Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupre3mpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupre3mpt 40440
Description: Given a function on the extended reals, its supremum limit is real if and only if two condition holds: 1. there is a real number that is less than or equal to the function, at some point, in any upper part of the reals; 2. there is a real number that is eventually greater than or equal to the function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupre3mpt.p 𝑥𝜑
limsupre3mpt.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
limsupre3mpt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
limsupre3mpt (𝜑 → ((lim sup‘(𝑥𝐴𝐵)) ∈ ℝ ↔ (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝑦𝐵) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝐵𝑦))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥,𝑦   𝐵,𝑘,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem limsupre3mpt
Dummy variables 𝑗 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfmpt1 4934 . . 3 𝑥(𝑥𝐴𝐵)
2 limsupre3mpt.a . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
3 limsupre3mpt.p . . . 4 𝑥𝜑
4 limsupre3mpt.b . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
53, 4fmptd2f 39920 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℝ*)
61, 2, 5limsupre3 40439 . 2 (𝜑 → ((lim sup‘(𝑥𝐴𝐵)) ∈ ℝ ↔ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤 ≤ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ≤ 𝑤))))
7 eqid 2802 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
87a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵))
98, 4fvmpt2d 6508 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
109breq2d 4849 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑤 ≤ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ↔ 𝑤𝐵))
1110anbi2d 616 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑗𝑥𝑤 ≤ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) ↔ (𝑗𝑥𝑤𝐵)))
123, 11rexbida 3231 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤 ≤ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) ↔ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤𝐵)))
1312ralbidv 3170 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤 ≤ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) ↔ ∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤𝐵)))
1413rexbidv 3236 . . 3 (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤 ≤ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤𝐵)))
159breq1d 4847 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ≤ 𝑤𝐵𝑤))
1615imbi2d 331 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑗𝑥 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ≤ 𝑤) ↔ (𝑗𝑥𝐵𝑤)))
173, 16ralbida 3166 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ≤ 𝑤) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵𝑤)))
1817rexbidv 3236 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ≤ 𝑤) ↔ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵𝑤)))
1918rexbidv 3236 . . 3 (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ≤ 𝑤) ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵𝑤)))
2014, 19anbi12d 618 . 2 (𝜑 → ((∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤 ≤ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ≤ 𝑤)) ↔ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤𝐵) ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵𝑤))))
21 breq1 4840 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑦 → (𝑤𝐵𝑦𝐵))
2221anbi2d 616 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑦 → ((𝑗𝑥𝑤𝐵) ↔ (𝑗𝑥𝑦𝐵)))
2322rexbidv 3236 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑦 → (∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤𝐵) ↔ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑦𝐵)))
2423ralbidv 3170 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → (∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤𝐵) ↔ ∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑦𝐵)))
25 breq1 4840 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗𝑥𝑘𝑥))
2625anbi1d 617 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗𝑥𝑦𝐵) ↔ (𝑘𝑥𝑦𝐵)))
2726rexbidv 3236 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → (∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑦𝐵) ↔ ∃𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝑦𝐵)))
2827cbvralv 3356 . . . . . . 7 (∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑦𝐵) ↔ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝑦𝐵))
2928a1i 11 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → (∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑦𝐵) ↔ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝑦𝐵)))
3024, 29bitrd 270 . . . . 5 (𝑤 = 𝑦 → (∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤𝐵) ↔ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝑦𝐵)))
3130cbvrexv 3357 . . . 4 (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝑦𝐵))
32 breq2 4841 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑦 → (𝐵𝑤𝐵𝑦))
3332imbi2d 331 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑦 → ((𝑗𝑥𝐵𝑤) ↔ (𝑗𝑥𝐵𝑦)))
3433ralbidv 3170 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑦 → (∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵𝑤) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵𝑦)))
3534rexbidv 3236 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵𝑤) ↔ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵𝑦)))
3625imbi1d 332 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗𝑥𝐵𝑦) ↔ (𝑘𝑥𝐵𝑦)))
3736ralbidv 3170 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → (∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵𝑦) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝐵𝑦)))
3837cbvrexv 3357 . . . . . . 7 (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵𝑦) ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝐵𝑦))
3938a1i 11 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵𝑦) ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝐵𝑦)))
4035, 39bitrd 270 . . . . 5 (𝑤 = 𝑦 → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵𝑤) ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝐵𝑦)))
4140cbvrexv 3357 . . . 4 (∃𝑤 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵𝑤) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝐵𝑦))
4231, 41anbi12i 614 . . 3 ((∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤𝐵) ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵𝑤)) ↔ (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝑦𝐵) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝐵𝑦)))
4342a1i 11 . 2 (𝜑 → ((∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤𝐵) ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵𝑤)) ↔ (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝑦𝐵) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝐵𝑦))))
446, 20, 433bitrd 296 1 (𝜑 → ((lim sup‘(𝑥𝐴𝐵)) ∈ ℝ ↔ (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝑦𝐵) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝐵𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wnf 1863  wcel 2155  wral 3092  wrex 3093  wss 3763   class class class wbr 4837  cmpt 4916  cfv 6095  cr 10214  *cxr 10352  cle 10354  lim supclsp 14418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2067  ax-7 2103  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2184  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2419  ax-ext 2781  ax-rep 4957  ax-sep 4968  ax-nul 4977  ax-pow 5029  ax-pr 5090  ax-un 7173  ax-cnex 10271  ax-resscn 10272  ax-1cn 10273  ax-icn 10274  ax-addcl 10275  ax-addrcl 10276  ax-mulcl 10277  ax-mulrcl 10278  ax-mulcom 10279  ax-addass 10280  ax-mulass 10281  ax-distr 10282  ax-i2m1 10283  ax-1ne0 10284  ax-1rid 10285  ax-rnegex 10286  ax-rrecex 10287  ax-cnre 10288  ax-pre-lttri 10289  ax-pre-lttrn 10290  ax-pre-ltadd 10291  ax-pre-mulgt0 10292  ax-pre-sup 10293
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2060  df-eu 2633  df-mo 2634  df-clab 2789  df-cleq 2795  df-clel 2798  df-nfc 2933  df-ne 2975  df-nel 3078  df-ral 3097  df-rex 3098  df-reu 3099  df-rmo 3100  df-rab 3101  df-v 3389  df-sbc 3628  df-csb 3723  df-dif 3766  df-un 3768  df-in 3770  df-ss 3777  df-nul 4111  df-if 4274  df-pw 4347  df-sn 4365  df-pr 4367  df-op 4371  df-uni 4624  df-iun 4707  df-br 4838  df-opab 4900  df-mpt 4917  df-id 5213  df-po 5226  df-so 5227  df-xp 5311  df-rel 5312  df-cnv 5313  df-co 5314  df-dm 5315  df-rn 5316  df-res 5317  df-ima 5318  df-iota 6058  df-fun 6097  df-fn 6098  df-f 6099  df-f1 6100  df-fo 6101  df-f1o 6102  df-fv 6103  df-riota 6829  df-ov 6871  df-oprab 6872  df-mpt2 6873  df-er 7973  df-en 8187  df-dom 8188  df-sdom 8189  df-sup 8581  df-inf 8582  df-pnf 10355  df-mnf 10356  df-xr 10357  df-ltxr 10358  df-le 10359  df-sub 10547  df-neg 10548  df-ico 12393  df-limsup 14419
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator