Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupre3mpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupre3mpt 45655
Description: Given a function on the extended reals, its supremum limit is real if and only if two condition holds: 1. there is a real number that is less than or equal to the function, at some point, in any upper part of the reals; 2. there is a real number that is eventually greater than or equal to the function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupre3mpt.p 𝑥𝜑
limsupre3mpt.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
limsupre3mpt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
limsupre3mpt (𝜑 → ((lim sup‘(𝑥𝐴𝐵)) ∈ ℝ ↔ (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝑦𝐵) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝐵𝑦))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥,𝑦   𝐵,𝑘,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem limsupre3mpt
Dummy variables 𝑗 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfmpt1 5274 . . 3 𝑥(𝑥𝐴𝐵)
2 limsupre3mpt.a . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
3 limsupre3mpt.p . . . 4 𝑥𝜑
4 limsupre3mpt.b . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
53, 4fmptd2f 45142 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℝ*)
61, 2, 5limsupre3 45654 . 2 (𝜑 → ((lim sup‘(𝑥𝐴𝐵)) ∈ ℝ ↔ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤 ≤ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ≤ 𝑤))))
7 eqid 2740 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
87a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵))
98, 4fvmpt2d 7042 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
109breq2d 5178 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑤 ≤ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ↔ 𝑤𝐵))
1110anbi2d 629 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑗𝑥𝑤 ≤ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) ↔ (𝑗𝑥𝑤𝐵)))
123, 11rexbida 3278 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤 ≤ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) ↔ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤𝐵)))
1312ralbidv 3184 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤 ≤ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) ↔ ∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤𝐵)))
1413rexbidv 3185 . . 3 (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤 ≤ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤𝐵)))
159breq1d 5176 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ≤ 𝑤𝐵𝑤))
1615imbi2d 340 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑗𝑥 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ≤ 𝑤) ↔ (𝑗𝑥𝐵𝑤)))
173, 16ralbida 3276 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ≤ 𝑤) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵𝑤)))
1817rexbidv 3185 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ≤ 𝑤) ↔ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵𝑤)))
1918rexbidv 3185 . . 3 (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ≤ 𝑤) ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵𝑤)))
2014, 19anbi12d 631 . 2 (𝜑 → ((∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤 ≤ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ≤ 𝑤)) ↔ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤𝐵) ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵𝑤))))
21 breq1 5169 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑦 → (𝑤𝐵𝑦𝐵))
2221anbi2d 629 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑦 → ((𝑗𝑥𝑤𝐵) ↔ (𝑗𝑥𝑦𝐵)))
2322rexbidv 3185 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑦 → (∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤𝐵) ↔ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑦𝐵)))
2423ralbidv 3184 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → (∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤𝐵) ↔ ∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑦𝐵)))
25 breq1 5169 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗𝑥𝑘𝑥))
2625anbi1d 630 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗𝑥𝑦𝐵) ↔ (𝑘𝑥𝑦𝐵)))
2726rexbidv 3185 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → (∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑦𝐵) ↔ ∃𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝑦𝐵)))
2827cbvralvw 3243 . . . . . . 7 (∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑦𝐵) ↔ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝑦𝐵))
2928a1i 11 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → (∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑦𝐵) ↔ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝑦𝐵)))
3024, 29bitrd 279 . . . . 5 (𝑤 = 𝑦 → (∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤𝐵) ↔ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝑦𝐵)))
3130cbvrexvw 3244 . . . 4 (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝑦𝐵))
32 breq2 5170 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑦 → (𝐵𝑤𝐵𝑦))
3332imbi2d 340 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑦 → ((𝑗𝑥𝐵𝑤) ↔ (𝑗𝑥𝐵𝑦)))
3433ralbidv 3184 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑦 → (∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵𝑤) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵𝑦)))
3534rexbidv 3185 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵𝑤) ↔ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵𝑦)))
3625imbi1d 341 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗𝑥𝐵𝑦) ↔ (𝑘𝑥𝐵𝑦)))
3736ralbidv 3184 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → (∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵𝑦) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝐵𝑦)))
3837cbvrexvw 3244 . . . . . . 7 (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵𝑦) ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝐵𝑦))
3938a1i 11 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵𝑦) ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝐵𝑦)))
4035, 39bitrd 279 . . . . 5 (𝑤 = 𝑦 → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵𝑤) ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝐵𝑦)))
4140cbvrexvw 3244 . . . 4 (∃𝑤 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵𝑤) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝐵𝑦))
4231, 41anbi12i 627 . . 3 ((∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤𝐵) ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵𝑤)) ↔ (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝑦𝐵) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝐵𝑦)))
4342a1i 11 . 2 (𝜑 → ((∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤𝐵) ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵𝑤)) ↔ (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝑦𝐵) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝐵𝑦))))
446, 20, 433bitrd 305 1 (𝜑 → ((lim sup‘(𝑥𝐴𝐵)) ∈ ℝ ↔ (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝑦𝐵) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝐵𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wnf 1781  wcel 2108  wral 3067  wrex 3076  wss 3976   class class class wbr 5166  cmpt 5249  cfv 6573  cr 11183  *cxr 11323  cle 11325  lim supclsp 15516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-ico 13413  df-limsup 15517
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator