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Theorem psrass1lem 21879
Description: A group sum commutation used by psrass1 21911. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2015.) Remove a sethood hypothesis. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumbagdiag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
gsumbagdiag.s 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹}
gsumbagdiag.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
gsumbagdiag.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
gsumbagdiag.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
gsumbagdiag.x ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)})) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
psrass1lem.y (π‘˜ = (𝑛 ∘f βˆ’ 𝑗) β†’ 𝑋 = π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
psrass1lem (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ)))) = (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋)))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐷   𝑦,𝐷   𝑓,𝐹,π‘₯   𝑦,𝐹   𝑓,𝐼   𝑓,𝑋,π‘₯   𝑦,𝑋   𝑓,π‘Œ,π‘₯   𝑦,π‘Œ   𝐡,𝑗,π‘˜   𝐷,𝑗,π‘˜   𝑗,𝐹,π‘˜   𝑗,𝐺,π‘˜   𝑦,𝐼,𝑓   𝑆,𝑗,π‘˜   πœ‘,𝑗,π‘˜   𝑓,𝑗,π‘˜,𝑦   π‘₯,𝑗,π‘˜   𝐷,𝑛,𝑗,π‘˜,π‘₯   π‘₯,𝑓   𝑛,𝐹   𝑛,𝐺   π‘₯,𝐼   𝑆,𝑛   𝑛,𝑋   π‘˜,π‘Œ
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑓,𝑛)   𝐡(π‘₯,𝑦,𝑓,𝑛)   𝐷(𝑓)   𝑆(π‘₯,𝑦,𝑓)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑓)   𝐼(𝑗,π‘˜,𝑛)   𝑋(𝑗,π‘˜)   π‘Œ(𝑗,𝑛)

Proof of Theorem psrass1lem
Dummy variables 𝑧 π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumbagdiag.d . . . 4 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
2 gsumbagdiag.s . . . 4 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹}
3 gsumbagdiag.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
4 gsumbagdiag.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
5 gsumbagdiag.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
61, 2, 3gsumbagdiaglem 21877 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)})) β†’ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}))
7 gsumbagdiag.x . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)})) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
87anassrs 466 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
98fmpttd 7119 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) β†’ (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋):{π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}⟢𝐡)
102ssrab3 4072 . . . . . . . . . . . 12 𝑆 βŠ† 𝐷
111, 2psrbagconcl 21869 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗) ∈ 𝑆)
123, 11sylan 578 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗) ∈ 𝑆)
1310, 12sselid 3970 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗) ∈ 𝐷)
14 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} = {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}
151, 14psrbagconf1o 21872 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗) ∈ 𝐷 β†’ (π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ π‘š)):{π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}–1-1-ontoβ†’{π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)})
1613, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) β†’ (π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ π‘š)):{π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}–1-1-ontoβ†’{π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)})
17 f1of 6833 . . . . . . . . . 10 ((π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ π‘š)):{π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}–1-1-ontoβ†’{π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} β†’ (π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ π‘š)):{π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}⟢{π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)})
1816, 17syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) β†’ (π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ π‘š)):{π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}⟢{π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)})
199, 18fcod 6743 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) β†’ ((π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋) ∘ (π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ π‘š))):{π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}⟢𝐡)
203adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
2120adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
221psrbagf 21853 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0)
2423ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„•0)
25 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ 𝑗 ∈ 𝑆)
2610, 25sselid 3970 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ 𝑗 ∈ 𝐷)
271psrbagf 21853 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ 𝐷 β†’ 𝑗:πΌβŸΆβ„•0)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ 𝑗:πΌβŸΆβ„•0)
2928ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (π‘—β€˜π‘§) ∈ β„•0)
30 ssrab2 4069 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} βŠ† 𝐷
31 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)})
3230, 31sselid 3970 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ π‘š ∈ 𝐷)
331psrbagf 21853 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘š ∈ 𝐷 β†’ π‘š:πΌβŸΆβ„•0)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ π‘š:πΌβŸΆβ„•0)
3534ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (π‘šβ€˜π‘§) ∈ β„•0)
36 nn0cn 12510 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πΉβ€˜π‘§) ∈ β„•0 β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
37 nn0cn 12510 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘—β€˜π‘§) ∈ β„•0 β†’ (π‘—β€˜π‘§) ∈ β„‚)
38 nn0cn 12510 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘šβ€˜π‘§) ∈ β„•0 β†’ (π‘šβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
39 sub32 11522 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ (π‘—β€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ (π‘šβ€˜π‘§) ∈ β„‚) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘—β€˜π‘§)) βˆ’ (π‘šβ€˜π‘§)) = (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘šβ€˜π‘§)) βˆ’ (π‘—β€˜π‘§)))
4036, 37, 38, 39syl3an 1157 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πΉβ€˜π‘§) ∈ β„•0 ∧ (π‘—β€˜π‘§) ∈ β„•0 ∧ (π‘šβ€˜π‘§) ∈ β„•0) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘—β€˜π‘§)) βˆ’ (π‘šβ€˜π‘§)) = (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘šβ€˜π‘§)) βˆ’ (π‘—β€˜π‘§)))
4124, 29, 35, 40syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘—β€˜π‘§)) βˆ’ (π‘šβ€˜π‘§)) = (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘šβ€˜π‘§)) βˆ’ (π‘—β€˜π‘§)))
4241mpteq2dva 5243 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘—β€˜π‘§)) βˆ’ (π‘šβ€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘šβ€˜π‘§)) βˆ’ (π‘—β€˜π‘§))))
4334ffnd 6717 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ π‘š Fn 𝐼)
4431, 43fndmexd 7908 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ 𝐼 ∈ V)
45 ovexd 7450 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘—β€˜π‘§)) ∈ V)
4623feqmptd 6961 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (πΉβ€˜π‘§)))
4728feqmptd 6961 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ 𝑗 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (π‘—β€˜π‘§)))
4844, 24, 29, 46, 47offval2 7701 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘—β€˜π‘§))))
4934feqmptd 6961 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ π‘š = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (π‘šβ€˜π‘§)))
5044, 45, 35, 48, 49offval2 7701 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ π‘š) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘—β€˜π‘§)) βˆ’ (π‘šβ€˜π‘§))))
51 ovexd 7450 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘šβ€˜π‘§)) ∈ V)
5244, 24, 35, 46, 49offval2 7701 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘šβ€˜π‘§))))
5344, 51, 29, 52, 47offval2 7701 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘šβ€˜π‘§)) βˆ’ (π‘—β€˜π‘§))))
5442, 50, 533eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ π‘š) = ((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗))
551, 14psrbagconcl 21869 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗) ∈ 𝐷 ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ π‘š) ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)})
5613, 55sylan 578 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ π‘š) ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)})
5754, 56eqeltrrd 2826 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)})
5854mpteq2dva 5243 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) β†’ (π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ π‘š)) = (π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗)))
59 nfcv 2892 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑛𝑋
60 nfcsb1v 3910 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘˜β¦‹π‘› / π‘˜β¦Œπ‘‹
61 csbeq1a 3899 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑛 β†’ 𝑋 = ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œπ‘‹)
6259, 60, 61cbvmpt 5254 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋) = (𝑛 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œπ‘‹)
6362a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) β†’ (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋) = (𝑛 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œπ‘‹))
64 csbeq1 3888 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = ((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) β†’ ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œπ‘‹ = ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹)
6557, 58, 63, 64fmptco 7133 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) β†’ ((π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋) ∘ (π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ π‘š))) = (π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹))
6665feq1d 6701 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) β†’ (((π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋) ∘ (π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ π‘š))):{π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}⟢𝐡 ↔ (π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹):{π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}⟢𝐡))
6719, 66mpbid 231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) β†’ (π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹):{π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}⟢𝐡)
6867fvmptelcdm 7117 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹ ∈ 𝐡)
6968anasss 465 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)})) β†’ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹ ∈ 𝐡)
706, 69syldan 589 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)})) β†’ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹ ∈ 𝐡)
711, 2, 3, 4, 5, 70gsumbagdiag 21878 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘š ∈ 𝑆, 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹)) = (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ 𝑆, π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹)))
72 eqid 2725 . . . 4 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
731psrbaglefi 21867 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹} ∈ Fin)
743, 73syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹} ∈ Fin)
752, 74eqeltrid 2829 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Fin)
761, 2psrbagconcl 21869 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ π‘š ∈ 𝑆) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∈ 𝑆)
773, 76sylan 578 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑆) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∈ 𝑆)
7810, 77sselid 3970 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑆) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∈ 𝐷)
791psrbaglefi 21867 . . . . 5 ((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∈ 𝐷 β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ∈ Fin)
8078, 79syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑆) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ∈ Fin)
81 xpfi 9339 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ Fin) β†’ (𝑆 Γ— 𝑆) ∈ Fin)
8275, 75, 81syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 Γ— 𝑆) ∈ Fin)
83 simprl 769 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)})) β†’ π‘š ∈ 𝑆)
846simpld 493 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)})) β†’ 𝑗 ∈ 𝑆)
85 brxp 5721 . . . . . . 7 (π‘š(𝑆 Γ— 𝑆)𝑗 ↔ (π‘š ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆))
8683, 84, 85sylanbrc 581 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)})) β†’ π‘š(𝑆 Γ— 𝑆)𝑗)
8786pm2.24d 151 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)})) β†’ (Β¬ π‘š(𝑆 Γ— 𝑆)𝑗 β†’ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹ = (0gβ€˜πΊ)))
8887impr 453 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘š ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)}) ∧ Β¬ π‘š(𝑆 Γ— 𝑆)𝑗)) β†’ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹ = (0gβ€˜πΊ))
894, 72, 5, 75, 80, 70, 82, 88gsum2d2 19931 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘š ∈ 𝑆, 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹)) = (𝐺 Ξ£g (π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹)))))
901psrbaglefi 21867 . . . . 5 ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗) ∈ 𝐷 β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ∈ Fin)
9113, 90syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ∈ Fin)
92 simprl 769 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)})) β†’ 𝑗 ∈ 𝑆)
931, 2, 3gsumbagdiaglem 21877 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)})) β†’ (π‘š ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)}))
9493simpld 493 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)})) β†’ π‘š ∈ 𝑆)
95 brxp 5721 . . . . . . 7 (𝑗(𝑆 Γ— 𝑆)π‘š ↔ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ π‘š ∈ 𝑆))
9692, 94, 95sylanbrc 581 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)})) β†’ 𝑗(𝑆 Γ— 𝑆)π‘š)
9796pm2.24d 151 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)})) β†’ (Β¬ 𝑗(𝑆 Γ— 𝑆)π‘š β†’ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹ = (0gβ€˜πΊ)))
9897impr 453 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝑗 ∈ 𝑆 ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) ∧ Β¬ 𝑗(𝑆 Γ— 𝑆)π‘š)) β†’ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹ = (0gβ€˜πΊ))
994, 72, 5, 75, 91, 69, 82, 98gsum2d2 19931 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ 𝑆, π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹)) = (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹)))))
10071, 89, 993eqtr3d 2773 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹)))) = (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹)))))
1015adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑆) β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
10270anassrs 466 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)}) β†’ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹ ∈ 𝐡)
103102fmpttd 7119 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑆) β†’ (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹):{π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)}⟢𝐡)
104 ovex 7448 . . . . . . . . . . . 12 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
1051, 104rabex2 5331 . . . . . . . . . . 11 𝐷 ∈ V
106105a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑆) β†’ 𝐷 ∈ V)
107 rabexg 5328 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ V β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ∈ V)
108 mptexg 7228 . . . . . . . . . 10 ({π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ∈ V β†’ (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹) ∈ V)
109106, 107, 1083syl 18 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑆) β†’ (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹) ∈ V)
110 funmpt 6585 . . . . . . . . . 10 Fun (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹)
111110a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑆) β†’ Fun (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹))
112 fvexd 6906 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑆) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ V)
113 suppssdm 8178 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹) supp (0gβ€˜πΊ)) βŠ† dom (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹)
114 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹) = (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹)
115114dmmptss 6240 . . . . . . . . . . 11 dom (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹) βŠ† {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)}
116113, 115sstri 3982 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹) supp (0gβ€˜πΊ)) βŠ† {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)}
117116a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑆) β†’ ((𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹) supp (0gβ€˜πΊ)) βŠ† {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)})
118 suppssfifsupp 9401 . . . . . . . . 9 ((((𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹) ∈ V ∧ Fun (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹) ∧ (0gβ€˜πΊ) ∈ V) ∧ ({π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ∈ Fin ∧ ((𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹) supp (0gβ€˜πΊ)) βŠ† {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)})) β†’ (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹) finSupp (0gβ€˜πΊ))
119109, 111, 112, 80, 117, 118syl32anc 1375 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑆) β†’ (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹) finSupp (0gβ€˜πΊ))
1204, 72, 101, 80, 103, 119gsumcl 19872 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑆) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹)) ∈ 𝐡)
121120fmpttd 7119 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹))):π‘†βŸΆπ΅)
1221, 2psrbagconf1o 21872 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ (π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)):𝑆–1-1-onto→𝑆)
1233, 122syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)):𝑆–1-1-onto→𝑆)
124 f1ocnv 6845 . . . . . . 7 ((π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)):𝑆–1-1-onto→𝑆 β†’ β—‘(π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)):𝑆–1-1-onto→𝑆)
125 f1of 6833 . . . . . . 7 (β—‘(π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)):𝑆–1-1-onto→𝑆 β†’ β—‘(π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)):π‘†βŸΆπ‘†)
126123, 124, 1253syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ β—‘(π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)):π‘†βŸΆπ‘†)
127121, 126fcod 6743 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹))) ∘ β—‘(π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š))):π‘†βŸΆπ΅)
128 coass 6264 . . . . . . . 8 (((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))) ∘ (π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š))) ∘ β—‘(π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š))) = ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))) ∘ ((π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)) ∘ β—‘(π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š))))
129 f1ococnv2 6860 . . . . . . . . . 10 ((π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)):𝑆–1-1-onto→𝑆 β†’ ((π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)) ∘ β—‘(π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š))) = ( I β†Ύ 𝑆))
130123, 129syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)) ∘ β—‘(π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š))) = ( I β†Ύ 𝑆))
131130coeq2d 5859 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))) ∘ ((π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)) ∘ β—‘(π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)))) = ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))) ∘ ( I β†Ύ 𝑆)))
132128, 131eqtrid 2777 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))) ∘ (π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š))) ∘ β—‘(π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š))) = ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))) ∘ ( I β†Ύ 𝑆)))
133 eqidd 2726 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)) = (π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)))
134 eqidd 2726 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))) = (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))))
135 breq2 5147 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) β†’ (π‘₯ ∘r ≀ 𝑛 ↔ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)))
136135rabbidv 3427 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} = {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)})
137 ovex 7448 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∘f βˆ’ 𝑗) ∈ V
138 psrass1lem.y . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = (𝑛 ∘f βˆ’ 𝑗) β†’ 𝑋 = π‘Œ)
139137, 138csbie 3921 . . . . . . . . . . . 12 ⦋(𝑛 ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹ = π‘Œ
140 oveq1 7422 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) β†’ (𝑛 ∘f βˆ’ 𝑗) = ((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗))
141140csbeq1d 3889 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) β†’ ⦋(𝑛 ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹ = ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹)
142139, 141eqtr3id 2779 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) β†’ π‘Œ = ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹)
143136, 142mpteq12dv 5234 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) β†’ (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ) = (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹))
144143oveq2d 7431 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ)) = (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹)))
14577, 133, 134, 144fmptco 7133 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))) ∘ (π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š))) = (π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹))))
146145coeq1d 5858 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))) ∘ (π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š))) ∘ β—‘(π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š))) = ((π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹))) ∘ β—‘(π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š))))
147 coires1 6263 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))) ∘ ( I β†Ύ 𝑆)) = ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))) β†Ύ 𝑆)
148 ssid 3995 . . . . . . . . . 10 𝑆 βŠ† 𝑆
149 resmpt 6036 . . . . . . . . . 10 (𝑆 βŠ† 𝑆 β†’ ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))) β†Ύ 𝑆) = (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))))
150148, 149ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))) β†Ύ 𝑆) = (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ)))
151147, 150eqtri 2753 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))) ∘ ( I β†Ύ 𝑆)) = (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ)))
152151a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))) ∘ ( I β†Ύ 𝑆)) = (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))))
153132, 146, 1523eqtr3d 2773 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹))) ∘ β—‘(π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š))) = (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))))
154153feq1d 6701 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹))) ∘ β—‘(π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š))):π‘†βŸΆπ΅ ↔ (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))):π‘†βŸΆπ΅))
155127, 154mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))):π‘†βŸΆπ΅)
156 rabexg 5328 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ V β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹} ∈ V)
157105, 156mp1i 13 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹} ∈ V)
1582, 157eqeltrid 2829 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
159158mptexd 7231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))) ∈ V)
160 funmpt 6585 . . . . . 6 Fun (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ)))
161160a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Fun (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))))
162 fvexd 6906 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ V)
163 suppssdm 8178 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))) supp (0gβ€˜πΊ)) βŠ† dom (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ)))
164 eqid 2725 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))) = (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ)))
165164dmmptss 6240 . . . . . . 7 dom (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))) βŠ† 𝑆
166163, 165sstri 3982 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))) supp (0gβ€˜πΊ)) βŠ† 𝑆
167166a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))) supp (0gβ€˜πΊ)) βŠ† 𝑆)
168 suppssfifsupp 9401 . . . . 5 ((((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))) ∈ V ∧ Fun (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))) ∧ (0gβ€˜πΊ) ∈ V) ∧ (𝑆 ∈ Fin ∧ ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))) supp (0gβ€˜πΊ)) βŠ† 𝑆)) β†’ (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))) finSupp (0gβ€˜πΊ))
169159, 161, 162, 75, 167, 168syl32anc 1375 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))) finSupp (0gβ€˜πΊ))
1704, 72, 5, 75, 155, 169, 123gsumf1o 19873 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ)))) = (𝐺 Ξ£g ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))) ∘ (π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)))))
171145oveq2d 7431 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))) ∘ (π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)))) = (𝐺 Ξ£g (π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹)))))
172170, 171eqtrd 2765 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ)))) = (𝐺 Ξ£g (π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹)))))
1735adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
174105a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) β†’ 𝐷 ∈ V)
175 rabexg 5328 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ V β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ∈ V)
176 mptexg 7228 . . . . . . . 8 ({π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ∈ V β†’ (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋) ∈ V)
177174, 175, 1763syl 18 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) β†’ (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋) ∈ V)
178 funmpt 6585 . . . . . . . 8 Fun (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋)
179178a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) β†’ Fun (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋))
180 fvexd 6906 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ V)
181 suppssdm 8178 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋) supp (0gβ€˜πΊ)) βŠ† dom (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋)
182 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋) = (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋)
183182dmmptss 6240 . . . . . . . . 9 dom (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋) βŠ† {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}
184181, 183sstri 3982 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋) supp (0gβ€˜πΊ)) βŠ† {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}
185184a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) β†’ ((π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋) supp (0gβ€˜πΊ)) βŠ† {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)})
186 suppssfifsupp 9401 . . . . . . 7 ((((π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋) ∈ V ∧ Fun (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋) ∧ (0gβ€˜πΊ) ∈ V) ∧ ({π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ∈ Fin ∧ ((π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋) supp (0gβ€˜πΊ)) βŠ† {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)})) β†’ (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋) finSupp (0gβ€˜πΊ))
187177, 179, 180, 91, 185, 186syl32anc 1375 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) β†’ (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋) finSupp (0gβ€˜πΊ))
1884, 72, 173, 91, 9, 187, 16gsumf1o 19873 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋)) = (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋) ∘ (π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ π‘š)))))
18965oveq2d 7431 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋) ∘ (π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ π‘š)))) = (𝐺 Ξ£g (π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹)))
190188, 189eqtrd 2765 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋)) = (𝐺 Ξ£g (π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹)))
191190mpteq2dva 5243 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋))) = (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹))))
192191oveq2d 7431 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋)))) = (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹)))))
193100, 172, 1923eqtr4d 2775 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ)))) = (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3419  Vcvv 3463  β¦‹csb 3885   βŠ† wss 3940   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226   I cid 5569   Γ— cxp 5670  β—‘ccnv 5671  dom cdm 5672   β†Ύ cres 5674   β€œ cima 5675   ∘ ccom 5676  Fun wfun 6536  βŸΆwf 6538  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415   ∈ cmpo 7417   ∘f cof 7679   ∘r cofr 7680   supp csupp 8161   ↑m cmap 8841  Fincfn 8960   finSupp cfsupp 9383  β„‚cc 11134   ≀ cle 11277   βˆ’ cmin 11472  β„•cn 12240  β„•0cn0 12500  Basecbs 17177  0gc0g 17418   Ξ£g cgsu 17419  CMndccmn 19737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-ofr 7682  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-hash 14320  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-mulg 19026  df-cntz 19270  df-cmn 19739
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