Theorem smfsupdmmbllem 46294

Description: If a countable set of sigma-measurable functions have domains in the sigma-algebra, then their supremum function has the domain in the sigma-algebra. This is the fourth statement of Proposition 121H of [Fremlin1] p. 39 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfsupdmmbllem.1	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
smfsupdmmbllem.2	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfsupdmmbllem.3	⊢ Ⅎ𝑚𝜑
smfsupdmmbllem.4	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
smfsupdmmbllem.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
smfsupdmmbllem.6	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
smfsupdmmbllem.7	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfsupdmmbllem.8	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfsupdmmbllem.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → dom (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑆)
smfsupdmmbllem.10	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
smfsupdmmbllem.11	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛) ∣ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) < 𝑚}))
smfsupdmmbllem.12	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
smfsupdmmbllem	⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐷,𝑚   𝑚,𝐹,𝑦   𝑦,𝐻   𝑆,𝑚,𝑛   𝑚,𝑍,𝑛,𝑥,𝑦   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑚,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem smfsupdmmbllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfsupdmmbllem.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
2		smfsupdmmbllem.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
3		smfsupdmmbllem.3	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑚𝜑
4		smfsupdmmbllem.4	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
5		smfsupdmmbllem.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
6	5	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
7		smfsupdmmbllem.8	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
8	7	ffvelcdmda 7088	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) ∈ (SMblFn‘𝑆))
9		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ dom (𝐹‘𝑛) = dom (𝐹‘𝑛)
10	6, 8, 9	smff 46182	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛):dom (𝐹‘𝑛)⟶ℝ)
11	10	frexr 44829	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛):dom (𝐹‘𝑛)⟶ℝ*)
12		smfsupdmmbllem.10	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
13		smfsupdmmbllem.12	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
14		smfsupdmmbllem.11	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛) ∣ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) < 𝑚}))
15	1, 2, 3, 4, 11, 12, 13, 14	fsupdm2 46293	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 = ∪ 𝑚 ∈ ℕ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐻‘𝑛)‘𝑚))
16		nfcv 2892	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑚𝑆
17		nfcv 2892	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑚ℕ
18		nnct 13976	. . . 4 ⊢ ℕ ≼ ω
19	18	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℕ ≼ ω)
20		nfv 1909	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑚 ∈ ℕ
21	1, 20	nfan 1894	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ)
22		nfcv 2892	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑛𝑆
23		nfcv 2892	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑛𝑍
24	5	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ SAlg)
25		smfsupdmmbllem.6	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
26	25	uzct 44491	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ≼ ω
27	26	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑍 ≼ ω)
28		smfsupdmmbllem.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
29	28, 25	uzn0d 44869	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ ∅)
30	29	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑍 ≠ ∅)
31	24	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
32		smfsupdmmbllem.9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → dom (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑆)
33	32	adantlr 713	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → dom (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑆)
34	31, 33	salrestss 45811	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑆 ↾t dom (𝐹‘𝑛)) ⊆ 𝑆)
35		nfv 1909	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚 𝑛 ∈ 𝑍
36	3, 35	nfan 1894	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚(𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍)
37		nfcv 2892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝑛
38	4, 37	nffv 6901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑛)
39	8	adantlr 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) ∈ (SMblFn‘𝑆))
40		nnxr 44718	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ*)
41	40	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑚 ∈ ℝ*)
42	38, 31, 39, 9, 41	smfpimltxr 46197	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛) ∣ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) < 𝑚} ∈ (𝑆 ↾t dom (𝐹‘𝑛)))
43	42	an32s 650	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛) ∣ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) < 𝑚} ∈ (𝑆 ↾t dom (𝐹‘𝑛)))
44	36, 43	fmptd2f 44671	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛) ∣ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) < 𝑚}):ℕ⟶(𝑆 ↾t dom (𝐹‘𝑛)))
45		simpr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑛 ∈ 𝑍)
46		nnex 12246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ ∈ V
47	46	mptex 7230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛) ∣ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) < 𝑚}) ∈ V
48	14	fvmpt2 7010	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛) ∣ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) < 𝑚}) ∈ V) → (𝐻‘𝑛) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛) ∣ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) < 𝑚}))
49	45, 47, 48	sylancl 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑛) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛) ∣ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) < 𝑚}))
50	49	feq1d 6701	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝐻‘𝑛):ℕ⟶(𝑆 ↾t dom (𝐹‘𝑛)) ↔ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛) ∣ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) < 𝑚}):ℕ⟶(𝑆 ↾t dom (𝐹‘𝑛))))
51	44, 50	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑛):ℕ⟶(𝑆 ↾t dom (𝐹‘𝑛)))
52	51	adantlr 713	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑛):ℕ⟶(𝑆 ↾t dom (𝐹‘𝑛)))
53		simplr 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑚 ∈ ℕ)
54	52, 53	ffvelcdmd 7089	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝐻‘𝑛)‘𝑚) ∈ (𝑆 ↾t dom (𝐹‘𝑛)))
55	34, 54	sseldd 3973	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝐻‘𝑛)‘𝑚) ∈ 𝑆)
56	21, 22, 23, 24, 27, 30, 55	saliinclf 45776	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐻‘𝑛)‘𝑚) ∈ 𝑆)
57	3, 16, 17, 5, 19, 56	saliunclf 45772	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑚 ∈ ℕ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐻‘𝑛)‘𝑚) ∈ 𝑆)
58	15, 57	eqeltrd 2825	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533  Ⅎwnf 1777   ∈ wcel 2098  Ⅎwnfc 2875   ≠ wne 2930  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  {crab 3419  Vcvv 3463  ∅c0 4318  ∪ ciun 4991  ∩ ciin 4992   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  dom cdm 5672  ran crn 5673  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7415  ωcom 7867   ≼ cdom 8958  supcsup 9461  ℝcr 11135  ℝ^*cxr 11275   < clt 11276   ≤ cle 11277  ℕcn 12240  ℤcz 12586  ℤ_≥cuz 12850   ↾_t crest 17399  SAlgcsalg 45758  SMblFncsmblfn 46145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cc 10456  ax-ac2 10484  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-oadd 8487  df-omul 8488  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-oi 9531  df-card 9960  df-acn 9963  df-ac 10137  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-ioo 13358  df-ico 13360  df-rest 17401  df-salg 45759  df-smblfn 46146

This theorem is referenced by:  smfsupdmmbl  46295