MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapfienlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapfienlem3 8848
Description: Lemma 3 for mapfien 8849. (Contributed by AV, 3-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mapfien.s 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐵m 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍}
mapfien.t 𝑇 = {𝑥 ∈ (𝐷m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊}
mapfien.w 𝑊 = (𝐺𝑍)
mapfien.f (𝜑𝐹:𝐶1-1-onto𝐴)
mapfien.g (𝜑𝐺:𝐵1-1-onto𝐷)
mapfien.a (𝜑𝐴 ∈ V)
mapfien.b (𝜑𝐵 ∈ V)
mapfien.c (𝜑𝐶 ∈ V)
mapfien.d (𝜑𝐷 ∈ V)
mapfien.z (𝜑𝑍𝐵)
Assertion
Ref Expression
mapfienlem3 ((𝜑𝑔𝑇) → ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑥   𝜑,𝑔   𝑥,𝐷   𝑆,𝑔   𝑇,𝑔   𝑥,𝑊   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑔)   𝐵(𝑔)   𝐶(𝑔)   𝐷(𝑔)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝑊(𝑔)   𝑍(𝑔)

Proof of Theorem mapfienlem3
StepHypRef Expression
1 mapfien.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺:𝐵1-1-onto𝐷)
2 f1ocnv 6603 . . . . . . 7 (𝐺:𝐵1-1-onto𝐷𝐺:𝐷1-1-onto𝐵)
3 f1of 6591 . . . . . . 7 (𝐺:𝐷1-1-onto𝐵𝐺:𝐷𝐵)
41, 2, 33syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝐺:𝐷𝐵)
54adantr 483 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑇) → 𝐺:𝐷𝐵)
6 elrabi 3655 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (𝐷m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊} → 𝑔 ∈ (𝐷m 𝐶))
7 mapfien.t . . . . . . . 8 𝑇 = {𝑥 ∈ (𝐷m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊}
86, 7eleq2s 2929 . . . . . . 7 (𝑔𝑇𝑔 ∈ (𝐷m 𝐶))
98adantl 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝑇) → 𝑔 ∈ (𝐷m 𝐶))
10 elmapi 8406 . . . . . 6 (𝑔 ∈ (𝐷m 𝐶) → 𝑔:𝐶𝐷)
119, 10syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑇) → 𝑔:𝐶𝐷)
12 fco 6507 . . . . 5 ((𝐺:𝐷𝐵𝑔:𝐶𝐷) → (𝐺𝑔):𝐶𝐵)
135, 11, 12syl2anc 586 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑇) → (𝐺𝑔):𝐶𝐵)
14 mapfien.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐶1-1-onto𝐴)
15 f1ocnv 6603 . . . . . 6 (𝐹:𝐶1-1-onto𝐴𝐹:𝐴1-1-onto𝐶)
16 f1of 6591 . . . . . 6 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐶𝐹:𝐴𝐶)
1714, 15, 163syl 18 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴𝐶)
1817adantr 483 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑇) → 𝐹:𝐴𝐶)
19 fco 6507 . . . 4 (((𝐺𝑔):𝐶𝐵𝐹:𝐴𝐶) → ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹):𝐴𝐵)
2013, 18, 19syl2anc 586 . . 3 ((𝜑𝑔𝑇) → ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹):𝐴𝐵)
21 mapfien.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ V)
22 mapfien.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ V)
2321, 22elmapd 8398 . . . 4 (𝜑 → (((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) ∈ (𝐵m 𝐴) ↔ ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹):𝐴𝐵))
2423adantr 483 . . 3 ((𝜑𝑔𝑇) → (((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) ∈ (𝐵m 𝐴) ↔ ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹):𝐴𝐵))
2520, 24mpbird 259 . 2 ((𝜑𝑔𝑇) → ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) ∈ (𝐵m 𝐴))
26 mapfien.s . . 3 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐵m 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍}
27 mapfien.w . . 3 𝑊 = (𝐺𝑍)
28 mapfien.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ V)
29 mapfien.d . . 3 (𝜑𝐷 ∈ V)
30 mapfien.z . . 3 (𝜑𝑍𝐵)
3126, 7, 27, 14, 1, 22, 21, 28, 29, 30mapfienlem2 8847 . 2 ((𝜑𝑔𝑇) → ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) finSupp 𝑍)
32 breq1 5045 . . 3 (𝑥 = ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) → (𝑥 finSupp 𝑍 ↔ ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) finSupp 𝑍))
3332, 26elrab2 3663 . 2 (((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) ∈ 𝑆 ↔ (((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) ∈ (𝐵m 𝐴) ∧ ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) finSupp 𝑍))
3425, 31, 33sylanbrc 585 1 ((𝜑𝑔𝑇) → ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  {crab 3129  Vcvv 3473   class class class wbr 5042  ccnv 5530  ccom 5535  wf 6327  1-1-ontowf1o 6330  cfv 6331  (class class class)co 7133  m cmap 8384   finSupp cfsupp 8811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-supp 7809  df-1o 8080  df-er 8267  df-map 8386  df-en 8488  df-dom 8489  df-fin 8491  df-fsupp 8812
This theorem is referenced by:  mapfien  8849
  Copyright terms: Public domain W3C validator