Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupre3mpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupre3mpt 45035
Description: Given a function on the extended reals, its supremum limit is real if and only if two condition holds: 1. there is a real number that is less than or equal to the function, at some point, in any upper part of the reals; 2. there is a real number that is eventually greater than or equal to the function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupre3mpt.p β„²π‘₯πœ‘
limsupre3mpt.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
limsupre3mpt.b ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
limsupre3mpt (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) ∈ ℝ ↔ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 ≀ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 ≀ 𝑦))))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜,π‘₯,𝑦   𝐡,π‘˜,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,π‘˜)   𝐡(π‘₯)

Proof of Theorem limsupre3mpt
Dummy variables 𝑗 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfmpt1 5250 . . 3 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
2 limsupre3mpt.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
3 limsupre3mpt.p . . . 4 β„²π‘₯πœ‘
4 limsupre3mpt.b . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
53, 4fmptd2f 44522 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„*)
61, 2, 5limsupre3 45034 . 2 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) ∈ ℝ ↔ (βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ ∧ 𝑀 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯)) ∧ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ≀ 𝑀))))
7 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
87a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))
98, 4fvmpt2d 7012 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝐡)
109breq2d 5154 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑀 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ↔ 𝑀 ≀ 𝐡))
1110anbi2d 628 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝑗 ≀ π‘₯ ∧ 𝑀 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯)) ↔ (𝑗 ≀ π‘₯ ∧ 𝑀 ≀ 𝐡)))
123, 11rexbida 3264 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ ∧ 𝑀 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ ∧ 𝑀 ≀ 𝐡)))
1312ralbidv 3172 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘— ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ ∧ 𝑀 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘— ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ ∧ 𝑀 ≀ 𝐡)))
1413rexbidv 3173 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ ∧ 𝑀 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ ∧ 𝑀 ≀ 𝐡)))
159breq1d 5152 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ≀ 𝑀 ↔ 𝐡 ≀ 𝑀))
1615imbi2d 340 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝑗 ≀ π‘₯ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ≀ 𝑀) ↔ (𝑗 ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 ≀ 𝑀)))
173, 16ralbida 3262 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ≀ 𝑀) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 ≀ 𝑀)))
1817rexbidv 3173 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ≀ 𝑀) ↔ βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 ≀ 𝑀)))
1918rexbidv 3173 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ≀ 𝑀) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 ≀ 𝑀)))
2014, 19anbi12d 630 . 2 (πœ‘ β†’ ((βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ ∧ 𝑀 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯)) ∧ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ≀ 𝑀)) ↔ (βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ ∧ 𝑀 ≀ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 ≀ 𝑀))))
21 breq1 5145 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 𝑦 β†’ (𝑀 ≀ 𝐡 ↔ 𝑦 ≀ 𝐡))
2221anbi2d 628 . . . . . . . 8 (𝑀 = 𝑦 β†’ ((𝑗 ≀ π‘₯ ∧ 𝑀 ≀ 𝐡) ↔ (𝑗 ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 ≀ 𝐡)))
2322rexbidv 3173 . . . . . . 7 (𝑀 = 𝑦 β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ ∧ 𝑀 ≀ 𝐡) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 ≀ 𝐡)))
2423ralbidv 3172 . . . . . 6 (𝑀 = 𝑦 β†’ (βˆ€π‘— ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ ∧ 𝑀 ≀ 𝐡) ↔ βˆ€π‘— ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 ≀ 𝐡)))
25 breq1 5145 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = π‘˜ β†’ (𝑗 ≀ π‘₯ ↔ π‘˜ ≀ π‘₯))
2625anbi1d 629 . . . . . . . . 9 (𝑗 = π‘˜ β†’ ((𝑗 ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 ≀ 𝐡) ↔ (π‘˜ ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 ≀ 𝐡)))
2726rexbidv 3173 . . . . . . . 8 (𝑗 = π‘˜ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 ≀ 𝐡) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 ≀ 𝐡)))
2827cbvralvw 3229 . . . . . . 7 (βˆ€π‘— ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 ≀ 𝐡) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 ≀ 𝐡))
2928a1i 11 . . . . . 6 (𝑀 = 𝑦 β†’ (βˆ€π‘— ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 ≀ 𝐡) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 ≀ 𝐡)))
3024, 29bitrd 279 . . . . 5 (𝑀 = 𝑦 β†’ (βˆ€π‘— ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ ∧ 𝑀 ≀ 𝐡) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 ≀ 𝐡)))
3130cbvrexvw 3230 . . . 4 (βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ ∧ 𝑀 ≀ 𝐡) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 ≀ 𝐡))
32 breq2 5146 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 𝑦 β†’ (𝐡 ≀ 𝑀 ↔ 𝐡 ≀ 𝑦))
3332imbi2d 340 . . . . . . . 8 (𝑀 = 𝑦 β†’ ((𝑗 ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 ≀ 𝑀) ↔ (𝑗 ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 ≀ 𝑦)))
3433ralbidv 3172 . . . . . . 7 (𝑀 = 𝑦 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 ≀ 𝑀) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 ≀ 𝑦)))
3534rexbidv 3173 . . . . . 6 (𝑀 = 𝑦 β†’ (βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 ≀ 𝑀) ↔ βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 ≀ 𝑦)))
3625imbi1d 341 . . . . . . . . 9 (𝑗 = π‘˜ β†’ ((𝑗 ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 ≀ 𝑦) ↔ (π‘˜ ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 ≀ 𝑦)))
3736ralbidv 3172 . . . . . . . 8 (𝑗 = π‘˜ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 ≀ 𝑦) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 ≀ 𝑦)))
3837cbvrexvw 3230 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 ≀ 𝑦) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 ≀ 𝑦))
3938a1i 11 . . . . . 6 (𝑀 = 𝑦 β†’ (βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 ≀ 𝑦) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 ≀ 𝑦)))
4035, 39bitrd 279 . . . . 5 (𝑀 = 𝑦 β†’ (βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 ≀ 𝑀) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 ≀ 𝑦)))
4140cbvrexvw 3230 . . . 4 (βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 ≀ 𝑀) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 ≀ 𝑦))
4231, 41anbi12i 626 . . 3 ((βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ ∧ 𝑀 ≀ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 ≀ 𝑀)) ↔ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 ≀ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 ≀ 𝑦)))
4342a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ ((βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ ∧ 𝑀 ≀ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 ≀ 𝑀)) ↔ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 ≀ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 ≀ 𝑦))))
446, 20, 433bitrd 305 1 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) ∈ ℝ ↔ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 ≀ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 ≀ 𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534  β„²wnf 1778   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065   βŠ† wss 3944   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  β€˜cfv 6542  β„cr 11123  β„*cxr 11263   ≀ cle 11265  lim supclsp 15432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9451  df-inf 9452  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-ico 13348  df-limsup 15433
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator