Theorem fmptd2f 44235

Description: Domain and codomain of the mapping operation; deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmptd2f.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
fmptd2f.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fmptd2f	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem fmptd2f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmptd2f.1	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		fmptd2f.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)
3		eqid 2730	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4	1, 2, 3	fmptdf 7117	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2104   ↦ cmpt 5230  ⟶wf 6538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546

This theorem is referenced by:  climinf2mpt  44728  climinfmpt  44729  limsupvaluzmpt  44731  limsupre2mpt  44744  limsupre3mpt  44748  limsupreuzmpt  44753  supcnvlimsupmpt  44755  liminfvalxrmpt  44800  liminflbuz2  44829  sge0z  45389  smfsupmpt  45829  smflimsupmpt  45843  smfliminfmpt  45846  smfsupdmmbllem  45858  smfinfdmmbllem  45862