Theorem psrass1lem 19651

Description: A group sum commutation used by psrass1 19679. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagconf1o.1	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹}
gsumbagdiag.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
gsumbagdiag.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
gsumbagdiag.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumbagdiag.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumbagdiag.x	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)})) → 𝑋 ∈ 𝐵)
psrass1lem.y	⊢ (𝑘 = (𝑛 ∘𝑓 − 𝑗) → 𝑋 = 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
psrass1lem	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌)))) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋)))))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑗,𝑘,𝑛,𝑥,𝑦,𝐹   𝑓,𝐺,𝑗,𝑘,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝑉,𝑥,𝑦   𝑓,𝐼,𝑛,𝑥,𝑦   𝜑,𝑗,𝑘   𝑆,𝑗,𝑘,𝑛,𝑥   𝐵,𝑗,𝑘   𝐷,𝑗,𝑘,𝑛,𝑥,𝑦   𝑓,𝑋,𝑛,𝑥,𝑦   𝑓,𝑌,𝑘,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑓,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑓,𝑛)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑦,𝑓)   𝐼(𝑗,𝑘)   𝑉(𝑓,𝑗,𝑘)   𝑋(𝑗,𝑘)   𝑌(𝑗,𝑛)

Proof of Theorem psrass1lem

Dummy variables 𝑚 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbag.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
2		psrbagconf1o.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹}
3		gsumbagdiag.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
4		gsumbagdiag.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
5		gsumbagdiag.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6		gsumbagdiag.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
7	1, 2, 3, 4	gsumbagdiaglem 19649	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)})) → (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}))
8		gsumbagdiag.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)})) → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	8	anassrs 459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	9	fmpttd 6575	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋):{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}⟶𝐵)
11	3	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → 𝐼 ∈ 𝑉)
12		ssrab2 3847	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹} ⊆ 𝐷
13	2, 12	eqsstri 3795	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝐷
14	4	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → 𝐹 ∈ 𝐷)
15		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → 𝑗 ∈ 𝑆)
16	1, 2	psrbagconcl 19647	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∈ 𝑆)
17	11, 14, 15, 16	syl3anc 1490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∈ 𝑆)
18	13, 17	sseldi 3759	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∈ 𝐷)
19		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}
20	1, 19	psrbagconf1o 19648	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∈ 𝐷) → (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑚)):{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}–1-1-onto→{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)})
21	11, 18, 20	syl2anc 579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑚)):{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}–1-1-onto→{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)})
22		f1of 6320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑚)):{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}–1-1-onto→{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} → (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑚)):{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}⟶{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)})
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑚)):{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}⟶{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)})
24		fco 6240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋):{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}⟶𝐵 ∧ (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑚)):{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}⟶{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → ((𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋) ∘ (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑚))):{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}⟶𝐵)
25	10, 23, 24	syl2anc 579	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → ((𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋) ∘ (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑚))):{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}⟶𝐵)
26	11	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → 𝐼 ∈ 𝑉)
27	14	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → 𝐹 ∈ 𝐷)
28	1	psrbagf 19639	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
29	26, 27, 28	syl2anc 579	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
30	29	ffvelrnda 6549	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℕ0)
31	15	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → 𝑗 ∈ 𝑆)
32	13, 31	sseldi 3759	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → 𝑗 ∈ 𝐷)
33	1	psrbagf 19639	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → 𝑗:𝐼⟶ℕ0)
34	26, 32, 33	syl2anc 579	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → 𝑗:𝐼⟶ℕ0)
35	34	ffvelrnda 6549	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝑗‘𝑧) ∈ ℕ0)
36		ssrab2 3847	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ⊆ 𝐷
37		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)})
38	36, 37	sseldi 3759	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → 𝑚 ∈ 𝐷)
39	1	psrbagf 19639	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑚 ∈ 𝐷) → 𝑚:𝐼⟶ℕ0)
40	26, 38, 39	syl2anc 579	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → 𝑚:𝐼⟶ℕ0)
41	40	ffvelrnda 6549	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝑚‘𝑧) ∈ ℕ0)
42		nn0cn 11549	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
43		nn0cn 11549	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑗‘𝑧) ∈ ℕ0 → (𝑗‘𝑧) ∈ ℂ)
44		nn0cn 11549	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚‘𝑧) ∈ ℕ0 → (𝑚‘𝑧) ∈ ℂ)
45		sub32 10569	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝑗‘𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝑚‘𝑧) ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑧) − (𝑗‘𝑧)) − (𝑚‘𝑧)) = (((𝐹‘𝑧) − (𝑚‘𝑧)) − (𝑗‘𝑧)))
46	42, 43, 44, 45	syl3an 1199	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑧) ∈ ℕ0 ∧ (𝑗‘𝑧) ∈ ℕ0 ∧ (𝑚‘𝑧) ∈ ℕ0) → (((𝐹‘𝑧) − (𝑗‘𝑧)) − (𝑚‘𝑧)) = (((𝐹‘𝑧) − (𝑚‘𝑧)) − (𝑗‘𝑧)))
47	30, 35, 41, 46	syl3anc 1490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (((𝐹‘𝑧) − (𝑗‘𝑧)) − (𝑚‘𝑧)) = (((𝐹‘𝑧) − (𝑚‘𝑧)) − (𝑗‘𝑧)))
48	47	mpteq2dva 4903	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝑗‘𝑧)) − (𝑚‘𝑧))) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝑚‘𝑧)) − (𝑗‘𝑧))))
49		ovexd 6876	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑧) − (𝑗‘𝑧)) ∈ V)
50	29	feqmptd 6438	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘𝑧)))
51	34	feqmptd 6438	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → 𝑗 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑗‘𝑧)))
52	26, 30, 35, 50, 51	offval2 7112	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝑗‘𝑧))))
53	40	feqmptd 6438	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → 𝑚 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑚‘𝑧)))
54	26, 49, 41, 52, 53	offval2 7112	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑚) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝑗‘𝑧)) − (𝑚‘𝑧))))
55		ovexd 6876	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑧) − (𝑚‘𝑧)) ∈ V)
56	26, 30, 41, 50, 53	offval2 7112	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝑚‘𝑧))))
57	26, 55, 35, 56, 51	offval2 7112	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝑚‘𝑧)) − (𝑗‘𝑧))))
58	48, 54, 57	3eqtr4d 2809	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑚) = ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗))
59	18	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∈ 𝐷)
60	1, 19	psrbagconcl 19647	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∈ 𝐷 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑚) ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)})
61	26, 59, 37, 60	syl3anc 1490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑚) ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)})
62	58, 61	eqeltrrd 2845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)})
63	58	mpteq2dva 4903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑚)) = (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗)))
64		nfcv 2907	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑛𝑋
65		nfcsb1v 3707	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑛 / 𝑘⦌𝑋
66		csbeq1a 3700	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → 𝑋 = ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝑋)
67	64, 65, 66	cbvmpt 4908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋) = (𝑛 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝑋)
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋) = (𝑛 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝑋))
69		csbeq1 3694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) → ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝑋 = ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)
70	62, 63, 68, 69	fmptco 6587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → ((𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋) ∘ (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑚))) = (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋))
71	70	feq1d 6208	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → (((𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋) ∘ (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑚))):{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}⟶𝐵 ↔ (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋):{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}⟶𝐵))
72	25, 71	mpbid 223	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋):{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}⟶𝐵)
73		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋) = (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)
74	73	fmpt 6570	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋 ∈ 𝐵 ↔ (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋):{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}⟶𝐵)
75	72, 74	sylibr 225	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → ∀𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋 ∈ 𝐵)
76	75	r19.21bi 3079	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋 ∈ 𝐵)
77	76	anasss 458	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)})) → ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋 ∈ 𝐵)
78	7, 77	syldan 585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)})) → ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋 ∈ 𝐵)
79	1, 2, 3, 4, 5, 6, 78	gsumbagdiag 19650	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑆, 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝑆, 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)))
80		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
81	1	psrbaglefi 19646	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹} ∈ Fin)
82	3, 4, 81	syl2anc 579	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹} ∈ Fin)
83	2, 82	syl5eqel 2848	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
84	3	adantr 472	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → 𝐼 ∈ 𝑉)
85	4	adantr 472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → 𝐹 ∈ 𝐷)
86		simpr 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → 𝑚 ∈ 𝑆)
87	1, 2	psrbagconcl 19647	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∈ 𝑆)
88	84, 85, 86, 87	syl3anc 1490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∈ 𝑆)
89	13, 88	sseldi 3759	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∈ 𝐷)
90	1	psrbaglefi 19646	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∈ 𝐷) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ∈ Fin)
91	84, 89, 90	syl2anc 579	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ∈ Fin)
92		xpfi 8438	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (𝑆 × 𝑆) ∈ Fin)
93	83, 83, 92	syl2anc 579	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × 𝑆) ∈ Fin)
94		simprl 787	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)})) → 𝑚 ∈ 𝑆)
95	7	simpld 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)})) → 𝑗 ∈ 𝑆)
96		brxp 5323	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚(𝑆 × 𝑆)𝑗 ↔ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆))
97	94, 95, 96	sylanbrc 578	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)})) → 𝑚(𝑆 × 𝑆)𝑗)
98	97	pm2.24d 148	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)})) → (¬ 𝑚(𝑆 × 𝑆)𝑗 → ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋 = (0g‘𝐺)))
99	98	impr 446	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)}) ∧ ¬ 𝑚(𝑆 × 𝑆)𝑗)) → ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋 = (0g‘𝐺))
100	5, 80, 6, 83, 91, 78, 93, 99	gsum2d2 18639	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑆, 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)))))
101	1	psrbaglefi 19646	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∈ 𝐷) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ∈ Fin)
102	11, 18, 101	syl2anc 579	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ∈ Fin)
103		simprl 787	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)})) → 𝑗 ∈ 𝑆)
104	1, 2, 3, 4	gsumbagdiaglem 19649	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)})) → (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)}))
105	104	simpld 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)})) → 𝑚 ∈ 𝑆)
106		brxp 5323	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗(𝑆 × 𝑆)𝑚 ↔ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ∈ 𝑆))
107	103, 105, 106	sylanbrc 578	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)})) → 𝑗(𝑆 × 𝑆)𝑚)
108	107	pm2.24d 148	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)})) → (¬ 𝑗(𝑆 × 𝑆)𝑚 → ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋 = (0g‘𝐺)))
109	108	impr 446	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) ∧ ¬ 𝑗(𝑆 × 𝑆)𝑚)) → ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋 = (0g‘𝐺))
110	5, 80, 6, 83, 102, 77, 93, 109	gsum2d2 18639	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝑆, 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)))))
111	79, 100, 110	3eqtr3d 2807	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)))) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)))))
112	6	adantr 472	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ CMnd)
113	78	anassrs 459	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)}) → ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋 ∈ 𝐵)
114	113	fmpttd 6575	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋):{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)}⟶𝐵)
115		ovex 6874	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V
116	1, 115	rabex2 4975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 ∈ V
117	116	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → 𝐷 ∈ V)
118		rabexg 4972	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ V → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ∈ V)
119		mptexg 6677	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ∈ V → (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋) ∈ V)
120	117, 118, 119	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋) ∈ V)
121		funmpt 6106	. . . . . . . . . 10 ⊢ Fun (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)
122	121	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → Fun (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋))
123		fvexd 6390	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → (0g‘𝐺) ∈ V)
124		suppssdm 7510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋) supp (0g‘𝐺)) ⊆ dom (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)
125		eqid 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋) = (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)
126	125	dmmptss 5817	. . . . . . . . . . 11 ⊢ dom (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋) ⊆ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)}
127	124, 126	sstri 3770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋) supp (0g‘𝐺)) ⊆ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)}
128	127	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → ((𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋) supp (0g‘𝐺)) ⊆ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)})
129		suppssfifsupp 8497	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋) ∈ V ∧ Fun (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋) ∧ (0g‘𝐺) ∈ V) ∧ ({𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ∈ Fin ∧ ((𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋) supp (0g‘𝐺)) ⊆ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)})) → (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋) finSupp (0g‘𝐺))
130	120, 122, 123, 91, 128, 129	syl32anc 1497	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋) finSupp (0g‘𝐺))
131	5, 80, 112, 91, 114, 130	gsumcl 18582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)) ∈ 𝐵)
132	131	fmpttd 6575	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋))):𝑆⟶𝐵)
133	1, 2	psrbagconf1o 19648	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)):𝑆–1-1-onto→𝑆)
134	3, 4, 133	syl2anc 579	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)):𝑆–1-1-onto→𝑆)
135		f1ocnv 6332	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)):𝑆–1-1-onto→𝑆 → ◡(𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)):𝑆–1-1-onto→𝑆)
136		f1of 6320	. . . . . . 7 ⊢ (◡(𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)):𝑆–1-1-onto→𝑆 → ◡(𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)):𝑆⟶𝑆)
137	134, 135, 136	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ◡(𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)):𝑆⟶𝑆)
138		fco 6240	. . . . . 6 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋))):𝑆⟶𝐵 ∧ ◡(𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)):𝑆⟶𝑆) → ((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋))) ∘ ◡(𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚))):𝑆⟶𝐵)
139	132, 137, 138	syl2anc 579	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋))) ∘ ◡(𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚))):𝑆⟶𝐵)
140		coass 5840	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ∘ (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚))) ∘ ◡(𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚))) = ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ∘ ((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)) ∘ ◡(𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚))))
141		f1ococnv2 6346	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)):𝑆–1-1-onto→𝑆 → ((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)) ∘ ◡(𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚))) = ( I ↾ 𝑆))
142	134, 141	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)) ∘ ◡(𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚))) = ( I ↾ 𝑆))
143	142	coeq2d 5453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ∘ ((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)) ∘ ◡(𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)))) = ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ∘ ( I ↾ 𝑆)))
144	140, 143	syl5eq 2811	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ∘ (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚))) ∘ ◡(𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚))) = ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ∘ ( I ↾ 𝑆)))
145		eqidd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)) = (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)))
146		eqidd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) = (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))))
147		breq2 4813	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) → (𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛 ↔ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)))
148	147	rabbidv 3338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)})
149		ovex 6874	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∘𝑓 − 𝑗) ∈ V
150		psrass1lem.y	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = (𝑛 ∘𝑓 − 𝑗) → 𝑋 = 𝑌)
151	149, 150	csbie 3717	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⦋(𝑛 ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋 = 𝑌
152		oveq1 6849	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) → (𝑛 ∘𝑓 − 𝑗) = ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗))
153	152	csbeq1d 3698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) → ⦋(𝑛 ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋 = ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)
154	151, 153	syl5eqr 2813	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) → 𝑌 = ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)
155	148, 154	mpteq12dv 4892	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) → (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌) = (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋))
156	155	oveq2d 6858	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌)) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)))
157	88, 145, 146, 156	fmptco 6587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ∘ (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚))) = (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋))))
158	157	coeq1d 5452	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ∘ (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚))) ∘ ◡(𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚))) = ((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋))) ∘ ◡(𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚))))
159		coires1 5839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ∘ ( I ↾ 𝑆)) = ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ↾ 𝑆)
160		ssid 3783	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝑆
161		resmpt 5626	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝑆 → ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ↾ 𝑆) = (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))))
162	160, 161	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ↾ 𝑆) = (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌)))
163	159, 162	eqtri 2787	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ∘ ( I ↾ 𝑆)) = (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌)))
164	163	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ∘ ( I ↾ 𝑆)) = (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))))
165	144, 158, 164	3eqtr3d 2807	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋))) ∘ ◡(𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚))) = (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))))
166	165	feq1d 6208	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋))) ∘ ◡(𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚))):𝑆⟶𝐵 ↔ (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))):𝑆⟶𝐵))
167	139, 166	mpbid 223	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))):𝑆⟶𝐵)
168		rabexg 4972	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ V → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹} ∈ V)
169	116, 168	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹} ∈ V)
170	2, 169	syl5eqel 2848	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
171		mptexg 6677	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ V → (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ∈ V)
172	170, 171	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ∈ V)
173		funmpt 6106	. . . . . 6 ⊢ Fun (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌)))
174	173	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))))
175		fvexd 6390	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ V)
176		suppssdm 7510	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) supp (0g‘𝐺)) ⊆ dom (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌)))
177		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) = (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌)))
178	177	dmmptss 5817	. . . . . . 7 ⊢ dom (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ⊆ 𝑆
179	176, 178	sstri 3770	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) supp (0g‘𝐺)) ⊆ 𝑆
180	179	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) supp (0g‘𝐺)) ⊆ 𝑆)
181		suppssfifsupp 8497	. . . . 5 ⊢ ((((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ∈ V ∧ Fun (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ∧ (0g‘𝐺) ∈ V) ∧ (𝑆 ∈ Fin ∧ ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) supp (0g‘𝐺)) ⊆ 𝑆)) → (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) finSupp (0g‘𝐺))
182	172, 174, 175, 83, 180, 181	syl32anc 1497	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) finSupp (0g‘𝐺))
183	5, 80, 6, 83, 167, 182, 134	gsumf1o 18583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌)))) = (𝐺 Σg ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ∘ (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)))))
184	157	oveq2d 6858	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ∘ (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)))) = (𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)))))
185	183, 184	eqtrd 2799	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌)))) = (𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)))))
186	6	adantr 472	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ CMnd)
187	116	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → 𝐷 ∈ V)
188		rabexg 4972	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ V → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ∈ V)
189		mptexg 6677	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ∈ V → (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋) ∈ V)
190	187, 188, 189	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋) ∈ V)
191		funmpt 6106	. . . . . . . 8 ⊢ Fun (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋)
192	191	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → Fun (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋))
193		fvexd 6390	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → (0g‘𝐺) ∈ V)
194		suppssdm 7510	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋) supp (0g‘𝐺)) ⊆ dom (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋)
195		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋) = (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋)
196	195	dmmptss 5817	. . . . . . . . 9 ⊢ dom (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋) ⊆ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}
197	194, 196	sstri 3770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋) supp (0g‘𝐺)) ⊆ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}
198	197	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → ((𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋) supp (0g‘𝐺)) ⊆ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)})
199		suppssfifsupp 8497	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋) ∈ V ∧ Fun (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋) ∧ (0g‘𝐺) ∈ V) ∧ ({𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ∈ Fin ∧ ((𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋) supp (0g‘𝐺)) ⊆ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)})) → (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋) finSupp (0g‘𝐺))
200	190, 192, 193, 102, 198, 199	syl32anc 1497	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋) finSupp (0g‘𝐺))
201	5, 80, 186, 102, 10, 200, 21	gsumf1o 18583	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋)) = (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋) ∘ (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑚)))))
202	70	oveq2d 6858	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋) ∘ (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑚)))) = (𝐺 Σg (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)))
203	201, 202	eqtrd 2799	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)))
204	203	mpteq2dva 4903	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋))) = (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋))))
205	204	oveq2d 6858	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋)))) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)))))
206	111, 185, 205	3eqtr4d 2809	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌)))) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1652   ∈ wcel 2155  ∀wral 3055  {crab 3059  Vcvv 3350  ⦋csb 3691   ⊆ wss 3732   class class class wbr 4809   ↦ cmpt 4888   I cid 5184   × cxp 5275  ^◡ccnv 5276  dom cdm 5277   ↾ cres 5279   “ cima 5280   ∘ ccom 5281  Fun wfun 6062  ⟶wf 6064  –1-1-onto→wf1o 6067  ‘cfv 6068  (class class class)co 6842   ↦ cmpt2 6844   ∘_𝑓 cof 7093   ∘_𝑟 cofr 7094   supp csupp 7497   ↑_𝑚 cmap 8060  Fincfn 8160   finSupp cfsupp 8482  ℂcc 10187   ≤ cle 10329   − cmin 10520  ℕcn 11274  ℕ₀cn0 11538  Basecbs 16130  0_gc0g 16366   Σ_g cgsu 16367  CMndccmn 18459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-ofr 7096  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-oi 8622  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-0g 16368  df-gsum 16369  df-mre 16512  df-mrc 16513  df-acs 16515  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-submnd 17602  df-mulg 17808  df-cntz 18013  df-cmn 18461

This theorem is referenced by:  psrass1  19679