Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climinfmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climinfmpt 41433
Description: A bounded below, monotonic nonincreasing sequence converges to the infimum of its range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climinfmpt.p 𝑘𝜑
climinfmpt.j 𝑗𝜑
climinfmpt.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climinfmpt.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climinfmpt.b ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
climinfmpt.c (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝐶)
climinfmpt.l ((𝜑𝑘𝑍𝑗 = (𝑘 + 1)) → 𝐶𝐵)
climinfmpt.e (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 𝑥𝐵)
Assertion
Ref Expression
climinfmpt (𝜑 → (𝑘𝑍𝐵) ⇝ inf(ran (𝑘𝑍𝐵), ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑗   𝑥,𝐵   𝐶,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝑥,𝑍,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑥,𝑗)   𝑀(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem climinfmpt
Dummy variables 𝑖 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1873 . 2 𝑖𝜑
2 nfcv 2932 . 2 𝑖(𝑘𝑍𝐵)
3 climinfmpt.z . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
4 climinfmpt.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
5 climinfmpt.p . . 3 𝑘𝜑
6 climinfmpt.b . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
75, 6fmptd2f 40938 . 2 (𝜑 → (𝑘𝑍𝐵):𝑍⟶ℝ)
8 nfv 1873 . . . . . . 7 𝑘 𝑖𝑍
95, 8nfan 1862 . . . . . 6 𝑘(𝜑𝑖𝑍)
10 nfv 1873 . . . . . 6 𝑘(𝑖 + 1) / 𝑗𝐶𝑖 / 𝑗𝐶
119, 10nfim 1859 . . . . 5 𝑘((𝜑𝑖𝑍) → (𝑖 + 1) / 𝑗𝐶𝑖 / 𝑗𝐶)
12 eleq1 2853 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘𝑍𝑖𝑍))
1312anbi2d 619 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑖 → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑𝑖𝑍)))
14 oveq1 6983 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 + 1) = (𝑖 + 1))
1514csbeq1d 3793 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖(𝑘 + 1) / 𝑗𝐶 = (𝑖 + 1) / 𝑗𝐶)
16 eqidd 2779 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖𝐵 = 𝐵)
17 csbco 3796 . . . . . . . . . . 11 𝑘 / 𝑗𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑘 / 𝑘𝐵
18 csbid 3794 . . . . . . . . . . 11 𝑘 / 𝑘𝐵 = 𝐵
1917, 18eqtr2i 2803 . . . . . . . . . 10 𝐵 = 𝑘 / 𝑗𝑗 / 𝑘𝐵
20 nfcv 2932 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗𝐵
21 nfcv 2932 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝐶
22 climinfmpt.c . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝐶)
2320, 21, 22cbvcsb 3791 . . . . . . . . . . . 12 𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑗𝐶
24 csbid 3794 . . . . . . . . . . . 12 𝑗 / 𝑗𝐶 = 𝐶
2523, 24eqtri 2802 . . . . . . . . . . 11 𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝐶
2625csbeq2i 4257 . . . . . . . . . 10 𝑘 / 𝑗𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑘 / 𝑗𝐶
2719, 26eqtri 2802 . . . . . . . . 9 𝐵 = 𝑘 / 𝑗𝐶
2827a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖𝐵 = 𝑘 / 𝑗𝐶)
29 csbeq1 3789 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖𝑘 / 𝑗𝐶 = 𝑖 / 𝑗𝐶)
3016, 28, 293eqtrd 2818 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖𝐵 = 𝑖 / 𝑗𝐶)
3115, 30breq12d 4942 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘 + 1) / 𝑗𝐶𝐵(𝑖 + 1) / 𝑗𝐶𝑖 / 𝑗𝐶))
3213, 31imbi12d 337 . . . . 5 (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑𝑘𝑍) → (𝑘 + 1) / 𝑗𝐶𝐵) ↔ ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑖 + 1) / 𝑗𝐶𝑖 / 𝑗𝐶)))
33 simpl 475 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝜑)
34 simpr 477 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝑍)
35 eqidd 2779 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1))
36 climinfmpt.j . . . . . . . . 9 𝑗𝜑
37 nfv 1873 . . . . . . . . 9 𝑗 𝑘𝑍
38 nfv 1873 . . . . . . . . 9 𝑗(𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)
3936, 37, 38nf3an 1864 . . . . . . . 8 𝑗(𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1))
40 nfcsb1v 3804 . . . . . . . . 9 𝑗(𝑘 + 1) / 𝑗𝐶
41 nfcv 2932 . . . . . . . . 9 𝑗
4240, 41, 20nfbr 4976 . . . . . . . 8 𝑗(𝑘 + 1) / 𝑗𝐶𝐵
4339, 42nfim 1859 . . . . . . 7 𝑗((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)) → (𝑘 + 1) / 𝑗𝐶𝐵)
44 ovex 7008 . . . . . . 7 (𝑘 + 1) ∈ V
45 eqeq1 2782 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 = (𝑘 + 1) ↔ (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)))
46453anbi3d 1421 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝜑𝑘𝑍𝑗 = (𝑘 + 1)) ↔ (𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1))))
47 csbeq1a 3795 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑘 + 1) → 𝐶 = (𝑘 + 1) / 𝑗𝐶)
4847breq1d 4939 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐶𝐵(𝑘 + 1) / 𝑗𝐶𝐵))
4946, 48imbi12d 337 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝜑𝑘𝑍𝑗 = (𝑘 + 1)) → 𝐶𝐵) ↔ ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)) → (𝑘 + 1) / 𝑗𝐶𝐵)))
50 climinfmpt.l . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍𝑗 = (𝑘 + 1)) → 𝐶𝐵)
5143, 44, 49, 50vtoclf 3477 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)) → (𝑘 + 1) / 𝑗𝐶𝐵)
5233, 34, 35, 51syl3anc 1351 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑘 + 1) / 𝑗𝐶𝐵)
5311, 32, 52chvar 2326 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑖 + 1) / 𝑗𝐶𝑖 / 𝑗𝐶)
54 csbco 3796 . . . . . . . 8 (𝑖 + 1) / 𝑗𝑗 / 𝑘𝐵 = (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵
5554eqcomi 2787 . . . . . . 7 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 = (𝑖 + 1) / 𝑗𝑗 / 𝑘𝐵
5625csbeq2i 4257 . . . . . . 7 (𝑖 + 1) / 𝑗𝑗 / 𝑘𝐵 = (𝑖 + 1) / 𝑗𝐶
5755, 56eqtri 2802 . . . . . 6 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 = (𝑖 + 1) / 𝑗𝐶
5857a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 = (𝑖 + 1) / 𝑗𝐶)
59 eqidd 2779 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑍) → 𝑖 / 𝑗𝐶 = 𝑖 / 𝑗𝐶)
6058, 59breq12d 4942 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑍) → ((𝑖 + 1) / 𝑘𝐵𝑖 / 𝑗𝐶(𝑖 + 1) / 𝑗𝐶𝑖 / 𝑗𝐶))
6153, 60mpbird 249 . . 3 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵𝑖 / 𝑗𝐶)
623peano2uzs 12116 . . . . . 6 (𝑖𝑍 → (𝑖 + 1) ∈ 𝑍)
6362adantl 474 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑖 + 1) ∈ 𝑍)
64 nfv 1873 . . . . . . . . 9 𝑘(𝑖 + 1) ∈ 𝑍
655, 64nfan 1862 . . . . . . . 8 𝑘(𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍)
66 nfcv 2932 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝑖 + 1)
6766nfcsb1 3803 . . . . . . . . 9 𝑘(𝑖 + 1) / 𝑘𝐵
6867nfel1 2946 . . . . . . . 8 𝑘(𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 ∈ ℝ
6965, 68nfim 1859 . . . . . . 7 𝑘((𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
70 ovex 7008 . . . . . . 7 (𝑖 + 1) ∈ V
71 eleq1 2853 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑖 + 1) → (𝑘𝑍 ↔ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍))
7271anbi2d 619 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑖 + 1) → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍)))
73 csbeq1a 3795 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑖 + 1) → 𝐵 = (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵)
7473eleq1d 2850 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑖 + 1) → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 ∈ ℝ))
7572, 74imbi12d 337 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑖 + 1) → (((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)))
7669, 70, 75, 6vtoclf 3477 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
7762, 76sylan2 583 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
78 eqid 2778 . . . . . 6 (𝑘𝑍𝐵) = (𝑘𝑍𝐵)
7966, 67, 73, 78fvmptf 6615 . . . . 5 (((𝑖 + 1) ∈ 𝑍(𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑘𝑍𝐵)‘(𝑖 + 1)) = (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵)
8063, 77, 79syl2anc 576 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘(𝑖 + 1)) = (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵)
81 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑍) → 𝑖𝑍)
82 nfv 1873 . . . . . . . 8 𝑗 𝑖𝑍
8336, 82nfan 1862 . . . . . . 7 𝑗(𝜑𝑖𝑍)
84 nfcsb1v 3804 . . . . . . . 8 𝑗𝑖 / 𝑗𝐶
85 nfcv 2932 . . . . . . . 8 𝑗
8684, 85nfel 2944 . . . . . . 7 𝑗𝑖 / 𝑗𝐶 ∈ ℝ
8783, 86nfim 1859 . . . . . 6 𝑗((𝜑𝑖𝑍) → 𝑖 / 𝑗𝐶 ∈ ℝ)
88 eleq1 2853 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑖 → (𝑗𝑍𝑖𝑍))
8988anbi2d 619 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑖 → ((𝜑𝑗𝑍) ↔ (𝜑𝑖𝑍)))
90 csbeq1a 3795 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑖𝐶 = 𝑖 / 𝑗𝐶)
9190eleq1d 2850 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑖 → (𝐶 ∈ ℝ ↔ 𝑖 / 𝑗𝐶 ∈ ℝ))
9289, 91imbi12d 337 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑖 → (((𝜑𝑗𝑍) → 𝐶 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑖𝑍) → 𝑖 / 𝑗𝐶 ∈ ℝ)))
93 nfv 1873 . . . . . . . . 9 𝑘 𝑗𝑍
945, 93nfan 1862 . . . . . . . 8 𝑘(𝜑𝑗𝑍)
95 nfv 1873 . . . . . . . 8 𝑘 𝐶 ∈ ℝ
9694, 95nfim 1859 . . . . . . 7 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → 𝐶 ∈ ℝ)
97 eleq1 2853 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑍𝑗𝑍))
9897anbi2d 619 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑𝑗𝑍)))
9922eleq1d 2850 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝐶 ∈ ℝ))
10098, 99imbi12d 337 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → 𝐶 ∈ ℝ)))
10196, 100, 6chvar 2326 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝐶 ∈ ℝ)
10287, 92, 101chvar 2326 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑍) → 𝑖 / 𝑗𝐶 ∈ ℝ)
103 nfcv 2932 . . . . . 6 𝑘𝑖
104 nfcv 2932 . . . . . 6 𝑘𝑖 / 𝑗𝐶
105103, 104, 30, 78fvmptf 6615 . . . . 5 ((𝑖𝑍𝑖 / 𝑗𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖) = 𝑖 / 𝑗𝐶)
10681, 102, 105syl2anc 576 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖) = 𝑖 / 𝑗𝐶)
10780, 106breq12d 4942 . . 3 ((𝜑𝑖𝑍) → (((𝑘𝑍𝐵)‘(𝑖 + 1)) ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖) ↔ (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵𝑖 / 𝑗𝐶))
10861, 107mpbird 249 . 2 ((𝜑𝑖𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘(𝑖 + 1)) ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖))
109 climinfmpt.e . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 𝑥𝐵)
110 breq1 4932 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
111110ralbidv 3147 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑘𝑍 𝑥𝐵 ↔ ∀𝑘𝑍 𝑦𝐵))
112111cbvrexv 3384 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 𝑥𝐵 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 𝑦𝐵)
113109, 112sylib 210 . . 3 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 𝑦𝐵)
114 nfcv 2932 . . . . . . . 8 𝑘𝑦
115 nfcv 2932 . . . . . . . 8 𝑘
116 nfmpt1 5025 . . . . . . . . 9 𝑘(𝑘𝑍𝐵)
117116, 103nffv 6509 . . . . . . . 8 𝑘((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖)
118114, 115, 117nfbr 4976 . . . . . . 7 𝑘 𝑦 ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖)
119 nfv 1873 . . . . . . 7 𝑖 𝑦 ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑘)
120 fveq2 6499 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑘 → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖) = ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑘))
121120breq2d 4941 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑘 → (𝑦 ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖) ↔ 𝑦 ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑘)))
122118, 119, 121cbvral 3379 . . . . . 6 (∀𝑖𝑍 𝑦 ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖) ↔ ∀𝑘𝑍 𝑦 ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑘))
123122a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑖𝑍 𝑦 ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖) ↔ ∀𝑘𝑍 𝑦 ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑘)))
12478a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝑍𝐵) = (𝑘𝑍𝐵))
125124, 6fvmpt2d 6607 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑘) = 𝐵)
126125breq2d 4941 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑦 ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑘) ↔ 𝑦𝐵))
1275, 126ralbida 3177 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑘𝑍 𝑦 ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑘) ↔ ∀𝑘𝑍 𝑦𝐵))
128123, 127bitrd 271 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑖𝑍 𝑦 ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖) ↔ ∀𝑘𝑍 𝑦𝐵))
129128rexbidv 3242 . . 3 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍 𝑦 ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 𝑦𝐵))
130113, 129mpbird 249 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍 𝑦 ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖))
1311, 2, 3, 4, 7, 108, 130climinf2 41425 1 (𝜑 → (𝑘𝑍𝐵) ⇝ inf(ran (𝑘𝑍𝐵), ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wnf 1746  wcel 2050  wral 3088  wrex 3089  csb 3786   class class class wbr 4929  cmpt 5008  ran crn 5408  cfv 6188  (class class class)co 6976  infcinf 8700  cr 10334  1c1 10336   + caddc 10338  *cxr 10473   < clt 10474  cle 10475  cz 11793  cuz 12058  cli 14702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-sup 8701  df-inf 8702  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-rp 12205  df-fz 12709  df-seq 13185  df-exp 13245  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-clim 14706
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator