Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfinfdmmbllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfinfdmmbllem 44983
Description: If a countable set of sigma-measurable functions have domains in the sigma-algebra, then their infimum function has the domain in the sigma-algebra. This is the fifth statement of Proposition 121H of [Fremlin1] p. 39 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 1-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
smfinfdmmbllem.1 𝑛𝜑
smfinfdmmbllem.2 𝑥𝜑
smfinfdmmbllem.3 𝑚𝜑
smfinfdmmbllem.4 𝑥𝐹
smfinfdmmbllem.5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
smfinfdmmbllem.6 𝑍 = (ℤ𝑀)
smfinfdmmbllem.7 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfinfdmmbllem.8 (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfinfdmmbllem.9 ((𝜑𝑛𝑍) → dom (𝐹𝑛) ∈ 𝑆)
smfinfdmmbllem.10 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)}
smfinfdmmbllem.11 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ inf(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
smfinfdmmbllem.12 𝐻 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹𝑛)‘𝑥)}))
Assertion
Ref Expression
smfinfdmmbllem (𝜑 → dom 𝐺𝑆)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑚   𝑚,𝐹,𝑦   𝑦,𝐻   𝑆,𝑚,𝑛   𝑚,𝑍,𝑥,𝑛,𝑦   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑚,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem smfinfdmmbllem
StepHypRef Expression
1 smfinfdmmbllem.1 . . 3 𝑛𝜑
2 smfinfdmmbllem.2 . . 3 𝑥𝜑
3 smfinfdmmbllem.3 . . 3 𝑚𝜑
4 smfinfdmmbllem.4 . . 3 𝑥𝐹
5 smfinfdmmbllem.7 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
65adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
7 smfinfdmmbllem.8 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
87ffvelcdmda 7031 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ (SMblFn‘𝑆))
9 eqid 2737 . . . . 5 dom (𝐹𝑛) = dom (𝐹𝑛)
106, 8, 9smff 44867 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛):dom (𝐹𝑛)⟶ℝ)
1110frexr 43517 . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛):dom (𝐹𝑛)⟶ℝ*)
12 smfinfdmmbllem.10 . . 3 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)}
13 smfinfdmmbllem.11 . . 3 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ inf(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
14 smfinfdmmbllem.12 . . 3 𝐻 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹𝑛)‘𝑥)}))
151, 2, 3, 4, 11, 12, 13, 14finfdm2 44982 . 2 (𝜑 → dom 𝐺 = 𝑚 ∈ ℕ 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚))
16 nfcv 2905 . . 3 𝑚𝑆
17 nfcv 2905 . . 3 𝑚
18 nnct 13840 . . . 4 ℕ ≼ ω
1918a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℕ ≼ ω)
20 nfv 1917 . . . . 5 𝑛 𝑚 ∈ ℕ
211, 20nfan 1902 . . . 4 𝑛(𝜑𝑚 ∈ ℕ)
22 nfcv 2905 . . . 4 𝑛𝑆
23 nfcv 2905 . . . 4 𝑛𝑍
245adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ SAlg)
25 smfinfdmmbllem.6 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
2625uzct 43175 . . . . 5 𝑍 ≼ ω
2726a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑍 ≼ ω)
28 smfinfdmmbllem.5 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2928, 25uzn0d 43558 . . . . 5 (𝜑𝑍 ≠ ∅)
3029adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑍 ≠ ∅)
3124adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
32 smfinfdmmbllem.9 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → dom (𝐹𝑛) ∈ 𝑆)
3332adantlr 713 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) → dom (𝐹𝑛) ∈ 𝑆)
3431, 33salrestss 44496 . . . . 5 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) → (𝑆t dom (𝐹𝑛)) ⊆ 𝑆)
35 nfv 1917 . . . . . . . . . 10 𝑚 𝑛𝑍
363, 35nfan 1902 . . . . . . . . 9 𝑚(𝜑𝑛𝑍)
37 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑛
384, 37nffv 6849 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝐹𝑛)
398adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ (SMblFn‘𝑆))
40 nnre 12118 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
4140renegcld 11540 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ → -𝑚 ∈ ℝ)
4241rexrd 11163 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ → -𝑚 ∈ ℝ*)
4342ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) → -𝑚 ∈ ℝ*)
4438, 31, 39, 9, 43smfpimgtxr 44915 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) → {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹𝑛)‘𝑥)} ∈ (𝑆t dom (𝐹𝑛)))
4544an32s 650 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹𝑛)‘𝑥)} ∈ (𝑆t dom (𝐹𝑛)))
4636, 45fmptd2f 43358 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹𝑛)‘𝑥)}):ℕ⟶(𝑆t dom (𝐹𝑛)))
47 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑛𝑍)
48 nnex 12117 . . . . . . . . . . 11 ℕ ∈ V
4948mptex 7169 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹𝑛)‘𝑥)}) ∈ V
5014fvmpt2 6956 . . . . . . . . . 10 ((𝑛𝑍 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹𝑛)‘𝑥)}) ∈ V) → (𝐻𝑛) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹𝑛)‘𝑥)}))
5147, 49, 50sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐻𝑛) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹𝑛)‘𝑥)}))
5251feq1d 6650 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐻𝑛):ℕ⟶(𝑆t dom (𝐹𝑛)) ↔ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹𝑛)‘𝑥)}):ℕ⟶(𝑆t dom (𝐹𝑛))))
5346, 52mpbird 256 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐻𝑛):ℕ⟶(𝑆t dom (𝐹𝑛)))
5453adantlr 713 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐻𝑛):ℕ⟶(𝑆t dom (𝐹𝑛)))
55 simplr 767 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑚 ∈ ℕ)
5654, 55ffvelcdmd 7032 . . . . 5 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐻𝑛)‘𝑚) ∈ (𝑆t dom (𝐹𝑛)))
5734, 56sseldd 3943 . . . 4 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐻𝑛)‘𝑚) ∈ 𝑆)
5821, 22, 23, 24, 27, 30, 57saliinclf 44461 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚) ∈ 𝑆)
593, 16, 17, 5, 19, 58saliunclf 44457 . 2 (𝜑 𝑚 ∈ ℕ 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚) ∈ 𝑆)
6015, 59eqeltrd 2838 1 (𝜑 → dom 𝐺𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wnf 1785  wcel 2106  wnfc 2885  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  {crab 3405  Vcvv 3443  c0 4280   ciun 4952   ciin 4953   class class class wbr 5103  cmpt 5186  dom cdm 5631  ran crn 5632  wf 6489  cfv 6493  (class class class)co 7351  ωcom 7794  cdom 8839  infcinf 9335  cr 11008  *cxr 11146   < clt 11147  cle 11148  -cneg 11344  cn 12111  cz 12457  cuz 12721  t crest 17261  SAlgcsalg 44443  SMblFncsmblfn 44830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-inf2 9535  ax-cc 10329  ax-ac2 10357  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-oadd 8408  df-omul 8409  df-er 8606  df-map 8725  df-pm 8726  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-sup 9336  df-inf 9337  df-oi 9404  df-card 9833  df-acn 9836  df-ac 10010  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-q 12828  df-rp 12870  df-ioo 13222  df-ico 13224  df-fl 13651  df-rest 17263  df-salg 44444  df-smblfn 44831
This theorem is referenced by:  smfinfdmmbl  44984
  Copyright terms: Public domain W3C validator