Mathbox for Richard Penner < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  k0004val0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem k0004val0 40844
 Description: The topological simplex of dimension 0 is a singleton. (Contributed by RP, 2-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
k0004.a 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑛 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝑡𝑘) = 1})
Assertion
Ref Expression
k0004val0 (𝐴‘0) = {{⟨1, 1⟩}}
Distinct variable group:   𝑘,𝑛,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑡,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem k0004val0
StepHypRef Expression
1 0nn0 11904 . . 3 0 ∈ ℕ0
2 k0004.a . . . 4 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑛 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝑡𝑘) = 1})
32k0004val 40840 . . 3 (0 ∈ ℕ0 → (𝐴‘0) = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡𝑘) = 1})
41, 3ax-mp 5 . 2 (𝐴‘0) = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡𝑘) = 1}
5 0p1e1 11751 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
65oveq2i 7150 . . . . . . 7 (1...(0 + 1)) = (1...1)
7 1z 12004 . . . . . . . 8 1 ∈ ℤ
8 fzsn 12948 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
97, 8ax-mp 5 . . . . . . 7 (1...1) = {1}
106, 9eqtri 2824 . . . . . 6 (1...(0 + 1)) = {1}
1110oveq2i 7150 . . . . 5 ((0[,]1) ↑m (1...(0 + 1))) = ((0[,]1) ↑m {1})
1211rabeqi 3432 . . . 4 {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡𝑘) = 1} = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡𝑘) = 1}
1310sumeq1i 15050 . . . . . . 7 Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑡𝑘)
14 elmapi 8415 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) → 𝑡:{1}⟶(0[,]1))
15 fsn2g 6881 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℤ → (𝑡:{1}⟶(0[,]1) ↔ ((𝑡‘1) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 = {⟨1, (𝑡‘1)⟩})))
167, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝑡:{1}⟶(0[,]1) ↔ ((𝑡‘1) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 = {⟨1, (𝑡‘1)⟩}))
1716biimpi 219 . . . . . . . . 9 (𝑡:{1}⟶(0[,]1) → ((𝑡‘1) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 = {⟨1, (𝑡‘1)⟩}))
18 unitssre 12881 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]1) ⊆ ℝ
19 ax-resscn 10587 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℂ
2018, 19sstri 3927 . . . . . . . . . . 11 (0[,]1) ⊆ ℂ
2120sseli 3914 . . . . . . . . . 10 ((𝑡‘1) ∈ (0[,]1) → (𝑡‘1) ∈ ℂ)
2221adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝑡‘1) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 = {⟨1, (𝑡‘1)⟩}) → (𝑡‘1) ∈ ℂ)
2314, 17, 223syl 18 . . . . . . . 8 (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) → (𝑡‘1) ∈ ℂ)
24 fveq2 6649 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 1 → (𝑡𝑘) = (𝑡‘1))
2524sumsn 15096 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑡‘1) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {1} (𝑡𝑘) = (𝑡‘1))
267, 23, 25sylancr 590 . . . . . . 7 (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) → Σ𝑘 ∈ {1} (𝑡𝑘) = (𝑡‘1))
2713, 26syl5eq 2848 . . . . . 6 (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) → Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡𝑘) = (𝑡‘1))
2827eqeq1d 2803 . . . . 5 (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) → (Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡𝑘) = 1 ↔ (𝑡‘1) = 1))
2928rabbiia 3422 . . . 4 {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡𝑘) = 1} = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∣ (𝑡‘1) = 1}
3012, 29eqtri 2824 . . 3 {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡𝑘) = 1} = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∣ (𝑡‘1) = 1}
31 rabeqsn 4569 . . . 4 ({𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∣ (𝑡‘1) = 1} = {{⟨1, 1⟩}} ↔ ∀𝑡((𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∧ (𝑡‘1) = 1) ↔ 𝑡 = {⟨1, 1⟩}))
32 ovex 7172 . . . . 5 (0[,]1) ∈ V
33 1elunit 12852 . . . . 5 1 ∈ (0[,]1)
34 k0004lem3 40839 . . . . 5 ((1 ∈ ℤ ∧ (0[,]1) ∈ V ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∧ (𝑡‘1) = 1) ↔ 𝑡 = {⟨1, 1⟩}))
357, 32, 33, 34mp3an 1458 . . . 4 ((𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∧ (𝑡‘1) = 1) ↔ 𝑡 = {⟨1, 1⟩})
3631, 35mpgbir 1801 . . 3 {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∣ (𝑡‘1) = 1} = {{⟨1, 1⟩}}
3730, 36eqtri 2824 . 2 {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡𝑘) = 1} = {{⟨1, 1⟩}}
384, 37eqtri 2824 1 (𝐴‘0) = {{⟨1, 1⟩}}
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  {crab 3113  Vcvv 3444  {csn 4528  ⟨cop 4534   ↦ cmpt 5113  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   ↑m cmap 8393  ℂcc 10528  ℝcr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533  ℕ0cn0 11889  ℤcz 11973  [,]cicc 12733  ...cfz 12889  Σcsu 15037 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-sum 15038 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator