Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupvaluzmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupvaluzmpt 44111
Description: The superior limit, when the domain of the function is a set of upper integers (the first condition is needed, otherwise the l.h.s. would be -∞ and the r.h.s. would be +∞). (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupvaluzmpt.j β„²π‘—πœ‘
limsupvaluzmpt.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
limsupvaluzmpt.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
limsupvaluzmpt.b ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
limsupvaluzmpt (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) = inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) ↦ 𝐡), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝐡,π‘˜   𝑗,𝑍,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑗,π‘˜)   𝐡(𝑗)   𝑀(𝑗,π‘˜)

Proof of Theorem limsupvaluzmpt
StepHypRef Expression
1 limsupvaluzmpt.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
2 limsupvaluzmpt.z . . 3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
3 limsupvaluzmpt.j . . . 4 β„²π‘—πœ‘
4 limsupvaluzmpt.b . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
53, 4fmptd2f 43614 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡):π‘βŸΆβ„*)
61, 2, 5limsupvaluz 44102 . 2 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) = inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ sup(ran ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
72uzssd3 43814 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) βŠ† 𝑍)
87resmptd 6014 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) = (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) ↦ 𝐡))
98rneqd 5913 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ ran ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) = ran (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) ↦ 𝐡))
109supeq1d 9406 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ sup(ran ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) ↦ 𝐡), ℝ*, < ))
1110mpteq2ia 5228 . . . . 5 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ sup(ran ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)), ℝ*, < )) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) ↦ 𝐡), ℝ*, < ))
1211a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ sup(ran ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)), ℝ*, < )) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) ↦ 𝐡), ℝ*, < )))
1312rneqd 5913 . . 3 (πœ‘ β†’ ran (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ sup(ran ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)), ℝ*, < )) = ran (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) ↦ 𝐡), ℝ*, < )))
1413infeq1d 9437 . 2 (πœ‘ β†’ inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ sup(ran ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) ↦ 𝐡), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
156, 14eqtrd 2771 1 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) = inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) ↦ 𝐡), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541  β„²wnf 1785   ∈ wcel 2106   ↦ cmpt 5208  ran crn 5654   β†Ύ cres 5655  β€˜cfv 6516  supcsup 9400  infcinf 9401  β„*cxr 11212   < clt 11213  β„€cz 12523  β„€β‰₯cuz 12787  lim supclsp 15379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8670  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-sup 9402  df-inf 9403  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12178  df-n0 12438  df-z 12524  df-uz 12788  df-ico 13295  df-fl 13722  df-limsup 15380
This theorem is referenced by:  smflimsuplem4  45217
  Copyright terms: Public domain W3C validator