Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climinfmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climinfmpt 42296
Description: A bounded below, monotonic nonincreasing sequence converges to the infimum of its range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climinfmpt.p 𝑘𝜑
climinfmpt.j 𝑗𝜑
climinfmpt.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climinfmpt.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climinfmpt.b ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
climinfmpt.c (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝐶)
climinfmpt.l ((𝜑𝑘𝑍𝑗 = (𝑘 + 1)) → 𝐶𝐵)
climinfmpt.e (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 𝑥𝐵)
Assertion
Ref Expression
climinfmpt (𝜑 → (𝑘𝑍𝐵) ⇝ inf(ran (𝑘𝑍𝐵), ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑗   𝑥,𝐵   𝐶,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝑥,𝑍,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑥,𝑗)   𝑀(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem climinfmpt
Dummy variables 𝑖 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1915 . 2 𝑖𝜑
2 nfcv 2979 . 2 𝑖(𝑘𝑍𝐵)
3 climinfmpt.z . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
4 climinfmpt.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
5 climinfmpt.p . . 3 𝑘𝜑
6 climinfmpt.b . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
75, 6fmptd2f 41809 . 2 (𝜑 → (𝑘𝑍𝐵):𝑍⟶ℝ)
8 nfv 1915 . . . . . . 7 𝑘 𝑖𝑍
95, 8nfan 1900 . . . . . 6 𝑘(𝜑𝑖𝑍)
10 nfv 1915 . . . . . 6 𝑘(𝑖 + 1) / 𝑗𝐶𝑖 / 𝑗𝐶
119, 10nfim 1897 . . . . 5 𝑘((𝜑𝑖𝑍) → (𝑖 + 1) / 𝑗𝐶𝑖 / 𝑗𝐶)
12 eleq1 2901 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘𝑍𝑖𝑍))
1312anbi2d 631 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑖 → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑𝑖𝑍)))
14 oveq1 7147 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 + 1) = (𝑖 + 1))
1514csbeq1d 3859 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖(𝑘 + 1) / 𝑗𝐶 = (𝑖 + 1) / 𝑗𝐶)
16 eqidd 2823 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖𝐵 = 𝐵)
17 csbcow 3870 . . . . . . . . . . 11 𝑘 / 𝑗𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑘 / 𝑘𝐵
18 csbid 3868 . . . . . . . . . . 11 𝑘 / 𝑘𝐵 = 𝐵
1917, 18eqtr2i 2846 . . . . . . . . . 10 𝐵 = 𝑘 / 𝑗𝑗 / 𝑘𝐵
20 nfcv 2979 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗𝐵
21 nfcv 2979 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝐶
22 climinfmpt.c . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝐶)
2320, 21, 22cbvcsbw 3865 . . . . . . . . . . . 12 𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑗𝐶
24 csbid 3868 . . . . . . . . . . . 12 𝑗 / 𝑗𝐶 = 𝐶
2523, 24eqtri 2845 . . . . . . . . . . 11 𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝐶
2625csbeq2i 3863 . . . . . . . . . 10 𝑘 / 𝑗𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑘 / 𝑗𝐶
2719, 26eqtri 2845 . . . . . . . . 9 𝐵 = 𝑘 / 𝑗𝐶
2827a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖𝐵 = 𝑘 / 𝑗𝐶)
29 csbeq1 3858 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖𝑘 / 𝑗𝐶 = 𝑖 / 𝑗𝐶)
3016, 28, 293eqtrd 2861 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖𝐵 = 𝑖 / 𝑗𝐶)
3115, 30breq12d 5055 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘 + 1) / 𝑗𝐶𝐵(𝑖 + 1) / 𝑗𝐶𝑖 / 𝑗𝐶))
3213, 31imbi12d 348 . . . . 5 (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑𝑘𝑍) → (𝑘 + 1) / 𝑗𝐶𝐵) ↔ ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑖 + 1) / 𝑗𝐶𝑖 / 𝑗𝐶)))
33 simpl 486 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝜑)
34 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝑍)
35 eqidd 2823 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1))
36 climinfmpt.j . . . . . . . . 9 𝑗𝜑
37 nfv 1915 . . . . . . . . 9 𝑗 𝑘𝑍
38 nfv 1915 . . . . . . . . 9 𝑗(𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)
3936, 37, 38nf3an 1902 . . . . . . . 8 𝑗(𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1))
40 nfcsb1v 3879 . . . . . . . . 9 𝑗(𝑘 + 1) / 𝑗𝐶
41 nfcv 2979 . . . . . . . . 9 𝑗
4240, 41, 20nfbr 5089 . . . . . . . 8 𝑗(𝑘 + 1) / 𝑗𝐶𝐵
4339, 42nfim 1897 . . . . . . 7 𝑗((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)) → (𝑘 + 1) / 𝑗𝐶𝐵)
44 ovex 7173 . . . . . . 7 (𝑘 + 1) ∈ V
45 eqeq1 2826 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 = (𝑘 + 1) ↔ (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)))
46453anbi3d 1439 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝜑𝑘𝑍𝑗 = (𝑘 + 1)) ↔ (𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1))))
47 csbeq1a 3869 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑘 + 1) → 𝐶 = (𝑘 + 1) / 𝑗𝐶)
4847breq1d 5052 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐶𝐵(𝑘 + 1) / 𝑗𝐶𝐵))
4946, 48imbi12d 348 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝜑𝑘𝑍𝑗 = (𝑘 + 1)) → 𝐶𝐵) ↔ ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)) → (𝑘 + 1) / 𝑗𝐶𝐵)))
50 climinfmpt.l . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍𝑗 = (𝑘 + 1)) → 𝐶𝐵)
5143, 44, 49, 50vtoclf 3533 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)) → (𝑘 + 1) / 𝑗𝐶𝐵)
5233, 34, 35, 51syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑘 + 1) / 𝑗𝐶𝐵)
5311, 32, 52chvarfv 2243 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑖 + 1) / 𝑗𝐶𝑖 / 𝑗𝐶)
5420, 21, 22cbvcsbw 3865 . . . . . 6 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 = (𝑖 + 1) / 𝑗𝐶
5554a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 = (𝑖 + 1) / 𝑗𝐶)
56 eqidd 2823 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑍) → 𝑖 / 𝑗𝐶 = 𝑖 / 𝑗𝐶)
5755, 56breq12d 5055 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑍) → ((𝑖 + 1) / 𝑘𝐵𝑖 / 𝑗𝐶(𝑖 + 1) / 𝑗𝐶𝑖 / 𝑗𝐶))
5853, 57mpbird 260 . . 3 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵𝑖 / 𝑗𝐶)
593peano2uzs 12290 . . . . . 6 (𝑖𝑍 → (𝑖 + 1) ∈ 𝑍)
6059adantl 485 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑖 + 1) ∈ 𝑍)
61 nfv 1915 . . . . . . . . 9 𝑘(𝑖 + 1) ∈ 𝑍
625, 61nfan 1900 . . . . . . . 8 𝑘(𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍)
63 nfcv 2979 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝑖 + 1)
6463nfcsb1 3878 . . . . . . . . 9 𝑘(𝑖 + 1) / 𝑘𝐵
6564nfel1 2995 . . . . . . . 8 𝑘(𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 ∈ ℝ
6662, 65nfim 1897 . . . . . . 7 𝑘((𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
67 ovex 7173 . . . . . . 7 (𝑖 + 1) ∈ V
68 eleq1 2901 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑖 + 1) → (𝑘𝑍 ↔ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍))
6968anbi2d 631 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑖 + 1) → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍)))
70 csbeq1a 3869 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑖 + 1) → 𝐵 = (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵)
7170eleq1d 2898 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑖 + 1) → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 ∈ ℝ))
7269, 71imbi12d 348 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑖 + 1) → (((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)))
7366, 67, 72, 6vtoclf 3533 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
7459, 73sylan2 595 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
75 eqid 2822 . . . . . 6 (𝑘𝑍𝐵) = (𝑘𝑍𝐵)
7663, 64, 70, 75fvmptf 6771 . . . . 5 (((𝑖 + 1) ∈ 𝑍(𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑘𝑍𝐵)‘(𝑖 + 1)) = (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵)
7760, 74, 76syl2anc 587 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘(𝑖 + 1)) = (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵)
78 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑍) → 𝑖𝑍)
79 nfv 1915 . . . . . . . 8 𝑗 𝑖𝑍
8036, 79nfan 1900 . . . . . . 7 𝑗(𝜑𝑖𝑍)
81 nfcsb1v 3879 . . . . . . . 8 𝑗𝑖 / 𝑗𝐶
82 nfcv 2979 . . . . . . . 8 𝑗
8381, 82nfel 2993 . . . . . . 7 𝑗𝑖 / 𝑗𝐶 ∈ ℝ
8480, 83nfim 1897 . . . . . 6 𝑗((𝜑𝑖𝑍) → 𝑖 / 𝑗𝐶 ∈ ℝ)
85 eleq1 2901 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑖 → (𝑗𝑍𝑖𝑍))
8685anbi2d 631 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑖 → ((𝜑𝑗𝑍) ↔ (𝜑𝑖𝑍)))
87 csbeq1a 3869 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑖𝐶 = 𝑖 / 𝑗𝐶)
8887eleq1d 2898 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑖 → (𝐶 ∈ ℝ ↔ 𝑖 / 𝑗𝐶 ∈ ℝ))
8986, 88imbi12d 348 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑖 → (((𝜑𝑗𝑍) → 𝐶 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑖𝑍) → 𝑖 / 𝑗𝐶 ∈ ℝ)))
90 nfv 1915 . . . . . . . . 9 𝑘 𝑗𝑍
915, 90nfan 1900 . . . . . . . 8 𝑘(𝜑𝑗𝑍)
92 nfv 1915 . . . . . . . 8 𝑘 𝐶 ∈ ℝ
9391, 92nfim 1897 . . . . . . 7 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → 𝐶 ∈ ℝ)
94 eleq1 2901 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑍𝑗𝑍))
9594anbi2d 631 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑𝑗𝑍)))
9622eleq1d 2898 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝐶 ∈ ℝ))
9795, 96imbi12d 348 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → 𝐶 ∈ ℝ)))
9893, 97, 6chvarfv 2243 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝐶 ∈ ℝ)
9984, 89, 98chvarfv 2243 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑍) → 𝑖 / 𝑗𝐶 ∈ ℝ)
100 nfcv 2979 . . . . . 6 𝑘𝑖
101 nfcv 2979 . . . . . 6 𝑘𝑖 / 𝑗𝐶
102100, 101, 30, 75fvmptf 6771 . . . . 5 ((𝑖𝑍𝑖 / 𝑗𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖) = 𝑖 / 𝑗𝐶)
10378, 99, 102syl2anc 587 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖) = 𝑖 / 𝑗𝐶)
10477, 103breq12d 5055 . . 3 ((𝜑𝑖𝑍) → (((𝑘𝑍𝐵)‘(𝑖 + 1)) ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖) ↔ (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵𝑖 / 𝑗𝐶))
10558, 104mpbird 260 . 2 ((𝜑𝑖𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘(𝑖 + 1)) ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖))
106 climinfmpt.e . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 𝑥𝐵)
107 breq1 5045 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
108107ralbidv 3187 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑘𝑍 𝑥𝐵 ↔ ∀𝑘𝑍 𝑦𝐵))
109108cbvrexvw 3425 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 𝑥𝐵 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 𝑦𝐵)
110106, 109sylib 221 . . 3 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 𝑦𝐵)
111 nfcv 2979 . . . . . . . 8 𝑘𝑦
112 nfcv 2979 . . . . . . . 8 𝑘
113 nfmpt1 5140 . . . . . . . . 9 𝑘(𝑘𝑍𝐵)
114113, 100nffv 6662 . . . . . . . 8 𝑘((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖)
115111, 112, 114nfbr 5089 . . . . . . 7 𝑘 𝑦 ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖)
116 nfv 1915 . . . . . . 7 𝑖 𝑦 ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑘)
117 fveq2 6652 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑘 → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖) = ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑘))
118117breq2d 5054 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑘 → (𝑦 ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖) ↔ 𝑦 ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑘)))
119115, 116, 118cbvralw 3415 . . . . . 6 (∀𝑖𝑍 𝑦 ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖) ↔ ∀𝑘𝑍 𝑦 ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑘))
120119a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑖𝑍 𝑦 ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖) ↔ ∀𝑘𝑍 𝑦 ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑘)))
12175a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝑍𝐵) = (𝑘𝑍𝐵))
122121, 6fvmpt2d 6763 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑘) = 𝐵)
123122breq2d 5054 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑦 ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑘) ↔ 𝑦𝐵))
1245, 123ralbida 3219 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑘𝑍 𝑦 ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑘) ↔ ∀𝑘𝑍 𝑦𝐵))
125120, 124bitrd 282 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑖𝑍 𝑦 ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖) ↔ ∀𝑘𝑍 𝑦𝐵))
126125rexbidv 3283 . . 3 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍 𝑦 ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 𝑦𝐵))
127110, 126mpbird 260 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍 𝑦 ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖))
1281, 2, 3, 4, 7, 105, 127climinf2 42288 1 (𝜑 → (𝑘𝑍𝐵) ⇝ inf(ran (𝑘𝑍𝐵), ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wnf 1785  wcel 2114  wral 3130  wrex 3131  csb 3855   class class class wbr 5042  cmpt 5122  ran crn 5533  cfv 6334  (class class class)co 7140  infcinf 8893  cr 10525  1c1 10527   + caddc 10529  *cxr 10663   < clt 10664  cle 10665  cz 11969  cuz 12231  cli 14832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-clim 14836
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator