MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suppcoss Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem suppcoss 8194
Description: The support of the composition of two functions is a subset of the support of the inner function if the outer function preserves zero. Compare suppssfv 8189, which has a sethood condition on 𝐴 instead of 𝐡. (Contributed by SN, 25-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
suppcoss.f (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
suppcoss.g (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐡⟢𝐴)
suppcoss.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ π‘Š)
suppcoss.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
suppcoss.1 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) = 𝑍)
Assertion
Ref Expression
suppcoss (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺) supp 𝑍) βŠ† (𝐺 supp π‘Œ))
Proof of Theorem suppcoss
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suppcoss.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
2 dffn3 6729 . . . 4 (𝐹 Fn 𝐴 ↔ 𝐹:𝐴⟢ran 𝐹)
31, 2sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢ran 𝐹)
4 suppcoss.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐡⟢𝐴)
53, 4fcod 6742 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝐺):𝐡⟢ran 𝐹)
6 eldif 3957 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– (𝐺 supp π‘Œ)) ↔ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘˜ ∈ (𝐺 supp π‘Œ)))
74ffnd 6717 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn 𝐡)
8 suppcoss.b . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ π‘Š)
9 suppcoss.y . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
10 elsuppfn 8158 . . . . . . . . 9 ((𝐺 Fn 𝐡 ∧ 𝐡 ∈ π‘Š ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐺 supp π‘Œ) ↔ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) β‰  π‘Œ)))
117, 8, 9, 10syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (𝐺 supp π‘Œ) ↔ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) β‰  π‘Œ)))
1211notbid 317 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ (𝐺 supp π‘Œ) ↔ Β¬ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) β‰  π‘Œ)))
1312anbi2d 627 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘˜ ∈ (𝐺 supp π‘Œ)) ↔ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) β‰  π‘Œ))))
14 annotanannot 831 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) β‰  π‘Œ)) ↔ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘˜) β‰  π‘Œ))
1513, 14bitrdi 286 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘˜ ∈ (𝐺 supp π‘Œ)) ↔ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘˜) β‰  π‘Œ)))
166, 15bitrid 282 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– (𝐺 supp π‘Œ)) ↔ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘˜) β‰  π‘Œ)))
17 nne 2942 . . . . . 6 (Β¬ (πΊβ€˜π‘˜) β‰  π‘Œ ↔ (πΊβ€˜π‘˜) = π‘Œ)
1817anbi2i 621 . . . . 5 ((π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘˜) β‰  π‘Œ) ↔ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) = π‘Œ))
194adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) = π‘Œ)) β†’ 𝐺:𝐡⟢𝐴)
20 simprl 767 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) = π‘Œ)) β†’ π‘˜ ∈ 𝐡)
2119, 20fvco3d 6990 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) = π‘Œ)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘˜)))
22 simprr 769 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) = π‘Œ)) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = π‘Œ)
2322fveq2d 6894 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) = π‘Œ)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘˜)) = (πΉβ€˜π‘Œ))
24 suppcoss.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) = 𝑍)
2524adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) = π‘Œ)) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) = 𝑍)
2621, 23, 253eqtrd 2774 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) = π‘Œ)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘˜) = 𝑍)
2726ex 411 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) = π‘Œ) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘˜) = 𝑍))
2818, 27biimtrid 241 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘˜) β‰  π‘Œ) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘˜) = 𝑍))
2916, 28sylbid 239 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– (𝐺 supp π‘Œ)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘˜) = 𝑍))
3029imp 405 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– (𝐺 supp π‘Œ))) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘˜) = 𝑍)
315, 30suppss 8181 1 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺) supp 𝑍) βŠ† (𝐺 supp π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  ran crn 5676   ∘ ccom 5679   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   supp csupp 8148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-supp 8149
This theorem is referenced by:  mplsubglem  21777  mhpinvcl  21914
  Copyright terms: Public domain W3C validator