Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climinf2mpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climinf2mpt 45335
Description: A bounded below, monotonic nonincreasing sequence converges to the infimum of its range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climinf2mpt.p 𝑘𝜑
climinf2mpt.j 𝑗𝜑
climinf2mpt.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climinf2mpt.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climinf2mpt.b ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
climinf2mpt.c (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝐶)
climinf2mpt.l ((𝜑𝑘𝑍𝑗 = (𝑘 + 1)) → 𝐶𝐵)
climinf2mpt.e (𝜑 → (𝑘𝑍𝐵) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
climinf2mpt (𝜑 → (𝑘𝑍𝐵) ⇝ inf(ran (𝑘𝑍𝐵), ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑗   𝐶,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑗)   𝑀(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem climinf2mpt
Dummy variables 𝑖 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1910 . 2 𝑖𝜑
2 nfcv 2892 . 2 𝑖(𝑘𝑍𝐵)
3 climinf2mpt.z . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
4 climinf2mpt.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
5 climinf2mpt.p . . 3 𝑘𝜑
6 climinf2mpt.b . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
75, 6fmptd2f 44842 . 2 (𝜑 → (𝑘𝑍𝐵):𝑍⟶ℝ)
8 nfv 1910 . . . . . . 7 𝑘 𝑖𝑍
95, 8nfan 1895 . . . . . 6 𝑘(𝜑𝑖𝑍)
10 nfv 1910 . . . . . 6 𝑘(𝑖 + 1) / 𝑗𝐶𝑖 / 𝑗𝐶
119, 10nfim 1892 . . . . 5 𝑘((𝜑𝑖𝑍) → (𝑖 + 1) / 𝑗𝐶𝑖 / 𝑗𝐶)
12 eleq1 2814 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘𝑍𝑖𝑍))
1312anbi2d 628 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑖 → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑𝑖𝑍)))
14 oveq1 7431 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 + 1) = (𝑖 + 1))
1514csbeq1d 3896 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖(𝑘 + 1) / 𝑗𝐶 = (𝑖 + 1) / 𝑗𝐶)
16 eqidd 2727 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖𝐵 = 𝐵)
17 csbcow 3907 . . . . . . . . . . 11 𝑘 / 𝑗𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑘 / 𝑘𝐵
18 csbid 3905 . . . . . . . . . . 11 𝑘 / 𝑘𝐵 = 𝐵
1917, 18eqtr2i 2755 . . . . . . . . . 10 𝐵 = 𝑘 / 𝑗𝑗 / 𝑘𝐵
20 nfcv 2892 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗𝐵
21 nfcv 2892 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝐶
22 climinf2mpt.c . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝐶)
2320, 21, 22cbvcsbw 3902 . . . . . . . . . . . 12 𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑗𝐶
24 csbid 3905 . . . . . . . . . . . 12 𝑗 / 𝑗𝐶 = 𝐶
2523, 24eqtri 2754 . . . . . . . . . . 11 𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝐶
2625csbeq2i 3900 . . . . . . . . . 10 𝑘 / 𝑗𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑘 / 𝑗𝐶
2719, 26eqtri 2754 . . . . . . . . 9 𝐵 = 𝑘 / 𝑗𝐶
2827a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖𝐵 = 𝑘 / 𝑗𝐶)
29 csbeq1 3895 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖𝑘 / 𝑗𝐶 = 𝑖 / 𝑗𝐶)
3016, 28, 293eqtrd 2770 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖𝐵 = 𝑖 / 𝑗𝐶)
3115, 30breq12d 5166 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘 + 1) / 𝑗𝐶𝐵(𝑖 + 1) / 𝑗𝐶𝑖 / 𝑗𝐶))
3213, 31imbi12d 343 . . . . 5 (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑𝑘𝑍) → (𝑘 + 1) / 𝑗𝐶𝐵) ↔ ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑖 + 1) / 𝑗𝐶𝑖 / 𝑗𝐶)))
33 simpl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝜑)
34 simpr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝑍)
35 eqidd 2727 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1))
36 climinf2mpt.j . . . . . . . . 9 𝑗𝜑
37 nfv 1910 . . . . . . . . 9 𝑗 𝑘𝑍
38 nfv 1910 . . . . . . . . 9 𝑗(𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)
3936, 37, 38nf3an 1897 . . . . . . . 8 𝑗(𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1))
40 nfcsb1v 3917 . . . . . . . . 9 𝑗(𝑘 + 1) / 𝑗𝐶
41 nfcv 2892 . . . . . . . . 9 𝑗
4240, 41, 20nfbr 5200 . . . . . . . 8 𝑗(𝑘 + 1) / 𝑗𝐶𝐵
4339, 42nfim 1892 . . . . . . 7 𝑗((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)) → (𝑘 + 1) / 𝑗𝐶𝐵)
44 ovex 7457 . . . . . . 7 (𝑘 + 1) ∈ V
45 eqeq1 2730 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 = (𝑘 + 1) ↔ (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)))
46453anbi3d 1439 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝜑𝑘𝑍𝑗 = (𝑘 + 1)) ↔ (𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1))))
47 csbeq1a 3906 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑘 + 1) → 𝐶 = (𝑘 + 1) / 𝑗𝐶)
4847breq1d 5163 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐶𝐵(𝑘 + 1) / 𝑗𝐶𝐵))
4946, 48imbi12d 343 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝜑𝑘𝑍𝑗 = (𝑘 + 1)) → 𝐶𝐵) ↔ ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)) → (𝑘 + 1) / 𝑗𝐶𝐵)))
50 climinf2mpt.l . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍𝑗 = (𝑘 + 1)) → 𝐶𝐵)
5143, 44, 49, 50vtoclf 3545 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)) → (𝑘 + 1) / 𝑗𝐶𝐵)
5233, 34, 35, 51syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑘 + 1) / 𝑗𝐶𝐵)
5311, 32, 52chvarfv 2229 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑖 + 1) / 𝑗𝐶𝑖 / 𝑗𝐶)
5420, 21, 22cbvcsbw 3902 . . . . . 6 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 = (𝑖 + 1) / 𝑗𝐶
5554a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 = (𝑖 + 1) / 𝑗𝐶)
56 eqidd 2727 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑍) → 𝑖 / 𝑗𝐶 = 𝑖 / 𝑗𝐶)
5755, 56breq12d 5166 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑍) → ((𝑖 + 1) / 𝑘𝐵𝑖 / 𝑗𝐶(𝑖 + 1) / 𝑗𝐶𝑖 / 𝑗𝐶))
5853, 57mpbird 256 . . 3 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵𝑖 / 𝑗𝐶)
593peano2uzs 12938 . . . . . 6 (𝑖𝑍 → (𝑖 + 1) ∈ 𝑍)
6059adantl 480 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑖 + 1) ∈ 𝑍)
61 nfv 1910 . . . . . . . . 9 𝑘(𝑖 + 1) ∈ 𝑍
625, 61nfan 1895 . . . . . . . 8 𝑘(𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍)
63 nfcv 2892 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝑖 + 1)
6463nfcsb1 3916 . . . . . . . . 9 𝑘(𝑖 + 1) / 𝑘𝐵
6564nfel1 2909 . . . . . . . 8 𝑘(𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 ∈ ℝ
6662, 65nfim 1892 . . . . . . 7 𝑘((𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
67 ovex 7457 . . . . . . 7 (𝑖 + 1) ∈ V
68 eleq1 2814 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑖 + 1) → (𝑘𝑍 ↔ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍))
6968anbi2d 628 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑖 + 1) → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍)))
70 csbeq1a 3906 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑖 + 1) → 𝐵 = (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵)
7170eleq1d 2811 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑖 + 1) → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 ∈ ℝ))
7269, 71imbi12d 343 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑖 + 1) → (((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)))
7366, 67, 72, 6vtoclf 3545 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
7459, 73sylan2 591 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
75 eqid 2726 . . . . . 6 (𝑘𝑍𝐵) = (𝑘𝑍𝐵)
7663, 64, 70, 75fvmptf 7030 . . . . 5 (((𝑖 + 1) ∈ 𝑍(𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑘𝑍𝐵)‘(𝑖 + 1)) = (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵)
7760, 74, 76syl2anc 582 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘(𝑖 + 1)) = (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵)
78 simpr 483 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑍) → 𝑖𝑍)
79 nfv 1910 . . . . . . . 8 𝑗 𝑖𝑍
8036, 79nfan 1895 . . . . . . 7 𝑗(𝜑𝑖𝑍)
81 nfcsb1v 3917 . . . . . . . 8 𝑗𝑖 / 𝑗𝐶
82 nfcv 2892 . . . . . . . 8 𝑗
8381, 82nfel 2907 . . . . . . 7 𝑗𝑖 / 𝑗𝐶 ∈ ℝ
8480, 83nfim 1892 . . . . . 6 𝑗((𝜑𝑖𝑍) → 𝑖 / 𝑗𝐶 ∈ ℝ)
85 eleq1 2814 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑖 → (𝑗𝑍𝑖𝑍))
8685anbi2d 628 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑖 → ((𝜑𝑗𝑍) ↔ (𝜑𝑖𝑍)))
87 csbeq1a 3906 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑖𝐶 = 𝑖 / 𝑗𝐶)
8887eleq1d 2811 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑖 → (𝐶 ∈ ℝ ↔ 𝑖 / 𝑗𝐶 ∈ ℝ))
8986, 88imbi12d 343 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑖 → (((𝜑𝑗𝑍) → 𝐶 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑖𝑍) → 𝑖 / 𝑗𝐶 ∈ ℝ)))
90 nfv 1910 . . . . . . . . 9 𝑘 𝑗𝑍
915, 90nfan 1895 . . . . . . . 8 𝑘(𝜑𝑗𝑍)
92 nfv 1910 . . . . . . . 8 𝑘 𝐶 ∈ ℝ
9391, 92nfim 1892 . . . . . . 7 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → 𝐶 ∈ ℝ)
94 eleq1 2814 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑍𝑗𝑍))
9594anbi2d 628 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑𝑗𝑍)))
9622eleq1d 2811 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝐶 ∈ ℝ))
9795, 96imbi12d 343 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → 𝐶 ∈ ℝ)))
9893, 97, 6chvarfv 2229 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝐶 ∈ ℝ)
9984, 89, 98chvarfv 2229 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑍) → 𝑖 / 𝑗𝐶 ∈ ℝ)
100 nfcv 2892 . . . . . 6 𝑘𝑖
101 nfcv 2892 . . . . . 6 𝑘𝑖 / 𝑗𝐶
102100, 101, 30, 75fvmptf 7030 . . . . 5 ((𝑖𝑍𝑖 / 𝑗𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖) = 𝑖 / 𝑗𝐶)
10378, 99, 102syl2anc 582 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖) = 𝑖 / 𝑗𝐶)
10477, 103breq12d 5166 . . 3 ((𝜑𝑖𝑍) → (((𝑘𝑍𝐵)‘(𝑖 + 1)) ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖) ↔ (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵𝑖 / 𝑗𝐶))
10558, 104mpbird 256 . 2 ((𝜑𝑖𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘(𝑖 + 1)) ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖))
106 climinf2mpt.e . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝑍𝐵) ∈ dom ⇝ )
107103, 99eqeltrd 2826 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖) ∈ ℝ)
108107recnd 11292 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖) ∈ ℂ)
109108ralrimiva 3136 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑖𝑍 ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖) ∈ ℂ)
1102, 3climbddf 45308 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑘𝑍𝐵) ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑖𝑍 ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖) ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍 (abs‘((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖)) ≤ 𝑥)
1114, 106, 109, 110syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍 (abs‘((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖)) ≤ 𝑥)
1121, 107rexabsle2 45042 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍 (abs‘((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖)) ≤ 𝑥 ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍 ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖) ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍 𝑥 ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖))))
113111, 112mpbid 231 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍 ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖) ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍 𝑥 ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖)))
114113simprd 494 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍 𝑥 ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖))
1151, 2, 3, 4, 7, 105, 114climinf2 45328 1 (𝜑 → (𝑘𝑍𝐵) ⇝ inf(ran (𝑘𝑍𝐵), ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wnf 1778  wcel 2099  wral 3051  wrex 3060  csb 3892   class class class wbr 5153  cmpt 5236  dom cdm 5682  ran crn 5683  cfv 6554  (class class class)co 7424  infcinf 9484  cc 11156  cr 11157  1c1 11159   + caddc 11161  *cxr 11297   < clt 11298  cle 11299  cz 12610  cuz 12874  abscabs 15239  cli 15486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9485  df-inf 9486  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fz 13539  df-seq 14022  df-exp 14082  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-clim 15490
This theorem is referenced by:  smflimsuplem4  46444
  Copyright terms: Public domain W3C validator