Theorem supcnvlimsupmpt 45697

Description: If a function on a set of upper integers has a real superior limit, the supremum of the rightmost parts of the function, converges to that superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
supcnvlimsupmpt.j	⊢ Ⅎ𝑗𝜑
supcnvlimsupmpt.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
supcnvlimsupmpt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
supcnvlimsupmpt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
supcnvlimsupmpt.r	⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
supcnvlimsupmpt	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ 𝐵), ℝ*, < )) ⇝ (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝐵(𝑗)   𝑀(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem supcnvlimsupmpt

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6907	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (ℤ≥‘𝑘) = (ℤ≥‘𝑛))
2	1	mpteq1d 5243	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ 𝐵) = (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ 𝐵))
3	2	rneqd 5952	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ 𝐵) = ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ 𝐵))
4	3	supeq1d 9484	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ 𝐵), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ 𝐵), ℝ*, < ))
5	4	cbvmptv 5261	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ 𝐵), ℝ*, < )) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ 𝐵), ℝ*, < ))
6		supcnvlimsupmpt.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
7	6	uzssd3 45376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → (ℤ≥‘𝑛) ⊆ 𝑍)
8	7	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (ℤ≥‘𝑛) ⊆ 𝑍)
9	8	resmptd 6060	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ↾ (ℤ≥‘𝑛)) = (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ 𝐵))
10	9	eqcomd 2741	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ 𝐵) = ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ↾ (ℤ≥‘𝑛)))
11	10	rneqd 5952	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ 𝐵) = ran ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ↾ (ℤ≥‘𝑛)))
12	11	supeq1d 9484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ 𝐵), ℝ*, < ) = sup(ran ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ↾ (ℤ≥‘𝑛)), ℝ*, < ))
13	12	mpteq2dva 5248	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ 𝐵), ℝ*, < )) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ↾ (ℤ≥‘𝑛)), ℝ*, < )))
14	5, 13	eqtrid 2787	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ 𝐵), ℝ*, < )) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ↾ (ℤ≥‘𝑛)), ℝ*, < )))
15		supcnvlimsupmpt.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
16		supcnvlimsupmpt.j	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
17		supcnvlimsupmpt.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
18	16, 17	fmptd2f 45178	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵):𝑍⟶ℝ)
19		supcnvlimsupmpt.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
20	15, 6, 18, 19	supcnvlimsup 45696	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ↾ (ℤ≥‘𝑛)), ℝ*, < )) ⇝ (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)))
21	14, 20	eqbrtrd 5170	1 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ 𝐵), ℝ*, < )) ⇝ (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537  Ⅎwnf 1780   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3963   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5690   ↾ cres 5691  ‘cfv 6563  supcsup 9478  ℝcr 11152  ℝ^*cxr 11292   < clt 11293  ℤcz 12611  ℤ_≥cuz 12876  lim supclsp 15503   ⇝ cli 15517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-ico 13390  df-fz 13545  df-fl 13829  df-ceil 13830  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521

This theorem is referenced by:  smflimsuplem5  46780