Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  supcnvlimsupmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supcnvlimsupmpt 44230
Description: If a function on a set of upper integers has a real superior limit, the supremum of the rightmost parts of the function, converges to that superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
supcnvlimsupmpt.j β„²π‘—πœ‘
supcnvlimsupmpt.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
supcnvlimsupmpt.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
supcnvlimsupmpt.b ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
supcnvlimsupmpt.r (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
supcnvlimsupmpt (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) ↦ 𝐡), ℝ*, < )) ⇝ (lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)))
Distinct variable groups:   𝐡,π‘˜   𝑗,𝑍,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑗,π‘˜)   𝐡(𝑗)   𝑀(𝑗,π‘˜)

Proof of Theorem supcnvlimsupmpt
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6878 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) = (β„€β‰₯β€˜π‘›))
21mpteq1d 5236 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) ↦ 𝐡) = (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) ↦ 𝐡))
32rneqd 5929 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ran (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) ↦ 𝐡) = ran (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) ↦ 𝐡))
43supeq1d 9423 . . . 4 (π‘˜ = 𝑛 β†’ sup(ran (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) ↦ 𝐡), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) ↦ 𝐡), ℝ*, < ))
54cbvmptv 5254 . . 3 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) ↦ 𝐡), ℝ*, < )) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) ↦ 𝐡), ℝ*, < ))
6 supcnvlimsupmpt.z . . . . . . . . . 10 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
76uzssd3 43909 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘›) βŠ† 𝑍)
87adantl 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘›) βŠ† 𝑍)
98resmptd 6030 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) = (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) ↦ 𝐡))
109eqcomd 2737 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) ↦ 𝐡) = ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘›)))
1110rneqd 5929 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ran (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) ↦ 𝐡) = ran ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘›)))
1211supeq1d 9423 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ sup(ran (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) ↦ 𝐡), ℝ*, < ) = sup(ran ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘›)), ℝ*, < ))
1312mpteq2dva 5241 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) ↦ 𝐡), ℝ*, < )) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘›)), ℝ*, < )))
145, 13eqtrid 2783 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) ↦ 𝐡), ℝ*, < )) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘›)), ℝ*, < )))
15 supcnvlimsupmpt.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
16 supcnvlimsupmpt.j . . . 4 β„²π‘—πœ‘
17 supcnvlimsupmpt.b . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
1816, 17fmptd2f 43709 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡):π‘βŸΆβ„)
19 supcnvlimsupmpt.r . . 3 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ∈ ℝ)
2015, 6, 18, 19supcnvlimsup 44229 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘›)), ℝ*, < )) ⇝ (lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)))
2114, 20eqbrtrd 5163 1 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) ↦ 𝐡), ℝ*, < )) ⇝ (lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541  β„²wnf 1785   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3944   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  ran crn 5670   β†Ύ cres 5671  β€˜cfv 6532  supcsup 9417  β„cr 11091  β„*cxr 11229   < clt 11230  β„€cz 12540  β„€β‰₯cuz 12804  lim supclsp 15396   ⇝ cli 15410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-sup 9419  df-inf 9420  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-rp 12957  df-ico 13312  df-fz 13467  df-fl 13739  df-ceil 13740  df-seq 13949  df-exp 14010  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-limsup 15397  df-clim 15414
This theorem is referenced by:  smflimsuplem5  45313
  Copyright terms: Public domain W3C validator