Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climinfmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climinfmpt 45165
Description: A bounded below, monotonic nonincreasing sequence converges to the infimum of its range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climinfmpt.p β„²π‘˜πœ‘
climinfmpt.j β„²π‘—πœ‘
climinfmpt.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
climinfmpt.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
climinfmpt.b ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
climinfmpt.c (π‘˜ = 𝑗 β†’ 𝐡 = 𝐢)
climinfmpt.l ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 = (π‘˜ + 1)) β†’ 𝐢 ≀ 𝐡)
climinfmpt.e (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
climinfmpt (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ⇝ inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡), ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑗   π‘₯,𝐡   𝐢,π‘˜   𝑗,𝑍,π‘˜   π‘₯,𝑍,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑗,π‘˜)   𝐡(π‘˜)   𝐢(π‘₯,𝑗)   𝑀(π‘₯,𝑗,π‘˜)

Proof of Theorem climinfmpt
Dummy variables 𝑖 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1909 . 2 β„²π‘–πœ‘
2 nfcv 2892 . 2 Ⅎ𝑖(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)
3 climinfmpt.z . 2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
4 climinfmpt.m . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
5 climinfmpt.p . . 3 β„²π‘˜πœ‘
6 climinfmpt.b . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
75, 6fmptd2f 44671 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡):π‘βŸΆβ„)
8 nfv 1909 . . . . . . 7 β„²π‘˜ 𝑖 ∈ 𝑍
95, 8nfan 1894 . . . . . 6 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍)
10 nfv 1909 . . . . . 6 β„²π‘˜β¦‹(𝑖 + 1) / π‘—β¦ŒπΆ ≀ ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ
119, 10nfim 1891 . . . . 5 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘—β¦ŒπΆ ≀ ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ)
12 eleq1 2813 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↔ 𝑖 ∈ 𝑍))
1312anbi2d 628 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍)))
14 oveq1 7422 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (π‘˜ + 1) = (𝑖 + 1))
1514csbeq1d 3889 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ⦋(π‘˜ + 1) / π‘—β¦ŒπΆ = ⦋(𝑖 + 1) / π‘—β¦ŒπΆ)
16 eqidd 2726 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑖 β†’ 𝐡 = 𝐡)
17 csbcow 3900 . . . . . . . . . . 11 β¦‹π‘˜ / π‘—β¦Œβ¦‹π‘— / π‘˜β¦Œπ΅ = β¦‹π‘˜ / π‘˜β¦Œπ΅
18 csbid 3898 . . . . . . . . . . 11 β¦‹π‘˜ / π‘˜β¦Œπ΅ = 𝐡
1917, 18eqtr2i 2754 . . . . . . . . . 10 𝐡 = β¦‹π‘˜ / π‘—β¦Œβ¦‹π‘— / π‘˜β¦Œπ΅
20 nfcv 2892 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑗𝐡
21 nfcv 2892 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜πΆ
22 climinfmpt.c . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑗 β†’ 𝐡 = 𝐢)
2320, 21, 22cbvcsbw 3895 . . . . . . . . . . . 12 ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅ = ⦋𝑗 / π‘—β¦ŒπΆ
24 csbid 3898 . . . . . . . . . . . 12 ⦋𝑗 / π‘—β¦ŒπΆ = 𝐢
2523, 24eqtri 2753 . . . . . . . . . . 11 ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅ = 𝐢
2625csbeq2i 3893 . . . . . . . . . 10 β¦‹π‘˜ / π‘—β¦Œβ¦‹π‘— / π‘˜β¦Œπ΅ = β¦‹π‘˜ / π‘—β¦ŒπΆ
2719, 26eqtri 2753 . . . . . . . . 9 𝐡 = β¦‹π‘˜ / π‘—β¦ŒπΆ
2827a1i 11 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑖 β†’ 𝐡 = β¦‹π‘˜ / π‘—β¦ŒπΆ)
29 csbeq1 3888 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑖 β†’ β¦‹π‘˜ / π‘—β¦ŒπΆ = ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ)
3016, 28, 293eqtrd 2769 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑖 β†’ 𝐡 = ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ)
3115, 30breq12d 5156 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (⦋(π‘˜ + 1) / π‘—β¦ŒπΆ ≀ 𝐡 ↔ ⦋(𝑖 + 1) / π‘—β¦ŒπΆ ≀ ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ))
3213, 31imbi12d 343 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ⦋(π‘˜ + 1) / π‘—β¦ŒπΆ ≀ 𝐡) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘—β¦ŒπΆ ≀ ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ)))
33 simpl 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ πœ‘)
34 simpr 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
35 eqidd 2726 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘˜ + 1) = (π‘˜ + 1))
36 climinfmpt.j . . . . . . . . 9 β„²π‘—πœ‘
37 nfv 1909 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗 π‘˜ ∈ 𝑍
38 nfv 1909 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗(π‘˜ + 1) = (π‘˜ + 1)
3936, 37, 38nf3an 1896 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗(πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ (π‘˜ + 1) = (π‘˜ + 1))
40 nfcsb1v 3910 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗⦋(π‘˜ + 1) / π‘—β¦ŒπΆ
41 nfcv 2892 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗 ≀
4240, 41, 20nfbr 5190 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗⦋(π‘˜ + 1) / π‘—β¦ŒπΆ ≀ 𝐡
4339, 42nfim 1891 . . . . . . 7 Ⅎ𝑗((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ (π‘˜ + 1) = (π‘˜ + 1)) β†’ ⦋(π‘˜ + 1) / π‘—β¦ŒπΆ ≀ 𝐡)
44 ovex 7448 . . . . . . 7 (π‘˜ + 1) ∈ V
45 eqeq1 2729 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (π‘˜ + 1) β†’ (𝑗 = (π‘˜ + 1) ↔ (π‘˜ + 1) = (π‘˜ + 1)))
46453anbi3d 1438 . . . . . . . 8 (𝑗 = (π‘˜ + 1) β†’ ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 = (π‘˜ + 1)) ↔ (πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ (π‘˜ + 1) = (π‘˜ + 1))))
47 csbeq1a 3899 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (π‘˜ + 1) β†’ 𝐢 = ⦋(π‘˜ + 1) / π‘—β¦ŒπΆ)
4847breq1d 5153 . . . . . . . 8 (𝑗 = (π‘˜ + 1) β†’ (𝐢 ≀ 𝐡 ↔ ⦋(π‘˜ + 1) / π‘—β¦ŒπΆ ≀ 𝐡))
4946, 48imbi12d 343 . . . . . . 7 (𝑗 = (π‘˜ + 1) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 = (π‘˜ + 1)) β†’ 𝐢 ≀ 𝐡) ↔ ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ (π‘˜ + 1) = (π‘˜ + 1)) β†’ ⦋(π‘˜ + 1) / π‘—β¦ŒπΆ ≀ 𝐡)))
50 climinfmpt.l . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 = (π‘˜ + 1)) β†’ 𝐢 ≀ 𝐡)
5143, 44, 49, 50vtoclf 3542 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ (π‘˜ + 1) = (π‘˜ + 1)) β†’ ⦋(π‘˜ + 1) / π‘—β¦ŒπΆ ≀ 𝐡)
5233, 34, 35, 51syl3anc 1368 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ⦋(π‘˜ + 1) / π‘—β¦ŒπΆ ≀ 𝐡)
5311, 32, 52chvarfv 2228 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘—β¦ŒπΆ ≀ ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ)
5420, 21, 22cbvcsbw 3895 . . . . . 6 ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦Œπ΅ = ⦋(𝑖 + 1) / π‘—β¦ŒπΆ
5554a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦Œπ΅ = ⦋(𝑖 + 1) / π‘—β¦ŒπΆ)
56 eqidd 2726 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ = ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ)
5755, 56breq12d 5156 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦Œπ΅ ≀ ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ ↔ ⦋(𝑖 + 1) / π‘—β¦ŒπΆ ≀ ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ))
5853, 57mpbird 256 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦Œπ΅ ≀ ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ)
593peano2uzs 12914 . . . . . 6 (𝑖 ∈ 𝑍 β†’ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍)
6059adantl 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍)
61 nfv 1909 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜(𝑖 + 1) ∈ 𝑍
625, 61nfan 1894 . . . . . . . 8 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍)
63 nfcv 2892 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜(𝑖 + 1)
6463nfcsb1 3909 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜β¦‹(𝑖 + 1) / π‘˜β¦Œπ΅
6564nfel1 2909 . . . . . . . 8 β„²π‘˜β¦‹(𝑖 + 1) / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ
6662, 65nfim 1891 . . . . . . 7 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍) β†’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ)
67 ovex 7448 . . . . . . 7 (𝑖 + 1) ∈ V
68 eleq1 2813 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = (𝑖 + 1) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↔ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍))
6968anbi2d 628 . . . . . . . 8 (π‘˜ = (𝑖 + 1) β†’ ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ↔ (πœ‘ ∧ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍)))
70 csbeq1a 3899 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = (𝑖 + 1) β†’ 𝐡 = ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦Œπ΅)
7170eleq1d 2810 . . . . . . . 8 (π‘˜ = (𝑖 + 1) β†’ (𝐡 ∈ ℝ ↔ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ))
7269, 71imbi12d 343 . . . . . . 7 (π‘˜ = (𝑖 + 1) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ ℝ) ↔ ((πœ‘ ∧ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍) β†’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ)))
7366, 67, 72, 6vtoclf 3542 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍) β†’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ)
7459, 73sylan2 591 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ)
75 eqid 2725 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)
7663, 64, 70, 75fvmptf 7020 . . . . 5 (((𝑖 + 1) ∈ 𝑍 ∧ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜(𝑖 + 1)) = ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦Œπ΅)
7760, 74, 76syl2anc 582 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜(𝑖 + 1)) = ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦Œπ΅)
78 simpr 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ 𝑖 ∈ 𝑍)
79 nfv 1909 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗 𝑖 ∈ 𝑍
8036, 79nfan 1894 . . . . . . 7 Ⅎ𝑗(πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍)
81 nfcsb1v 3910 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ
82 nfcv 2892 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗ℝ
8381, 82nfel 2907 . . . . . . 7 Ⅎ𝑗⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ ∈ ℝ
8480, 83nfim 1891 . . . . . 6 Ⅎ𝑗((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ ∈ ℝ)
85 eleq1 2813 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑖 β†’ (𝑗 ∈ 𝑍 ↔ 𝑖 ∈ 𝑍))
8685anbi2d 628 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑖 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍)))
87 csbeq1a 3899 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑖 β†’ 𝐢 = ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ)
8887eleq1d 2810 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑖 β†’ (𝐢 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ ∈ ℝ))
8986, 88imbi12d 343 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑖 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝐢 ∈ ℝ) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ ∈ ℝ)))
90 nfv 1909 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜ 𝑗 ∈ 𝑍
915, 90nfan 1894 . . . . . . . 8 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
92 nfv 1909 . . . . . . . 8 β„²π‘˜ 𝐢 ∈ ℝ
9391, 92nfim 1891 . . . . . . 7 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
94 eleq1 2813 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ 𝑍))
9594anbi2d 628 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)))
9622eleq1d 2810 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (𝐡 ∈ ℝ ↔ 𝐢 ∈ ℝ))
9795, 96imbi12d 343 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ ℝ) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)))
9893, 97, 6chvarfv 2228 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
9984, 89, 98chvarfv 2228 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ ∈ ℝ)
100 nfcv 2892 . . . . . 6 β„²π‘˜π‘–
101 nfcv 2892 . . . . . 6 β„²π‘˜β¦‹π‘– / π‘—β¦ŒπΆ
102100, 101, 30, 75fvmptf 7020 . . . . 5 ((𝑖 ∈ 𝑍 ∧ ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ ∈ ℝ) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘–) = ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ)
10378, 99, 102syl2anc 582 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘–) = ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ)
10477, 103breq12d 5156 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜(𝑖 + 1)) ≀ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘–) ↔ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦Œπ΅ ≀ ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ))
10558, 104mpbird 256 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜(𝑖 + 1)) ≀ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘–))
106 climinfmpt.e . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ 𝐡)
107 breq1 5146 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ≀ 𝐡 ↔ 𝑦 ≀ 𝐡))
108107ralbidv 3168 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ 𝐡 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡))
109108cbvrexvw 3226 . . . 4 (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ 𝐡 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡)
110106, 109sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡)
111 nfcv 2892 . . . . . . . 8 β„²π‘˜π‘¦
112 nfcv 2892 . . . . . . . 8 β„²π‘˜ ≀
113 nfmpt1 5251 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)
114113, 100nffv 6901 . . . . . . . 8 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘–)
115111, 112, 114nfbr 5190 . . . . . . 7 β„²π‘˜ 𝑦 ≀ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘–)
116 nfv 1909 . . . . . . 7 Ⅎ𝑖 𝑦 ≀ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜)
117 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (𝑖 = π‘˜ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘–) = ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜))
118117breq2d 5155 . . . . . . 7 (𝑖 = π‘˜ β†’ (𝑦 ≀ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘–) ↔ 𝑦 ≀ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜)))
119115, 116, 118cbvralw 3294 . . . . . 6 (βˆ€π‘– ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘–) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜))
120119a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘–) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜)))
12175a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡))
122121, 6fvmpt2d 7012 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) = 𝐡)
123122breq2d 5155 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝑦 ≀ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ↔ 𝑦 ≀ 𝐡))
1245, 123ralbida 3258 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡))
125120, 124bitrd 278 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘–) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡))
126125rexbidv 3169 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘–) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡))
127110, 126mpbird 256 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘–))
1281, 2, 3, 4, 7, 105, 127climinf2 45157 1 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ⇝ inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡), ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  β„²wnf 1777   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  β¦‹csb 3885   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  ran crn 5673  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  infcinf 9462  β„cr 11135  1c1 11137   + caddc 11139  β„*cxr 11275   < clt 11276   ≀ cle 11277  β„€cz 12586  β„€β‰₯cuz 12850   ⇝ cli 15458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-sup 9463  df-inf 9464  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fz 13515  df-seq 13997  df-exp 14057  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator