2748 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → ((𝐺𝑔) = (𝐺 ∘ (𝐺 ∘ (𝑓𝐹))) ↔ (𝐺𝑔) = (𝑓𝐹)))
68 eqcom 2744 . . . . 5 ((𝐺𝑔) = (𝑓𝐹) ↔ (𝑓𝐹) = (𝐺𝑔))
6967, 68bitrdi 290 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → ((𝐺𝑔) = (𝐺 ∘ (𝐺 ∘ (𝑓𝐹))) ↔ (𝑓𝐹) = (𝐺𝑔)))
7056, 69bitr4d 285 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → ((𝑓𝐹) = (((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) ∘ 𝐹) ↔ (𝐺𝑔) = (𝐺 ∘ (𝐺 ∘ (𝑓𝐹)))))
71 f1ofo 6668 . . . . 5 (𝐹:𝐶1-1-onto𝐴𝐹:𝐶onto𝐴)
7235, 71syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → 𝐹:𝐶onto𝐴)
73 ffn 6545 . . . . . 6 (𝑓:𝐴𝐵𝑓 Fn 𝐴)
7410, 11, 733syl 18 . . . . 5 ((𝜑𝑓𝑆) → 𝑓 Fn 𝐴)
7574adantrr 717 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → 𝑓 Fn 𝐴)
76 f1ocnv 6673 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐶1-1-onto𝐴𝐹:𝐴1-1-onto𝐶)
77 f1of 6661 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐶𝐹:𝐴𝐶)
7813, 76, 773syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐴𝐶)
7978adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔𝑇) → 𝐹:𝐴𝐶)
8050, 79fcod 6571 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝑇) → ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹):𝐴𝐵)
8180ffnd 6546 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑇) → ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) Fn 𝐴)
8281adantrl 716 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) Fn 𝐴)
83 cocan2 7102 . . . 4 ((𝐹:𝐶onto𝐴𝑓 Fn 𝐴 ∧ ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) Fn 𝐴) → ((𝑓𝐹) = (((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) ∘ 𝐹) ↔ 𝑓 = ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹)))
8472, 75, 82, 83syl3anc 1373 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → ((𝑓𝐹) = (((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) ∘ 𝐹) ↔ 𝑓 = ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹)))
852, 39syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺:𝐷1-1-onto𝐵)
8685adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → 𝐺:𝐷1-1-onto𝐵)
87 f1of1 6660 . . . . 5 (𝐺:𝐷1-1-onto𝐵𝐺:𝐷1-1𝐵)
8886, 87syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → 𝐺:𝐷1-1𝐵)
8949adantrl 716 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → 𝑔:𝐶𝐷)
9018adantrr 717 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → (𝐺 ∘ (𝑓𝐹)):𝐶𝐷)
91 cocan1 7101 . . . 4 ((𝐺:𝐷1-1𝐵𝑔:𝐶𝐷 ∧ (𝐺 ∘ (𝑓𝐹)):𝐶𝐷) → ((𝐺𝑔) = (𝐺 ∘ (𝐺 ∘ (𝑓𝐹))) ↔ 𝑔 = (𝐺 ∘ (𝑓𝐹))))
9288, 89, 90, 91syl3anc 1373 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → ((𝐺𝑔) = (𝐺 ∘ (𝐺 ∘ (𝑓𝐹))) ↔ 𝑔 = (𝐺 ∘ (𝑓𝐹))))
9370, 84, 923bitr3d 312 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑆𝑔𝑇)) → (𝑓 = ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) ↔ 𝑔 = (𝐺 ∘ (𝑓𝐹))))
941, 32, 33, 93f1o2d 7459 1 (𝜑 → (𝑓𝑆 ↦ (𝐺 ∘ (𝑓𝐹))):𝑆1-1-onto𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  {crab 3065   class class class wbr 5053  cmpt 5135   I cid 5454  ccnv 5550  cres 5553  ccom 5555   Fn wfn 6375  wf 6376  1-1wf1 6377  ontowfo 6378  1-1-ontowf1o 6379  cfv 6380  (class class class)co 7213  m cmap 8508   finSupp cfsupp 8985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-1o 8202  df-map 8510  df-en 8627  df-fin 8630  df-fsupp 8986
This theorem is referenced by:  mapfien2  9025  wemapwe  9312  oef1o  9313  fcobijfs  30778
  Copyright terms: Public domain W3C validator