Theorem climinf2mpt 46461

Description: A bounded below, monotonic nonincreasing sequence converges to the infimum of its range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climinf2mpt.p	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
climinf2mpt.j	⊢ Ⅎ𝑗𝜑
climinf2mpt.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climinf2mpt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climinf2mpt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
climinf2mpt.c	⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = 𝐶)
climinf2mpt.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 = (𝑘 + 1)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
climinf2mpt.e	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
climinf2mpt	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ⇝ inf(ran (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵), ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑗   𝐶,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗, 𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑗)   𝑀(𝑗, 𝑘)

Proof of Theorem climinf2mpt

Dummy variables 𝑖 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1947	. 2 ⊢ Ⅎ𝑖𝜑
2		nfcv 2927	. 2 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)
3		climinf2mpt.z	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		climinf2mpt.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		climinf2mpt.p	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
6		climinf2mpt.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
7	5, 6	fmptd2f 45983	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵):𝑍⟶ℝ)
8		nfv 1947	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑖 ∈ 𝑍
9	5, 8	nfan 1932	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍)
10		nfv 1947	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘⦋(𝑖 + 1) / 𝑗⦌𝐶 ≤ ⦋𝑖 / 𝑗⦌𝐶
11	9, 10	nfim 1929	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑗⦌𝐶 ≤ ⦋𝑖 / 𝑗⦌𝐶)
12		eleq1 2853	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑖 ∈ 𝑍))
13	12	anbi2d 642	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ↔ (𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍)))
14		oveq1 7423	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 + 1) = (𝑖 + 1))
15	14	csbeq1d 3858	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ⦋(𝑘 + 1) / 𝑗⦌𝐶 = ⦋(𝑖 + 1) / 𝑗⦌𝐶)
16		eqidd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → 𝐵 = 𝐵)
17		csbcow 3869	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⦋𝑘 / 𝑗⦌⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑘 / 𝑘⦌𝐵
18		csbid 3867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⦋𝑘 / 𝑘⦌𝐵 = 𝐵
19	17, 18	eqtr2i 2789	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = ⦋𝑘 / 𝑗⦌⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
20		nfcv 2927	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑗𝐵
21		nfcv 2927	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘𝐶
22		climinf2mpt.c	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = 𝐶)
23	20, 21, 22	cbvcsbw 3864	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑗⦌𝐶
24		csbid 3867	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⦋𝑗 / 𝑗⦌𝐶 = 𝐶
25	23, 24	eqtri 2788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 𝐶
26	25	csbeq2i 3862	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⦋𝑘 / 𝑗⦌⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶
27	19, 26	eqtri 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶
28	27	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → 𝐵 = ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶)
29		csbeq1 3857	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶 = ⦋𝑖 / 𝑗⦌𝐶)
30	16, 28, 29	3eqtrd 2804	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → 𝐵 = ⦋𝑖 / 𝑗⦌𝐶)
31	15, 30	breq12d 5124	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (⦋(𝑘 + 1) / 𝑗⦌𝐶 ≤ 𝐵 ↔ ⦋(𝑖 + 1) / 𝑗⦌𝐶 ≤ ⦋𝑖 / 𝑗⦌𝐶))
32	13, 31	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ⦋(𝑘 + 1) / 𝑗⦌𝐶 ≤ 𝐵) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑗⦌𝐶 ≤ ⦋𝑖 / 𝑗⦌𝐶)))
33		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝜑)
34		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝑍)
35		eqidd 2766	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1))
36		climinf2mpt.j	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
37		nfv 1947	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑘 ∈ 𝑍
38		nfv 1947	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)
39	36, 37, 38	nf3an 1934	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1))
40		nfcsb1v 3878	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗⦋(𝑘 + 1) / 𝑗⦌𝐶
41		nfcv 2927	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗 ≤
42	40, 41, 20	nfbr 5160	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗⦋(𝑘 + 1) / 𝑗⦌𝐶 ≤ 𝐵
43	39, 42	nfim 1929	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)) → ⦋(𝑘 + 1) / 𝑗⦌𝐶 ≤ 𝐵)
44		ovex 7449	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 + 1) ∈ V
45		eqeq1 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 = (𝑘 + 1) ↔ (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)))
46	45	3anbi3d 1470	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 = (𝑘 + 1)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1))))
47		csbeq1a 3868	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → 𝐶 = ⦋(𝑘 + 1) / 𝑗⦌𝐶)
48	47	breq1d 5121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐶 ≤ 𝐵 ↔ ⦋(𝑘 + 1) / 𝑗⦌𝐶 ≤ 𝐵))
49	46, 48	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 = (𝑘 + 1)) → 𝐶 ≤ 𝐵) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)) → ⦋(𝑘 + 1) / 𝑗⦌𝐶 ≤ 𝐵)))
50		climinf2mpt.l	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 = (𝑘 + 1)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
51	43, 44, 49, 50	vtoclf 3532	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)) → ⦋(𝑘 + 1) / 𝑗⦌𝐶 ≤ 𝐵)
52	33, 34, 35, 51	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ⦋(𝑘 + 1) / 𝑗⦌𝐶 ≤ 𝐵)
53	11, 32, 52	chvarfv 2279	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑗⦌𝐶 ≤ ⦋𝑖 / 𝑗⦌𝐶)
54	20, 21, 22	cbvcsbw 3864	. . . . . 6 ⊢ ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐵 = ⦋(𝑖 + 1) / 𝑗⦌𝐶
55	54	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐵 = ⦋(𝑖 + 1) / 𝑗⦌𝐶)
56		eqidd 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → ⦋𝑖 / 𝑗⦌𝐶 = ⦋𝑖 / 𝑗⦌𝐶)
57	55, 56	breq12d 5124	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐵 ≤ ⦋𝑖 / 𝑗⦌𝐶 ↔ ⦋(𝑖 + 1) / 𝑗⦌𝐶 ≤ ⦋𝑖 / 𝑗⦌𝐶))
58	53, 57	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐵 ≤ ⦋𝑖 / 𝑗⦌𝐶)
59	3	peano2uzs 12938	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑍 → (𝑖 + 1) ∈ 𝑍)
60	59	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝑖 + 1) ∈ 𝑍)
61		nfv 1947	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑖 + 1) ∈ 𝑍
62	5, 61	nfan 1932	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍)
63		nfcv 2927	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑖 + 1)
64	63	nfcsb1 3877	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐵
65	64	nfel1 2943	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ
66	62, 65	nfim 1929	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)
67		ovex 7449	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 + 1) ∈ V
68		eleq1 2853	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍))
69	68	anbi2d 642	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ↔ (𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍)))
70		csbeq1a 3868	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → 𝐵 = ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐵)
71	70	eleq1d 2850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (𝐵 ∈ ℝ ↔ ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ))
72	69, 71	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)))
73	66, 67, 72, 6	vtoclf 3532	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)
74	59, 73	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)
75		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)
76	63, 64, 70, 75	fvmptf 7015	. . . . 5 ⊢ (((𝑖 + 1) ∈ 𝑍 ∧ ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(𝑖 + 1)) = ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐵)
77	60, 74, 76	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(𝑖 + 1)) = ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐵)
78		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → 𝑖 ∈ 𝑍)
79		nfv 1947	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑖 ∈ 𝑍
80	36, 79	nfan 1932	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍)
81		nfcsb1v 3878	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗⦋𝑖 / 𝑗⦌𝐶
82		nfcv 2927	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗ℝ
83	81, 82	nfel 2941	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗⦋𝑖 / 𝑗⦌𝐶 ∈ ℝ
84	80, 83	nfim 1929	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → ⦋𝑖 / 𝑗⦌𝐶 ∈ ℝ)
85		eleq1 2853	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 ∈ 𝑍 ↔ 𝑖 ∈ 𝑍))
86	85	anbi2d 642	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ↔ (𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍)))
87		csbeq1a 3868	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → 𝐶 = ⦋𝑖 / 𝑗⦌𝐶)
88	87	eleq1d 2850	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝐶 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑖 / 𝑗⦌𝐶 ∈ ℝ))
89	86, 88	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐶 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → ⦋𝑖 / 𝑗⦌𝐶 ∈ ℝ)))
90		nfv 1947	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝑍
91	5, 90	nfan 1932	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
92		nfv 1947	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 𝐶 ∈ ℝ
93	91, 92	nfim 1929	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐶 ∈ ℝ)
94		eleq1 2853	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ 𝑍))
95	94	anbi2d 642	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)))
96	22	eleq1d 2850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝐶 ∈ ℝ))
97	95, 96	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐶 ∈ ℝ)))
98	93, 97, 6	chvarfv 2279	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐶 ∈ ℝ)
99	84, 89, 98	chvarfv 2279	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → ⦋𝑖 / 𝑗⦌𝐶 ∈ ℝ)
100		nfcv 2927	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑖
101		nfcv 2927	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑖 / 𝑗⦌𝐶
102	100, 101, 30, 75	fvmptf 7015	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑍 ∧ ⦋𝑖 / 𝑗⦌𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑖) = ⦋𝑖 / 𝑗⦌𝐶)
103	78, 99, 102	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑖) = ⦋𝑖 / 𝑗⦌𝐶)
104	77, 103	breq12d 5124	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(𝑖 + 1)) ≤ ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑖) ↔ ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐵 ≤ ⦋𝑖 / 𝑗⦌𝐶))
105	58, 104	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(𝑖 + 1)) ≤ ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑖))
106		climinf2mpt.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ∈ dom ⇝ )
107	103, 99	eqeltrd 2865	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑖) ∈ ℝ)
108	107	recnd 11248	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑖) ∈ ℂ)
109	108	ralrimiva 3159	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑖) ∈ ℂ)
110	2, 3	climbddf 46434	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑖) ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝑍 (abs‘((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑖)) ≤ 𝑥)
111	4, 106, 109, 110	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝑍 (abs‘((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑖)) ≤ 𝑥)
112	1, 107	rexabsle2 46174	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝑍 (abs‘((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑖)) ≤ 𝑥 ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑖) ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑖))))
113	111, 112	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑖) ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑖)))
114	113	simprd 501	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑖))
115	1, 2, 3, 4, 7, 105, 114	climinf2 46454	1 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ⇝ inf(ran (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵), ℝ*, < ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  ⦋csb 3854   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  dom cdm 5663  ran crn 5664  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  infcinf 9404  ℂcc 11109  ℝcr 11110  1c1 11112   + caddc 11114  ℝ^*cxr 11253   < clt 11254   ≤ cle 11255  ℤcz 12602  ℤ_≥cuz 12874  abscabs 15305   ⇝ cli 15555

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9405  df-inf 9406  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fz 13548  df-seq 14052  df-exp 14112  df-cj 15170  df-re 15171  df-im 15172  df-sqrt 15306  df-abs 15307  df-clim 15559

This theorem is used by:  smflimsuplem4  47570