Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupre2mpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupre2mpt 40439
Description: Given a function on the extended reals, its supremum limit is real if and only if two condition holds: 1. there is a real number that is smaller than the function, at some point, in any upper part of the reals; 2. there is a real number that is eventually larger than the function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupre2mpt.p 𝑥𝜑
limsupre2mpt.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
limsupre2mpt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
limsupre2mpt (𝜑 → ((lim sup‘(𝑥𝐴𝐵)) ∈ ℝ ↔ (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝑦 < 𝐵) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝐵 < 𝑦))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥,𝑦   𝐵,𝑘,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem limsupre2mpt
Dummy variables 𝑗 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfmpt1 4941 . . 3 𝑥(𝑥𝐴𝐵)
2 limsupre2mpt.a . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
3 limsupre2mpt.p . . . 4 𝑥𝜑
4 limsupre2mpt.b . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
53, 4fmptd2f 39923 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℝ*)
61, 2, 5limsupre2 40434 . 2 (𝜑 → ((lim sup‘(𝑥𝐴𝐵)) ∈ ℝ ↔ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑤))))
7 eqid 2806 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
87a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵))
98, 4fvmpt2d 6510 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
109breq2d 4856 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑤 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ↔ 𝑤 < 𝐵))
1110anbi2d 616 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑗𝑥𝑤 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) ↔ (𝑗𝑥𝑤 < 𝐵)))
123, 11rexbida 3235 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) ↔ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤 < 𝐵)))
1312ralbidv 3174 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) ↔ ∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤 < 𝐵)))
1413rexbidv 3240 . . 3 (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤 < 𝐵)))
159breq1d 4854 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑤𝐵 < 𝑤))
1615imbi2d 331 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑗𝑥 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑤) ↔ (𝑗𝑥𝐵 < 𝑤)))
173, 16ralbida 3170 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑤) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵 < 𝑤)))
1817rexbidv 3240 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑤) ↔ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵 < 𝑤)))
1918rexbidv 3240 . . 3 (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑤) ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵 < 𝑤)))
2014, 19anbi12d 618 . 2 (𝜑 → ((∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑤)) ↔ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤 < 𝐵) ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵 < 𝑤))))
21 breq1 4847 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 < 𝐵𝑦 < 𝐵))
2221anbi2d 616 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑦 → ((𝑗𝑥𝑤 < 𝐵) ↔ (𝑗𝑥𝑦 < 𝐵)))
2322rexbidv 3240 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑦 → (∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤 < 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑦 < 𝐵)))
2423ralbidv 3174 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → (∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤 < 𝐵) ↔ ∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑦 < 𝐵)))
25 breq1 4847 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗𝑥𝑘𝑥))
2625anbi1d 617 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗𝑥𝑦 < 𝐵) ↔ (𝑘𝑥𝑦 < 𝐵)))
2726rexbidv 3240 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → (∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑦 < 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝑦 < 𝐵)))
2827cbvralv 3360 . . . . . . 7 (∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑦 < 𝐵) ↔ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝑦 < 𝐵))
2928a1i 11 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → (∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑦 < 𝐵) ↔ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝑦 < 𝐵)))
3024, 29bitrd 270 . . . . 5 (𝑤 = 𝑦 → (∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤 < 𝐵) ↔ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝑦 < 𝐵)))
3130cbvrexv 3361 . . . 4 (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤 < 𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝑦 < 𝐵))
32 breq2 4848 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑦 → (𝐵 < 𝑤𝐵 < 𝑦))
3332imbi2d 331 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑦 → ((𝑗𝑥𝐵 < 𝑤) ↔ (𝑗𝑥𝐵 < 𝑦)))
3433ralbidv 3174 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑦 → (∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵 < 𝑤) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵 < 𝑦)))
3534rexbidv 3240 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵 < 𝑤) ↔ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵 < 𝑦)))
3625imbi1d 332 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗𝑥𝐵 < 𝑦) ↔ (𝑘𝑥𝐵 < 𝑦)))
3736ralbidv 3174 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → (∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵 < 𝑦) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝐵 < 𝑦)))
3837cbvrexv 3361 . . . . . . 7 (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵 < 𝑦) ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝐵 < 𝑦))
3938a1i 11 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵 < 𝑦) ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝐵 < 𝑦)))
4035, 39bitrd 270 . . . . 5 (𝑤 = 𝑦 → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵 < 𝑤) ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝐵 < 𝑦)))
4140cbvrexv 3361 . . . 4 (∃𝑤 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵 < 𝑤) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝐵 < 𝑦))
4231, 41anbi12i 614 . . 3 ((∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤 < 𝐵) ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵 < 𝑤)) ↔ (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝑦 < 𝐵) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝐵 < 𝑦)))
4342a1i 11 . 2 (𝜑 → ((∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤 < 𝐵) ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵 < 𝑤)) ↔ (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝑦 < 𝐵) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝐵 < 𝑦))))
446, 20, 433bitrd 296 1 (𝜑 → ((lim sup‘(𝑥𝐴𝐵)) ∈ ℝ ↔ (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝑦 < 𝐵) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝐵 < 𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wnf 1863  wcel 2156  wral 3096  wrex 3097  wss 3769   class class class wbr 4844  cmpt 4923  cfv 6097  cr 10216  *cxr 10354   < clt 10355  cle 10356  lim supclsp 14420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175  ax-cnex 10273  ax-resscn 10274  ax-1cn 10275  ax-icn 10276  ax-addcl 10277  ax-addrcl 10278  ax-mulcl 10279  ax-mulrcl 10280  ax-mulcom 10281  ax-addass 10282  ax-mulass 10283  ax-distr 10284  ax-i2m1 10285  ax-1ne0 10286  ax-1rid 10287  ax-rnegex 10288  ax-rrecex 10289  ax-cnre 10290  ax-pre-lttri 10291  ax-pre-lttrn 10292  ax-pre-ltadd 10293  ax-pre-mulgt0 10294  ax-pre-sup 10295
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-op 4377  df-uni 4631  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-id 5219  df-po 5232  df-so 5233  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-riota 6831  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-mpt2 6875  df-er 7975  df-en 8189  df-dom 8190  df-sdom 8191  df-sup 8583  df-inf 8584  df-pnf 10357  df-mnf 10358  df-xr 10359  df-ltxr 10360  df-le 10361  df-sub 10549  df-neg 10550  df-ico 12395  df-limsup 14421
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator