Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climinfmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climinfmpt 45008
Description: A bounded below, monotonic nonincreasing sequence converges to the infimum of its range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climinfmpt.p β„²π‘˜πœ‘
climinfmpt.j β„²π‘—πœ‘
climinfmpt.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
climinfmpt.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
climinfmpt.b ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
climinfmpt.c (π‘˜ = 𝑗 β†’ 𝐡 = 𝐢)
climinfmpt.l ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 = (π‘˜ + 1)) β†’ 𝐢 ≀ 𝐡)
climinfmpt.e (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
climinfmpt (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ⇝ inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡), ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑗   π‘₯,𝐡   𝐢,π‘˜   𝑗,𝑍,π‘˜   π‘₯,𝑍,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑗,π‘˜)   𝐡(π‘˜)   𝐢(π‘₯,𝑗)   𝑀(π‘₯,𝑗,π‘˜)

Proof of Theorem climinfmpt
Dummy variables 𝑖 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1909 . 2 β„²π‘–πœ‘
2 nfcv 2897 . 2 Ⅎ𝑖(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)
3 climinfmpt.z . 2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
4 climinfmpt.m . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
5 climinfmpt.p . . 3 β„²π‘˜πœ‘
6 climinfmpt.b . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
75, 6fmptd2f 44514 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡):π‘βŸΆβ„)
8 nfv 1909 . . . . . . 7 β„²π‘˜ 𝑖 ∈ 𝑍
95, 8nfan 1894 . . . . . 6 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍)
10 nfv 1909 . . . . . 6 β„²π‘˜β¦‹(𝑖 + 1) / π‘—β¦ŒπΆ ≀ ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ
119, 10nfim 1891 . . . . 5 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘—β¦ŒπΆ ≀ ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ)
12 eleq1 2815 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↔ 𝑖 ∈ 𝑍))
1312anbi2d 628 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍)))
14 oveq1 7412 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (π‘˜ + 1) = (𝑖 + 1))
1514csbeq1d 3892 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ⦋(π‘˜ + 1) / π‘—β¦ŒπΆ = ⦋(𝑖 + 1) / π‘—β¦ŒπΆ)
16 eqidd 2727 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑖 β†’ 𝐡 = 𝐡)
17 csbcow 3903 . . . . . . . . . . 11 β¦‹π‘˜ / π‘—β¦Œβ¦‹π‘— / π‘˜β¦Œπ΅ = β¦‹π‘˜ / π‘˜β¦Œπ΅
18 csbid 3901 . . . . . . . . . . 11 β¦‹π‘˜ / π‘˜β¦Œπ΅ = 𝐡
1917, 18eqtr2i 2755 . . . . . . . . . 10 𝐡 = β¦‹π‘˜ / π‘—β¦Œβ¦‹π‘— / π‘˜β¦Œπ΅
20 nfcv 2897 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑗𝐡
21 nfcv 2897 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜πΆ
22 climinfmpt.c . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑗 β†’ 𝐡 = 𝐢)
2320, 21, 22cbvcsbw 3898 . . . . . . . . . . . 12 ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅ = ⦋𝑗 / π‘—β¦ŒπΆ
24 csbid 3901 . . . . . . . . . . . 12 ⦋𝑗 / π‘—β¦ŒπΆ = 𝐢
2523, 24eqtri 2754 . . . . . . . . . . 11 ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅ = 𝐢
2625csbeq2i 3896 . . . . . . . . . 10 β¦‹π‘˜ / π‘—β¦Œβ¦‹π‘— / π‘˜β¦Œπ΅ = β¦‹π‘˜ / π‘—β¦ŒπΆ
2719, 26eqtri 2754 . . . . . . . . 9 𝐡 = β¦‹π‘˜ / π‘—β¦ŒπΆ
2827a1i 11 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑖 β†’ 𝐡 = β¦‹π‘˜ / π‘—β¦ŒπΆ)
29 csbeq1 3891 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑖 β†’ β¦‹π‘˜ / π‘—β¦ŒπΆ = ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ)
3016, 28, 293eqtrd 2770 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑖 β†’ 𝐡 = ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ)
3115, 30breq12d 5154 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (⦋(π‘˜ + 1) / π‘—β¦ŒπΆ ≀ 𝐡 ↔ ⦋(𝑖 + 1) / π‘—β¦ŒπΆ ≀ ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ))
3213, 31imbi12d 344 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ⦋(π‘˜ + 1) / π‘—β¦ŒπΆ ≀ 𝐡) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘—β¦ŒπΆ ≀ ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ)))
33 simpl 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ πœ‘)
34 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
35 eqidd 2727 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘˜ + 1) = (π‘˜ + 1))
36 climinfmpt.j . . . . . . . . 9 β„²π‘—πœ‘
37 nfv 1909 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗 π‘˜ ∈ 𝑍
38 nfv 1909 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗(π‘˜ + 1) = (π‘˜ + 1)
3936, 37, 38nf3an 1896 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗(πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ (π‘˜ + 1) = (π‘˜ + 1))
40 nfcsb1v 3913 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗⦋(π‘˜ + 1) / π‘—β¦ŒπΆ
41 nfcv 2897 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗 ≀
4240, 41, 20nfbr 5188 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗⦋(π‘˜ + 1) / π‘—β¦ŒπΆ ≀ 𝐡
4339, 42nfim 1891 . . . . . . 7 Ⅎ𝑗((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ (π‘˜ + 1) = (π‘˜ + 1)) β†’ ⦋(π‘˜ + 1) / π‘—β¦ŒπΆ ≀ 𝐡)
44 ovex 7438 . . . . . . 7 (π‘˜ + 1) ∈ V
45 eqeq1 2730 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (π‘˜ + 1) β†’ (𝑗 = (π‘˜ + 1) ↔ (π‘˜ + 1) = (π‘˜ + 1)))
46453anbi3d 1438 . . . . . . . 8 (𝑗 = (π‘˜ + 1) β†’ ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 = (π‘˜ + 1)) ↔ (πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ (π‘˜ + 1) = (π‘˜ + 1))))
47 csbeq1a 3902 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (π‘˜ + 1) β†’ 𝐢 = ⦋(π‘˜ + 1) / π‘—β¦ŒπΆ)
4847breq1d 5151 . . . . . . . 8 (𝑗 = (π‘˜ + 1) β†’ (𝐢 ≀ 𝐡 ↔ ⦋(π‘˜ + 1) / π‘—β¦ŒπΆ ≀ 𝐡))
4946, 48imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑗 = (π‘˜ + 1) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 = (π‘˜ + 1)) β†’ 𝐢 ≀ 𝐡) ↔ ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ (π‘˜ + 1) = (π‘˜ + 1)) β†’ ⦋(π‘˜ + 1) / π‘—β¦ŒπΆ ≀ 𝐡)))
50 climinfmpt.l . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 = (π‘˜ + 1)) β†’ 𝐢 ≀ 𝐡)
5143, 44, 49, 50vtoclf 3546 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ (π‘˜ + 1) = (π‘˜ + 1)) β†’ ⦋(π‘˜ + 1) / π‘—β¦ŒπΆ ≀ 𝐡)
5233, 34, 35, 51syl3anc 1368 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ⦋(π‘˜ + 1) / π‘—β¦ŒπΆ ≀ 𝐡)
5311, 32, 52chvarfv 2225 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘—β¦ŒπΆ ≀ ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ)
5420, 21, 22cbvcsbw 3898 . . . . . 6 ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦Œπ΅ = ⦋(𝑖 + 1) / π‘—β¦ŒπΆ
5554a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦Œπ΅ = ⦋(𝑖 + 1) / π‘—β¦ŒπΆ)
56 eqidd 2727 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ = ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ)
5755, 56breq12d 5154 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦Œπ΅ ≀ ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ ↔ ⦋(𝑖 + 1) / π‘—β¦ŒπΆ ≀ ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ))
5853, 57mpbird 257 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦Œπ΅ ≀ ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ)
593peano2uzs 12890 . . . . . 6 (𝑖 ∈ 𝑍 β†’ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍)
6059adantl 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍)
61 nfv 1909 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜(𝑖 + 1) ∈ 𝑍
625, 61nfan 1894 . . . . . . . 8 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍)
63 nfcv 2897 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜(𝑖 + 1)
6463nfcsb1 3912 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜β¦‹(𝑖 + 1) / π‘˜β¦Œπ΅
6564nfel1 2913 . . . . . . . 8 β„²π‘˜β¦‹(𝑖 + 1) / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ
6662, 65nfim 1891 . . . . . . 7 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍) β†’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ)
67 ovex 7438 . . . . . . 7 (𝑖 + 1) ∈ V
68 eleq1 2815 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = (𝑖 + 1) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↔ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍))
6968anbi2d 628 . . . . . . . 8 (π‘˜ = (𝑖 + 1) β†’ ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ↔ (πœ‘ ∧ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍)))
70 csbeq1a 3902 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = (𝑖 + 1) β†’ 𝐡 = ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦Œπ΅)
7170eleq1d 2812 . . . . . . . 8 (π‘˜ = (𝑖 + 1) β†’ (𝐡 ∈ ℝ ↔ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ))
7269, 71imbi12d 344 . . . . . . 7 (π‘˜ = (𝑖 + 1) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ ℝ) ↔ ((πœ‘ ∧ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍) β†’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ)))
7366, 67, 72, 6vtoclf 3546 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍) β†’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ)
7459, 73sylan2 592 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ)
75 eqid 2726 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)
7663, 64, 70, 75fvmptf 7013 . . . . 5 (((𝑖 + 1) ∈ 𝑍 ∧ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜(𝑖 + 1)) = ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦Œπ΅)
7760, 74, 76syl2anc 583 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜(𝑖 + 1)) = ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦Œπ΅)
78 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ 𝑖 ∈ 𝑍)
79 nfv 1909 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗 𝑖 ∈ 𝑍
8036, 79nfan 1894 . . . . . . 7 Ⅎ𝑗(πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍)
81 nfcsb1v 3913 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ
82 nfcv 2897 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗ℝ
8381, 82nfel 2911 . . . . . . 7 Ⅎ𝑗⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ ∈ ℝ
8480, 83nfim 1891 . . . . . 6 Ⅎ𝑗((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ ∈ ℝ)
85 eleq1 2815 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑖 β†’ (𝑗 ∈ 𝑍 ↔ 𝑖 ∈ 𝑍))
8685anbi2d 628 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑖 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍)))
87 csbeq1a 3902 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑖 β†’ 𝐢 = ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ)
8887eleq1d 2812 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑖 β†’ (𝐢 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ ∈ ℝ))
8986, 88imbi12d 344 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑖 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝐢 ∈ ℝ) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ ∈ ℝ)))
90 nfv 1909 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜ 𝑗 ∈ 𝑍
915, 90nfan 1894 . . . . . . . 8 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
92 nfv 1909 . . . . . . . 8 β„²π‘˜ 𝐢 ∈ ℝ
9391, 92nfim 1891 . . . . . . 7 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
94 eleq1 2815 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ 𝑍))
9594anbi2d 628 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)))
9622eleq1d 2812 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (𝐡 ∈ ℝ ↔ 𝐢 ∈ ℝ))
9795, 96imbi12d 344 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ ℝ) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)))
9893, 97, 6chvarfv 2225 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
9984, 89, 98chvarfv 2225 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ ∈ ℝ)
100 nfcv 2897 . . . . . 6 β„²π‘˜π‘–
101 nfcv 2897 . . . . . 6 β„²π‘˜β¦‹π‘– / π‘—β¦ŒπΆ
102100, 101, 30, 75fvmptf 7013 . . . . 5 ((𝑖 ∈ 𝑍 ∧ ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ ∈ ℝ) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘–) = ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ)
10378, 99, 102syl2anc 583 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘–) = ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ)
10477, 103breq12d 5154 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜(𝑖 + 1)) ≀ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘–) ↔ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦Œπ΅ ≀ ⦋𝑖 / π‘—β¦ŒπΆ))
10558, 104mpbird 257 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜(𝑖 + 1)) ≀ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘–))
106 climinfmpt.e . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ 𝐡)
107 breq1 5144 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ≀ 𝐡 ↔ 𝑦 ≀ 𝐡))
108107ralbidv 3171 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ 𝐡 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡))
109108cbvrexvw 3229 . . . 4 (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ 𝐡 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡)
110106, 109sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡)
111 nfcv 2897 . . . . . . . 8 β„²π‘˜π‘¦
112 nfcv 2897 . . . . . . . 8 β„²π‘˜ ≀
113 nfmpt1 5249 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)
114113, 100nffv 6895 . . . . . . . 8 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘–)
115111, 112, 114nfbr 5188 . . . . . . 7 β„²π‘˜ 𝑦 ≀ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘–)
116 nfv 1909 . . . . . . 7 Ⅎ𝑖 𝑦 ≀ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜)
117 fveq2 6885 . . . . . . . 8 (𝑖 = π‘˜ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘–) = ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜))
118117breq2d 5153 . . . . . . 7 (𝑖 = π‘˜ β†’ (𝑦 ≀ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘–) ↔ 𝑦 ≀ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜)))
119115, 116, 118cbvralw 3297 . . . . . 6 (βˆ€π‘– ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘–) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜))
120119a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘–) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜)))
12175a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡))
122121, 6fvmpt2d 7005 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) = 𝐡)
123122breq2d 5153 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝑦 ≀ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ↔ 𝑦 ≀ 𝐡))
1245, 123ralbida 3261 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡))
125120, 124bitrd 279 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘–) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡))
126125rexbidv 3172 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘–) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡))
127110, 126mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘–))
1281, 2, 3, 4, 7, 105, 127climinf2 45000 1 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ⇝ inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡), ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  β„²wnf 1777   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  β¦‹csb 3888   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  ran crn 5670  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  infcinf 9438  β„cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826   ⇝ cli 15434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator