Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupre2mpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupre2mpt 45177
Description: Given a function on the extended reals, its supremum limit is real if and only if two condition holds: 1. there is a real number that is smaller than the function, at some point, in any upper part of the reals; 2. there is a real number that is eventually larger than the function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupre2mpt.p β„²π‘₯πœ‘
limsupre2mpt.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
limsupre2mpt.b ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
limsupre2mpt (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) ∈ ℝ ↔ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 < 𝐡) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 < 𝑦))))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜,π‘₯,𝑦   𝐡,π‘˜,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,π‘˜)   𝐡(π‘₯)

Proof of Theorem limsupre2mpt
Dummy variables 𝑗 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfmpt1 5252 . . 3 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
2 limsupre2mpt.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
3 limsupre2mpt.p . . . 4 β„²π‘₯πœ‘
4 limsupre2mpt.b . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
53, 4fmptd2f 44668 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„*)
61, 2, 5limsupre2 45172 . 2 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) ∈ ℝ ↔ (βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ ∧ 𝑀 < ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯)) ∧ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) < 𝑀))))
7 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
87a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))
98, 4fvmpt2d 7011 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝐡)
109breq2d 5156 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑀 < ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ↔ 𝑀 < 𝐡))
1110anbi2d 628 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝑗 ≀ π‘₯ ∧ 𝑀 < ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯)) ↔ (𝑗 ≀ π‘₯ ∧ 𝑀 < 𝐡)))
123, 11rexbida 3260 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ ∧ 𝑀 < ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ ∧ 𝑀 < 𝐡)))
1312ralbidv 3168 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘— ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ ∧ 𝑀 < ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘— ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ ∧ 𝑀 < 𝐡)))
1413rexbidv 3169 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ ∧ 𝑀 < ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ ∧ 𝑀 < 𝐡)))
159breq1d 5154 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) < 𝑀 ↔ 𝐡 < 𝑀))
1615imbi2d 339 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝑗 ≀ π‘₯ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) < 𝑀) ↔ (𝑗 ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 < 𝑀)))
173, 16ralbida 3258 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) < 𝑀) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 < 𝑀)))
1817rexbidv 3169 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) < 𝑀) ↔ βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 < 𝑀)))
1918rexbidv 3169 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) < 𝑀) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 < 𝑀)))
2014, 19anbi12d 630 . 2 (πœ‘ β†’ ((βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ ∧ 𝑀 < ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯)) ∧ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) < 𝑀)) ↔ (βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ ∧ 𝑀 < 𝐡) ∧ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 < 𝑀))))
21 breq1 5147 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 𝑦 β†’ (𝑀 < 𝐡 ↔ 𝑦 < 𝐡))
2221anbi2d 628 . . . . . . . 8 (𝑀 = 𝑦 β†’ ((𝑗 ≀ π‘₯ ∧ 𝑀 < 𝐡) ↔ (𝑗 ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 < 𝐡)))
2322rexbidv 3169 . . . . . . 7 (𝑀 = 𝑦 β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ ∧ 𝑀 < 𝐡) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 < 𝐡)))
2423ralbidv 3168 . . . . . 6 (𝑀 = 𝑦 β†’ (βˆ€π‘— ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ ∧ 𝑀 < 𝐡) ↔ βˆ€π‘— ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 < 𝐡)))
25 breq1 5147 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = π‘˜ β†’ (𝑗 ≀ π‘₯ ↔ π‘˜ ≀ π‘₯))
2625anbi1d 629 . . . . . . . . 9 (𝑗 = π‘˜ β†’ ((𝑗 ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 < 𝐡) ↔ (π‘˜ ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 < 𝐡)))
2726rexbidv 3169 . . . . . . . 8 (𝑗 = π‘˜ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 < 𝐡) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 < 𝐡)))
2827cbvralvw 3225 . . . . . . 7 (βˆ€π‘— ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 < 𝐡) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 < 𝐡))
2928a1i 11 . . . . . 6 (𝑀 = 𝑦 β†’ (βˆ€π‘— ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 < 𝐡) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 < 𝐡)))
3024, 29bitrd 278 . . . . 5 (𝑀 = 𝑦 β†’ (βˆ€π‘— ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ ∧ 𝑀 < 𝐡) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 < 𝐡)))
3130cbvrexvw 3226 . . . 4 (βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ ∧ 𝑀 < 𝐡) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 < 𝐡))
32 breq2 5148 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 𝑦 β†’ (𝐡 < 𝑀 ↔ 𝐡 < 𝑦))
3332imbi2d 339 . . . . . . . 8 (𝑀 = 𝑦 β†’ ((𝑗 ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 < 𝑀) ↔ (𝑗 ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 < 𝑦)))
3433ralbidv 3168 . . . . . . 7 (𝑀 = 𝑦 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 < 𝑀) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 < 𝑦)))
3534rexbidv 3169 . . . . . 6 (𝑀 = 𝑦 β†’ (βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 < 𝑀) ↔ βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 < 𝑦)))
3625imbi1d 340 . . . . . . . . 9 (𝑗 = π‘˜ β†’ ((𝑗 ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 < 𝑦) ↔ (π‘˜ ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 < 𝑦)))
3736ralbidv 3168 . . . . . . . 8 (𝑗 = π‘˜ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 < 𝑦) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 < 𝑦)))
3837cbvrexvw 3226 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 < 𝑦) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 < 𝑦))
3938a1i 11 . . . . . 6 (𝑀 = 𝑦 β†’ (βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 < 𝑦) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 < 𝑦)))
4035, 39bitrd 278 . . . . 5 (𝑀 = 𝑦 β†’ (βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 < 𝑀) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 < 𝑦)))
4140cbvrexvw 3226 . . . 4 (βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 < 𝑀) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 < 𝑦))
4231, 41anbi12i 626 . . 3 ((βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ ∧ 𝑀 < 𝐡) ∧ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 < 𝑀)) ↔ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 < 𝐡) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 < 𝑦)))
4342a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ ((βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ ∧ 𝑀 < 𝐡) ∧ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 < 𝑀)) ↔ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 < 𝐡) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 < 𝑦))))
446, 20, 433bitrd 304 1 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) ∈ ℝ ↔ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 < 𝐡) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 < 𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533  β„²wnf 1777   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060   βŠ† wss 3941   class class class wbr 5144   ↦ cmpt 5227  β€˜cfv 6543  β„cr 11132  β„*cxr 11272   < clt 11273   ≀ cle 11274  lim supclsp 15441
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5571  df-po 5585  df-so 5586  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9460  df-inf 9461  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-ico 13357  df-limsup 15442
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator