Theorem smfinfdmmbllem 45499

Description: If a countable set of sigma-measurable functions have domains in the sigma-algebra, then their infimum function has the domain in the sigma-algebra. This is the fifth statement of Proposition 121H of [Fremlin1] p. 39 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 1-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfinfdmmbllem.1	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
smfinfdmmbllem.2	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfinfdmmbllem.3	⊢ Ⅎ𝑚𝜑
smfinfdmmbllem.4	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
smfinfdmmbllem.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
smfinfdmmbllem.6	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
smfinfdmmbllem.7	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfinfdmmbllem.8	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfinfdmmbllem.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → dom (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑆)
smfinfdmmbllem.10	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)}
smfinfdmmbllem.11	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
smfinfdmmbllem.12	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)}))

Assertion

Ref	Expression
smfinfdmmbllem	⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐷,𝑚   𝑚,𝐹,𝑦   𝑦,𝐻   𝑆,𝑚,𝑛   𝑚,𝑍,𝑥,𝑛,𝑦   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑚,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem smfinfdmmbllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfinfdmmbllem.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
2		smfinfdmmbllem.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
3		smfinfdmmbllem.3	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑚𝜑
4		smfinfdmmbllem.4	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
5		smfinfdmmbllem.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
6	5	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
7		smfinfdmmbllem.8	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
8	7	ffvelcdmda 7082	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) ∈ (SMblFn‘𝑆))
9		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ dom (𝐹‘𝑛) = dom (𝐹‘𝑛)
10	6, 8, 9	smff 45383	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛):dom (𝐹‘𝑛)⟶ℝ)
11	10	frexr 44030	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛):dom (𝐹‘𝑛)⟶ℝ*)
12		smfinfdmmbllem.10	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)}
13		smfinfdmmbllem.11	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
14		smfinfdmmbllem.12	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)}))
15	1, 2, 3, 4, 11, 12, 13, 14	finfdm2 45498	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 = ∪ 𝑚 ∈ ℕ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐻‘𝑛)‘𝑚))
16		nfcv 2904	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑚𝑆
17		nfcv 2904	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑚ℕ
18		nnct 13942	. . . 4 ⊢ ℕ ≼ ω
19	18	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℕ ≼ ω)
20		nfv 1918	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑚 ∈ ℕ
21	1, 20	nfan 1903	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ)
22		nfcv 2904	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑛𝑆
23		nfcv 2904	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑛𝑍
24	5	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ SAlg)
25		smfinfdmmbllem.6	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
26	25	uzct 43683	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ≼ ω
27	26	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑍 ≼ ω)
28		smfinfdmmbllem.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
29	28, 25	uzn0d 44070	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ ∅)
30	29	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑍 ≠ ∅)
31	24	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
32		smfinfdmmbllem.9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → dom (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑆)
33	32	adantlr 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → dom (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑆)
34	31, 33	salrestss 45012	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑆 ↾t dom (𝐹‘𝑛)) ⊆ 𝑆)
35		nfv 1918	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚 𝑛 ∈ 𝑍
36	3, 35	nfan 1903	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚(𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍)
37		nfcv 2904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝑛
38	4, 37	nffv 6898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑛)
39	8	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) ∈ (SMblFn‘𝑆))
40		nnre 12215	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
41	40	renegcld 11637	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → -𝑚 ∈ ℝ)
42	41	rexrd 11260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → -𝑚 ∈ ℝ*)
43	42	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → -𝑚 ∈ ℝ*)
44	38, 31, 39, 9, 43	smfpimgtxr 45431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t dom (𝐹‘𝑛)))
45	44	an32s 651	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t dom (𝐹‘𝑛)))
46	36, 45	fmptd2f 43871	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)}):ℕ⟶(𝑆 ↾t dom (𝐹‘𝑛)))
47		simpr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑛 ∈ 𝑍)
48		nnex 12214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ ∈ V
49	48	mptex 7220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)}) ∈ V
50	14	fvmpt2 7005	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)}) ∈ V) → (𝐻‘𝑛) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)}))
51	47, 49, 50	sylancl 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑛) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)}))
52	51	feq1d 6699	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝐻‘𝑛):ℕ⟶(𝑆 ↾t dom (𝐹‘𝑛)) ↔ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)}):ℕ⟶(𝑆 ↾t dom (𝐹‘𝑛))))
53	46, 52	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑛):ℕ⟶(𝑆 ↾t dom (𝐹‘𝑛)))
54	53	adantlr 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑛):ℕ⟶(𝑆 ↾t dom (𝐹‘𝑛)))
55		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑚 ∈ ℕ)
56	54, 55	ffvelcdmd 7083	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝐻‘𝑛)‘𝑚) ∈ (𝑆 ↾t dom (𝐹‘𝑛)))
57	34, 56	sseldd 3982	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝐻‘𝑛)‘𝑚) ∈ 𝑆)
58	21, 22, 23, 24, 27, 30, 57	saliinclf 44977	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐻‘𝑛)‘𝑚) ∈ 𝑆)
59	3, 16, 17, 5, 19, 58	saliunclf 44973	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑚 ∈ ℕ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐻‘𝑛)‘𝑚) ∈ 𝑆)
60	15, 59	eqeltrd 2834	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  Ⅎwnf 1786   ∈ wcel 2107  Ⅎwnfc 2884   ≠ wne 2941  ∀wral 3062  ∃wrex 3071  {crab 3433  Vcvv 3475  ∅c0 4321  ∪ ciun 4996  ∩ ciin 4997   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675  ran crn 5676  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404  ωcom 7850   ≼ cdom 8933  infcinf 9432  ℝcr 11105  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244   ≤ cle 11245  -cneg 11441  ℕcn 12208  ℤcz 12554  ℤ_≥cuz 12818   ↾_t crest 17362  SAlgcsalg 44959  SMblFncsmblfn 45346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-ac2 10454  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-oadd 8465  df-omul 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-acn 9933  df-ac 10107  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-fl 13753  df-rest 17364  df-salg 44960  df-smblfn 45347

This theorem is referenced by:  smfinfdmmbl  45500