MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcobr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcobr 25310
Description: The chain rule for derivatives at a point. For the (simpler but more limited) function version, see dvco 25311. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvco.f (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvco.x (𝜑𝑋𝑆)
dvco.g (𝜑𝐺:𝑌𝑋)
dvco.y (𝜑𝑌𝑇)
dvcobr.s (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
dvcobr.t (𝜑𝑇 ⊆ ℂ)
dvco.k (𝜑𝐾𝑉)
dvco.l (𝜑𝐿𝑉)
dvco.bf (𝜑 → (𝐺𝐶)(𝑆 D 𝐹)𝐾)
dvco.bg (𝜑𝐶(𝑇 D 𝐺)𝐿)
dvco.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
dvcobr (𝜑𝐶(𝑇 D (𝐹𝐺))(𝐾 · 𝐿))

Proof of Theorem dvcobr
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvco.bg . . . 4 (𝜑𝐶(𝑇 D 𝐺)𝐿)
2 eqid 2736 . . . . 5 (𝐽t 𝑇) = (𝐽t 𝑇)
3 dvco.j . . . . 5 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
4 eqid 2736 . . . . 5 (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))
5 dvcobr.t . . . . 5 (𝜑𝑇 ⊆ ℂ)
6 dvco.g . . . . . 6 (𝜑𝐺:𝑌𝑋)
7 dvco.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑆)
8 dvcobr.s . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
97, 8sstrd 3954 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
106, 9fssd 6686 . . . . 5 (𝜑𝐺:𝑌⟶ℂ)
11 dvco.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑇)
122, 3, 4, 5, 10, 11eldv 25262 . . . 4 (𝜑 → (𝐶(𝑇 D 𝐺)𝐿 ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑇))‘𝑌) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))))
131, 12mpbid 231 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑇))‘𝑌) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶)))
1413simpld 495 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑇))‘𝑌))
15 dvco.bf . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺𝐶)(𝑆 D 𝐹)𝐾)
16 dvco.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
178, 16, 7dvcl 25263 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐺𝐶)(𝑆 D 𝐹)𝐾) → 𝐾 ∈ ℂ)
1815, 17mpdan 685 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
1918ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → 𝐾 ∈ ℂ)
2016adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
21 eldifi 4086 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) → 𝑧𝑌)
22 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:𝑌𝑋𝑧𝑌) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑋)
236, 21, 22syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑋)
2420, 23ffvelcdmd 7036 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (𝐹‘(𝐺𝑧)) ∈ ℂ)
2524adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (𝐹‘(𝐺𝑧)) ∈ ℂ)
266adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → 𝐺:𝑌𝑋)
275, 10, 11dvbss 25265 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom (𝑇 D 𝐺) ⊆ 𝑌)
28 reldv 25234 . . . . . . . . . . . . 13 Rel (𝑇 D 𝐺)
29 releldm 5899 . . . . . . . . . . . . 13 ((Rel (𝑇 D 𝐺) ∧ 𝐶(𝑇 D 𝐺)𝐿) → 𝐶 ∈ dom (𝑇 D 𝐺))
3028, 1, 29sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ dom (𝑇 D 𝐺))
3127, 30sseldd 3945 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶𝑌)
3231adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → 𝐶𝑌)
3326, 32ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (𝐺𝐶) ∈ 𝑋)
3420, 33ffvelcdmd 7036 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (𝐹‘(𝐺𝐶)) ∈ ℂ)
3534adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (𝐹‘(𝐺𝐶)) ∈ ℂ)
3625, 35subcld 11512 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → ((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) ∈ ℂ)
3710ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → 𝐺:𝑌⟶ℂ)
3821ad2antlr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → 𝑧𝑌)
3937, 38ffvelcdmd 7036 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
4031ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → 𝐶𝑌)
4137, 40ffvelcdmd 7036 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (𝐺𝐶) ∈ ℂ)
4239, 41subcld 11512 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) ∈ ℂ)
43 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶))
4439, 41subeq0ad 11522 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) = 0 ↔ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)))
4544necon3abid 2980 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) ≠ 0 ↔ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)))
4643, 45mpbird 256 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) ≠ 0)
4736, 42, 46divcld 11931 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))) ∈ ℂ)
4819, 47ifclda 4521 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) ∈ ℂ)
4911, 5sstrd 3954 . . . . 5 (𝜑𝑌 ⊆ ℂ)
5010, 49, 31dvlem 25260 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) ∈ ℂ)
51 ssidd 3967 . . . 4 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
523cnfldtopon 24146 . . . . . 6 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
53 txtopon 22942 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ)))
5452, 52, 53mp2an 690 . . . . 5 (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ))
5554toponrestid 22270 . . . 4 (𝐽 ×t 𝐽) = ((𝐽 ×t 𝐽) ↾t (ℂ × ℂ))
5623anim1i 615 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (𝐺𝐶)) → ((𝐺𝑧) ∈ 𝑋 ∧ (𝐺𝑧) ≠ (𝐺𝐶)))
57 eldifsn 4747 . . . . . . 7 ((𝐺𝑧) ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) ↔ ((𝐺𝑧) ∈ 𝑋 ∧ (𝐺𝑧) ≠ (𝐺𝐶)))
5856, 57sylibr 233 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (𝐺𝐶)) → (𝐺𝑧) ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}))
5958anasss 467 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (𝐺𝐶))) → (𝐺𝑧) ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}))
60 eldifsni 4750 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) → 𝑦 ≠ (𝐺𝐶))
61 ifnefalse 4498 . . . . . . . 8 (𝑦 ≠ (𝐺𝐶) → if(𝑦 = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶)))) = (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶))))
6260, 61syl 17 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) → if(𝑦 = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶)))) = (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶))))
6362adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)})) → if(𝑦 = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶)))) = (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶))))
646, 31ffvelcdmd 7036 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺𝐶) ∈ 𝑋)
6516, 9, 64dvlem 25260 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)})) → (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶))) ∈ ℂ)
6663, 65eqeltrd 2838 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)})) → if(𝑦 = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶)))) ∈ ℂ)
67 limcresi 25249 . . . . . . 7 (𝐺 lim 𝐶) ⊆ ((𝐺 ↾ (𝑌 ∖ {𝐶})) lim 𝐶)
686feqmptd 6910 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 = (𝑧𝑌 ↦ (𝐺𝑧)))
6968reseq1d 5936 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺 ↾ (𝑌 ∖ {𝐶})) = ((𝑧𝑌 ↦ (𝐺𝑧)) ↾ (𝑌 ∖ {𝐶})))
70 difss 4091 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∖ {𝐶}) ⊆ 𝑌
71 resmpt 5991 . . . . . . . . . 10 ((𝑌 ∖ {𝐶}) ⊆ 𝑌 → ((𝑧𝑌 ↦ (𝐺𝑧)) ↾ (𝑌 ∖ {𝐶})) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (𝐺𝑧)))
7270, 71ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝑌 ↦ (𝐺𝑧)) ↾ (𝑌 ∖ {𝐶})) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (𝐺𝑧))
7369, 72eqtrdi 2792 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 ↾ (𝑌 ∖ {𝐶})) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (𝐺𝑧)))
7473oveq1d 7372 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺 ↾ (𝑌 ∖ {𝐶})) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (𝐺𝑧)) lim 𝐶))
7567, 74sseqtrid 3996 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 lim 𝐶) ⊆ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (𝐺𝑧)) lim 𝐶))
76 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (𝐽t 𝑌) = (𝐽t 𝑌)
7776, 3dvcnp2 25284 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ⊆ ℂ ∧ 𝐺:𝑌⟶ℂ ∧ 𝑌𝑇) ∧ 𝐶 ∈ dom (𝑇 D 𝐺)) → 𝐺 ∈ (((𝐽t 𝑌) CnP 𝐽)‘𝐶))
785, 10, 11, 30, 77syl31anc 1373 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ (((𝐽t 𝑌) CnP 𝐽)‘𝐶))
793, 76cnplimc 25251 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ⊆ ℂ ∧ 𝐶𝑌) → (𝐺 ∈ (((𝐽t 𝑌) CnP 𝐽)‘𝐶) ↔ (𝐺:𝑌⟶ℂ ∧ (𝐺𝐶) ∈ (𝐺 lim 𝐶))))
8049, 31, 79syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 ∈ (((𝐽t 𝑌) CnP 𝐽)‘𝐶) ↔ (𝐺:𝑌⟶ℂ ∧ (𝐺𝐶) ∈ (𝐺 lim 𝐶))))
8178, 80mpbid 231 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺:𝑌⟶ℂ ∧ (𝐺𝐶) ∈ (𝐺 lim 𝐶)))
8281simprd 496 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺𝐶) ∈ (𝐺 lim 𝐶))
8375, 82sseldd 3945 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺𝐶) ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (𝐺𝑧)) lim 𝐶))
84 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (𝐽t 𝑆) = (𝐽t 𝑆)
85 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶)))) = (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶))))
8684, 3, 85, 8, 16, 7eldv 25262 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐺𝐶)(𝑆 D 𝐹)𝐾 ↔ ((𝐺𝐶) ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶)))) lim (𝐺𝐶)))))
8715, 86mpbid 231 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺𝐶) ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶)))) lim (𝐺𝐶))))
8887simprd 496 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶)))) lim (𝐺𝐶)))
8962mpteq2ia 5208 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) ↦ if(𝑦 = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶))))) = (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶))))
9089oveq1i 7367 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) ↦ if(𝑦 = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶))))) lim (𝐺𝐶)) = ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶)))) lim (𝐺𝐶))
9188, 90eleqtrrdi 2849 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) ↦ if(𝑦 = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶))))) lim (𝐺𝐶)))
92 eqeq1 2740 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐺𝑧) → (𝑦 = (𝐺𝐶) ↔ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)))
93 fveq2 6842 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝐺𝑧) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝐺𝑧)))
9493oveq1d 7372 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐺𝑧) → ((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) = ((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))))
95 oveq1 7364 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐺𝑧) → (𝑦 − (𝐺𝐶)) = ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))
9694, 95oveq12d 7375 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐺𝑧) → (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶))) = (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))))
9792, 96ifbieq2d 4512 . . . . 5 (𝑦 = (𝐺𝑧) → if(𝑦 = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶)))) = if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))))
98 iftrue 4492 . . . . . 6 ((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶) → if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) = 𝐾)
9998ad2antll 727 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶))) → if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) = 𝐾)
10059, 66, 83, 91, 97, 99limcco 25257 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))))) lim 𝐶))
10113simprd 496 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
1023mulcn 24230 . . . . 5 · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
1035, 10, 11dvcl 25263 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶(𝑇 D 𝐺)𝐿) → 𝐿 ∈ ℂ)
1041, 103mpdan 685 . . . . . 6 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
10518, 104opelxpd 5671 . . . . 5 (𝜑 → ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
10654toponunii 22265 . . . . . 6 (ℂ × ℂ) = (𝐽 ×t 𝐽)
107106cncnpi 22629 . . . . 5 (( · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → · ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨𝐾, 𝐿⟩))
108102, 105, 107sylancr 587 . . . 4 (𝜑 → · ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨𝐾, 𝐿⟩))
10948, 50, 51, 51, 3, 55, 100, 101, 108limccnp2 25256 . . 3 (𝜑 → (𝐾 · 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))) lim 𝐶))
110 oveq1 7364 . . . . . . . 8 (𝐾 = if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) → (𝐾 · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))))
111110eqeq1d 2738 . . . . . . 7 (𝐾 = if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) → ((𝐾 · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶)) ↔ (if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶))))
112 oveq1 7364 . . . . . . . 8 ((((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))) = if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) → ((((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))))
113112eqeq1d 2738 . . . . . . 7 ((((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))) = if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) → (((((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶)) ↔ (if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶))))
11419mul01d 11354 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (𝐾 · 0) = 0)
1159adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → 𝑋 ⊆ ℂ)
116115, 23sseldd 3945 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
117115, 33sseldd 3945 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (𝐺𝐶) ∈ ℂ)
118116, 117subeq0ad 11522 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) = 0 ↔ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)))
119118biimpar 478 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) = 0)
120119oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) = (0 / (𝑧𝐶)))
12149adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → 𝑌 ⊆ ℂ)
12221adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → 𝑧𝑌)
123121, 122sseldd 3945 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → 𝑧 ∈ ℂ)
124121, 32sseldd 3945 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → 𝐶 ∈ ℂ)
125123, 124subcld 11512 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (𝑧𝐶) ∈ ℂ)
126 eldifsni 4750 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) → 𝑧𝐶)
127126adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → 𝑧𝐶)
128123, 124, 127subne0d 11521 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (𝑧𝐶) ≠ 0)
129125, 128div0d 11930 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (0 / (𝑧𝐶)) = 0)
130129adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (0 / (𝑧𝐶)) = 0)
131120, 130eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) = 0)
132131oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (𝐾 · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (𝐾 · 0))
133 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶) → (𝐹‘(𝐺𝑧)) = (𝐹‘(𝐺𝐶)))
13424, 34subeq0ad 11522 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) = 0 ↔ (𝐹‘(𝐺𝑧)) = (𝐹‘(𝐺𝐶))))
135133, 134syl5ibr 245 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → ((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶) → ((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) = 0))
136135imp 407 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → ((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) = 0)
137136oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶)) = (0 / (𝑧𝐶)))
138137, 130eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶)) = 0)
139114, 132, 1383eqtr4d 2786 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (𝐾 · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶)))
140125adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (𝑧𝐶) ∈ ℂ)
141128adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (𝑧𝐶) ≠ 0)
14236, 42, 140, 46, 141dmdcan2d 11961 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → ((((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶)))
143111, 113, 139, 142ifbothda 4524 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶)))
144 fvco3 6940 . . . . . . . . 9 ((𝐺:𝑌𝑋𝑧𝑌) → ((𝐹𝐺)‘𝑧) = (𝐹‘(𝐺𝑧)))
1456, 21, 144syl2an 596 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → ((𝐹𝐺)‘𝑧) = (𝐹‘(𝐺𝑧)))
146 fvco3 6940 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:𝑌𝑋𝐶𝑌) → ((𝐹𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺𝐶)))
1476, 31, 146syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺𝐶)))
148147adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → ((𝐹𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺𝐶)))
149145, 148oveq12d 7375 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (((𝐹𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝐺)‘𝐶)) = ((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))))
150149oveq1d 7372 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → ((((𝐹𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶)) = (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶)))
151143, 150eqtr4d 2779 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = ((((𝐹𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶)))
152151mpteq2dva 5205 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))))
153152oveq1d 7372 . . 3 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
154109, 153eleqtrd 2840 . 2 (𝜑 → (𝐾 · 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
155 eqid 2736 . . 3 (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶)))
156 fco 6692 . . . 4 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝐺:𝑌𝑋) → (𝐹𝐺):𝑌⟶ℂ)
15716, 6, 156syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐺):𝑌⟶ℂ)
1582, 3, 155, 5, 157, 11eldv 25262 . 2 (𝜑 → (𝐶(𝑇 D (𝐹𝐺))(𝐾 · 𝐿) ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑇))‘𝑌) ∧ (𝐾 · 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))))
15914, 154, 158mpbir2and 711 1 (𝜑𝐶(𝑇 D (𝐹𝐺))(𝐾 · 𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  cdif 3907  wss 3910  ifcif 4486  {csn 4586  cop 4592   class class class wbr 5105  cmpt 5188   × cxp 5631  dom cdm 5633  cres 5635  ccom 5637  Rel wrel 5638  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  0cc0 11051   · cmul 11056  cmin 11385   / cdiv 11812  t crest 17302  TopOpenctopn 17303  fldccnfld 20796  TopOnctopon 22259  intcnt 22368   Cn ccn 22575   CnP ccnp 22576   ×t ctx 22911   lim climc 25226   D cdv 25227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-ntr 22371  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231
This theorem is referenced by:  dvco  25311  dvcof  25312  dvef  25344
  Copyright terms: Public domain W3C validator