Theorem supcnvlimsupmpt 46191

Description: If a function on a set of upper integers has a real superior limit, the supremum of the rightmost parts of the function, converges to that superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
supcnvlimsupmpt.j	⊢ Ⅎ𝑗𝜑
supcnvlimsupmpt.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
supcnvlimsupmpt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
supcnvlimsupmpt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
supcnvlimsupmpt.r	⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
supcnvlimsupmpt	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ 𝐵), ℝ*, < )) ⇝ (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝐵(𝑗)   𝑀(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem supcnvlimsupmpt

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6836	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (ℤ≥‘𝑘) = (ℤ≥‘𝑛))
2	1	mpteq1d 5176	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ 𝐵) = (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ 𝐵))
3	2	rneqd 5889	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ 𝐵) = ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ 𝐵))
4	3	supeq1d 9354	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ 𝐵), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ 𝐵), ℝ*, < ))
5	4	cbvmptv 5190	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ 𝐵), ℝ*, < )) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ 𝐵), ℝ*, < ))
6		supcnvlimsupmpt.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
7	6	uzssd3 45876	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → (ℤ≥‘𝑛) ⊆ 𝑍)
8	7	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (ℤ≥‘𝑛) ⊆ 𝑍)
9	8	resmptd 6001	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ↾ (ℤ≥‘𝑛)) = (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ 𝐵))
10	9	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ 𝐵) = ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ↾ (ℤ≥‘𝑛)))
11	10	rneqd 5889	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ 𝐵) = ran ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ↾ (ℤ≥‘𝑛)))
12	11	supeq1d 9354	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ 𝐵), ℝ*, < ) = sup(ran ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ↾ (ℤ≥‘𝑛)), ℝ*, < ))
13	12	mpteq2dva 5179	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ 𝐵), ℝ*, < )) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ↾ (ℤ≥‘𝑛)), ℝ*, < )))
14	5, 13	eqtrid 2784	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ 𝐵), ℝ*, < )) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ↾ (ℤ≥‘𝑛)), ℝ*, < )))
15		supcnvlimsupmpt.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
16		supcnvlimsupmpt.j	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
17		supcnvlimsupmpt.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
18	16, 17	fmptd2f 45686	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵):𝑍⟶ℝ)
19		supcnvlimsupmpt.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
20	15, 6, 18, 19	supcnvlimsup 46190	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ↾ (ℤ≥‘𝑛)), ℝ*, < )) ⇝ (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)))
21	14, 20	eqbrtrd 5108	1 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ 𝐵), ℝ*, < )) ⇝ (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ran crn 5627   ↾ cres 5628  ‘cfv 6494  supcsup 9348  ℝcr 11032  ℝ^*cxr 11173   < clt 11174  ℤcz 12519  ℤ_≥cuz 12783  lim supclsp 15427   ⇝ cli 15441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-sup 9350  df-inf 9351  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-ico 13299  df-fz 13457  df-fl 13746  df-ceil 13747  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-limsup 15428  df-clim 15445

This theorem is referenced by:  smflimsuplem5  47274