MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcobr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcobr 24226
Description: The chain rule for derivatives at a point. For the (simpler but more limited) function version, see dvco 24227. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvco.f (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvco.x (𝜑𝑋𝑆)
dvco.g (𝜑𝐺:𝑌𝑋)
dvco.y (𝜑𝑌𝑇)
dvcobr.s (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
dvcobr.t (𝜑𝑇 ⊆ ℂ)
dvco.k (𝜑𝐾𝑉)
dvco.l (𝜑𝐿𝑉)
dvco.bf (𝜑 → (𝐺𝐶)(𝑆 D 𝐹)𝐾)
dvco.bg (𝜑𝐶(𝑇 D 𝐺)𝐿)
dvco.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
dvcobr (𝜑𝐶(𝑇 D (𝐹𝐺))(𝐾 · 𝐿))

Proof of Theorem dvcobr
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvco.bg . . . 4 (𝜑𝐶(𝑇 D 𝐺)𝐿)
2 eqid 2795 . . . . 5 (𝐽t 𝑇) = (𝐽t 𝑇)
3 dvco.j . . . . 5 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
4 eqid 2795 . . . . 5 (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))
5 dvcobr.t . . . . 5 (𝜑𝑇 ⊆ ℂ)
6 dvco.g . . . . . 6 (𝜑𝐺:𝑌𝑋)
7 dvco.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑆)
8 dvcobr.s . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
97, 8sstrd 3899 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
106, 9fssd 6396 . . . . 5 (𝜑𝐺:𝑌⟶ℂ)
11 dvco.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑇)
122, 3, 4, 5, 10, 11eldv 24179 . . . 4 (𝜑 → (𝐶(𝑇 D 𝐺)𝐿 ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑇))‘𝑌) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))))
131, 12mpbid 233 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑇))‘𝑌) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶)))
1413simpld 495 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑇))‘𝑌))
15 dvco.bf . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺𝐶)(𝑆 D 𝐹)𝐾)
16 dvco.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
178, 16, 7dvcl 24180 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐺𝐶)(𝑆 D 𝐹)𝐾) → 𝐾 ∈ ℂ)
1815, 17mpdan 683 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
1918ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → 𝐾 ∈ ℂ)
2016adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
21 eldifi 4024 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) → 𝑧𝑌)
22 ffvelrn 6714 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:𝑌𝑋𝑧𝑌) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑋)
236, 21, 22syl2an 595 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑋)
2420, 23ffvelrnd 6717 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (𝐹‘(𝐺𝑧)) ∈ ℂ)
2524adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (𝐹‘(𝐺𝑧)) ∈ ℂ)
266adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → 𝐺:𝑌𝑋)
275, 10, 11dvbss 24182 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom (𝑇 D 𝐺) ⊆ 𝑌)
28 reldv 24151 . . . . . . . . . . . . 13 Rel (𝑇 D 𝐺)
29 releldm 5696 . . . . . . . . . . . . 13 ((Rel (𝑇 D 𝐺) ∧ 𝐶(𝑇 D 𝐺)𝐿) → 𝐶 ∈ dom (𝑇 D 𝐺))
3028, 1, 29sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ dom (𝑇 D 𝐺))
3127, 30sseldd 3890 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶𝑌)
3231adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → 𝐶𝑌)
3326, 32ffvelrnd 6717 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (𝐺𝐶) ∈ 𝑋)
3420, 33ffvelrnd 6717 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (𝐹‘(𝐺𝐶)) ∈ ℂ)
3534adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (𝐹‘(𝐺𝐶)) ∈ ℂ)
3625, 35subcld 10845 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → ((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) ∈ ℂ)
3710ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → 𝐺:𝑌⟶ℂ)
3821ad2antlr 723 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → 𝑧𝑌)
3937, 38ffvelrnd 6717 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
4031ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → 𝐶𝑌)
4137, 40ffvelrnd 6717 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (𝐺𝐶) ∈ ℂ)
4239, 41subcld 10845 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) ∈ ℂ)
43 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶))
4439, 41subeq0ad 10855 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) = 0 ↔ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)))
4544necon3abid 3020 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) ≠ 0 ↔ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)))
4643, 45mpbird 258 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) ≠ 0)
4736, 42, 46divcld 11264 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))) ∈ ℂ)
4819, 47ifclda 4415 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) ∈ ℂ)
4911, 5sstrd 3899 . . . . 5 (𝜑𝑌 ⊆ ℂ)
5010, 49, 31dvlem 24177 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) ∈ ℂ)
51 ssidd 3911 . . . 4 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
523cnfldtopon 23074 . . . . . 6 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
53 txtopon 21883 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ)))
5452, 52, 53mp2an 688 . . . . 5 (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ))
5554toponrestid 21213 . . . 4 (𝐽 ×t 𝐽) = ((𝐽 ×t 𝐽) ↾t (ℂ × ℂ))
5623anim1i 614 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (𝐺𝐶)) → ((𝐺𝑧) ∈ 𝑋 ∧ (𝐺𝑧) ≠ (𝐺𝐶)))
57 eldifsn 4626 . . . . . . 7 ((𝐺𝑧) ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) ↔ ((𝐺𝑧) ∈ 𝑋 ∧ (𝐺𝑧) ≠ (𝐺𝐶)))
5856, 57sylibr 235 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (𝐺𝐶)) → (𝐺𝑧) ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}))
5958anasss 467 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (𝐺𝐶))) → (𝐺𝑧) ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}))
60 eldifsni 4629 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) → 𝑦 ≠ (𝐺𝐶))
61 ifnefalse 4393 . . . . . . . 8 (𝑦 ≠ (𝐺𝐶) → if(𝑦 = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶)))) = (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶))))
6260, 61syl 17 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) → if(𝑦 = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶)))) = (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶))))
6362adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)})) → if(𝑦 = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶)))) = (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶))))
646, 31ffvelrnd 6717 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺𝐶) ∈ 𝑋)
6516, 9, 64dvlem 24177 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)})) → (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶))) ∈ ℂ)
6663, 65eqeltrd 2883 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)})) → if(𝑦 = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶)))) ∈ ℂ)
67 limcresi 24166 . . . . . . 7 (𝐺 lim 𝐶) ⊆ ((𝐺 ↾ (𝑌 ∖ {𝐶})) lim 𝐶)
686feqmptd 6601 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 = (𝑧𝑌 ↦ (𝐺𝑧)))
6968reseq1d 5733 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺 ↾ (𝑌 ∖ {𝐶})) = ((𝑧𝑌 ↦ (𝐺𝑧)) ↾ (𝑌 ∖ {𝐶})))
70 difss 4029 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∖ {𝐶}) ⊆ 𝑌
71 resmpt 5786 . . . . . . . . . 10 ((𝑌 ∖ {𝐶}) ⊆ 𝑌 → ((𝑧𝑌 ↦ (𝐺𝑧)) ↾ (𝑌 ∖ {𝐶})) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (𝐺𝑧)))
7270, 71ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝑌 ↦ (𝐺𝑧)) ↾ (𝑌 ∖ {𝐶})) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (𝐺𝑧))
7369, 72syl6eq 2847 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 ↾ (𝑌 ∖ {𝐶})) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (𝐺𝑧)))
7473oveq1d 7031 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺 ↾ (𝑌 ∖ {𝐶})) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (𝐺𝑧)) lim 𝐶))
7567, 74sseqtrid 3940 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 lim 𝐶) ⊆ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (𝐺𝑧)) lim 𝐶))
76 eqid 2795 . . . . . . . . . 10 (𝐽t 𝑌) = (𝐽t 𝑌)
7776, 3dvcnp2 24200 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ⊆ ℂ ∧ 𝐺:𝑌⟶ℂ ∧ 𝑌𝑇) ∧ 𝐶 ∈ dom (𝑇 D 𝐺)) → 𝐺 ∈ (((𝐽t 𝑌) CnP 𝐽)‘𝐶))
785, 10, 11, 30, 77syl31anc 1366 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ (((𝐽t 𝑌) CnP 𝐽)‘𝐶))
793, 76cnplimc 24168 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ⊆ ℂ ∧ 𝐶𝑌) → (𝐺 ∈ (((𝐽t 𝑌) CnP 𝐽)‘𝐶) ↔ (𝐺:𝑌⟶ℂ ∧ (𝐺𝐶) ∈ (𝐺 lim 𝐶))))
8049, 31, 79syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 ∈ (((𝐽t 𝑌) CnP 𝐽)‘𝐶) ↔ (𝐺:𝑌⟶ℂ ∧ (𝐺𝐶) ∈ (𝐺 lim 𝐶))))
8178, 80mpbid 233 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺:𝑌⟶ℂ ∧ (𝐺𝐶) ∈ (𝐺 lim 𝐶)))
8281simprd 496 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺𝐶) ∈ (𝐺 lim 𝐶))
8375, 82sseldd 3890 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺𝐶) ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (𝐺𝑧)) lim 𝐶))
84 eqid 2795 . . . . . . . . 9 (𝐽t 𝑆) = (𝐽t 𝑆)
85 eqid 2795 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶)))) = (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶))))
8684, 3, 85, 8, 16, 7eldv 24179 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐺𝐶)(𝑆 D 𝐹)𝐾 ↔ ((𝐺𝐶) ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶)))) lim (𝐺𝐶)))))
8715, 86mpbid 233 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺𝐶) ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶)))) lim (𝐺𝐶))))
8887simprd 496 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶)))) lim (𝐺𝐶)))
8962mpteq2ia 5051 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) ↦ if(𝑦 = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶))))) = (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶))))
9089oveq1i 7026 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) ↦ if(𝑦 = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶))))) lim (𝐺𝐶)) = ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶)))) lim (𝐺𝐶))
9188, 90syl6eleqr 2894 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) ↦ if(𝑦 = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶))))) lim (𝐺𝐶)))
92 eqeq1 2799 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐺𝑧) → (𝑦 = (𝐺𝐶) ↔ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)))
93 fveq2 6538 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝐺𝑧) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝐺𝑧)))
9493oveq1d 7031 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐺𝑧) → ((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) = ((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))))
95 oveq1 7023 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐺𝑧) → (𝑦 − (𝐺𝐶)) = ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))
9694, 95oveq12d 7034 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐺𝑧) → (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶))) = (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))))
9792, 96ifbieq2d 4406 . . . . 5 (𝑦 = (𝐺𝑧) → if(𝑦 = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶)))) = if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))))
98 iftrue 4387 . . . . . 6 ((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶) → if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) = 𝐾)
9998ad2antll 725 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶))) → if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) = 𝐾)
10059, 66, 83, 91, 97, 99limcco 24174 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))))) lim 𝐶))
10113simprd 496 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
1023mulcn 23158 . . . . 5 · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
1035, 10, 11dvcl 24180 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶(𝑇 D 𝐺)𝐿) → 𝐿 ∈ ℂ)
1041, 103mpdan 683 . . . . . 6 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
10518, 104opelxpd 5481 . . . . 5 (𝜑 → ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
10654toponunii 21208 . . . . . 6 (ℂ × ℂ) = (𝐽 ×t 𝐽)
107106cncnpi 21570 . . . . 5 (( · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → · ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨𝐾, 𝐿⟩))
108102, 105, 107sylancr 587 . . . 4 (𝜑 → · ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨𝐾, 𝐿⟩))
10948, 50, 51, 51, 3, 55, 100, 101, 108limccnp2 24173 . . 3 (𝜑 → (𝐾 · 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))) lim 𝐶))
110 oveq1 7023 . . . . . . . 8 (𝐾 = if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) → (𝐾 · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))))
111110eqeq1d 2797 . . . . . . 7 (𝐾 = if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) → ((𝐾 · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶)) ↔ (if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶))))
112 oveq1 7023 . . . . . . . 8 ((((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))) = if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) → ((((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))))
113112eqeq1d 2797 . . . . . . 7 ((((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))) = if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) → (((((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶)) ↔ (if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶))))
11419mul01d 10686 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (𝐾 · 0) = 0)
1159adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → 𝑋 ⊆ ℂ)
116115, 23sseldd 3890 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
117115, 33sseldd 3890 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (𝐺𝐶) ∈ ℂ)
118116, 117subeq0ad 10855 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) = 0 ↔ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)))
119118biimpar 478 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) = 0)
120119oveq1d 7031 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) = (0 / (𝑧𝐶)))
12149adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → 𝑌 ⊆ ℂ)
12221adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → 𝑧𝑌)
123121, 122sseldd 3890 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → 𝑧 ∈ ℂ)
124121, 32sseldd 3890 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → 𝐶 ∈ ℂ)
125123, 124subcld 10845 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (𝑧𝐶) ∈ ℂ)
126 eldifsni 4629 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) → 𝑧𝐶)
127126adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → 𝑧𝐶)
128123, 124, 127subne0d 10854 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (𝑧𝐶) ≠ 0)
129125, 128div0d 11263 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (0 / (𝑧𝐶)) = 0)
130129adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (0 / (𝑧𝐶)) = 0)
131120, 130eqtrd 2831 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) = 0)
132131oveq2d 7032 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (𝐾 · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (𝐾 · 0))
133 fveq2 6538 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶) → (𝐹‘(𝐺𝑧)) = (𝐹‘(𝐺𝐶)))
13424, 34subeq0ad 10855 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) = 0 ↔ (𝐹‘(𝐺𝑧)) = (𝐹‘(𝐺𝐶))))
135133, 134syl5ibr 247 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → ((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶) → ((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) = 0))
136135imp 407 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → ((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) = 0)
137136oveq1d 7031 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶)) = (0 / (𝑧𝐶)))
138137, 130eqtrd 2831 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶)) = 0)
139114, 132, 1383eqtr4d 2841 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (𝐾 · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶)))
140125adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (𝑧𝐶) ∈ ℂ)
141128adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (𝑧𝐶) ≠ 0)
14236, 42, 140, 46, 141dmdcan2d 11294 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → ((((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶)))
143111, 113, 139, 142ifbothda 4418 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶)))
144 fvco3 6627 . . . . . . . . 9 ((𝐺:𝑌𝑋𝑧𝑌) → ((𝐹𝐺)‘𝑧) = (𝐹‘(𝐺𝑧)))
1456, 21, 144syl2an 595 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → ((𝐹𝐺)‘𝑧) = (𝐹‘(𝐺𝑧)))
146 fvco3 6627 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:𝑌𝑋𝐶𝑌) → ((𝐹𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺𝐶)))
1476, 31, 146syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺𝐶)))
148147adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → ((𝐹𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺𝐶)))
149145, 148oveq12d 7034 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (((𝐹𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝐺)‘𝐶)) = ((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))))
150149oveq1d 7031 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → ((((𝐹𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶)) = (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶)))
151143, 150eqtr4d 2834 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = ((((𝐹𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶)))
152151mpteq2dva 5055 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))))
153152oveq1d 7031 . . 3 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
154109, 153eleqtrd 2885 . 2 (𝜑 → (𝐾 · 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
155 eqid 2795 . . 3 (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶)))
156 fco 6399 . . . 4 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝐺:𝑌𝑋) → (𝐹𝐺):𝑌⟶ℂ)
15716, 6, 156syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐺):𝑌⟶ℂ)
1582, 3, 155, 5, 157, 11eldv 24179 . 2 (𝜑 → (𝐶(𝑇 D (𝐹𝐺))(𝐾 · 𝐿) ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑇))‘𝑌) ∧ (𝐾 · 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))))
15914, 154, 158mpbir2and 709 1 (𝜑𝐶(𝑇 D (𝐹𝐺))(𝐾 · 𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984  cdif 3856  wss 3859  ifcif 4381  {csn 4472  cop 4478   class class class wbr 4962  cmpt 5041   × cxp 5441  dom cdm 5443  cres 5445  ccom 5447  Rel wrel 5448  wf 6221  cfv 6225  (class class class)co 7016  cc 10381  0cc0 10383   · cmul 10388  cmin 10717   / cdiv 11145  t crest 16523  TopOpenctopn 16524  fldccnfld 20227  TopOnctopon 21202  intcnt 21309   Cn ccn 21516   CnP ccnp 21517   ×t ctx 21852   lim climc 24143   D cdv 24144
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461  ax-addf 10462  ax-mulf 10463
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-iin 4828  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-of 7267  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-supp 7682  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-pm 8259  df-ixp 8311  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fsupp 8680  df-fi 8721  df-sup 8752  df-inf 8753  df-oi 8820  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-q 12198  df-rp 12240  df-xneg 12357  df-xadd 12358  df-xmul 12359  df-icc 12595  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-seq 13220  df-exp 13280  df-hash 13541  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-starv 16409  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-ip 16412  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-unif 16417  df-hom 16418  df-cco 16419  df-rest 16525  df-topn 16526  df-0g 16544  df-gsum 16545  df-topgen 16546  df-pt 16547  df-prds 16550  df-xrs 16604  df-qtop 16609  df-imas 16610  df-xps 16612  df-mre 16686  df-mrc 16687  df-acs 16689  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-submnd 17775  df-mulg 17982  df-cntz 18188  df-cmn 18635  df-psmet 20219  df-xmet 20220  df-met 20221  df-bl 20222  df-mopn 20223  df-cnfld 20228  df-top 21186  df-topon 21203  df-topsp 21225  df-bases 21238  df-ntr 21312  df-cn 21519  df-cnp 21520  df-tx 21854  df-hmeo 22047  df-xms 22613  df-ms 22614  df-tms 22615  df-cncf 23169  df-limc 24147  df-dv 24148
This theorem is referenced by:  dvco  24227  dvcof  24228  dvef  24260
  Copyright terms: Public domain W3C validator