Theorem k0004val0 39864

Description: The topological simplex of dimension 0 is a singleton. (Contributed by RP, 2-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
k0004.a	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...(𝑛 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1})

Assertion

Ref	Expression
k0004val0	⊢ (𝐴‘0) = {{⟨1, 1⟩}}

Distinct variable group:   𝑘,𝑛,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑡,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem k0004val0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 11724	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		k0004.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...(𝑛 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1})
3	2	k0004val 39860	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (𝐴‘0) = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1})
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐴‘0) = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1}
5		0p1e1 11569	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 1) = 1
6	5	oveq2i 6987	. . . . . . 7 ⊢ (1...(0 + 1)) = (1...1)
7		1z 11825	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
8		fzsn 12765	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (1...1) = {1}
10	6, 9	eqtri 2803	. . . . . 6 ⊢ (1...(0 + 1)) = {1}
11	10	oveq2i 6987	. . . . 5 ⊢ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...(0 + 1))) = ((0[,]1) ↑𝑚 {1})
12		rabeq 3407	. . . . 5 ⊢ (((0[,]1) ↑𝑚 (1...(0 + 1))) = ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) → {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1} = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1})
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1} = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1}
14	10	sumeq1i 14915	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑡‘𝑘)
15		elmapi 8228	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) → 𝑡:{1}⟶(0[,]1))
16		fsn2g 6723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℤ → (𝑡:{1}⟶(0[,]1) ↔ ((𝑡‘1) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 = {⟨1, (𝑡‘1)⟩})))
17	7, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡:{1}⟶(0[,]1) ↔ ((𝑡‘1) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 = {⟨1, (𝑡‘1)⟩}))
18	17	biimpi 208	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡:{1}⟶(0[,]1) → ((𝑡‘1) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 = {⟨1, (𝑡‘1)⟩}))
19		unitssre 12701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
20		ax-resscn 10392	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
21	19, 20	sstri 3868	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℂ
22	21	sseli 3855	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑡‘1) ∈ (0[,]1) → (𝑡‘1) ∈ ℂ)
23	22	adantr 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑡‘1) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 = {⟨1, (𝑡‘1)⟩}) → (𝑡‘1) ∈ ℂ)
24	15, 18, 23	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) → (𝑡‘1) ∈ ℂ)
25		fveq2 6499	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑡‘𝑘) = (𝑡‘1))
26	25	sumsn 14961	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑡‘1) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {1} (𝑡‘𝑘) = (𝑡‘1))
27	7, 24, 26	sylancr 578	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) → Σ𝑘 ∈ {1} (𝑡‘𝑘) = (𝑡‘1))
28	14, 27	syl5eq 2827	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) → Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = (𝑡‘1))
29	28	eqeq1d 2781	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) → (Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1 ↔ (𝑡‘1) = 1))
30	29	rabbiia 3399	. . . 4 ⊢ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1} = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) ∣ (𝑡‘1) = 1}
31	13, 30	eqtri 2803	. . 3 ⊢ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1} = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) ∣ (𝑡‘1) = 1}
32		rabeqsn 4478	. . . 4 ⊢ ({𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) ∣ (𝑡‘1) = 1} = {{⟨1, 1⟩}} ↔ ∀𝑡((𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) ∧ (𝑡‘1) = 1) ↔ 𝑡 = {⟨1, 1⟩}))
33		ovex 7008	. . . . 5 ⊢ (0[,]1) ∈ V
34		1elunit 12672	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
35		k0004lem3 39859	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (0[,]1) ∈ V ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) ∧ (𝑡‘1) = 1) ↔ 𝑡 = {⟨1, 1⟩}))
36	7, 33, 34, 35	mp3an 1440	. . . 4 ⊢ ((𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) ∧ (𝑡‘1) = 1) ↔ 𝑡 = {⟨1, 1⟩})
37	32, 36	mpgbir 1762	. . 3 ⊢ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) ∣ (𝑡‘1) = 1} = {{⟨1, 1⟩}}
38	31, 37	eqtri 2803	. 2 ⊢ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1} = {{⟨1, 1⟩}}
39	4, 38	eqtri 2803	1 ⊢ (𝐴‘0) = {{⟨1, 1⟩}}

Syntax hints:   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  {crab 3093  Vcvv 3416  {csn 4441  ⟨cop 4447   ↦ cmpt 5008  ⟶wf 6184  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976   ↑_𝑚 cmap 8206  ℂcc 10333  ℝcr 10334  0cc0 10335  1c1 10336   + caddc 10338  ℕ₀cn0 11707  ℤcz 11793  [,]cicc 12557  ...cfz 12708  Σcsu 14903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-inf2 8898  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-sup 8701  df-oi 8769  df-card 9162  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-rp 12205  df-icc 12561  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-seq 13185  df-exp 13245  df-hash 13506  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-clim 14706  df-sum 14904

This theorem is referenced by: (None)