Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupvaluzmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupvaluzmpt 45732
Description: The superior limit, when the domain of the function is a set of upper integers (the first condition is needed, otherwise the l.h.s. would be -∞ and the r.h.s. would be +∞). (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupvaluzmpt.j 𝑗𝜑
limsupvaluzmpt.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
limsupvaluzmpt.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
limsupvaluzmpt.b ((𝜑𝑗𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
limsupvaluzmpt (𝜑 → (lim sup‘(𝑗𝑍𝐵)) = inf(ran (𝑘𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ𝑘) ↦ 𝐵), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝐵(𝑗)   𝑀(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem limsupvaluzmpt
StepHypRef Expression
1 limsupvaluzmpt.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 limsupvaluzmpt.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 limsupvaluzmpt.j . . . 4 𝑗𝜑
4 limsupvaluzmpt.b . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ*)
53, 4fmptd2f 45240 . . 3 (𝜑 → (𝑗𝑍𝐵):𝑍⟶ℝ*)
61, 2, 5limsupvaluz 45723 . 2 (𝜑 → (lim sup‘(𝑗𝑍𝐵)) = inf(ran (𝑘𝑍 ↦ sup(ran ((𝑗𝑍𝐵) ↾ (ℤ𝑘)), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
72uzssd3 45437 . . . . . . . . 9 (𝑘𝑍 → (ℤ𝑘) ⊆ 𝑍)
87resmptd 6058 . . . . . . . 8 (𝑘𝑍 → ((𝑗𝑍𝐵) ↾ (ℤ𝑘)) = (𝑗 ∈ (ℤ𝑘) ↦ 𝐵))
98rneqd 5949 . . . . . . 7 (𝑘𝑍 → ran ((𝑗𝑍𝐵) ↾ (ℤ𝑘)) = ran (𝑗 ∈ (ℤ𝑘) ↦ 𝐵))
109supeq1d 9486 . . . . . 6 (𝑘𝑍 → sup(ran ((𝑗𝑍𝐵) ↾ (ℤ𝑘)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ𝑘) ↦ 𝐵), ℝ*, < ))
1110mpteq2ia 5245 . . . . 5 (𝑘𝑍 ↦ sup(ran ((𝑗𝑍𝐵) ↾ (ℤ𝑘)), ℝ*, < )) = (𝑘𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ𝑘) ↦ 𝐵), ℝ*, < ))
1211a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ sup(ran ((𝑗𝑍𝐵) ↾ (ℤ𝑘)), ℝ*, < )) = (𝑘𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ𝑘) ↦ 𝐵), ℝ*, < )))
1312rneqd 5949 . . 3 (𝜑 → ran (𝑘𝑍 ↦ sup(ran ((𝑗𝑍𝐵) ↾ (ℤ𝑘)), ℝ*, < )) = ran (𝑘𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ𝑘) ↦ 𝐵), ℝ*, < )))
1413infeq1d 9517 . 2 (𝜑 → inf(ran (𝑘𝑍 ↦ sup(ran ((𝑗𝑍𝐵) ↾ (ℤ𝑘)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = inf(ran (𝑘𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ𝑘) ↦ 𝐵), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
156, 14eqtrd 2777 1 (𝜑 → (lim sup‘(𝑗𝑍𝐵)) = inf(ran (𝑘𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ𝑘) ↦ 𝐵), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wnf 1783  wcel 2108  cmpt 5225  ran crn 5686  cres 5687  cfv 6561  supcsup 9480  infcinf 9481  *cxr 11294   < clt 11295  cz 12613  cuz 12878  lim supclsp 15506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-ico 13393  df-fl 13832  df-limsup 15507
This theorem is referenced by:  smflimsuplem4  46838
  Copyright terms: Public domain W3C validator