Theorem limsupreuzmpt 43280

Description: Given a function on the reals, defined on a set of upper integers, its supremum limit is real if and only if two condition holds: 1. there is a real number that is less than or equal to the function, infinitely often; 2. there is a real number that is greater than or equal to the function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupreuzmpt.j	⊢ Ⅎ𝑗𝜑
limsupreuzmpt.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
limsupreuzmpt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
limsupreuzmpt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
limsupreuzmpt	⊢ (𝜑 → ((lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐵(𝑗)   𝑀(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem limsupreuzmpt

Dummy variables 𝑖 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfmpt1 5182	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)
2		limsupreuzmpt.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		limsupreuzmpt.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		limsupreuzmpt.j	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
5		limsupreuzmpt.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
6	4, 5	fmptd2f 42778	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵):𝑍⟶ℝ)
7	1, 2, 3, 6	limsupreuz 43278	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ ↔ (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ≤ 𝑦)))
8		nfv 1917	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑖 ∈ 𝑍
9	4, 8	nfan 1902	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍)
10		simpll 764	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝜑)
11	3	uztrn2 12601	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
12	11	adantll 711	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
13		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵))
15	14, 5	fvmpt2d 6888	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) = 𝐵)
16	10, 12, 15	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) = 𝐵)
17	16	breq2d 5086	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → (𝑦 ≤ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ↔ 𝑦 ≤ 𝐵))
18	9, 17	rexbida 3251	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ 𝐵))
19	18	ralbidva 3111	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ 𝐵))
20	19	rexbidv 3226	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ 𝐵))
21		breq1 5077	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ≤ 𝐵 ↔ 𝑥 ≤ 𝐵))
22	21	rexbidv 3226	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ 𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑥 ≤ 𝐵))
23	22	ralbidv 3112	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑖 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑥 ≤ 𝐵))
24		fveq2 6774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (ℤ≥‘𝑖) = (ℤ≥‘𝑘))
25	24	rexeqdv 3349	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑥 ≤ 𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ 𝐵))
26	25	cbvralvw 3383	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑥 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ 𝐵)
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑖 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑥 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ 𝐵))
28	23, 27	bitrd 278	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑖 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ 𝐵))
29	28	cbvrexvw 3384	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ 𝐵)
30	29	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ 𝐵))
31	20, 30	bitrd 278	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ 𝐵))
32	15	breq1d 5084	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ≤ 𝑦 ↔ 𝐵 ≤ 𝑦))
33	4, 32	ralbida 3159	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑗 ∈ 𝑍 ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑦))
34	33	rexbidv 3226	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑦))
35		breq2 5078	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑦 ↔ 𝐵 ≤ 𝑥))
36	35	ralbidv 3112	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑥))
37	36	cbvrexvw 3384	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑥)
38	37	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑥))
39	34, 38	bitrd 278	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑥))
40	31, 39	anbi12d 631	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ≤ 𝑦) ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑥)))
41	7, 40	bitrd 278	1 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539  Ⅎwnf 1786   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  ℝcr 10870   ≤ cle 11010  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  lim supclsp 15179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-ico 13085  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-ceil 13513  df-limsup 15180

This theorem is referenced by:  liminfreuzlem  43343