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Theorem dvcobr 25797
Description: The chain rule for derivatives at a point. For the (simpler but more limited) function version, see dvco 25799. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) Avoid ax-mulf 11196 and remove unnecessary hypotheses. (Revised by GG, 16-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
dvco.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
dvco.x (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
dvco.g (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
dvco.y (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑇)
dvcobr.s (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
dvcobr.t (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† β„‚)
dvco.bf (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜πΆ)(𝑆 D 𝐹)𝐾)
dvco.bg (πœ‘ β†’ 𝐢(𝑇 D 𝐺)𝐿)
dvco.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
Assertion
Ref Expression
dvcobr (πœ‘ β†’ 𝐢(𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺))(𝐾 Β· 𝐿))
Proof of Theorem dvcobr
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑒 𝑣 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvco.bg . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢(𝑇 D 𝐺)𝐿)
2 eqid 2731 . . . . 5 (𝐽 β†Ύt 𝑇) = (𝐽 β†Ύt 𝑇)
3 dvco.j . . . . 5 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
4 eqid 2731 . . . . 5 (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
5 dvcobr.t . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† β„‚)
6 dvco.g . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
7 dvco.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
8 dvcobr.s . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
97, 8sstrd 3992 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
106, 9fssd 6735 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆβ„‚)
11 dvco.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑇)
122, 3, 4, 5, 10, 11eldv 25747 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐢(𝑇 D 𝐺)𝐿 ↔ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑇))β€˜π‘Œ) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))))
131, 12mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑇))β€˜π‘Œ) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢)))
1413simpld 494 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑇))β€˜π‘Œ))
15 dvco.bf . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜πΆ)(𝑆 D 𝐹)𝐾)
16 dvco.f . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
178, 16, 7dvcl 25748 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (πΊβ€˜πΆ)(𝑆 D 𝐹)𝐾) β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
1815, 17mpdan 684 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
1918ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
2016adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
21 eldifi 4126 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) β†’ 𝑧 ∈ π‘Œ)
22 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹ ∧ 𝑧 ∈ π‘Œ) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ 𝑋)
236, 21, 22syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ 𝑋)
2420, 23ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
2524adantr 480 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
266adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
275, 10, 11dvbss 25750 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ dom (𝑇 D 𝐺) βŠ† π‘Œ)
28 reldv 25719 . . . . . . . . . . . . . . 15 Rel (𝑇 D 𝐺)
29 releldm 5943 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Rel (𝑇 D 𝐺) ∧ 𝐢(𝑇 D 𝐺)𝐿) β†’ 𝐢 ∈ dom (𝑇 D 𝐺))
3028, 1, 29sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ dom (𝑇 D 𝐺))
3127, 30sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ π‘Œ)
3231adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ 𝐢 ∈ π‘Œ)
3326, 32ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ 𝑋)
3420, 33ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
3534adantr 480 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
3625, 35subcld 11578 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) ∈ β„‚)
3710ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆβ„‚)
3821ad2antlr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ 𝑧 ∈ π‘Œ)
3937, 38ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
4031ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ 𝐢 ∈ π‘Œ)
4137, 40ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
4239, 41subcld 11578 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
43 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ))
4439, 41subeq0ad 11588 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) = 0 ↔ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)))
4544necon3abid 2976 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) β‰  0 ↔ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)))
4643, 45mpbird 257 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) β‰  0)
4736, 42, 46divcld 11997 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) ∈ β„‚)
4819, 47ifclda 4563 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) ∈ β„‚)
4911, 5sstrd 3992 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† β„‚)
5010, 49, 31dvlem 25745 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) ∈ β„‚)
51 ssidd 4005 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
523cnfldtopon 24619 . . . . . . . 8 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
53 txtopon 23415 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜(β„‚ Γ— β„‚)))
5452, 52, 53mp2an 689 . . . . . . 7 (𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜(β„‚ Γ— β„‚))
5554toponrestid 22743 . . . . . 6 (𝐽 Γ—t 𝐽) = ((𝐽 Γ—t 𝐽) β†Ύt (β„‚ Γ— β„‚))
5623anim1i 614 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  (πΊβ€˜πΆ)) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) ∈ 𝑋 ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  (πΊβ€˜πΆ)))
57 eldifsn 4790 . . . . . . . . 9 ((πΊβ€˜π‘§) ∈ (𝑋 βˆ– {(πΊβ€˜πΆ)}) ↔ ((πΊβ€˜π‘§) ∈ 𝑋 ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  (πΊβ€˜πΆ)))
5856, 57sylibr 233 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  (πΊβ€˜πΆ)) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (𝑋 βˆ– {(πΊβ€˜πΆ)}))
5958anasss 466 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  (πΊβ€˜πΆ))) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (𝑋 βˆ– {(πΊβ€˜πΆ)}))
60 eldifsni 4793 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– {(πΊβ€˜πΆ)}) β†’ 𝑦 β‰  (πΊβ€˜πΆ))
61 ifnefalse 4540 . . . . . . . . . 10 (𝑦 β‰  (πΊβ€˜πΆ) β†’ if(𝑦 = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) = (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))
6260, 61syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– {(πΊβ€˜πΆ)}) β†’ if(𝑦 = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) = (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))
6362adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– {(πΊβ€˜πΆ)})) β†’ if(𝑦 = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) = (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))
646, 31ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ 𝑋)
6516, 9, 64dvlem 25745 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– {(πΊβ€˜πΆ)})) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) ∈ β„‚)
6663, 65eqeltrd 2832 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– {(πΊβ€˜πΆ)})) β†’ if(𝑦 = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) ∈ β„‚)
67 limcresi 25734 . . . . . . . . 9 (𝐺 limβ„‚ 𝐢) βŠ† ((𝐺 β†Ύ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) limβ„‚ 𝐢)
686feqmptd 6960 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ π‘Œ ↦ (πΊβ€˜π‘§)))
6968reseq1d 5980 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐺 β†Ύ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) = ((𝑧 ∈ π‘Œ ↦ (πΊβ€˜π‘§)) β†Ύ (π‘Œ βˆ– {𝐢})))
70 difss 4131 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Œ βˆ– {𝐢}) βŠ† π‘Œ
71 resmpt 6037 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Œ βˆ– {𝐢}) βŠ† π‘Œ β†’ ((𝑧 ∈ π‘Œ ↦ (πΊβ€˜π‘§)) β†Ύ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) = (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (πΊβ€˜π‘§)))
7270, 71ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ π‘Œ ↦ (πΊβ€˜π‘§)) β†Ύ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) = (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (πΊβ€˜π‘§))
7369, 72eqtrdi 2787 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐺 β†Ύ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) = (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (πΊβ€˜π‘§)))
7473oveq1d 7427 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐺 β†Ύ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (πΊβ€˜π‘§)) limβ„‚ 𝐢))
7567, 74sseqtrid 4034 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐺 limβ„‚ 𝐢) βŠ† ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (πΊβ€˜π‘§)) limβ„‚ 𝐢))
76 eqid 2731 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 β†Ύt π‘Œ) = (𝐽 β†Ύt π‘Œ)
7776, 3dvcnp2 25769 . . . . . . . . . . 11 (((𝑇 βŠ† β„‚ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆβ„‚ ∧ π‘Œ βŠ† 𝑇) ∧ 𝐢 ∈ dom (𝑇 D 𝐺)) β†’ 𝐺 ∈ (((𝐽 β†Ύt π‘Œ) CnP 𝐽)β€˜πΆ))
785, 10, 11, 30, 77syl31anc 1372 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (((𝐽 β†Ύt π‘Œ) CnP 𝐽)β€˜πΆ))
793, 76cnplimc 25736 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Œ βŠ† β„‚ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐺 ∈ (((𝐽 β†Ύt π‘Œ) CnP 𝐽)β€˜πΆ) ↔ (𝐺:π‘ŒβŸΆβ„‚ ∧ (πΊβ€˜πΆ) ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐢))))
8049, 31, 79syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ (((𝐽 β†Ύt π‘Œ) CnP 𝐽)β€˜πΆ) ↔ (𝐺:π‘ŒβŸΆβ„‚ ∧ (πΊβ€˜πΆ) ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐢))))
8178, 80mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐺:π‘ŒβŸΆβ„‚ ∧ (πΊβ€˜πΆ) ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐢)))
8281simprd 495 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐢))
8375, 82sseldd 3983 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (πΊβ€˜π‘§)) limβ„‚ 𝐢))
84 eqid 2731 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 β†Ύt 𝑆) = (𝐽 β†Ύt 𝑆)
85 eqid 2731 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– {(πΊβ€˜πΆ)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) = (𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– {(πΊβ€˜πΆ)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))
8684, 3, 85, 8, 16, 7eldv 25747 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜πΆ)(𝑆 D 𝐹)𝐾 ↔ ((πΊβ€˜πΆ) ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– {(πΊβ€˜πΆ)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) limβ„‚ (πΊβ€˜πΆ)))))
8715, 86mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜πΆ) ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– {(πΊβ€˜πΆ)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) limβ„‚ (πΊβ€˜πΆ))))
8887simprd 495 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– {(πΊβ€˜πΆ)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) limβ„‚ (πΊβ€˜πΆ)))
8962mpteq2ia 5251 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– {(πΊβ€˜πΆ)}) ↦ if(𝑦 = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))) = (𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– {(πΊβ€˜πΆ)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))
9089oveq1i 7422 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– {(πΊβ€˜πΆ)}) ↦ if(𝑦 = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))) limβ„‚ (πΊβ€˜πΆ)) = ((𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– {(πΊβ€˜πΆ)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) limβ„‚ (πΊβ€˜πΆ))
9188, 90eleqtrrdi 2843 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– {(πΊβ€˜πΆ)}) ↦ if(𝑦 = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))) limβ„‚ (πΊβ€˜πΆ)))
92 eqeq1 2735 . . . . . . . 8 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ (𝑦 = (πΊβ€˜πΆ) ↔ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)))
93 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)))
9493oveq1d 7427 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) = ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))))
95 oveq1 7419 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) = ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))
9694, 95oveq12d 7430 . . . . . . . 8 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) = (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))
9792, 96ifbieq2d 4554 . . . . . . 7 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ if(𝑦 = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) = if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))))
98 iftrue 4534 . . . . . . . 8 ((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ) β†’ if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) = 𝐾)
9998ad2antll 726 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ))) β†’ if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) = 𝐾)
10059, 66, 83, 91, 97, 99limcco 25742 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))) limβ„‚ 𝐢))
10113simprd 495 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
1023mpomulcn 24705 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
1035, 10, 11dvcl 25748 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐢(𝑇 D 𝐺)𝐿) β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
1041, 103mpdan 684 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
10518, 104opelxpd 5715 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (β„‚ Γ— β„‚))
10654toponunii 22738 . . . . . . . 8 (β„‚ Γ— β„‚) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐽)
107106cncnpi 23102 . . . . . . 7 (((𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (β„‚ Γ— β„‚)) β†’ (𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐽) CnP 𝐽)β€˜βŸ¨πΎ, 𝐿⟩))
108102, 105, 107sylancr 586 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐽) CnP 𝐽)β€˜βŸ¨πΎ, 𝐿⟩))
10948, 50, 51, 51, 3, 55, 100, 101, 108limccnp2 25741 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))) limβ„‚ 𝐢))
110 df-mpt 5232 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))) = {βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))}
111110oveq1i 7422 . . . . 5 ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))) limβ„‚ 𝐢) = ({βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))} limβ„‚ 𝐢)
112109, 111eleqtrdi 2842 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))𝐿) ∈ ({βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))} limβ„‚ 𝐢))
113 ovmpot 7572 . . . . 5 ((𝐾 ∈ β„‚ ∧ 𝐿 ∈ β„‚) β†’ (𝐾(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))𝐿) = (𝐾 Β· 𝐿))
11418, 104, 113syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))𝐿) = (𝐾 Β· 𝐿))
115 ovmpot 7572 . . . . . . . . 9 ((if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) ∈ β„‚ ∧ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) ∈ β„‚) β†’ (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))
11648, 50, 115syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))
117116eqeq2d 2742 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ (𝑀 = (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) ↔ 𝑀 = (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))))
118117pm5.32da 578 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))) ↔ (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))))
119118opabbidv 5214 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))} = {βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))})
120 df-mpt 5232 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))) = {βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))}
121120eqcomi 2740 . . . . . . . 8 {βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))} = (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))
122121eqeq2i 2744 . . . . . . 7 ({βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))} = {βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))} ↔ {βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))} = (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))))
123122biimpi 215 . . . . . 6 ({βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))} = {βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))} β†’ {βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))} = (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))))
124123oveq1d 7427 . . . . 5 ({βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))} = {βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))} β†’ ({βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))} limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))) limβ„‚ 𝐢))
125119, 124syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ({βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))} limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))) limβ„‚ 𝐢))
126112, 114, 1253eltr3d 2846 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 Β· 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))) limβ„‚ 𝐢))
127 oveq1 7419 . . . . . . . 8 (𝐾 = if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) β†’ (𝐾 Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))
128127eqeq1d 2733 . . . . . . 7 (𝐾 = if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) β†’ ((𝐾 Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) ↔ (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))
129 oveq1 7419 . . . . . . . 8 ((((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) = if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) β†’ ((((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))
130129eqeq1d 2733 . . . . . . 7 ((((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) = if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) β†’ (((((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) ↔ (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))
13119mul01d 11420 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ (𝐾 Β· 0) = 0)
1329adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
133132, 23sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
134132, 33sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
135133, 134subeq0ad 11588 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) = 0 ↔ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)))
136135biimpar 477 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) = 0)
137136oveq1d 7427 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) = (0 / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
13849adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ π‘Œ βŠ† β„‚)
13921adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ 𝑧 ∈ π‘Œ)
140138, 139sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
141138, 32sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
142140, 141subcld 11578 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ (𝑧 βˆ’ 𝐢) ∈ β„‚)
143 eldifsni 4793 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) β†’ 𝑧 β‰  𝐢)
144143adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ 𝑧 β‰  𝐢)
145140, 141, 144subne0d 11587 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ (𝑧 βˆ’ 𝐢) β‰  0)
146142, 145div0d 11996 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ (0 / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) = 0)
147146adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ (0 / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) = 0)
148137, 147eqtrd 2771 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) = 0)
149148oveq2d 7428 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ (𝐾 Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (𝐾 Β· 0))
150 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 ((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ)))
15124, 34subeq0ad 11588 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) = 0 ↔ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))))
152150, 151imbitrrid 245 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ) β†’ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) = 0))
153152imp 406 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) = 0)
154153oveq1d 7427 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) = (0 / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
155154, 147eqtrd 2771 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) = 0)
156131, 149, 1553eqtr4d 2781 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ (𝐾 Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
157142adantr 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ (𝑧 βˆ’ 𝐢) ∈ β„‚)
158145adantr 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ (𝑧 βˆ’ 𝐢) β‰  0)
15936, 42, 157, 46, 158dmdcan2d 12027 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ ((((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
160128, 130, 156, 159ifbothda 4566 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
161 fvco3 6990 . . . . . . . . 9 ((𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹ ∧ 𝑧 ∈ π‘Œ) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘§) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)))
1626, 21, 161syl2an 595 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘§) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)))
1636, 31fvco3d 6991 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜πΆ) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ)))
164163adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜πΆ) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ)))
165162, 164oveq12d 7430 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ (((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜πΆ)) = ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))))
166165oveq1d 7427 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ ((((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) = (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
167160, 166eqtr4d 2774 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = ((((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
168167mpteq2dva 5248 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))) = (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ ((((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))
169168oveq1d 7427 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))) limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ ((((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
170126, 169eleqtrd 2834 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐾 Β· 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ ((((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
171 eqid 2731 . . 3 (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ ((((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ ((((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
17216, 6fcod 6743 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝐺):π‘ŒβŸΆβ„‚)
1732, 3, 171, 5, 172, 11eldv 25747 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢(𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺))(𝐾 Β· 𝐿) ↔ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑇))β€˜π‘Œ) ∧ (𝐾 Β· 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ ((((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))))
17414, 170, 173mpbir2and 710 1 (πœ‘ β†’ 𝐢(𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺))(𝐾 Β· 𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  ifcif 4528  {csn 4628  βŸ¨cop 4634   class class class wbr 5148  {copab 5210   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680  Rel wrel 5681  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  β„‚cc 11114  0cc0 11116   Β· cmul 11121   βˆ’ cmin 11451   / cdiv 11878   β†Ύt crest 17373  TopOpenctopn 17374  β„‚fldccnfld 21233  TopOnctopon 22732  intcnt 22841   Cn ccn 23048   CnP ccnp 23049   Γ—t ctx 23384   limβ„‚ climc 25711   D cdv 25712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-mulg 18994  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-psmet 21225  df-xmet 21226  df-met 21227  df-bl 21228  df-mopn 21229  df-cnfld 21234  df-top 22716  df-topon 22733  df-topsp 22755  df-bases 22769  df-ntr 22844  df-cn 23051  df-cnp 23052  df-tx 23386  df-hmeo 23579  df-xms 24146  df-ms 24147  df-tms 24148  df-cncf 24718  df-limc 25715  df-dv 25716
This theorem is referenced by:  dvco  25799  dvcof  25800  dvef  25832
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