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Theorem climinf2mpt 44430
Description: A bounded below, monotonic nonincreasing sequence converges to the infimum of its range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climinf2mpt.p β„²π‘˜πœ‘
climinf2mpt.j β„²π‘—πœ‘
climinf2mpt.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
climinf2mpt.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
climinf2mpt.b ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
climinf2mpt.c (π‘˜ = 𝑗 β†’ 𝐡 = 𝐢)
climinf2mpt.l ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 = (π‘˜ + 1)) β†’ 𝐢 ≀ 𝐡)
climinf2mpt.e (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
climinf2mpt (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ⇝ inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡), ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑗   𝐢,π‘˜   𝑗,𝑍,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑗,π‘˜)   𝐡(π‘˜)   𝐢(𝑗)   𝑀(𝑗,π‘˜)

Proof of Theorem climinf2mpt
Dummy variables 𝑖 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1918 . 2 β„²π‘–πœ‘
2 nfcv 2904 . 2 Ⅎ𝑖(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)
3 climinf2mpt.z . 2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
4 climinf2mpt.m . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
5 climinf2mpt.p . . 3 β„²π‘˜πœ‘
6 climinf2mpt.b . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
75, 6fmptd2f 43937 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡):π‘βŸΆβ„)
8 nfv 1918 . . . . . . 7 β„²π‘˜ 𝑖 ∈ 𝑍
95, 8nfan 1903 . . . . . 6 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍)
10 nfv 1918 . . . . . 6 β„²π‘˜β¦‹(𝑖 + 1) / π‘—β¦ŒπΆ ≀ ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ
119, 10nfim 1900 . . . . 5 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘—β¦ŒπΆ ≀ ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ)
12 eleq1 2822 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↔ 𝑖 ∈ 𝑍))
1312anbi2d 630 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍)))
14 oveq1 7416 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (π‘˜ + 1) = (𝑖 + 1))
1514csbeq1d 3898 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ⦋(π‘˜ + 1) / π‘—β¦ŒπΆ = ⦋(𝑖 + 1) / π‘—β¦ŒπΆ)
16 eqidd 2734 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑖 β†’ 𝐡 = 𝐡)
17 csbcow 3909 . . . . . . . . . . 11 β¦‹π‘˜ / π‘—β¦Œβ¦‹π‘— / π‘˜β¦Œπ΅ = β¦‹π‘˜ / π‘˜β¦Œπ΅
18 csbid 3907 . . . . . . . . . . 11 β¦‹π‘˜ / π‘˜β¦Œπ΅ = 𝐡
1917, 18eqtr2i 2762 . . . . . . . . . 10 𝐡 = β¦‹π‘˜ / π‘—β¦Œβ¦‹π‘— / π‘˜β¦Œπ΅
20 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑗𝐡
21 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜πΆ
22 climinf2mpt.c . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑗 β†’ 𝐡 = 𝐢)
2320, 21, 22cbvcsbw 3904 . . . . . . . . . . . 12 ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅ = ⦋𝑗 / π‘—β¦ŒπΆ
24 csbid 3907 . . . . . . . . . . . 12 ⦋𝑗 / π‘—β¦ŒπΆ = 𝐢
2523, 24eqtri 2761 . . . . . . . . . . 11 ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅ = 𝐢
2625csbeq2i 3902 . . . . . . . . . 10 β¦‹π‘˜ / π‘—β¦Œβ¦‹π‘— / π‘˜β¦Œπ΅ = β¦‹π‘˜ / π‘—β¦ŒπΆ
2719, 26eqtri 2761 . . . . . . . . 9 𝐡 = β¦‹π‘˜ / π‘—β¦ŒπΆ
2827a1i 11 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑖 β†’ 𝐡 = β¦‹π‘˜ / π‘—β¦ŒπΆ)
29 csbeq1 3897 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑖 β†’ β¦‹π‘˜ / π‘—β¦ŒπΆ = ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ)
3016, 28, 293eqtrd 2777 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑖 β†’ 𝐡 = ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ)
3115, 30breq12d 5162 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (⦋(π‘˜ + 1) / π‘—β¦ŒπΆ ≀ 𝐡 ↔ ⦋(𝑖 + 1) / π‘—β¦ŒπΆ ≀ ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ))
3213, 31imbi12d 345 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ⦋(π‘˜ + 1) / π‘—β¦ŒπΆ ≀ 𝐡) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘—β¦ŒπΆ ≀ ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ)))
33 simpl 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ πœ‘)
34 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
35 eqidd 2734 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘˜ + 1) = (π‘˜ + 1))
36 climinf2mpt.j . . . . . . . . 9 β„²π‘—πœ‘
37 nfv 1918 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗 π‘˜ ∈ 𝑍
38 nfv 1918 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗(π‘˜ + 1) = (π‘˜ + 1)
3936, 37, 38nf3an 1905 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗(πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ (π‘˜ + 1) = (π‘˜ + 1))
40 nfcsb1v 3919 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗⦋(π‘˜ + 1) / π‘—β¦ŒπΆ
41 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗 ≀
4240, 41, 20nfbr 5196 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗⦋(π‘˜ + 1) / π‘—β¦ŒπΆ ≀ 𝐡
4339, 42nfim 1900 . . . . . . 7 Ⅎ𝑗((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ (π‘˜ + 1) = (π‘˜ + 1)) β†’ ⦋(π‘˜ + 1) / π‘—β¦ŒπΆ ≀ 𝐡)
44 ovex 7442 . . . . . . 7 (π‘˜ + 1) ∈ V
45 eqeq1 2737 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (π‘˜ + 1) β†’ (𝑗 = (π‘˜ + 1) ↔ (π‘˜ + 1) = (π‘˜ + 1)))
46453anbi3d 1443 . . . . . . . 8 (𝑗 = (π‘˜ + 1) β†’ ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 = (π‘˜ + 1)) ↔ (πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ (π‘˜ + 1) = (π‘˜ + 1))))
47 csbeq1a 3908 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (π‘˜ + 1) β†’ 𝐢 = ⦋(π‘˜ + 1) / π‘—β¦ŒπΆ)
4847breq1d 5159 . . . . . . . 8 (𝑗 = (π‘˜ + 1) β†’ (𝐢 ≀ 𝐡 ↔ ⦋(π‘˜ + 1) / π‘—β¦ŒπΆ ≀ 𝐡))
4946, 48imbi12d 345 . . . . . . 7 (𝑗 = (π‘˜ + 1) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 = (π‘˜ + 1)) β†’ 𝐢 ≀ 𝐡) ↔ ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ (π‘˜ + 1) = (π‘˜ + 1)) β†’ ⦋(π‘˜ + 1) / π‘—β¦ŒπΆ ≀ 𝐡)))
50 climinf2mpt.l . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 = (π‘˜ + 1)) β†’ 𝐢 ≀ 𝐡)
5143, 44, 49, 50vtoclf 3548 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ (π‘˜ + 1) = (π‘˜ + 1)) β†’ ⦋(π‘˜ + 1) / π‘—β¦ŒπΆ ≀ 𝐡)
5233, 34, 35, 51syl3anc 1372 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ⦋(π‘˜ + 1) / π‘—β¦ŒπΆ ≀ 𝐡)
5311, 32, 52chvarfv 2234 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘—β¦ŒπΆ ≀ ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ)
5420, 21, 22cbvcsbw 3904 . . . . . 6 ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦Œπ΅ = ⦋(𝑖 + 1) / π‘—β¦ŒπΆ
5554a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦Œπ΅ = ⦋(𝑖 + 1) / π‘—β¦ŒπΆ)
56 eqidd 2734 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ = ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ)
5755, 56breq12d 5162 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦Œπ΅ ≀ ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ ↔ ⦋(𝑖 + 1) / π‘—β¦ŒπΆ ≀ ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ))
5853, 57mpbird 257 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦Œπ΅ ≀ ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ)
593peano2uzs 12886 . . . . . 6 (𝑖 ∈ 𝑍 β†’ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍)
6059adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍)
61 nfv 1918 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜(𝑖 + 1) ∈ 𝑍
625, 61nfan 1903 . . . . . . . 8 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍)
63 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜(𝑖 + 1)
6463nfcsb1 3918 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜β¦‹(𝑖 + 1) / π‘˜β¦Œπ΅
6564nfel1 2920 . . . . . . . 8 β„²π‘˜β¦‹(𝑖 + 1) / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ
6662, 65nfim 1900 . . . . . . 7 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍) β†’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ)
67 ovex 7442 . . . . . . 7 (𝑖 + 1) ∈ V
68 eleq1 2822 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = (𝑖 + 1) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↔ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍))
6968anbi2d 630 . . . . . . . 8 (π‘˜ = (𝑖 + 1) β†’ ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ↔ (πœ‘ ∧ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍)))
70 csbeq1a 3908 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = (𝑖 + 1) β†’ 𝐡 = ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦Œπ΅)
7170eleq1d 2819 . . . . . . . 8 (π‘˜ = (𝑖 + 1) β†’ (𝐡 ∈ ℝ ↔ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ))
7269, 71imbi12d 345 . . . . . . 7 (π‘˜ = (𝑖 + 1) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ ℝ) ↔ ((πœ‘ ∧ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍) β†’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ)))
7366, 67, 72, 6vtoclf 3548 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍) β†’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ)
7459, 73sylan2 594 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ)
75 eqid 2733 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)
7663, 64, 70, 75fvmptf 7020 . . . . 5 (((𝑖 + 1) ∈ 𝑍 ∧ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜(𝑖 + 1)) = ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦Œπ΅)
7760, 74, 76syl2anc 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜(𝑖 + 1)) = ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦Œπ΅)
78 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ 𝑖 ∈ 𝑍)
79 nfv 1918 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗 𝑖 ∈ 𝑍
8036, 79nfan 1903 . . . . . . 7 Ⅎ𝑗(πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍)
81 nfcsb1v 3919 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ
82 nfcv 2904 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗ℝ
8381, 82nfel 2918 . . . . . . 7 Ⅎ𝑗⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ ∈ ℝ
8480, 83nfim 1900 . . . . . 6 Ⅎ𝑗((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ ∈ ℝ)
85 eleq1 2822 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑖 β†’ (𝑗 ∈ 𝑍 ↔ 𝑖 ∈ 𝑍))
8685anbi2d 630 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑖 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍)))
87 csbeq1a 3908 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑖 β†’ 𝐢 = ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ)
8887eleq1d 2819 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑖 β†’ (𝐢 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ ∈ ℝ))
8986, 88imbi12d 345 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑖 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝐢 ∈ ℝ) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ ∈ ℝ)))
90 nfv 1918 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜ 𝑗 ∈ 𝑍
915, 90nfan 1903 . . . . . . . 8 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
92 nfv 1918 . . . . . . . 8 β„²π‘˜ 𝐢 ∈ ℝ
9391, 92nfim 1900 . . . . . . 7 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
94 eleq1 2822 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ 𝑍))
9594anbi2d 630 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)))
9622eleq1d 2819 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (𝐡 ∈ ℝ ↔ 𝐢 ∈ ℝ))
9795, 96imbi12d 345 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ ℝ) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)))
9893, 97, 6chvarfv 2234 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
9984, 89, 98chvarfv 2234 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ ∈ ℝ)
100 nfcv 2904 . . . . . 6 β„²π‘˜π‘–
101 nfcv 2904 . . . . . 6 β„²π‘˜β¦‹π‘– / π‘—β¦ŒπΆ
102100, 101, 30, 75fvmptf 7020 . . . . 5 ((𝑖 ∈ 𝑍 ∧ ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ ∈ ℝ) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘–) = ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ)
10378, 99, 102syl2anc 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘–) = ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ)
10477, 103breq12d 5162 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜(𝑖 + 1)) ≀ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘–) ↔ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦Œπ΅ ≀ ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ))
10558, 104mpbird 257 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜(𝑖 + 1)) ≀ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘–))
106 climinf2mpt.e . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∈ dom ⇝ )
107103, 99eqeltrd 2834 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘–) ∈ ℝ)
108107recnd 11242 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘–) ∈ β„‚)
109108ralrimiva 3147 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘–) ∈ β„‚)
1102, 3climbddf 44403 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∈ dom ⇝ ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘–) ∈ β„‚) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 (absβ€˜((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘–)) ≀ π‘₯)
1114, 106, 109, 110syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 (absβ€˜((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘–)) ≀ π‘₯)
1121, 107rexabsle2 44137 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 (absβ€˜((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘–)) ≀ π‘₯ ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘–) ≀ π‘₯ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘–))))
113111, 112mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘–) ≀ π‘₯ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘–)))
114113simprd 497 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘–))
1151, 2, 3, 4, 7, 105, 114climinf2 44423 1 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ⇝ inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡), ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  β¦‹csb 3894   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  ran crn 5678  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  infcinf 9436  β„‚cc 11108  β„cr 11109  1c1 11111   + caddc 11113  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  abscabs 15181   ⇝ cli 15428
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432
This theorem is referenced by:  smflimsuplem4  45539
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