Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfsupmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfsupmpt 45046
Description: The supremum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (b) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfsupmpt.n 𝑛𝜑
smfsupmpt.x 𝑥𝜑
smfsupmpt.y 𝑦𝜑
smfsupmpt.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
smfsupmpt.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
smfsupmpt.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfsupmpt.b ((𝜑𝑛𝑍𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
smfsupmpt.f ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfsupmpt.d 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝐵𝑦}
smfsupmpt.g 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
smfsupmpt (𝜑𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵   𝑆,𝑛   𝑛,𝑍,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑥,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem smfsupmpt
StepHypRef Expression
1 smfsupmpt.g . . 3 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ))
2 smfsupmpt.x . . . 4 𝑥𝜑
3 smfsupmpt.d . . . . 5 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝐵𝑦}
4 smfsupmpt.n . . . . . . . 8 𝑛𝜑
5 eqidd 2737 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵)) = (𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵)))
6 smfsupmpt.f . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
75, 6fvmpt2d 6961 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛) = (𝑥𝐴𝐵))
87dmeqd 5861 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑍) → dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛) = dom (𝑥𝐴𝐵))
9 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑍
109nfcri 2894 . . . . . . . . . . 11 𝑥 𝑛𝑍
112, 10nfan 1902 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝜑𝑛𝑍)
12 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
13 smfsupmpt.b . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑍𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
14133expa 1118 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
1511, 12, 14dmmptdf 43435 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑍) → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
168, 15eqtr2d 2777 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝐴 = dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛))
174, 16iineq2d 4977 . . . . . . 7 (𝜑 𝑛𝑍 𝐴 = 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛))
18 nfcv 2907 . . . . . . . 8 𝑥 𝑛𝑍 𝐴
19 nfmpt1 5213 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(𝑥𝐴𝐵)
209, 19nfmpt 5212 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))
21 nfcv 2907 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑛
2220, 21nffv 6852 . . . . . . . . . 10 𝑥((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)
2322nfdm 5906 . . . . . . . . 9 𝑥dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)
249, 23nfiin 4985 . . . . . . . 8 𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)
2518, 24rabeqf 3438 . . . . . . 7 ( 𝑛𝑍 𝐴 = 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛) → {𝑥 𝑛𝑍 𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝐵𝑦} = {𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝐵𝑦})
2617, 25syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑥 𝑛𝑍 𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝐵𝑦} = {𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝐵𝑦})
27 smfsupmpt.y . . . . . . . . 9 𝑦𝜑
28 nfv 1917 . . . . . . . . 9 𝑦 𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)
2927, 28nfan 1902 . . . . . . . 8 𝑦(𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛))
30 nfii1 4989 . . . . . . . . . . 11 𝑛 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)
3130nfcri 2894 . . . . . . . . . 10 𝑛 𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)
324, 31nfan 1902 . . . . . . . . 9 𝑛(𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛))
33 simpll 765 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)) ∧ 𝑛𝑍) → 𝜑)
34 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑛𝑍)
35 eliinid 43311 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛))
3635adantll 712 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛))
378, 15eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝑍) → dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛) = 𝐴)
3837adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)) ∧ 𝑛𝑍) → dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛) = 𝐴)
3936, 38eleqtrd 2840 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥𝐴)
407fveq1d 6844 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍) → (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥) = ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥))
41403adant3 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝑍𝑥𝐴) → (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥) = ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥))
42 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
43 fvmpt4 43454 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝐴𝐵𝑉) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
4442, 13, 43syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝑍𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
4541, 44eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑍𝑥𝐴) → 𝐵 = (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥))
4645breq1d 5115 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑍𝑥𝐴) → (𝐵𝑦 ↔ (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦))
4733, 34, 39, 46syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐵𝑦 ↔ (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦))
4832, 47ralbida 3253 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)) → (∀𝑛𝑍 𝐵𝑦 ↔ ∀𝑛𝑍 (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦))
4929, 48rexbid 3257 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝐵𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦))
502, 49rabbida 3433 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝐵𝑦} = {𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦})
5126, 50eqtrd 2776 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥 𝑛𝑍 𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝐵𝑦} = {𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦})
523, 51eqtrid 2788 . . . 4 (𝜑𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦})
53 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . 12 𝑛
54 nfra1 3267 . . . . . . . . . . . 12 𝑛𝑛𝑍 𝐵𝑦
5553, 54nfrexw 3296 . . . . . . . . . . 11 𝑛𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝐵𝑦
56 nfii1 4989 . . . . . . . . . . 11 𝑛 𝑛𝑍 𝐴
5755, 56nfrabw 3440 . . . . . . . . . 10 𝑛{𝑥 𝑛𝑍 𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝐵𝑦}
583, 57nfcxfr 2905 . . . . . . . . 9 𝑛𝐷
5958nfcri 2894 . . . . . . . 8 𝑛 𝑥𝐷
604, 59nfan 1902 . . . . . . 7 𝑛(𝜑𝑥𝐷)
61 simpll 765 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍) → 𝜑)
62 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑛𝑍)
63 rabidim1 3428 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝐵𝑦} → 𝑥 𝑛𝑍 𝐴)
6463, 3eleq2s 2856 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐷𝑥 𝑛𝑍 𝐴)
65 eliinid 43311 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 𝑛𝑍 𝐴𝑛𝑍) → 𝑥𝐴)
6664, 65sylan 580 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐷𝑛𝑍) → 𝑥𝐴)
6766adantll 712 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥𝐴)
6861, 62, 67, 45syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍) → 𝐵 = (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥))
6960, 68mpteq2da 5203 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑛𝑍𝐵) = (𝑛𝑍 ↦ (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥)))
7069rneqd 5893 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → ran (𝑛𝑍𝐵) = ran (𝑛𝑍 ↦ (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥)))
7170supeq1d 9382 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → sup(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ) = sup(ran (𝑛𝑍 ↦ (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
722, 52, 71mpteq12da 5190 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < )) = (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )))
731, 72eqtrid 2788 . 2 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )))
74 nfmpt1 5213 . . 3 𝑛(𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))
75 smfsupmpt.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
76 smfsupmpt.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
77 smfsupmpt.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
784, 6fmptd2f 43450 . . 3 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵)):𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
79 eqid 2736 . . 3 {𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} = {𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
80 eqid 2736 . . 3 (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )) = (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
8174, 20, 75, 76, 77, 78, 79, 80smfsup 45045 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )) ∈ (SMblFn‘𝑆))
8273, 81eqeltrd 2838 1 (𝜑𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wnf 1785  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  {crab 3407   ciin 4955   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633  ran crn 5634  cfv 6496  supcsup 9376  cr 11050   < clt 11189  cle 11190  cz 12499  cuz 12763  SAlgcsalg 44539  SMblFncsmblfn 44926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cc 10371  ax-ac2 10399  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-acn 9878  df-ac 10052  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-fl 13697  df-rest 17304  df-topgen 17325  df-top 22243  df-bases 22296  df-salg 44540  df-salgen 44544  df-smblfn 44927
This theorem is referenced by:  smfinflem  45048
  Copyright terms: Public domain W3C validator