MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suppcoss Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem suppcoss 8195
Description: The support of the composition of two functions is a subset of the support of the inner function if the outer function preserves zero. Compare suppssfv 8190, which has a sethood condition on 𝐴 instead of 𝐡. (Contributed by SN, 25-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
suppcoss.f (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
suppcoss.g (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐡⟢𝐴)
suppcoss.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ π‘Š)
suppcoss.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
suppcoss.1 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) = 𝑍)
Assertion
Ref Expression
suppcoss (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺) supp 𝑍) βŠ† (𝐺 supp π‘Œ))
Proof of Theorem suppcoss
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suppcoss.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
2 dffn3 6731 . . . 4 (𝐹 Fn 𝐴 ↔ 𝐹:𝐴⟢ran 𝐹)
31, 2sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢ran 𝐹)
4 suppcoss.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐡⟢𝐴)
53, 4fcod 6744 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝐺):𝐡⟢ran 𝐹)
6 eldif 3959 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– (𝐺 supp π‘Œ)) ↔ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘˜ ∈ (𝐺 supp π‘Œ)))
74ffnd 6719 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn 𝐡)
8 suppcoss.b . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ π‘Š)
9 suppcoss.y . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
10 elsuppfn 8159 . . . . . . . . 9 ((𝐺 Fn 𝐡 ∧ 𝐡 ∈ π‘Š ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐺 supp π‘Œ) ↔ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) β‰  π‘Œ)))
117, 8, 9, 10syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (𝐺 supp π‘Œ) ↔ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) β‰  π‘Œ)))
1211notbid 317 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ (𝐺 supp π‘Œ) ↔ Β¬ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) β‰  π‘Œ)))
1312anbi2d 628 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘˜ ∈ (𝐺 supp π‘Œ)) ↔ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) β‰  π‘Œ))))
14 annotanannot 832 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) β‰  π‘Œ)) ↔ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘˜) β‰  π‘Œ))
1513, 14bitrdi 286 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘˜ ∈ (𝐺 supp π‘Œ)) ↔ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘˜) β‰  π‘Œ)))
166, 15bitrid 282 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– (𝐺 supp π‘Œ)) ↔ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘˜) β‰  π‘Œ)))
17 nne 2943 . . . . . 6 (Β¬ (πΊβ€˜π‘˜) β‰  π‘Œ ↔ (πΊβ€˜π‘˜) = π‘Œ)
1817anbi2i 622 . . . . 5 ((π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘˜) β‰  π‘Œ) ↔ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) = π‘Œ))
194adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) = π‘Œ)) β†’ 𝐺:𝐡⟢𝐴)
20 simprl 768 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) = π‘Œ)) β†’ π‘˜ ∈ 𝐡)
2119, 20fvco3d 6992 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) = π‘Œ)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘˜)))
22 simprr 770 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) = π‘Œ)) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = π‘Œ)
2322fveq2d 6896 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) = π‘Œ)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘˜)) = (πΉβ€˜π‘Œ))
24 suppcoss.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) = 𝑍)
2524adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) = π‘Œ)) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) = 𝑍)
2621, 23, 253eqtrd 2775 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) = π‘Œ)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘˜) = 𝑍)
2726ex 412 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) = π‘Œ) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘˜) = 𝑍))
2818, 27biimtrid 241 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘˜) β‰  π‘Œ) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘˜) = 𝑍))
2916, 28sylbid 239 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– (𝐺 supp π‘Œ)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘˜) = 𝑍))
3029imp 406 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– (𝐺 supp π‘Œ))) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘˜) = 𝑍)
315, 30suppss 8182 1 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺) supp 𝑍) βŠ† (𝐺 supp π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  ran crn 5678   ∘ ccom 5681   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412   supp csupp 8149
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7728
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-supp 8150
This theorem is referenced by:  mplsubglem  21778  mhpinvcl  21915
  Copyright terms: Public domain W3C validator