Theorem limsupreuzmpt 44540

Description: Given a function on the reals, defined on a set of upper integers, its supremum limit is real if and only if two condition holds: 1. there is a real number that is less than or equal to the function, infinitely often; 2. there is a real number that is greater than or equal to the function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupreuzmpt.j	⊢ Ⅎ𝑗𝜑
limsupreuzmpt.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
limsupreuzmpt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
limsupreuzmpt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
limsupreuzmpt	⊢ (𝜑 → ((lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐵(𝑗)   𝑀(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem limsupreuzmpt

Dummy variables 𝑖 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfmpt1 5256	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)
2		limsupreuzmpt.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		limsupreuzmpt.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		limsupreuzmpt.j	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
5		limsupreuzmpt.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
6	4, 5	fmptd2f 44022	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵):𝑍⟶ℝ)
7	1, 2, 3, 6	limsupreuz 44538	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ ↔ (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ≤ 𝑦)))
8		nfv 1917	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑖 ∈ 𝑍
9	4, 8	nfan 1902	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍)
10		simpll 765	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝜑)
11	3	uztrn2 12843	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
12	11	adantll 712	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
13		eqid 2732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵))
15	14, 5	fvmpt2d 7011	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) = 𝐵)
16	10, 12, 15	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) = 𝐵)
17	16	breq2d 5160	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → (𝑦 ≤ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ↔ 𝑦 ≤ 𝐵))
18	9, 17	rexbida 3269	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ 𝐵))
19	18	ralbidva 3175	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ 𝐵))
20	19	rexbidv 3178	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ 𝐵))
21		breq1 5151	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ≤ 𝐵 ↔ 𝑥 ≤ 𝐵))
22	21	rexbidv 3178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ 𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑥 ≤ 𝐵))
23	22	ralbidv 3177	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑖 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑥 ≤ 𝐵))
24		fveq2 6891	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (ℤ≥‘𝑖) = (ℤ≥‘𝑘))
25	24	rexeqdv 3326	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑥 ≤ 𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ 𝐵))
26	25	cbvralvw 3234	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑥 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ 𝐵)
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑖 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑥 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ 𝐵))
28	23, 27	bitrd 278	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑖 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ 𝐵))
29	28	cbvrexvw 3235	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ 𝐵)
30	29	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ 𝐵))
31	20, 30	bitrd 278	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ 𝐵))
32	15	breq1d 5158	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ≤ 𝑦 ↔ 𝐵 ≤ 𝑦))
33	4, 32	ralbida 3267	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑗 ∈ 𝑍 ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑦))
34	33	rexbidv 3178	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑦))
35		breq2 5152	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑦 ↔ 𝐵 ≤ 𝑥))
36	35	ralbidv 3177	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑥))
37	36	cbvrexvw 3235	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑥)
38	37	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑥))
39	34, 38	bitrd 278	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑥))
40	31, 39	anbi12d 631	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ≤ 𝑦) ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑥)))
41	7, 40	bitrd 278	1 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6543  ℝcr 11111   ≤ cle 11251  ℤcz 12560  ℤ_≥cuz 12824  lim supclsp 15416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-ico 13332  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-ceil 13760  df-limsup 15417

This theorem is referenced by:  liminfreuzlem  44603