MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suppcoss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suppcoss 8142
Description: The support of the composition of two functions is a subset of the support of the inner function if the outer function preserves zero. Compare suppssfv 8137, which has a sethood condition on 𝐴 instead of 𝐡. (Contributed by SN, 25-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
suppcoss.f (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
suppcoss.g (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐡⟢𝐴)
suppcoss.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ π‘Š)
suppcoss.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
suppcoss.1 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) = 𝑍)
Assertion
Ref Expression
suppcoss (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺) supp 𝑍) βŠ† (𝐺 supp π‘Œ))

Proof of Theorem suppcoss
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suppcoss.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
2 dffn3 6685 . . . 4 (𝐹 Fn 𝐴 ↔ 𝐹:𝐴⟢ran 𝐹)
31, 2sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢ran 𝐹)
4 suppcoss.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐡⟢𝐴)
53, 4fcod 6698 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝐺):𝐡⟢ran 𝐹)
6 eldif 3924 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– (𝐺 supp π‘Œ)) ↔ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘˜ ∈ (𝐺 supp π‘Œ)))
74ffnd 6673 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn 𝐡)
8 suppcoss.b . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ π‘Š)
9 suppcoss.y . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
10 elsuppfn 8106 . . . . . . . . 9 ((𝐺 Fn 𝐡 ∧ 𝐡 ∈ π‘Š ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐺 supp π‘Œ) ↔ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) β‰  π‘Œ)))
117, 8, 9, 10syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (𝐺 supp π‘Œ) ↔ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) β‰  π‘Œ)))
1211notbid 318 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ (𝐺 supp π‘Œ) ↔ Β¬ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) β‰  π‘Œ)))
1312anbi2d 630 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘˜ ∈ (𝐺 supp π‘Œ)) ↔ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) β‰  π‘Œ))))
14 annotanannot 834 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) β‰  π‘Œ)) ↔ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘˜) β‰  π‘Œ))
1513, 14bitrdi 287 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘˜ ∈ (𝐺 supp π‘Œ)) ↔ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘˜) β‰  π‘Œ)))
166, 15bitrid 283 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– (𝐺 supp π‘Œ)) ↔ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘˜) β‰  π‘Œ)))
17 nne 2944 . . . . . 6 (Β¬ (πΊβ€˜π‘˜) β‰  π‘Œ ↔ (πΊβ€˜π‘˜) = π‘Œ)
1817anbi2i 624 . . . . 5 ((π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘˜) β‰  π‘Œ) ↔ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) = π‘Œ))
194adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) = π‘Œ)) β†’ 𝐺:𝐡⟢𝐴)
20 simprl 770 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) = π‘Œ)) β†’ π‘˜ ∈ 𝐡)
2119, 20fvco3d 6945 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) = π‘Œ)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘˜)))
22 simprr 772 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) = π‘Œ)) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = π‘Œ)
2322fveq2d 6850 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) = π‘Œ)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘˜)) = (πΉβ€˜π‘Œ))
24 suppcoss.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) = 𝑍)
2524adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) = π‘Œ)) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) = 𝑍)
2621, 23, 253eqtrd 2777 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) = π‘Œ)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘˜) = 𝑍)
2726ex 414 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) = π‘Œ) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘˜) = 𝑍))
2818, 27biimtrid 241 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘˜) β‰  π‘Œ) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘˜) = 𝑍))
2916, 28sylbid 239 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– (𝐺 supp π‘Œ)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘˜) = 𝑍))
3029imp 408 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– (𝐺 supp π‘Œ))) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘˜) = 𝑍)
315, 30suppss 8129 1 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺) supp 𝑍) βŠ† (𝐺 supp π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   βˆ– cdif 3911   βŠ† wss 3914  ran crn 5638   ∘ ccom 5641   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   supp csupp 8096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-supp 8097
This theorem is referenced by:  mplsubglem  21428  mhpinvcl  21565
  Copyright terms: Public domain W3C validator