Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupreuzmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupreuzmpt 44455
Description: Given a function on the reals, defined on a set of upper integers, its supremum limit is real if and only if two condition holds: 1. there is a real number that is less than or equal to the function, infinitely often; 2. there is a real number that is greater than or equal to the function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupreuzmpt.j β„²π‘—πœ‘
limsupreuzmpt.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
limsupreuzmpt.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
limsupreuzmpt.b ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
limsupreuzmpt (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ∈ ℝ ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 𝐡 ≀ π‘₯)))
Distinct variable groups:   𝐡,π‘˜,π‘₯   𝑗,𝑍,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑗,π‘˜)   𝐡(𝑗)   𝑀(π‘₯,𝑗,π‘˜)

Proof of Theorem limsupreuzmpt
Dummy variables 𝑖 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfmpt1 5257 . . 3 Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)
2 limsupreuzmpt.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 limsupreuzmpt.z . . 3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
4 limsupreuzmpt.j . . . 4 β„²π‘—πœ‘
5 limsupreuzmpt.b . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
64, 5fmptd2f 43937 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡):π‘βŸΆβ„)
71, 2, 3, 6limsupreuz 44453 . 2 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ∈ ℝ ↔ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘—) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘—) ≀ 𝑦)))
8 nfv 1918 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗 𝑖 ∈ 𝑍
94, 8nfan 1903 . . . . . . 7 Ⅎ𝑗(πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍)
10 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ πœ‘)
113uztrn2 12841 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
1211adantll 713 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
13 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)
1413a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡))
1514, 5fvmpt2d 7012 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘—) = 𝐡)
1610, 12, 15syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘—) = 𝐡)
1716breq2d 5161 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ (𝑦 ≀ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘—) ↔ 𝑦 ≀ 𝐡))
189, 17rexbida 3270 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘—) ↔ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ 𝐡))
1918ralbidva 3176 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘—) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ 𝐡))
2019rexbidv 3179 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘—) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ 𝐡))
21 breq1 5152 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑦 ≀ 𝐡 ↔ π‘₯ ≀ 𝐡))
2221rexbidv 3179 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ 𝐡 ↔ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)π‘₯ ≀ 𝐡))
2322ralbidv 3178 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ 𝐡 ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)π‘₯ ≀ 𝐡))
24 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = π‘˜ β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘–) = (β„€β‰₯β€˜π‘˜))
2524rexeqdv 3327 . . . . . . . . 9 (𝑖 = π‘˜ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)π‘₯ ≀ 𝐡 ↔ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ 𝐡))
2625cbvralvw 3235 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)π‘₯ ≀ 𝐡 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ 𝐡)
2726a1i 11 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)π‘₯ ≀ 𝐡 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ 𝐡))
2823, 27bitrd 279 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ 𝐡 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ 𝐡))
2928cbvrexvw 3236 . . . . 5 (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ 𝐡 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ 𝐡)
3029a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ 𝐡 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ 𝐡))
3120, 30bitrd 279 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘—) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ 𝐡))
3215breq1d 5159 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘—) ≀ 𝑦 ↔ 𝐡 ≀ 𝑦))
334, 32ralbida 3268 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘— ∈ 𝑍 ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘—) ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 𝐡 ≀ 𝑦))
3433rexbidv 3179 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘—) ≀ 𝑦 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 𝐡 ≀ 𝑦))
35 breq2 5153 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝐡 ≀ 𝑦 ↔ 𝐡 ≀ π‘₯))
3635ralbidv 3178 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆ€π‘— ∈ 𝑍 𝐡 ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 𝐡 ≀ π‘₯))
3736cbvrexvw 3236 . . . . 5 (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 𝐡 ≀ 𝑦 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 𝐡 ≀ π‘₯)
3837a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 𝐡 ≀ 𝑦 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 𝐡 ≀ π‘₯))
3934, 38bitrd 279 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘—) ≀ 𝑦 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 𝐡 ≀ π‘₯))
4031, 39anbi12d 632 . 2 (πœ‘ β†’ ((βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘—) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘—) ≀ 𝑦) ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 𝐡 ≀ π‘₯)))
417, 40bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ∈ ℝ ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 𝐡 ≀ π‘₯)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  β€˜cfv 6544  β„cr 11109   ≀ cle 11249  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  lim supclsp 15414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-ico 13330  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-ceil 13758  df-limsup 15415
This theorem is referenced by:  liminfreuzlem  44518
  Copyright terms: Public domain W3C validator