Theorem limsupvaluzmpt 46075

Description: The superior limit, when the domain of the function is a set of upper integers (the first condition is needed, otherwise the l.h.s. would be -∞ and the r.h.s. would be +∞). (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupvaluzmpt.j	⊢ Ⅎ𝑗𝜑
limsupvaluzmpt.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
limsupvaluzmpt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
limsupvaluzmpt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
limsupvaluzmpt	⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) = inf(ran (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ 𝐵), ℝ*, < )), ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝐵(𝑗)   𝑀(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem limsupvaluzmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupvaluzmpt.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		limsupvaluzmpt.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		limsupvaluzmpt.j	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
4		limsupvaluzmpt.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5	3, 4	fmptd2f 45593	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵):𝑍⟶ℝ*)
6	1, 2, 5	limsupvaluz 46066	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) = inf(ran (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ↾ (ℤ≥‘𝑘)), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
7	2	uzssd3 45784	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → (ℤ≥‘𝑘) ⊆ 𝑍)
8	7	resmptd 6007	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ↾ (ℤ≥‘𝑘)) = (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ 𝐵))
9	8	rneqd 5895	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ran ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ↾ (ℤ≥‘𝑘)) = ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ 𝐵))
10	9	supeq1d 9361	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → sup(ran ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ↾ (ℤ≥‘𝑘)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ 𝐵), ℝ*, < ))
11	10	mpteq2ia 5195	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ↾ (ℤ≥‘𝑘)), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ 𝐵), ℝ*, < ))
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ↾ (ℤ≥‘𝑘)), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ 𝐵), ℝ*, < )))
13	12	rneqd 5895	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ↾ (ℤ≥‘𝑘)), ℝ*, < )) = ran (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ 𝐵), ℝ*, < )))
14	13	infeq1d 9393	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(ran (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ↾ (ℤ≥‘𝑘)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = inf(ran (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ 𝐵), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
15	6, 14	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) = inf(ran (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ 𝐵), ℝ*, < )), ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114   ↦ cmpt 5181  ran crn 5633   ↾ cres 5634  ‘cfv 6500  supcsup 9355  infcinf 9356  ℝ^*cxr 11177   < clt 11178  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763  lim supclsp 15405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-ico 13279  df-fl 13724  df-limsup 15406

This theorem is referenced by:  smflimsuplem4  47181