Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupreuzmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupreuzmpt 44754
Description: Given a function on the reals, defined on a set of upper integers, its supremum limit is real if and only if two condition holds: 1. there is a real number that is less than or equal to the function, infinitely often; 2. there is a real number that is greater than or equal to the function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupreuzmpt.j β„²π‘—πœ‘
limsupreuzmpt.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
limsupreuzmpt.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
limsupreuzmpt.b ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
limsupreuzmpt (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ∈ ℝ ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 𝐡 ≀ π‘₯)))
Distinct variable groups:   𝐡,π‘˜,π‘₯   𝑗,𝑍,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑗,π‘˜)   𝐡(𝑗)   𝑀(π‘₯,𝑗,π‘˜)

Proof of Theorem limsupreuzmpt
Dummy variables 𝑖 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfmpt1 5256 . . 3 Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)
2 limsupreuzmpt.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 limsupreuzmpt.z . . 3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
4 limsupreuzmpt.j . . . 4 β„²π‘—πœ‘
5 limsupreuzmpt.b . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
64, 5fmptd2f 44236 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡):π‘βŸΆβ„)
71, 2, 3, 6limsupreuz 44752 . 2 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ∈ ℝ ↔ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘—) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘—) ≀ 𝑦)))
8 nfv 1916 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗 𝑖 ∈ 𝑍
94, 8nfan 1901 . . . . . . 7 Ⅎ𝑗(πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍)
10 simpll 764 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ πœ‘)
113uztrn2 12846 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
1211adantll 711 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
13 eqid 2731 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)
1413a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡))
1514, 5fvmpt2d 7011 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘—) = 𝐡)
1610, 12, 15syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘—) = 𝐡)
1716breq2d 5160 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ (𝑦 ≀ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘—) ↔ 𝑦 ≀ 𝐡))
189, 17rexbida 3268 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘—) ↔ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ 𝐡))
1918ralbidva 3174 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘—) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ 𝐡))
2019rexbidv 3177 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘—) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ 𝐡))
21 breq1 5151 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑦 ≀ 𝐡 ↔ π‘₯ ≀ 𝐡))
2221rexbidv 3177 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ 𝐡 ↔ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)π‘₯ ≀ 𝐡))
2322ralbidv 3176 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ 𝐡 ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)π‘₯ ≀ 𝐡))
24 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = π‘˜ β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘–) = (β„€β‰₯β€˜π‘˜))
2524rexeqdv 3325 . . . . . . . . 9 (𝑖 = π‘˜ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)π‘₯ ≀ 𝐡 ↔ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ 𝐡))
2625cbvralvw 3233 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)π‘₯ ≀ 𝐡 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ 𝐡)
2726a1i 11 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)π‘₯ ≀ 𝐡 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ 𝐡))
2823, 27bitrd 279 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ 𝐡 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ 𝐡))
2928cbvrexvw 3234 . . . . 5 (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ 𝐡 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ 𝐡)
3029a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ 𝐡 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ 𝐡))
3120, 30bitrd 279 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘—) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ 𝐡))
3215breq1d 5158 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘—) ≀ 𝑦 ↔ 𝐡 ≀ 𝑦))
334, 32ralbida 3266 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘— ∈ 𝑍 ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘—) ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 𝐡 ≀ 𝑦))
3433rexbidv 3177 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘—) ≀ 𝑦 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 𝐡 ≀ 𝑦))
35 breq2 5152 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝐡 ≀ 𝑦 ↔ 𝐡 ≀ π‘₯))
3635ralbidv 3176 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆ€π‘— ∈ 𝑍 𝐡 ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 𝐡 ≀ π‘₯))
3736cbvrexvw 3234 . . . . 5 (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 𝐡 ≀ 𝑦 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 𝐡 ≀ π‘₯)
3837a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 𝐡 ≀ 𝑦 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 𝐡 ≀ π‘₯))
3934, 38bitrd 279 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘—) ≀ 𝑦 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 𝐡 ≀ π‘₯))
4031, 39anbi12d 630 . 2 (πœ‘ β†’ ((βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘—) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘—) ≀ 𝑦) ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 𝐡 ≀ π‘₯)))
417, 40bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ∈ ℝ ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 𝐡 ≀ π‘₯)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540  β„²wnf 1784   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6543  β„cr 11113   ≀ cle 11254  β„€cz 12563  β„€β‰₯cuz 12827  lim supclsp 15419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-ico 13335  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-ceil 13763  df-limsup 15420
This theorem is referenced by:  liminfreuzlem  44817
  Copyright terms: Public domain W3C validator