Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupreuzmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupreuzmpt 40449
Description: Given a function on the reals, defined on a set of upper integers, its supremum limit is real if and only if two condition holds: 1. there is a real number that is less than or equal to the function, infinitely often; 2. there is a real number that is greater than or equal to the function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupreuzmpt.j 𝑗𝜑
limsupreuzmpt.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
limsupreuzmpt.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
limsupreuzmpt.b ((𝜑𝑗𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
limsupreuzmpt (𝜑 → ((lim sup‘(𝑗𝑍𝐵)) ∈ ℝ ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑥)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐵(𝑗)   𝑀(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem limsupreuzmpt
Dummy variables 𝑖 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfmpt1 4939 . . 3 𝑗(𝑗𝑍𝐵)
2 limsupreuzmpt.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 limsupreuzmpt.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
4 limsupreuzmpt.j . . . 4 𝑗𝜑
5 limsupreuzmpt.b . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
64, 5fmptd2f 39924 . . 3 (𝜑 → (𝑗𝑍𝐵):𝑍⟶ℝ)
71, 2, 3, 6limsupreuz 40447 . 2 (𝜑 → ((lim sup‘(𝑗𝑍𝐵)) ∈ ℝ ↔ (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑦 ≤ ((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 ((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) ≤ 𝑦)))
8 nfv 2005 . . . . . . . 8 𝑗 𝑖𝑍
94, 8nfan 1990 . . . . . . 7 𝑗(𝜑𝑖𝑍)
10 simpll 774 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝜑)
113uztrn2 11920 . . . . . . . . . 10 ((𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑗𝑍)
1211adantll 696 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑗𝑍)
13 eqid 2804 . . . . . . . . . . 11 (𝑗𝑍𝐵) = (𝑗𝑍𝐵)
1413a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑗𝑍𝐵) = (𝑗𝑍𝐵))
1514, 5fvmpt2d 6512 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) = 𝐵)
1610, 12, 15syl2anc 575 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → ((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) = 𝐵)
1716breq2d 4854 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → (𝑦 ≤ ((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) ↔ 𝑦𝐵))
189, 17rexbida 3233 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑍) → (∃𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑦 ≤ ((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑦𝐵))
1918ralbidva 3171 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑦 ≤ ((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) ↔ ∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑦𝐵))
2019rexbidv 3238 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑦 ≤ ((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑦𝐵))
21 breq1 4845 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝐵𝑥𝐵))
2221rexbidv 3238 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑦𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑥𝐵))
2322ralbidv 3172 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑦𝐵 ↔ ∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑥𝐵))
24 fveq2 6406 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑘 → (ℤ𝑖) = (ℤ𝑘))
2524rexeqdv 3332 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑘 → (∃𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑥𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥𝐵))
2625cbvralv 3358 . . . . . . . 8 (∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑥𝐵 ↔ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥𝐵)
2726a1i 11 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑥𝐵 ↔ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥𝐵))
2823, 27bitrd 270 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑦𝐵 ↔ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥𝐵))
2928cbvrexv 3359 . . . . 5 (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑦𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥𝐵)
3029a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑦𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥𝐵))
3120, 30bitrd 270 . . 3 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑦 ≤ ((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥𝐵))
3215breq1d 4852 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → (((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) ≤ 𝑦𝐵𝑦))
334, 32ralbida 3168 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑗𝑍 ((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑦))
3433rexbidv 3238 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 ((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑦))
35 breq2 4846 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (𝐵𝑦𝐵𝑥))
3635ralbidv 3172 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑗𝑍 𝐵𝑦 ↔ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑥))
3736cbvrexv 3359 . . . . 5 (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑥)
3837a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑥))
3934, 38bitrd 270 . . 3 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 ((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑥))
4031, 39anbi12d 618 . 2 (𝜑 → ((∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑦 ≤ ((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 ((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) ≤ 𝑦) ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑥)))
417, 40bitrd 270 1 (𝜑 → ((lim sup‘(𝑗𝑍𝐵)) ∈ ℝ ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wnf 1863  wcel 2156  wral 3094  wrex 3095   class class class wbr 4842  cmpt 4921  cfv 6099  cr 10218  cle 10358  cz 11641  cuz 11902  lim supclsp 14422
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2782  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5094  ax-un 7177  ax-cnex 10275  ax-resscn 10276  ax-1cn 10277  ax-icn 10278  ax-addcl 10279  ax-addrcl 10280  ax-mulcl 10281  ax-mulrcl 10282  ax-mulcom 10283  ax-addass 10284  ax-mulass 10285  ax-distr 10286  ax-i2m1 10287  ax-1ne0 10288  ax-1rid 10289  ax-rnegex 10290  ax-rrecex 10291  ax-cnre 10292  ax-pre-lttri 10293  ax-pre-lttrn 10294  ax-pre-ltadd 10295  ax-pre-mulgt0 10296  ax-pre-sup 10297
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2791  df-cleq 2797  df-clel 2800  df-nfc 2935  df-ne 2977  df-nel 3080  df-ral 3099  df-rex 3100  df-reu 3101  df-rmo 3102  df-rab 3103  df-v 3391  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4115  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4843  df-opab 4905  df-mpt 4922  df-tr 4945  df-id 5217  df-eprel 5222  df-po 5230  df-so 5231  df-fr 5268  df-we 5270  df-xp 5315  df-rel 5316  df-cnv 5317  df-co 5318  df-dm 5319  df-rn 5320  df-res 5321  df-ima 5322  df-pred 5891  df-ord 5937  df-on 5938  df-lim 5939  df-suc 5940  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6833  df-ov 6875  df-oprab 6876  df-mpt2 6877  df-om 7294  df-1st 7396  df-2nd 7397  df-wrecs 7640  df-recs 7702  df-rdg 7740  df-1o 7794  df-oadd 7798  df-er 7977  df-en 8191  df-dom 8192  df-sdom 8193  df-fin 8194  df-sup 8585  df-inf 8586  df-pnf 10359  df-mnf 10360  df-xr 10361  df-ltxr 10362  df-le 10363  df-sub 10551  df-neg 10552  df-nn 11304  df-n0 11558  df-z 11642  df-uz 11903  df-ico 12397  df-fz 12548  df-fzo 12688  df-fl 12815  df-ceil 12816  df-limsup 14423
This theorem is referenced by:  liminfreuzlem  40512
  Copyright terms: Public domain W3C validator