Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminfvalxrmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminfvalxrmpt 42596
 Description: Alternate definition of lim inf when 𝐹 is an extended real-valued function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminfvalxrmpt.1 𝑥𝜑
liminfvalxrmpt.2 (𝜑𝐴𝑉)
liminfvalxrmpt.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
liminfvalxrmpt (𝜑 → (lim inf‘(𝑥𝐴𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑥𝐴 ↦ -𝑒𝐵)))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem liminfvalxrmpt
StepHypRef Expression
1 nfmpt1 5132 . . 3 𝑥(𝑥𝐴𝐵)
2 liminfvalxrmpt.2 . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
3 liminfvalxrmpt.1 . . . 4 𝑥𝜑
4 liminfvalxrmpt.3 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
53, 4fmptd2f 42039 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℝ*)
61, 2, 5liminfvalxr 42593 . 2 (𝜑 → (lim inf‘(𝑥𝐴𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑥𝐴 ↦ -𝑒((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥))))
7 eqidd 2799 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵))
87, 4fvmpt2d 6768 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
98xnegeqd 42242 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → -𝑒((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = -𝑒𝐵)
103, 9mpteq2da 5128 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ -𝑒((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) = (𝑥𝐴 ↦ -𝑒𝐵))
1110fveq2d 6659 . . 3 (𝜑 → (lim sup‘(𝑥𝐴 ↦ -𝑒((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥))) = (lim sup‘(𝑥𝐴 ↦ -𝑒𝐵)))
1211xnegeqd 42242 . 2 (𝜑 → -𝑒(lim sup‘(𝑥𝐴 ↦ -𝑒((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑥𝐴 ↦ -𝑒𝐵)))
136, 12eqtrd 2833 1 (𝜑 → (lim inf‘(𝑥𝐴𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑥𝐴 ↦ -𝑒𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2111   ↦ cmpt 5114  ‘cfv 6332  ℝ*cxr 10681  -𝑒cxne 12512  lim supclsp 14839  lim infclsi 42561 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621  ax-pre-sup 10622 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4805  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-id 5429  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-isom 6341  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8290  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-xneg 12515  df-limsup 14840  df-liminf 42562 This theorem is referenced by:  liminfval4  42599  liminfval3  42600
 Copyright terms: Public domain W3C validator