Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupreuzmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupreuzmpt 43875
Description: Given a function on the reals, defined on a set of upper integers, its supremum limit is real if and only if two condition holds: 1. there is a real number that is less than or equal to the function, infinitely often; 2. there is a real number that is greater than or equal to the function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupreuzmpt.j 𝑗𝜑
limsupreuzmpt.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
limsupreuzmpt.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
limsupreuzmpt.b ((𝜑𝑗𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
limsupreuzmpt (𝜑 → ((lim sup‘(𝑗𝑍𝐵)) ∈ ℝ ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑥)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐵(𝑗)   𝑀(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem limsupreuzmpt
Dummy variables 𝑖 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfmpt1 5212 . . 3 𝑗(𝑗𝑍𝐵)
2 limsupreuzmpt.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 limsupreuzmpt.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
4 limsupreuzmpt.j . . . 4 𝑗𝜑
5 limsupreuzmpt.b . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
64, 5fmptd2f 43359 . . 3 (𝜑 → (𝑗𝑍𝐵):𝑍⟶ℝ)
71, 2, 3, 6limsupreuz 43873 . 2 (𝜑 → ((lim sup‘(𝑗𝑍𝐵)) ∈ ℝ ↔ (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑦 ≤ ((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 ((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) ≤ 𝑦)))
8 nfv 1918 . . . . . . . 8 𝑗 𝑖𝑍
94, 8nfan 1903 . . . . . . 7 𝑗(𝜑𝑖𝑍)
10 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝜑)
113uztrn2 12741 . . . . . . . . . 10 ((𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑗𝑍)
1211adantll 713 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑗𝑍)
13 eqid 2738 . . . . . . . . . . 11 (𝑗𝑍𝐵) = (𝑗𝑍𝐵)
1413a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑗𝑍𝐵) = (𝑗𝑍𝐵))
1514, 5fvmpt2d 6959 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) = 𝐵)
1610, 12, 15syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → ((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) = 𝐵)
1716breq2d 5116 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → (𝑦 ≤ ((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) ↔ 𝑦𝐵))
189, 17rexbida 3254 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑍) → (∃𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑦 ≤ ((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑦𝐵))
1918ralbidva 3171 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑦 ≤ ((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) ↔ ∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑦𝐵))
2019rexbidv 3174 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑦 ≤ ((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑦𝐵))
21 breq1 5107 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝐵𝑥𝐵))
2221rexbidv 3174 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑦𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑥𝐵))
2322ralbidv 3173 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑦𝐵 ↔ ∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑥𝐵))
24 fveq2 6840 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑘 → (ℤ𝑖) = (ℤ𝑘))
2524rexeqdv 3313 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑘 → (∃𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑥𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥𝐵))
2625cbvralvw 3224 . . . . . . . 8 (∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑥𝐵 ↔ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥𝐵)
2726a1i 11 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑥𝐵 ↔ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥𝐵))
2823, 27bitrd 279 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑦𝐵 ↔ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥𝐵))
2928cbvrexvw 3225 . . . . 5 (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑦𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥𝐵)
3029a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑦𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥𝐵))
3120, 30bitrd 279 . . 3 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑦 ≤ ((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥𝐵))
3215breq1d 5114 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → (((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) ≤ 𝑦𝐵𝑦))
334, 32ralbida 3252 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑗𝑍 ((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑦))
3433rexbidv 3174 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 ((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑦))
35 breq2 5108 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (𝐵𝑦𝐵𝑥))
3635ralbidv 3173 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑗𝑍 𝐵𝑦 ↔ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑥))
3736cbvrexvw 3225 . . . . 5 (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑥)
3837a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑥))
3934, 38bitrd 279 . . 3 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 ((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑥))
4031, 39anbi12d 632 . 2 (𝜑 → ((∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝑦 ≤ ((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 ((𝑗𝑍𝐵)‘𝑗) ≤ 𝑦) ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑥)))
417, 40bitrd 279 1 (𝜑 → ((lim sup‘(𝑗𝑍𝐵)) ∈ ℝ ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wnf 1786  wcel 2107  wral 3063  wrex 3072   class class class wbr 5104  cmpt 5187  cfv 6494  cr 11009  cle 11149  cz 12458  cuz 12722  lim supclsp 15312
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665  ax-cnex 11066  ax-resscn 11067  ax-1cn 11068  ax-icn 11069  ax-addcl 11070  ax-addrcl 11071  ax-mulcl 11072  ax-mulrcl 11073  ax-mulcom 11074  ax-addass 11075  ax-mulass 11076  ax-distr 11077  ax-i2m1 11078  ax-1ne0 11079  ax-1rid 11080  ax-rnegex 11081  ax-rrecex 11082  ax-cnre 11083  ax-pre-lttri 11084  ax-pre-lttrn 11085  ax-pre-ltadd 11086  ax-pre-mulgt0 11087  ax-pre-sup 11088
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7308  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7796  df-1st 7914  df-2nd 7915  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8310  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8607  df-en 8843  df-dom 8844  df-sdom 8845  df-fin 8846  df-sup 9337  df-inf 9338  df-pnf 11150  df-mnf 11151  df-xr 11152  df-ltxr 11153  df-le 11154  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12113  df-n0 12373  df-z 12459  df-uz 12723  df-ico 13225  df-fz 13380  df-fzo 13523  df-fl 13652  df-ceil 13653  df-limsup 15313
This theorem is referenced by:  liminfreuzlem  43938
  Copyright terms: Public domain W3C validator