Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminfvalxrmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminfvalxrmpt 45806
Description: Alternate definition of lim inf when 𝐹 is an extended real-valued function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminfvalxrmpt.1 𝑥𝜑
liminfvalxrmpt.2 (𝜑𝐴𝑉)
liminfvalxrmpt.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
liminfvalxrmpt (𝜑 → (lim inf‘(𝑥𝐴𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑥𝐴 ↦ -𝑒𝐵)))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem liminfvalxrmpt
StepHypRef Expression
1 nfmpt1 5249 . . 3 𝑥(𝑥𝐴𝐵)
2 liminfvalxrmpt.2 . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
3 liminfvalxrmpt.1 . . . 4 𝑥𝜑
4 liminfvalxrmpt.3 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
53, 4fmptd2f 45245 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℝ*)
61, 2, 5liminfvalxr 45803 . 2 (𝜑 → (lim inf‘(𝑥𝐴𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑥𝐴 ↦ -𝑒((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥))))
7 eqidd 2737 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵))
87, 4fvmpt2d 7028 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
98xnegeqd 45453 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → -𝑒((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = -𝑒𝐵)
103, 9mpteq2da 5239 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ -𝑒((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) = (𝑥𝐴 ↦ -𝑒𝐵))
1110fveq2d 6909 . . 3 (𝜑 → (lim sup‘(𝑥𝐴 ↦ -𝑒((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥))) = (lim sup‘(𝑥𝐴 ↦ -𝑒𝐵)))
1211xnegeqd 45453 . 2 (𝜑 → -𝑒(lim sup‘(𝑥𝐴 ↦ -𝑒((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑥𝐴 ↦ -𝑒𝐵)))
136, 12eqtrd 2776 1 (𝜑 → (lim inf‘(𝑥𝐴𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑥𝐴 ↦ -𝑒𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wnf 1782  wcel 2107  cmpt 5224  cfv 6560  *cxr 11295  -𝑒cxne 13152  lim supclsp 15507  lim infclsi 45771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-xneg 13155  df-limsup 15508  df-liminf 45772
This theorem is referenced by:  liminfval4  45809  liminfval3  45810
  Copyright terms: Public domain W3C validator