MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapfienlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapfienlem3 8602
Description: Lemma 3 for mapfien 8603. (Contributed by AV, 3-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mapfien.s 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐵𝑚 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍}
mapfien.t 𝑇 = {𝑥 ∈ (𝐷𝑚 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊}
mapfien.w 𝑊 = (𝐺𝑍)
mapfien.f (𝜑𝐹:𝐶1-1-onto𝐴)
mapfien.g (𝜑𝐺:𝐵1-1-onto𝐷)
mapfien.a (𝜑𝐴 ∈ V)
mapfien.b (𝜑𝐵 ∈ V)
mapfien.c (𝜑𝐶 ∈ V)
mapfien.d (𝜑𝐷 ∈ V)
mapfien.z (𝜑𝑍𝐵)
Assertion
Ref Expression
mapfienlem3 ((𝜑𝑔𝑇) → ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑥   𝜑,𝑔   𝑥,𝐷   𝑆,𝑔   𝑇,𝑔   𝑥,𝑊   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑔)   𝐵(𝑔)   𝐶(𝑔)   𝐷(𝑔)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝑊(𝑔)   𝑍(𝑔)

Proof of Theorem mapfienlem3
StepHypRef Expression
1 mapfien.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺:𝐵1-1-onto𝐷)
2 f1ocnv 6405 . . . . . . 7 (𝐺:𝐵1-1-onto𝐷𝐺:𝐷1-1-onto𝐵)
3 f1of 6393 . . . . . . 7 (𝐺:𝐷1-1-onto𝐵𝐺:𝐷𝐵)
41, 2, 33syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝐺:𝐷𝐵)
54adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑇) → 𝐺:𝐷𝐵)
6 elrabi 3567 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (𝐷𝑚 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊} → 𝑔 ∈ (𝐷𝑚 𝐶))
7 mapfien.t . . . . . . . 8 𝑇 = {𝑥 ∈ (𝐷𝑚 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊}
86, 7eleq2s 2877 . . . . . . 7 (𝑔𝑇𝑔 ∈ (𝐷𝑚 𝐶))
98adantl 475 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝑇) → 𝑔 ∈ (𝐷𝑚 𝐶))
10 elmapi 8164 . . . . . 6 (𝑔 ∈ (𝐷𝑚 𝐶) → 𝑔:𝐶𝐷)
119, 10syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑇) → 𝑔:𝐶𝐷)
12 fco 6310 . . . . 5 ((𝐺:𝐷𝐵𝑔:𝐶𝐷) → (𝐺𝑔):𝐶𝐵)
135, 11, 12syl2anc 579 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑇) → (𝐺𝑔):𝐶𝐵)
14 mapfien.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐶1-1-onto𝐴)
15 f1ocnv 6405 . . . . . 6 (𝐹:𝐶1-1-onto𝐴𝐹:𝐴1-1-onto𝐶)
16 f1of 6393 . . . . . 6 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐶𝐹:𝐴𝐶)
1714, 15, 163syl 18 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴𝐶)
1817adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑇) → 𝐹:𝐴𝐶)
19 fco 6310 . . . 4 (((𝐺𝑔):𝐶𝐵𝐹:𝐴𝐶) → ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹):𝐴𝐵)
2013, 18, 19syl2anc 579 . . 3 ((𝜑𝑔𝑇) → ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹):𝐴𝐵)
21 mapfien.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ V)
22 mapfien.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ V)
2321, 22elmapd 8156 . . . 4 (𝜑 → (((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) ∈ (𝐵𝑚 𝐴) ↔ ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹):𝐴𝐵))
2423adantr 474 . . 3 ((𝜑𝑔𝑇) → (((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) ∈ (𝐵𝑚 𝐴) ↔ ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹):𝐴𝐵))
2520, 24mpbird 249 . 2 ((𝜑𝑔𝑇) → ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) ∈ (𝐵𝑚 𝐴))
26 mapfien.s . . 3 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐵𝑚 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍}
27 mapfien.w . . 3 𝑊 = (𝐺𝑍)
28 mapfien.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ V)
29 mapfien.d . . 3 (𝜑𝐷 ∈ V)
30 mapfien.z . . 3 (𝜑𝑍𝐵)
3126, 7, 27, 14, 1, 22, 21, 28, 29, 30mapfienlem2 8601 . 2 ((𝜑𝑔𝑇) → ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) finSupp 𝑍)
32 breq1 4891 . . 3 (𝑥 = ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) → (𝑥 finSupp 𝑍 ↔ ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) finSupp 𝑍))
3332, 26elrab2 3576 . 2 (((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) ∈ 𝑆 ↔ (((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) ∈ (𝐵𝑚 𝐴) ∧ ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) finSupp 𝑍))
3425, 31, 33sylanbrc 578 1 ((𝜑𝑔𝑇) → ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  {crab 3094  Vcvv 3398   class class class wbr 4888  ccnv 5356  ccom 5361  wf 6133  1-1-ontowf1o 6136  cfv 6137  (class class class)co 6924  𝑚 cmap 8142   finSupp cfsupp 8565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-supp 7579  df-1o 7845  df-er 8028  df-map 8144  df-en 8244  df-dom 8245  df-fin 8247  df-fsupp 8566
This theorem is referenced by:  mapfien  8603
  Copyright terms: Public domain W3C validator