Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfinfdmmbllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfinfdmmbllem 46804
Description: If a countable set of sigma-measurable functions have domains in the sigma-algebra, then their infimum function has the domain in the sigma-algebra. This is the fifth statement of Proposition 121H of [Fremlin1] p. 39 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 1-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
smfinfdmmbllem.1 𝑛𝜑
smfinfdmmbllem.2 𝑥𝜑
smfinfdmmbllem.3 𝑚𝜑
smfinfdmmbllem.4 𝑥𝐹
smfinfdmmbllem.5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
smfinfdmmbllem.6 𝑍 = (ℤ𝑀)
smfinfdmmbllem.7 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfinfdmmbllem.8 (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfinfdmmbllem.9 ((𝜑𝑛𝑍) → dom (𝐹𝑛) ∈ 𝑆)
smfinfdmmbllem.10 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)}
smfinfdmmbllem.11 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ inf(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
smfinfdmmbllem.12 𝐻 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹𝑛)‘𝑥)}))
Assertion
Ref Expression
smfinfdmmbllem (𝜑 → dom 𝐺𝑆)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑚   𝑚,𝐹,𝑦   𝑦,𝐻   𝑆,𝑚,𝑛   𝑚,𝑍,𝑥,𝑛,𝑦   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑚,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem smfinfdmmbllem
StepHypRef Expression
1 smfinfdmmbllem.1 . . 3 𝑛𝜑
2 smfinfdmmbllem.2 . . 3 𝑥𝜑
3 smfinfdmmbllem.3 . . 3 𝑚𝜑
4 smfinfdmmbllem.4 . . 3 𝑥𝐹
5 smfinfdmmbllem.7 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
65adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
7 smfinfdmmbllem.8 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
87ffvelcdmda 7104 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ (SMblFn‘𝑆))
9 eqid 2735 . . . . 5 dom (𝐹𝑛) = dom (𝐹𝑛)
106, 8, 9smff 46688 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛):dom (𝐹𝑛)⟶ℝ)
1110frexr 45335 . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛):dom (𝐹𝑛)⟶ℝ*)
12 smfinfdmmbllem.10 . . 3 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)}
13 smfinfdmmbllem.11 . . 3 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ inf(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
14 smfinfdmmbllem.12 . . 3 𝐻 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹𝑛)‘𝑥)}))
151, 2, 3, 4, 11, 12, 13, 14finfdm2 46803 . 2 (𝜑 → dom 𝐺 = 𝑚 ∈ ℕ 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚))
16 nfcv 2903 . . 3 𝑚𝑆
17 nfcv 2903 . . 3 𝑚
18 nnct 14019 . . . 4 ℕ ≼ ω
1918a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℕ ≼ ω)
20 nfv 1912 . . . . 5 𝑛 𝑚 ∈ ℕ
211, 20nfan 1897 . . . 4 𝑛(𝜑𝑚 ∈ ℕ)
22 nfcv 2903 . . . 4 𝑛𝑆
23 nfcv 2903 . . . 4 𝑛𝑍
245adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ SAlg)
25 smfinfdmmbllem.6 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
2625uzct 45003 . . . . 5 𝑍 ≼ ω
2726a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑍 ≼ ω)
28 smfinfdmmbllem.5 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2928, 25uzn0d 45375 . . . . 5 (𝜑𝑍 ≠ ∅)
3029adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑍 ≠ ∅)
3124adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
32 smfinfdmmbllem.9 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → dom (𝐹𝑛) ∈ 𝑆)
3332adantlr 715 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) → dom (𝐹𝑛) ∈ 𝑆)
3431, 33salrestss 46317 . . . . 5 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) → (𝑆t dom (𝐹𝑛)) ⊆ 𝑆)
35 nfv 1912 . . . . . . . . . 10 𝑚 𝑛𝑍
363, 35nfan 1897 . . . . . . . . 9 𝑚(𝜑𝑛𝑍)
37 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑛
384, 37nffv 6917 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝐹𝑛)
398adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ (SMblFn‘𝑆))
40 nnre 12271 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
4140renegcld 11688 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ → -𝑚 ∈ ℝ)
4241rexrd 11309 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ → -𝑚 ∈ ℝ*)
4342ad2antlr 727 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) → -𝑚 ∈ ℝ*)
4438, 31, 39, 9, 43smfpimgtxr 46736 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) → {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹𝑛)‘𝑥)} ∈ (𝑆t dom (𝐹𝑛)))
4544an32s 652 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹𝑛)‘𝑥)} ∈ (𝑆t dom (𝐹𝑛)))
4636, 45fmptd2f 45178 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹𝑛)‘𝑥)}):ℕ⟶(𝑆t dom (𝐹𝑛)))
47 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑛𝑍)
48 nnex 12270 . . . . . . . . . . 11 ℕ ∈ V
4948mptex 7243 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹𝑛)‘𝑥)}) ∈ V
5014fvmpt2 7027 . . . . . . . . . 10 ((𝑛𝑍 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹𝑛)‘𝑥)}) ∈ V) → (𝐻𝑛) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹𝑛)‘𝑥)}))
5147, 49, 50sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐻𝑛) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹𝑛)‘𝑥)}))
5251feq1d 6721 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐻𝑛):ℕ⟶(𝑆t dom (𝐹𝑛)) ↔ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹𝑛)‘𝑥)}):ℕ⟶(𝑆t dom (𝐹𝑛))))
5346, 52mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐻𝑛):ℕ⟶(𝑆t dom (𝐹𝑛)))
5453adantlr 715 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐻𝑛):ℕ⟶(𝑆t dom (𝐹𝑛)))
55 simplr 769 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑚 ∈ ℕ)
5654, 55ffvelcdmd 7105 . . . . 5 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐻𝑛)‘𝑚) ∈ (𝑆t dom (𝐹𝑛)))
5734, 56sseldd 3996 . . . 4 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐻𝑛)‘𝑚) ∈ 𝑆)
5821, 22, 23, 24, 27, 30, 57saliinclf 46282 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚) ∈ 𝑆)
593, 16, 17, 5, 19, 58saliunclf 46278 . 2 (𝜑 𝑚 ∈ ℕ 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚) ∈ 𝑆)
6015, 59eqeltrd 2839 1 (𝜑 → dom 𝐺𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wnf 1780  wcel 2106  wnfc 2888  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  {crab 3433  Vcvv 3478  c0 4339   ciun 4996   ciin 4997   class class class wbr 5148  cmpt 5231  dom cdm 5689  ran crn 5690  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  ωcom 7887  cdom 8982  infcinf 9479  cr 11152  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  -cneg 11491  cn 12264  cz 12611  cuz 12876  t crest 17467  SAlgcsalg 46264  SMblFncsmblfn 46651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cc 10473  ax-ac2 10501  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-acn 9980  df-ac 10154  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-fl 13829  df-rest 17469  df-salg 46265  df-smblfn 46652
This theorem is referenced by:  smfinfdmmbl  46805
  Copyright terms: Public domain W3C validator