Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupreuzmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupreuzmpt 41476
Description: Given a function on the reals, defined on a set of upper integers, its supremum limit is real if and only if two condition holds: 1. there is a real number that is less than or equal to the function, infinitely often; 2. there is a real number that is greater than or equal to the function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupreuzmpt.j 𝑗𝜑
limsupreuzmpt.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
limsupreuzmpt.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
limsupreuzmpt.b ((𝜑𝑗𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
limsupreuzmpt (𝜑 → ((lim sup‘(𝑗𝑍𝐵)) ∈ ℝ ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑥)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐵(𝑗)   𝑀(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem limsupreuzmpt
Dummy variables 𝑖 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfmpt1 5021 . . 3 𝑗(𝑗𝑍𝐵)
2 limsupreuzmpt.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 limsupreuzmpt.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
4 limsupreuzmpt.j . . . 4 𝑗𝜑
5 limsupreuzmpt.b . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
64, 5fmptd2f 40958 . . 3 (𝜑 → (𝑗𝑍𝐵):𝑍⟶ℝ)
71, 2, 3, 6limsupreuz 41474 . 2 (𝜑 → ((lim sup‘(𝑗𝑍𝐵)) ∈ ℝ ↔ (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑦 ≤ ((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 ((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) ≤ 𝑦)))
8 nfv 1873 . . . . . . . 8 𝑗 𝑖𝑍
94, 8nfan 1862 . . . . . . 7 𝑗(𝜑𝑖𝑍)
10 simpll 754 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝜑)
113uztrn2 12074 . . . . . . . . . 10 ((𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑗𝑍)
1211adantll 701 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑗𝑍)
13 eqid 2772 . . . . . . . . . . 11 (𝑗𝑍𝐵) = (𝑗𝑍𝐵)
1413a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑗𝑍𝐵) = (𝑗𝑍𝐵))
1514, 5fvmpt2d 6605 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) = 𝐵)
1610, 12, 15syl2anc 576 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → ((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) = 𝐵)
1716breq2d 4937 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → (𝑦 ≤ ((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) ↔ 𝑦𝐵))
189, 17rexbida 3255 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑍) → (∃𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑦 ≤ ((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑦𝐵))
1918ralbidva 3140 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑦 ≤ ((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) ↔ ∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑦𝐵))
2019rexbidv 3236 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑦 ≤ ((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑦𝐵))
21 breq1 4928 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝐵𝑥𝐵))
2221rexbidv 3236 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑦𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑥𝐵))
2322ralbidv 3141 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑦𝐵 ↔ ∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑥𝐵))
24 fveq2 6496 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑘 → (ℤ𝑖) = (ℤ𝑘))
2524rexeqdv 3350 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑘 → (∃𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑥𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥𝐵))
2625cbvralv 3377 . . . . . . . 8 (∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑥𝐵 ↔ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥𝐵)
2726a1i 11 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑥𝐵 ↔ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥𝐵))
2823, 27bitrd 271 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑦𝐵 ↔ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥𝐵))
2928cbvrexv 3378 . . . . 5 (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑦𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥𝐵)
3029a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑦𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥𝐵))
3120, 30bitrd 271 . . 3 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑦 ≤ ((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥𝐵))
3215breq1d 4935 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → (((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) ≤ 𝑦𝐵𝑦))
334, 32ralbida 3171 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑗𝑍 ((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑦))
3433rexbidv 3236 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 ((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑦))
35 breq2 4929 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (𝐵𝑦𝐵𝑥))
3635ralbidv 3141 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑗𝑍 𝐵𝑦 ↔ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑥))
3736cbvrexv 3378 . . . . 5 (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑥)
3837a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑥))
3934, 38bitrd 271 . . 3 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 ((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑥))
4031, 39anbi12d 621 . 2 (𝜑 → ((∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑦 ≤ ((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 ((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) ≤ 𝑦) ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑥)))
417, 40bitrd 271 1 (𝜑 → ((lim sup‘(𝑗𝑍𝐵)) ∈ ℝ ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wnf 1746  wcel 2050  wral 3082  wrex 3083   class class class wbr 4925  cmpt 5004  cfv 6185  cr 10332  cle 10473  cz 11791  cuz 12056  lim supclsp 14686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410  ax-pre-sup 10411
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-oadd 7907  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-sup 8699  df-inf 8700  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-n0 11706  df-z 11792  df-uz 12057  df-ico 12558  df-fz 12707  df-fzo 12848  df-fl 12975  df-ceil 12976  df-limsup 14687
This theorem is referenced by:  liminfreuzlem  41539
  Copyright terms: Public domain W3C validator