Theorem smfinfdmmbllem 47684

Description: If a countable set of sigma-measurable functions have domains in the sigma-algebra, then their infimum function has the domain in the sigma-algebra. This is the fifth statement of Proposition 121H of [Fremlin1] p. 39 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 1-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfinfdmmbllem.1	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
smfinfdmmbllem.2	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfinfdmmbllem.3	⊢ Ⅎ𝑚𝜑
smfinfdmmbllem.4	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
smfinfdmmbllem.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
smfinfdmmbllem.6	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
smfinfdmmbllem.7	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfinfdmmbllem.8	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfinfdmmbllem.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → dom (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑆)
smfinfdmmbllem.10	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)}
smfinfdmmbllem.11	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
smfinfdmmbllem.12	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)}))

Assertion

Ref	Expression
smfinfdmmbllem	⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐷,𝑚   𝑚,𝐹,𝑦   𝑦,𝐻   𝑆,𝑚,𝑛   𝑚,𝑍,𝑥,𝑛,𝑦   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑚, 𝑛)   𝐷(𝑥, 𝑦, 𝑛)   𝑆(𝑥, 𝑦)   𝐹(𝑥, 𝑛)   𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑚, 𝑛)   𝐻(𝑥, 𝑚, 𝑛)   𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑚, 𝑛)

Proof of Theorem smfinfdmmbllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfinfdmmbllem.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
2		smfinfdmmbllem.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
3		smfinfdmmbllem.3	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑚𝜑
4		smfinfdmmbllem.4	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
5		smfinfdmmbllem.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
6	5	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
7		smfinfdmmbllem.8	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
8	7	ffvelcdmda 7081	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) ∈ (SMblFn‘𝑆))
9		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ dom (𝐹‘𝑛) = dom (𝐹‘𝑛)
10	6, 8, 9	smff 47568	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛):dom (𝐹‘𝑛)⟶ℝ)
11	10	frexr 46222	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛):dom (𝐹‘𝑛)⟶ℝ*)
12		smfinfdmmbllem.10	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)}
13		smfinfdmmbllem.11	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
14		smfinfdmmbllem.12	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)}))
15	1, 2, 3, 4, 11, 12, 13, 14	finfdm2 47683	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 = ∪ 𝑚 ∈ ℕ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐻‘𝑛)‘𝑚))
16		nfcv 2924	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑚𝑆
17		nfcv 2924	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑚ℕ
18		nnct 14049	. . . 4 ⊢ ℕ ≼ ω
19	18	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℕ ≼ ω)
20		nfv 1947	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑚 ∈ ℕ
21	1, 20	nfan 1932	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ)
22		nfcv 2924	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑛𝑆
23		nfcv 2924	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑛𝑍
24	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ SAlg)
25		smfinfdmmbllem.6	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
26	25	uzct 45905	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ≼ ω
27	26	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑍 ≼ ω)
28		smfinfdmmbllem.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
29	28, 25	uzn0d 46261	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ ∅)
30	29	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑍 ≠ ∅)
31	24	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
32		smfinfdmmbllem.9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → dom (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑆)
33	32	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → dom (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑆)
34	31, 33	salrestss 47197	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑆 ↾t dom (𝐹‘𝑛)) ⊆ 𝑆)
35		nfv 1947	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚 𝑛 ∈ 𝑍
36	3, 35	nfan 1932	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚(𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍)
37		nfcv 2924	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝑛
38	4, 37	nffv 6892	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑛)
39	8	adantlr 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) ∈ (SMblFn‘𝑆))
40		nnre 12268	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
41	40	renegcld 11669	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → -𝑚 ∈ ℝ)
42	41	rexrd 11287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → -𝑚 ∈ ℝ*)
43	42	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → -𝑚 ∈ ℝ*)
44	38, 31, 39, 9, 43	smfpimgtxr 47616	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t dom (𝐹‘𝑛)))
45	44	an32s 665	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t dom (𝐹‘𝑛)))
46	36, 45	fmptd2f 46072	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)}):ℕ⟶(𝑆 ↾t dom (𝐹‘𝑛)))
47		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑛 ∈ 𝑍)
48		nnex 12267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ ∈ V
49	48	mptex 7226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)}) ∈ V
50	14	fvmpt2 7002	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)}) ∈ V) → (𝐻‘𝑛) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)}))
51	47, 49, 50	sylancl 598	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑛) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)}))
52	51	feq1d 6688	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝐻‘𝑛):ℕ⟶(𝑆 ↾t dom (𝐹‘𝑛)) ↔ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)}):ℕ⟶(𝑆 ↾t dom (𝐹‘𝑛))))
53	46, 52	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑛):ℕ⟶(𝑆 ↾t dom (𝐹‘𝑛)))
54	53	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑛):ℕ⟶(𝑆 ↾t dom (𝐹‘𝑛)))
55		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑚 ∈ ℕ)
56	54, 55	ffvelcdmd 7082	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝐻‘𝑛)‘𝑚) ∈ (𝑆 ↾t dom (𝐹‘𝑛)))
57	34, 56	sseldd 3935	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝐻‘𝑛)‘𝑚) ∈ 𝑆)
58	21, 22, 23, 24, 27, 30, 57	saliinclf 47162	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐻‘𝑛)‘𝑚) ∈ 𝑆)
59	3, 16, 17, 5, 19, 58	saliunclf 47158	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑚 ∈ ℕ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐻‘𝑛)‘𝑚) ∈ 𝑆)
60	15, 59	eqeltrd 2862	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145  Ⅎwnfc 2909   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  {crab 3414  Vcvv 3453  ∅c0 4282  ∪ ciun 4954  ∩ ciin 4955   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190  dom cdm 5659  ran crn 5660  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ωcom 7866   ≼ cdom 8954  infcinf 9415  ℝcr 11127  ℝ^*cxr 11270   < clt 11271   ≤ cle 11272  -cneg 11470  ℕcn 12261  ℤcz 12619  ℤ_≥cuz 12891   ↾_t crest 17511  SAlgcsalg 47144  SMblFncsmblfn 47531

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cc 10441  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-omul 8464  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-inf 9417  df-oi 9486  df-card 9948  df-acn 9951  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-q 13002  df-rp 13047  df-ioo 13406  df-ico 13408  df-fl 13857  df-rest 17513  df-salg 47145  df-smblfn 47532

This theorem is used by:  smfinfdmmbl  47685