Theorem limsupvaluzmpt 46545

Description: The superior limit, when the domain of the function is a set of upper integers (the first condition is needed, otherwise the l.h.s. would be -∞ and the r.h.s. would be +∞). (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupvaluzmpt.j	⊢ Ⅎ𝑗𝜑
limsupvaluzmpt.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
limsupvaluzmpt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
limsupvaluzmpt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
limsupvaluzmpt	⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) = inf(ran (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ 𝐵), ℝ*, < )), ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗, 𝑘)   𝐵(𝑗)   𝑀(𝑗, 𝑘)

Proof of Theorem limsupvaluzmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupvaluzmpt.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		limsupvaluzmpt.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		limsupvaluzmpt.j	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
4		limsupvaluzmpt.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5	3, 4	fmptd2f 46064	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵):𝑍⟶ℝ*)
6	1, 2, 5	limsupvaluz 46536	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) = inf(ran (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ↾ (ℤ≥‘𝑘)), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
7	2	uzssd3 46254	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → (ℤ≥‘𝑘) ⊆ 𝑍)
8	7	resmptd 6036	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ↾ (ℤ≥‘𝑘)) = (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ 𝐵))
9	8	rneqd 5922	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ran ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ↾ (ℤ≥‘𝑘)) = ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ 𝐵))
10	9	supeq1d 9416	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → sup(ran ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ↾ (ℤ≥‘𝑘)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ 𝐵), ℝ*, < ))
11	10	mpteq2ia 5200	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ↾ (ℤ≥‘𝑘)), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ 𝐵), ℝ*, < ))
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ↾ (ℤ≥‘𝑘)), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ 𝐵), ℝ*, < )))
13	12	rneqd 5922	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ↾ (ℤ≥‘𝑘)), ℝ*, < )) = ran (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ 𝐵), ℝ*, < )))
14	13	infeq1d 9448	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(ran (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ↾ (ℤ≥‘𝑘)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = inf(ran (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ 𝐵), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
15	6, 14	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) = inf(ran (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ 𝐵), ℝ*, < )), ℝ*, < ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145   ↦ cmpt 5186  ran crn 5656   ↾ cres 5657  ‘cfv 6533  supcsup 9410  infcinf 9411  ℝ^*cxr 11266   < clt 11267  ℤcz 12615  ℤ_≥cuz 12887  lim supclsp 15557

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-ico 13404  df-fl 13853  df-limsup 15558

This theorem is used by:  smflimsuplem4  47651