Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupreuzmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupreuzmpt 42374
Description: Given a function on the reals, defined on a set of upper integers, its supremum limit is real if and only if two condition holds: 1. there is a real number that is less than or equal to the function, infinitely often; 2. there is a real number that is greater than or equal to the function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupreuzmpt.j 𝑗𝜑
limsupreuzmpt.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
limsupreuzmpt.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
limsupreuzmpt.b ((𝜑𝑗𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
limsupreuzmpt (𝜑 → ((lim sup‘(𝑗𝑍𝐵)) ∈ ℝ ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑥)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐵(𝑗)   𝑀(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem limsupreuzmpt
Dummy variables 𝑖 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfmpt1 5131 . . 3 𝑗(𝑗𝑍𝐵)
2 limsupreuzmpt.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 limsupreuzmpt.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
4 limsupreuzmpt.j . . . 4 𝑗𝜑
5 limsupreuzmpt.b . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
64, 5fmptd2f 41864 . . 3 (𝜑 → (𝑗𝑍𝐵):𝑍⟶ℝ)
71, 2, 3, 6limsupreuz 42372 . 2 (𝜑 → ((lim sup‘(𝑗𝑍𝐵)) ∈ ℝ ↔ (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑦 ≤ ((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 ((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) ≤ 𝑦)))
8 nfv 1915 . . . . . . . 8 𝑗 𝑖𝑍
94, 8nfan 1900 . . . . . . 7 𝑗(𝜑𝑖𝑍)
10 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝜑)
113uztrn2 12254 . . . . . . . . . 10 ((𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑗𝑍)
1211adantll 713 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑗𝑍)
13 eqid 2801 . . . . . . . . . . 11 (𝑗𝑍𝐵) = (𝑗𝑍𝐵)
1413a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑗𝑍𝐵) = (𝑗𝑍𝐵))
1514, 5fvmpt2d 6762 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) = 𝐵)
1610, 12, 15syl2anc 587 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → ((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) = 𝐵)
1716breq2d 5045 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → (𝑦 ≤ ((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) ↔ 𝑦𝐵))
189, 17rexbida 3280 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑍) → (∃𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑦 ≤ ((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑦𝐵))
1918ralbidva 3164 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑦 ≤ ((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) ↔ ∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑦𝐵))
2019rexbidv 3259 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑦 ≤ ((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑦𝐵))
21 breq1 5036 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝐵𝑥𝐵))
2221rexbidv 3259 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑦𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑥𝐵))
2322ralbidv 3165 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑦𝐵 ↔ ∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑥𝐵))
24 fveq2 6649 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑘 → (ℤ𝑖) = (ℤ𝑘))
2524rexeqdv 3368 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑘 → (∃𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑥𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥𝐵))
2625cbvralvw 3399 . . . . . . . 8 (∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑥𝐵 ↔ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥𝐵)
2726a1i 11 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑥𝐵 ↔ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥𝐵))
2823, 27bitrd 282 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑦𝐵 ↔ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥𝐵))
2928cbvrexvw 3400 . . . . 5 (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑦𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥𝐵)
3029a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑦𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥𝐵))
3120, 30bitrd 282 . . 3 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑦 ≤ ((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥𝐵))
3215breq1d 5043 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → (((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) ≤ 𝑦𝐵𝑦))
334, 32ralbida 3197 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑗𝑍 ((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑦))
3433rexbidv 3259 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 ((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑦))
35 breq2 5037 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (𝐵𝑦𝐵𝑥))
3635ralbidv 3165 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑗𝑍 𝐵𝑦 ↔ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑥))
3736cbvrexvw 3400 . . . . 5 (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑥)
3837a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑥))
3934, 38bitrd 282 . . 3 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 ((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑥))
4031, 39anbi12d 633 . 2 (𝜑 → ((∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑦 ≤ ((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 ((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) ≤ 𝑦) ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑥)))
417, 40bitrd 282 1 (𝜑 → ((lim sup‘(𝑗𝑍𝐵)) ∈ ℝ ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wnf 1785  wcel 2112  wral 3109  wrex 3110   class class class wbr 5033  cmpt 5113  cfv 6328  cr 10529  cle 10669  cz 11973  cuz 12235  lim supclsp 14823
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-ico 12736  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-ceil 13162  df-limsup 14824
This theorem is referenced by:  liminfreuzlem  42437
  Copyright terms: Public domain W3C validator