Theorem supcnvlimsupmpt 46382

Description: If a function on a set of upper integers has a real superior limit, the supremum of the rightmost parts of the function, converges to that superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
supcnvlimsupmpt.j	⊢ Ⅎ𝑗𝜑
supcnvlimsupmpt.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
supcnvlimsupmpt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
supcnvlimsupmpt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
supcnvlimsupmpt.r	⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
supcnvlimsupmpt	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ 𝐵), ℝ*, < )) ⇝ (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝐵(𝑗)   𝑀(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem supcnvlimsupmpt

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (ℤ≥‘𝑘) = (ℤ≥‘𝑛))
2	1	mpteq1d 5203	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ 𝐵) = (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ 𝐵))
3	2	rneqd 5929	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ 𝐵) = ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ 𝐵))
4	3	supeq1d 9406	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ 𝐵), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ 𝐵), ℝ*, < ))
5	4	cbvmptv 5217	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ 𝐵), ℝ*, < )) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ 𝐵), ℝ*, < ))
6		supcnvlimsupmpt.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
7	6	uzssd3 46067	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → (ℤ≥‘𝑛) ⊆ 𝑍)
8	7	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (ℤ≥‘𝑛) ⊆ 𝑍)
9	8	resmptd 6043	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ↾ (ℤ≥‘𝑛)) = (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ 𝐵))
10	9	eqcomd 2775	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ 𝐵) = ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ↾ (ℤ≥‘𝑛)))
11	10	rneqd 5929	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ 𝐵) = ran ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ↾ (ℤ≥‘𝑛)))
12	11	supeq1d 9406	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ 𝐵), ℝ*, < ) = sup(ran ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ↾ (ℤ≥‘𝑛)), ℝ*, < ))
13	12	mpteq2dva 5206	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ 𝐵), ℝ*, < )) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ↾ (ℤ≥‘𝑛)), ℝ*, < )))
14	5, 13	eqtrid 2816	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ 𝐵), ℝ*, < )) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ↾ (ℤ≥‘𝑛)), ℝ*, < )))
15		supcnvlimsupmpt.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
16		supcnvlimsupmpt.j	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
17		supcnvlimsupmpt.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
18	16, 17	fmptd2f 45877	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵):𝑍⟶ℝ)
19		supcnvlimsupmpt.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
20	15, 6, 18, 19	supcnvlimsup 46381	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ↾ (ℤ≥‘𝑛)), ℝ*, < )) ⇝ (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)))
21	14, 20	eqbrtrd 5135	1 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ 𝐵), ℝ*, < )) ⇝ (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567  Ⅎwnf 1810   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3911   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ran crn 5663   ↾ cres 5664  ‘cfv 6537  supcsup 9400  ℝcr 11099  ℝ^*cxr 11242   < clt 11243  ℤcz 12591  ℤ_≥cuz 12862  lim supclsp 15521   ⇝ cli 15535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-inf 9403  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-rp 13017  df-ico 13378  df-fz 13536  df-fl 13825  df-ceil 13826  df-seq 14038  df-exp 14098  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-limsup 15522  df-clim 15539

This theorem is referenced by:  smflimsuplem5  47465