Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminfvalxrmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminfvalxrmpt 43998
Description: Alternate definition of lim inf when 𝐹 is an extended real-valued function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminfvalxrmpt.1 𝑥𝜑
liminfvalxrmpt.2 (𝜑𝐴𝑉)
liminfvalxrmpt.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
liminfvalxrmpt (𝜑 → (lim inf‘(𝑥𝐴𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑥𝐴 ↦ -𝑒𝐵)))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem liminfvalxrmpt
StepHypRef Expression
1 nfmpt1 5213 . . 3 𝑥(𝑥𝐴𝐵)
2 liminfvalxrmpt.2 . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
3 liminfvalxrmpt.1 . . . 4 𝑥𝜑
4 liminfvalxrmpt.3 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
53, 4fmptd2f 43435 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℝ*)
61, 2, 5liminfvalxr 43995 . 2 (𝜑 → (lim inf‘(𝑥𝐴𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑥𝐴 ↦ -𝑒((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥))))
7 eqidd 2737 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵))
87, 4fvmpt2d 6961 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
98xnegeqd 43647 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → -𝑒((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = -𝑒𝐵)
103, 9mpteq2da 5203 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ -𝑒((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) = (𝑥𝐴 ↦ -𝑒𝐵))
1110fveq2d 6846 . . 3 (𝜑 → (lim sup‘(𝑥𝐴 ↦ -𝑒((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥))) = (lim sup‘(𝑥𝐴 ↦ -𝑒𝐵)))
1211xnegeqd 43647 . 2 (𝜑 → -𝑒(lim sup‘(𝑥𝐴 ↦ -𝑒((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑥𝐴 ↦ -𝑒𝐵)))
136, 12eqtrd 2776 1 (𝜑 → (lim inf‘(𝑥𝐴𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑥𝐴 ↦ -𝑒𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wnf 1785  wcel 2106  cmpt 5188  cfv 6496  *cxr 11187  -𝑒cxne 13029  lim supclsp 15351  lim infclsi 43963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127  ax-pre-sup 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8647  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-sup 9377  df-inf 9378  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-xneg 13032  df-limsup 15352  df-liminf 43964
This theorem is referenced by:  liminfval4  44001  liminfval3  44002
  Copyright terms: Public domain W3C validator