Theorem limsupvaluzmpt 45755

Description: The superior limit, when the domain of the function is a set of upper integers (the first condition is needed, otherwise the l.h.s. would be -∞ and the r.h.s. would be +∞). (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupvaluzmpt.j	⊢ Ⅎ𝑗𝜑
limsupvaluzmpt.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
limsupvaluzmpt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
limsupvaluzmpt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
limsupvaluzmpt	⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) = inf(ran (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ 𝐵), ℝ*, < )), ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝐵(𝑗)   𝑀(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem limsupvaluzmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupvaluzmpt.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		limsupvaluzmpt.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		limsupvaluzmpt.j	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
4		limsupvaluzmpt.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5	3, 4	fmptd2f 45272	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵):𝑍⟶ℝ*)
6	1, 2, 5	limsupvaluz 45746	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) = inf(ran (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ↾ (ℤ≥‘𝑘)), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
7	2	uzssd3 45464	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → (ℤ≥‘𝑘) ⊆ 𝑍)
8	7	resmptd 5984	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ↾ (ℤ≥‘𝑘)) = (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ 𝐵))
9	8	rneqd 5873	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ran ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ↾ (ℤ≥‘𝑘)) = ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ 𝐵))
10	9	supeq1d 9325	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → sup(ran ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ↾ (ℤ≥‘𝑘)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ 𝐵), ℝ*, < ))
11	10	mpteq2ia 5181	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ↾ (ℤ≥‘𝑘)), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ 𝐵), ℝ*, < ))
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ↾ (ℤ≥‘𝑘)), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ 𝐵), ℝ*, < )))
13	12	rneqd 5873	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ↾ (ℤ≥‘𝑘)), ℝ*, < )) = ran (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ 𝐵), ℝ*, < )))
14	13	infeq1d 9357	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(ran (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ↾ (ℤ≥‘𝑘)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = inf(ran (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ 𝐵), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
15	6, 14	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) = inf(ran (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ 𝐵), ℝ*, < )), ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2111   ↦ cmpt 5167  ran crn 5612   ↾ cres 5613  ‘cfv 6476  supcsup 9319  infcinf 9320  ℝ^*cxr 11140   < clt 11141  ℤcz 12463  ℤ_≥cuz 12727  lim supclsp 15372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-sup 9321  df-inf 9322  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-ico 13246  df-fl 13691  df-limsup 15373

This theorem is referenced by:  smflimsuplem4  46861