Theorem k0004val0 45415

Description: The topological simplex of dimension 0 is a singleton. (Contributed by RP, 2-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
k0004.a	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (0...𝑛)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)(𝑡‘𝑘) = 1})

Assertion

Ref	Expression
k0004val0	⊢ (𝐴‘0) = {⟨“1”⟩}

Distinct variable group:   𝑘,𝑛,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑡, 𝑘, 𝑛)

Proof of Theorem k0004val0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fz0sn 13801	. . . . 5 ⊢ (0...0) = {0}
2	1	oveq2i 7462	. . . 4 ⊢ ((0[,]1) ↑m (0...0)) = ((0[,]1) ↑m {0})
3	2	rabeqi 3429	. . 3 ⊢ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (0...0)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝑡‘𝑘) = 1} = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {0}) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝑡‘𝑘) = 1}
4	1	sumeq1i 15908	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝑡‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {0} (𝑡‘𝑘)
5		0z 12744	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
6		elmapi 8907	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {0}) → 𝑡:{0}⟶(0[,]1))
7		fsn2g 7171	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ℤ → (𝑡:{0}⟶(0[,]1) ↔ ((𝑡‘0) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 = {⟨0, (𝑡‘0)⟩})))
8	5, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡:{0}⟶(0[,]1) ↔ ((𝑡‘0) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 = {⟨0, (𝑡‘0)⟩}))
9	8	biimpi 219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡:{0}⟶(0[,]1) → ((𝑡‘0) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 = {⟨0, (𝑡‘0)⟩}))
10		elunitcn 13639	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑡‘0) ∈ (0[,]1) → (𝑡‘0) ∈ ℂ)
11	10	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑡‘0) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 = {⟨0, (𝑡‘0)⟩}) → (𝑡‘0) ∈ ℂ)
12	6, 9, 11	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {0}) → (𝑡‘0) ∈ ℂ)
13		fveq2 6916	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑡‘𝑘) = (𝑡‘0))
14	13	sumsn 15956	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑡‘0) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {0} (𝑡‘𝑘) = (𝑡‘0))
15	5, 12, 14	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {0}) → Σ𝑘 ∈ {0} (𝑡‘𝑘) = (𝑡‘0))
16	4, 15	eqtrid 2810	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {0}) → Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝑡‘𝑘) = (𝑡‘0))
17	16	eqeq1d 2765	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {0}) → (Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝑡‘𝑘) = 1 ↔ (𝑡‘0) = 1))
18	17	rabbiia 3420	. . 3 ⊢ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {0}) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝑡‘𝑘) = 1} = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {0}) ∣ (𝑡‘0) = 1}
19		rabeqsn 4629	. . . 4 ⊢ ({𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {0}) ∣ (𝑡‘0) = 1} = {{⟨0, 1⟩}} ↔ ∀𝑡((𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {0}) ∧ (𝑡‘0) = 1) ↔ 𝑡 = {⟨0, 1⟩}))
20		ovex 7484	. . . . 5 ⊢ (0[,]1) ∈ V
21		1elunit 13641	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
22		k0004lem3 45410	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (0[,]1) ∈ V ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {0}) ∧ (𝑡‘0) = 1) ↔ 𝑡 = {⟨0, 1⟩}))
23	5, 20, 21, 22	mp3an 1491	. . . 4 ⊢ ((𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {0}) ∧ (𝑡‘0) = 1) ↔ 𝑡 = {⟨0, 1⟩})
24	19, 23	mpgbir 1832	. . 3 ⊢ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {0}) ∣ (𝑡‘0) = 1} = {{⟨0, 1⟩}}
25	3, 18, 24	3eqtri 2790	. 2 ⊢ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (0...0)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝑡‘𝑘) = 1} = {{⟨0, 1⟩}}
26		0nn0 12661	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
27		k0004.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (0...𝑛)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)(𝑡‘𝑘) = 1})
28	27	k0004val 45411	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (𝐴‘0) = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (0...0)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝑡‘𝑘) = 1})
29	26, 28	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐴‘0) = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (0...0)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝑡‘𝑘) = 1}
30		1z 12766	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
31		s1val 14786	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → ⟨“1”⟩ = {⟨0, 1⟩})
32	30, 31	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ⟨“1”⟩ = {⟨0, 1⟩}
33	32	sneqi 4595	. 2 ⊢ {⟨“1”⟩} = {{⟨0, 1⟩}}
34	25, 29, 33	3eqtr4i 2796	1 ⊢ (𝐴‘0) = {⟨“1”⟩}

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416  Vcvv 3454  {csn 4588  ⟨cop 4840   ↦ cmpt 5192  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ↑_m cmap 8885  ℂcc 11237  0cc0 11239  1c1 11240  ℕ₀cn0 12646  ℤcz 12733  [,]cicc 13519  ...cfz 13679  ⟨“cs1 14783  Σcsu 15897

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-icc 13523  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-seq 14185  df-exp 14245  df-hash 14516  df-s1 14784  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-clim 15699  df-sum 15898

This theorem is used by: (None)