Theorem limsupreuzmpt 45730

Description: Given a function on the reals, defined on a set of upper integers, its supremum limit is real if and only if two condition holds: 1. there is a real number that is less than or equal to the function, infinitely often; 2. there is a real number that is greater than or equal to the function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupreuzmpt.j	⊢ Ⅎ𝑗𝜑
limsupreuzmpt.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
limsupreuzmpt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
limsupreuzmpt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
limsupreuzmpt	⊢ (𝜑 → ((lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐵(𝑗)   𝑀(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem limsupreuzmpt

Dummy variables 𝑖 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfmpt1 5201	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)
2		limsupreuzmpt.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		limsupreuzmpt.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		limsupreuzmpt.j	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
5		limsupreuzmpt.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
6	4, 5	fmptd2f 45222	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵):𝑍⟶ℝ)
7	1, 2, 3, 6	limsupreuz 45728	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ ↔ (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ≤ 𝑦)))
8		nfv 1914	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑖 ∈ 𝑍
9	4, 8	nfan 1899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍)
10		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝜑)
11	3	uztrn2 12788	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
12	11	adantll 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
13		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵))
15	14, 5	fvmpt2d 6963	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) = 𝐵)
16	10, 12, 15	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) = 𝐵)
17	16	breq2d 5114	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → (𝑦 ≤ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ↔ 𝑦 ≤ 𝐵))
18	9, 17	rexbida 3247	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ 𝐵))
19	18	ralbidva 3154	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ 𝐵))
20	19	rexbidv 3157	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ 𝐵))
21		breq1 5105	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ≤ 𝐵 ↔ 𝑥 ≤ 𝐵))
22	21	rexbidv 3157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ 𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑥 ≤ 𝐵))
23	22	ralbidv 3156	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑖 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑥 ≤ 𝐵))
24		fveq2 6840	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (ℤ≥‘𝑖) = (ℤ≥‘𝑘))
25	24	rexeqdv 3297	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑥 ≤ 𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ 𝐵))
26	25	cbvralvw 3213	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑥 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ 𝐵)
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑖 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑥 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ 𝐵))
28	23, 27	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑖 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ 𝐵))
29	28	cbvrexvw 3214	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ 𝐵)
30	29	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ 𝐵))
31	20, 30	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ 𝐵))
32	15	breq1d 5112	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ≤ 𝑦 ↔ 𝐵 ≤ 𝑦))
33	4, 32	ralbida 3246	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑗 ∈ 𝑍 ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑦))
34	33	rexbidv 3157	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑦))
35		breq2 5106	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑦 ↔ 𝐵 ≤ 𝑥))
36	35	ralbidv 3156	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑥))
37	36	cbvrexvw 3214	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑥)
38	37	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑥))
39	34, 38	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑥))
40	31, 39	anbi12d 632	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ≤ 𝑦) ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑥)))
41	7, 40	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  ‘cfv 6499  ℝcr 11043   ≤ cle 11185  ℤcz 12505  ℤ_≥cuz 12769  lim supclsp 15412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-ico 13288  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-ceil 13731  df-limsup 15413

This theorem is referenced by:  liminfreuzlem  45793