Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climinf2mpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climinf2mpt 40864
Description: A bounded below, monotonic nonincreasing sequence converges to the infimum of its range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climinf2mpt.p 𝑘𝜑
climinf2mpt.j 𝑗𝜑
climinf2mpt.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climinf2mpt.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climinf2mpt.b ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
climinf2mpt.c (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝐶)
climinf2mpt.l ((𝜑𝑘𝑍𝑗 = (𝑘 + 1)) → 𝐶𝐵)
climinf2mpt.e (𝜑 → (𝑘𝑍𝐵) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
climinf2mpt (𝜑 → (𝑘𝑍𝐵) ⇝ inf(ran (𝑘𝑍𝐵), ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑗   𝐶,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑗)   𝑀(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem climinf2mpt
Dummy variables 𝑖 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1957 . 2 𝑖𝜑
2 nfcv 2934 . 2 𝑖(𝑘𝑍𝐵)
3 climinf2mpt.z . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
4 climinf2mpt.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
5 climinf2mpt.p . . 3 𝑘𝜑
6 climinf2mpt.b . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
75, 6fmptd2f 40368 . 2 (𝜑 → (𝑘𝑍𝐵):𝑍⟶ℝ)
8 nfv 1957 . . . . . . 7 𝑘 𝑖𝑍
95, 8nfan 1946 . . . . . 6 𝑘(𝜑𝑖𝑍)
10 nfv 1957 . . . . . 6 𝑘(𝑖 + 1) / 𝑗𝐶𝑖 / 𝑗𝐶
119, 10nfim 1943 . . . . 5 𝑘((𝜑𝑖𝑍) → (𝑖 + 1) / 𝑗𝐶𝑖 / 𝑗𝐶)
12 eleq1 2847 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘𝑍𝑖𝑍))
1312anbi2d 622 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑖 → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑𝑖𝑍)))
14 oveq1 6931 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 + 1) = (𝑖 + 1))
1514csbeq1d 3758 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖(𝑘 + 1) / 𝑗𝐶 = (𝑖 + 1) / 𝑗𝐶)
16 eqidd 2779 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖𝐵 = 𝐵)
17 csbco 3761 . . . . . . . . . . 11 𝑘 / 𝑗𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑘 / 𝑘𝐵
18 csbid 3759 . . . . . . . . . . 11 𝑘 / 𝑘𝐵 = 𝐵
1917, 18eqtr2i 2803 . . . . . . . . . 10 𝐵 = 𝑘 / 𝑗𝑗 / 𝑘𝐵
20 nfcv 2934 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗𝐵
21 nfcv 2934 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝐶
22 climinf2mpt.c . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝐶)
2320, 21, 22cbvcsb 3756 . . . . . . . . . . . 12 𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑗𝐶
24 csbid 3759 . . . . . . . . . . . 12 𝑗 / 𝑗𝐶 = 𝐶
2523, 24eqtri 2802 . . . . . . . . . . 11 𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝐶
2625csbeq2i 4218 . . . . . . . . . 10 𝑘 / 𝑗𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑘 / 𝑗𝐶
2719, 26eqtri 2802 . . . . . . . . 9 𝐵 = 𝑘 / 𝑗𝐶
2827a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖𝐵 = 𝑘 / 𝑗𝐶)
29 csbeq1 3754 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖𝑘 / 𝑗𝐶 = 𝑖 / 𝑗𝐶)
3016, 28, 293eqtrd 2818 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖𝐵 = 𝑖 / 𝑗𝐶)
3115, 30breq12d 4901 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘 + 1) / 𝑗𝐶𝐵(𝑖 + 1) / 𝑗𝐶𝑖 / 𝑗𝐶))
3213, 31imbi12d 336 . . . . 5 (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑𝑘𝑍) → (𝑘 + 1) / 𝑗𝐶𝐵) ↔ ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑖 + 1) / 𝑗𝐶𝑖 / 𝑗𝐶)))
33 simpl 476 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝜑)
34 simpr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝑍)
35 eqidd 2779 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1))
36 climinf2mpt.j . . . . . . . . 9 𝑗𝜑
37 nfv 1957 . . . . . . . . 9 𝑗 𝑘𝑍
38 nfv 1957 . . . . . . . . 9 𝑗(𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)
3936, 37, 38nf3an 1948 . . . . . . . 8 𝑗(𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1))
40 nfcsb1v 3767 . . . . . . . . 9 𝑗(𝑘 + 1) / 𝑗𝐶
41 nfcv 2934 . . . . . . . . 9 𝑗
4240, 41, 20nfbr 4935 . . . . . . . 8 𝑗(𝑘 + 1) / 𝑗𝐶𝐵
4339, 42nfim 1943 . . . . . . 7 𝑗((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)) → (𝑘 + 1) / 𝑗𝐶𝐵)
44 ovex 6956 . . . . . . 7 (𝑘 + 1) ∈ V
45 eqeq1 2782 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 = (𝑘 + 1) ↔ (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)))
46453anbi3d 1515 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝜑𝑘𝑍𝑗 = (𝑘 + 1)) ↔ (𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1))))
47 csbeq1a 3760 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑘 + 1) → 𝐶 = (𝑘 + 1) / 𝑗𝐶)
4847breq1d 4898 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐶𝐵(𝑘 + 1) / 𝑗𝐶𝐵))
4946, 48imbi12d 336 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝜑𝑘𝑍𝑗 = (𝑘 + 1)) → 𝐶𝐵) ↔ ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)) → (𝑘 + 1) / 𝑗𝐶𝐵)))
50 climinf2mpt.l . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍𝑗 = (𝑘 + 1)) → 𝐶𝐵)
5143, 44, 49, 50vtoclf 3459 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)) → (𝑘 + 1) / 𝑗𝐶𝐵)
5233, 34, 35, 51syl3anc 1439 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑘 + 1) / 𝑗𝐶𝐵)
5311, 32, 52chvar 2360 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑖 + 1) / 𝑗𝐶𝑖 / 𝑗𝐶)
54 csbco 3761 . . . . . . . 8 (𝑖 + 1) / 𝑗𝑗 / 𝑘𝐵 = (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵
5554eqcomi 2787 . . . . . . 7 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 = (𝑖 + 1) / 𝑗𝑗 / 𝑘𝐵
5625csbeq2i 4218 . . . . . . 7 (𝑖 + 1) / 𝑗𝑗 / 𝑘𝐵 = (𝑖 + 1) / 𝑗𝐶
5755, 56eqtri 2802 . . . . . 6 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 = (𝑖 + 1) / 𝑗𝐶
5857a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 = (𝑖 + 1) / 𝑗𝐶)
59 eqidd 2779 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑍) → 𝑖 / 𝑗𝐶 = 𝑖 / 𝑗𝐶)
6058, 59breq12d 4901 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑍) → ((𝑖 + 1) / 𝑘𝐵𝑖 / 𝑗𝐶(𝑖 + 1) / 𝑗𝐶𝑖 / 𝑗𝐶))
6153, 60mpbird 249 . . 3 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵𝑖 / 𝑗𝐶)
623peano2uzs 12052 . . . . . 6 (𝑖𝑍 → (𝑖 + 1) ∈ 𝑍)
6362adantl 475 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑖 + 1) ∈ 𝑍)
64 nfv 1957 . . . . . . . . 9 𝑘(𝑖 + 1) ∈ 𝑍
655, 64nfan 1946 . . . . . . . 8 𝑘(𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍)
66 nfcv 2934 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝑖 + 1)
6766nfcsb1 3766 . . . . . . . . 9 𝑘(𝑖 + 1) / 𝑘𝐵
6867nfel1 2948 . . . . . . . 8 𝑘(𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 ∈ ℝ
6965, 68nfim 1943 . . . . . . 7 𝑘((𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
70 ovex 6956 . . . . . . 7 (𝑖 + 1) ∈ V
71 eleq1 2847 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑖 + 1) → (𝑘𝑍 ↔ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍))
7271anbi2d 622 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑖 + 1) → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍)))
73 csbeq1a 3760 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑖 + 1) → 𝐵 = (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵)
7473eleq1d 2844 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑖 + 1) → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 ∈ ℝ))
7572, 74imbi12d 336 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑖 + 1) → (((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)))
7669, 70, 75, 6vtoclf 3459 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
7762, 76sylan2 586 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
78 eqid 2778 . . . . . 6 (𝑘𝑍𝐵) = (𝑘𝑍𝐵)
7966, 67, 73, 78fvmptf 6564 . . . . 5 (((𝑖 + 1) ∈ 𝑍(𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑘𝑍𝐵)‘(𝑖 + 1)) = (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵)
8063, 77, 79syl2anc 579 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘(𝑖 + 1)) = (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵)
81 simpr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑍) → 𝑖𝑍)
82 nfv 1957 . . . . . . . 8 𝑗 𝑖𝑍
8336, 82nfan 1946 . . . . . . 7 𝑗(𝜑𝑖𝑍)
84 nfcsb1v 3767 . . . . . . . 8 𝑗𝑖 / 𝑗𝐶
85 nfcv 2934 . . . . . . . 8 𝑗
8684, 85nfel 2946 . . . . . . 7 𝑗𝑖 / 𝑗𝐶 ∈ ℝ
8783, 86nfim 1943 . . . . . 6 𝑗((𝜑𝑖𝑍) → 𝑖 / 𝑗𝐶 ∈ ℝ)
88 eleq1 2847 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑖 → (𝑗𝑍𝑖𝑍))
8988anbi2d 622 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑖 → ((𝜑𝑗𝑍) ↔ (𝜑𝑖𝑍)))
90 csbeq1a 3760 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑖𝐶 = 𝑖 / 𝑗𝐶)
9190eleq1d 2844 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑖 → (𝐶 ∈ ℝ ↔ 𝑖 / 𝑗𝐶 ∈ ℝ))
9289, 91imbi12d 336 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑖 → (((𝜑𝑗𝑍) → 𝐶 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑖𝑍) → 𝑖 / 𝑗𝐶 ∈ ℝ)))
93 nfv 1957 . . . . . . . . 9 𝑘 𝑗𝑍
945, 93nfan 1946 . . . . . . . 8 𝑘(𝜑𝑗𝑍)
95 nfv 1957 . . . . . . . 8 𝑘 𝐶 ∈ ℝ
9694, 95nfim 1943 . . . . . . 7 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → 𝐶 ∈ ℝ)
97 eleq1 2847 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑍𝑗𝑍))
9897anbi2d 622 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑𝑗𝑍)))
9922eleq1d 2844 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝐶 ∈ ℝ))
10098, 99imbi12d 336 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → 𝐶 ∈ ℝ)))
10196, 100, 6chvar 2360 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝐶 ∈ ℝ)
10287, 92, 101chvar 2360 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑍) → 𝑖 / 𝑗𝐶 ∈ ℝ)
103 nfcv 2934 . . . . . 6 𝑘𝑖
104 nfcv 2934 . . . . . 6 𝑘𝑖 / 𝑗𝐶
105103, 104, 30, 78fvmptf 6564 . . . . 5 ((𝑖𝑍𝑖 / 𝑗𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖) = 𝑖 / 𝑗𝐶)
10681, 102, 105syl2anc 579 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖) = 𝑖 / 𝑗𝐶)
10780, 106breq12d 4901 . . 3 ((𝜑𝑖𝑍) → (((𝑘𝑍𝐵)‘(𝑖 + 1)) ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖) ↔ (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵𝑖 / 𝑗𝐶))
10861, 107mpbird 249 . 2 ((𝜑𝑖𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘(𝑖 + 1)) ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖))
109 climinf2mpt.e . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝑍𝐵) ∈ dom ⇝ )
110106, 102eqeltrd 2859 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖) ∈ ℝ)
111110recnd 10407 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖) ∈ ℂ)
112111ralrimiva 3148 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑖𝑍 ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖) ∈ ℂ)
1132, 3climbddf 40837 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑘𝑍𝐵) ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑖𝑍 ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖) ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍 (abs‘((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖)) ≤ 𝑥)
1144, 109, 112, 113syl3anc 1439 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍 (abs‘((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖)) ≤ 𝑥)
1151, 110rexabsle2 40570 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍 (abs‘((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖)) ≤ 𝑥 ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍 ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖) ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍 𝑥 ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖))))
116114, 115mpbid 224 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍 ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖) ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍 𝑥 ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖)))
117116simprd 491 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍 𝑥 ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖))
1181, 2, 3, 4, 7, 108, 117climinf2 40857 1 (𝜑 → (𝑘𝑍𝐵) ⇝ inf(ran (𝑘𝑍𝐵), ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wnf 1827  wcel 2107  wral 3090  wrex 3091  csb 3751   class class class wbr 4888  cmpt 4967  dom cdm 5357  ran crn 5358  cfv 6137  (class class class)co 6924  infcinf 8637  cc 10272  cr 10273  1c1 10275   + caddc 10277  *cxr 10412   < clt 10413  cle 10414  cz 11732  cuz 11996  abscabs 14385  cli 14627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-sup 8638  df-inf 8639  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11035  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-n0 11647  df-z 11733  df-uz 11997  df-rp 12142  df-fz 12648  df-seq 13124  df-exp 13183  df-cj 14250  df-re 14251  df-im 14252  df-sqrt 14386  df-abs 14387  df-clim 14631
This theorem is referenced by:  smflimsuplem4  41966
  Copyright terms: Public domain W3C validator