Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfsupmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfsupmpt 46175
Description: The supremum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (b) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfsupmpt.n 𝑛𝜑
smfsupmpt.x 𝑥𝜑
smfsupmpt.y 𝑦𝜑
smfsupmpt.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
smfsupmpt.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
smfsupmpt.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfsupmpt.b ((𝜑𝑛𝑍𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
smfsupmpt.f ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfsupmpt.d 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝐵𝑦}
smfsupmpt.g 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
smfsupmpt (𝜑𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵   𝑆,𝑛   𝑛,𝑍,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑥,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem smfsupmpt
StepHypRef Expression
1 smfsupmpt.g . . 3 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ))
2 smfsupmpt.x . . . 4 𝑥𝜑
3 smfsupmpt.d . . . . 5 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝐵𝑦}
4 smfsupmpt.n . . . . . . . 8 𝑛𝜑
5 eqidd 2728 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵)) = (𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵)))
6 smfsupmpt.f . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
75, 6fvmpt2d 7012 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛) = (𝑥𝐴𝐵))
87dmeqd 5902 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑍) → dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛) = dom (𝑥𝐴𝐵))
9 nfcv 2898 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑍
109nfcri 2885 . . . . . . . . . . 11 𝑥 𝑛𝑍
112, 10nfan 1895 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝜑𝑛𝑍)
12 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
13 smfsupmpt.b . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑍𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
14133expa 1116 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
1511, 12, 14dmmptdf 44569 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑍) → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
168, 15eqtr2d 2768 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝐴 = dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛))
174, 16iineq2d 5014 . . . . . . 7 (𝜑 𝑛𝑍 𝐴 = 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛))
18 nfcv 2898 . . . . . . . 8 𝑥 𝑛𝑍 𝐴
19 nfmpt1 5250 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(𝑥𝐴𝐵)
209, 19nfmpt 5249 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))
21 nfcv 2898 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑛
2220, 21nffv 6901 . . . . . . . . . 10 𝑥((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)
2322nfdm 5947 . . . . . . . . 9 𝑥dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)
249, 23nfiin 5022 . . . . . . . 8 𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)
2518, 24rabeqf 3461 . . . . . . 7 ( 𝑛𝑍 𝐴 = 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛) → {𝑥 𝑛𝑍 𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝐵𝑦} = {𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝐵𝑦})
2617, 25syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑥 𝑛𝑍 𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝐵𝑦} = {𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝐵𝑦})
27 smfsupmpt.y . . . . . . . . 9 𝑦𝜑
28 nfv 1910 . . . . . . . . 9 𝑦 𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)
2927, 28nfan 1895 . . . . . . . 8 𝑦(𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛))
30 nfii1 5026 . . . . . . . . . . 11 𝑛 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)
3130nfcri 2885 . . . . . . . . . 10 𝑛 𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)
324, 31nfan 1895 . . . . . . . . 9 𝑛(𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛))
33 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)) ∧ 𝑛𝑍) → 𝜑)
34 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑛𝑍)
35 eliinid 44449 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛))
3635adantll 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛))
378, 15eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝑍) → dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛) = 𝐴)
3837adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)) ∧ 𝑛𝑍) → dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛) = 𝐴)
3936, 38eleqtrd 2830 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥𝐴)
407fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍) → (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥) = ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥))
41403adant3 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝑍𝑥𝐴) → (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥) = ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥))
42 simp3 1136 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
43 fvmpt4 44585 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝐴𝐵𝑉) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
4442, 13, 43syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝑍𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
4541, 44eqtr2d 2768 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑍𝑥𝐴) → 𝐵 = (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥))
4645breq1d 5152 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑍𝑥𝐴) → (𝐵𝑦 ↔ (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦))
4733, 34, 39, 46syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐵𝑦 ↔ (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦))
4832, 47ralbida 3262 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)) → (∀𝑛𝑍 𝐵𝑦 ↔ ∀𝑛𝑍 (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦))
4929, 48rexbid 3266 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝐵𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦))
502, 49rabbida 3453 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝐵𝑦} = {𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦})
5126, 50eqtrd 2767 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥 𝑛𝑍 𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝐵𝑦} = {𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦})
523, 51eqtrid 2779 . . . 4 (𝜑𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦})
53 nfcv 2898 . . . . . . . . . . . 12 𝑛
54 nfra1 3276 . . . . . . . . . . . 12 𝑛𝑛𝑍 𝐵𝑦
5553, 54nfrexw 3305 . . . . . . . . . . 11 𝑛𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝐵𝑦
56 nfii1 5026 . . . . . . . . . . 11 𝑛 𝑛𝑍 𝐴
5755, 56nfrabw 3463 . . . . . . . . . 10 𝑛{𝑥 𝑛𝑍 𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝐵𝑦}
583, 57nfcxfr 2896 . . . . . . . . 9 𝑛𝐷
5958nfcri 2885 . . . . . . . 8 𝑛 𝑥𝐷
604, 59nfan 1895 . . . . . . 7 𝑛(𝜑𝑥𝐷)
61 simpll 766 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍) → 𝜑)
62 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑛𝑍)
63 rabidim1 3448 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝐵𝑦} → 𝑥 𝑛𝑍 𝐴)
6463, 3eleq2s 2846 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐷𝑥 𝑛𝑍 𝐴)
65 eliinid 44449 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 𝑛𝑍 𝐴𝑛𝑍) → 𝑥𝐴)
6664, 65sylan 579 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐷𝑛𝑍) → 𝑥𝐴)
6766adantll 713 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥𝐴)
6861, 62, 67, 45syl3anc 1369 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍) → 𝐵 = (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥))
6960, 68mpteq2da 5240 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑛𝑍𝐵) = (𝑛𝑍 ↦ (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥)))
7069rneqd 5934 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → ran (𝑛𝑍𝐵) = ran (𝑛𝑍 ↦ (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥)))
7170supeq1d 9463 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → sup(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ) = sup(ran (𝑛𝑍 ↦ (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
722, 52, 71mpteq12da 5227 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < )) = (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )))
731, 72eqtrid 2779 . 2 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )))
74 nfmpt1 5250 . . 3 𝑛(𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))
75 smfsupmpt.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
76 smfsupmpt.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
77 smfsupmpt.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
784, 6fmptd2f 44581 . . 3 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵)):𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
79 eqid 2727 . . 3 {𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} = {𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
80 eqid 2727 . . 3 (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )) = (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
8174, 20, 75, 76, 77, 78, 79, 80smfsup 46174 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )) ∈ (SMblFn‘𝑆))
8273, 81eqeltrd 2828 1 (𝜑𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wnf 1778  wcel 2099  wral 3056  wrex 3065  {crab 3427   ciin 4992   class class class wbr 5142  cmpt 5225  dom cdm 5672  ran crn 5673  cfv 6542  supcsup 9457  cr 11131   < clt 11272  cle 11273  cz 12582  cuz 12846  SAlgcsalg 45668  SMblFncsmblfn 46055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9658  ax-cc 10452  ax-ac2 10480  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9527  df-card 9956  df-acn 9959  df-ac 10133  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-q 12957  df-rp 13001  df-ioo 13354  df-ioc 13355  df-ico 13356  df-fl 13783  df-rest 17397  df-topgen 17418  df-top 22789  df-bases 22842  df-salg 45669  df-salgen 45673  df-smblfn 46056
This theorem is referenced by:  smfinflem  46177
  Copyright terms: Public domain W3C validator