Theorem limsupreuzmpt 45847

Description: Given a function on the reals, defined on a set of upper integers, its supremum limit is real if and only if two condition holds: 1. there is a real number that is less than or equal to the function, infinitely often; 2. there is a real number that is greater than or equal to the function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupreuzmpt.j	⊢ Ⅎ𝑗𝜑
limsupreuzmpt.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
limsupreuzmpt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
limsupreuzmpt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
limsupreuzmpt	⊢ (𝜑 → ((lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐵(𝑗)   𝑀(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem limsupreuzmpt

Dummy variables 𝑖 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfmpt1 5188	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)
2		limsupreuzmpt.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		limsupreuzmpt.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		limsupreuzmpt.j	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
5		limsupreuzmpt.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
6	4, 5	fmptd2f 45342	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵):𝑍⟶ℝ)
7	1, 2, 3, 6	limsupreuz 45845	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ ↔ (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ≤ 𝑦)))
8		nfv 1915	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑖 ∈ 𝑍
9	4, 8	nfan 1900	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍)
10		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝜑)
11	3	uztrn2 12751	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
12	11	adantll 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
13		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵))
15	14, 5	fvmpt2d 6942	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) = 𝐵)
16	10, 12, 15	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) = 𝐵)
17	16	breq2d 5101	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → (𝑦 ≤ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ↔ 𝑦 ≤ 𝐵))
18	9, 17	rexbida 3244	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ 𝐵))
19	18	ralbidva 3153	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ 𝐵))
20	19	rexbidv 3156	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ 𝐵))
21		breq1 5092	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ≤ 𝐵 ↔ 𝑥 ≤ 𝐵))
22	21	rexbidv 3156	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ 𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑥 ≤ 𝐵))
23	22	ralbidv 3155	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑖 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑥 ≤ 𝐵))
24		fveq2 6822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (ℤ≥‘𝑖) = (ℤ≥‘𝑘))
25	24	rexeqdv 3293	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑥 ≤ 𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ 𝐵))
26	25	cbvralvw 3210	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑥 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ 𝐵)
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑖 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑥 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ 𝐵))
28	23, 27	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑖 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ 𝐵))
29	28	cbvrexvw 3211	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ 𝐵)
30	29	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ 𝐵))
31	20, 30	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ 𝐵))
32	15	breq1d 5099	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ≤ 𝑦 ↔ 𝐵 ≤ 𝑦))
33	4, 32	ralbida 3243	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑗 ∈ 𝑍 ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑦))
34	33	rexbidv 3156	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑦))
35		breq2 5093	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑦 ↔ 𝐵 ≤ 𝑥))
36	35	ralbidv 3155	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑥))
37	36	cbvrexvw 3211	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑥)
38	37	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑥))
39	34, 38	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑥))
40	31, 39	anbi12d 632	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ≤ 𝑦) ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑥)))
41	7, 40	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5170  ‘cfv 6481  ℝcr 11005   ≤ cle 11147  ℤcz 12468  ℤ_≥cuz 12732  lim supclsp 15377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-ico 13251  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-ceil 13697  df-limsup 15378

This theorem is referenced by:  liminfreuzlem  45910