Theorem k0004val0 44125

Description: The topological simplex of dimension 0 is a singleton. (Contributed by RP, 2-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
k0004.a	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑛 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1})

Assertion

Ref	Expression
k0004val0	⊢ (𝐴‘0) = {{⟨1, 1⟩}}

Distinct variable group:   𝑘,𝑛,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑡,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem k0004val0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12514	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		k0004.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑛 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1})
3	2	k0004val 44121	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (𝐴‘0) = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1})
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐴‘0) = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1}
5		0p1e1 12360	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 1) = 1
6	5	oveq2i 7414	. . . . . . 7 ⊢ (1...(0 + 1)) = (1...1)
7		1z 12620	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
8		fzsn 13581	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (1...1) = {1}
10	6, 9	eqtri 2758	. . . . . 6 ⊢ (1...(0 + 1)) = {1}
11	10	oveq2i 7414	. . . . 5 ⊢ ((0[,]1) ↑m (1...(0 + 1))) = ((0[,]1) ↑m {1})
12	11	rabeqi 3429	. . . 4 ⊢ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1} = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1}
13	10	sumeq1i 15711	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑡‘𝑘)
14		elmapi 8861	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) → 𝑡:{1}⟶(0[,]1))
15		fsn2g 7127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℤ → (𝑡:{1}⟶(0[,]1) ↔ ((𝑡‘1) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 = {⟨1, (𝑡‘1)⟩})))
16	7, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡:{1}⟶(0[,]1) ↔ ((𝑡‘1) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 = {⟨1, (𝑡‘1)⟩}))
17	16	biimpi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡:{1}⟶(0[,]1) → ((𝑡‘1) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 = {⟨1, (𝑡‘1)⟩}))
18		unitssre 13514	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
19		ax-resscn 11184	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
20	18, 19	sstri 3968	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℂ
21	20	sseli 3954	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑡‘1) ∈ (0[,]1) → (𝑡‘1) ∈ ℂ)
22	21	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑡‘1) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 = {⟨1, (𝑡‘1)⟩}) → (𝑡‘1) ∈ ℂ)
23	14, 17, 22	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) → (𝑡‘1) ∈ ℂ)
24		fveq2 6875	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑡‘𝑘) = (𝑡‘1))
25	24	sumsn 15760	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑡‘1) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {1} (𝑡‘𝑘) = (𝑡‘1))
26	7, 23, 25	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) → Σ𝑘 ∈ {1} (𝑡‘𝑘) = (𝑡‘1))
27	13, 26	eqtrid 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) → Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = (𝑡‘1))
28	27	eqeq1d 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) → (Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1 ↔ (𝑡‘1) = 1))
29	28	rabbiia 3419	. . . 4 ⊢ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1} = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∣ (𝑡‘1) = 1}
30	12, 29	eqtri 2758	. . 3 ⊢ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1} = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∣ (𝑡‘1) = 1}
31		rabeqsn 4643	. . . 4 ⊢ ({𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∣ (𝑡‘1) = 1} = {{⟨1, 1⟩}} ↔ ∀𝑡((𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∧ (𝑡‘1) = 1) ↔ 𝑡 = {⟨1, 1⟩}))
32		ovex 7436	. . . . 5 ⊢ (0[,]1) ∈ V
33		1elunit 13485	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
34		k0004lem3 44120	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (0[,]1) ∈ V ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∧ (𝑡‘1) = 1) ↔ 𝑡 = {⟨1, 1⟩}))
35	7, 32, 33, 34	mp3an 1463	. . . 4 ⊢ ((𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∧ (𝑡‘1) = 1) ↔ 𝑡 = {⟨1, 1⟩})
36	31, 35	mpgbir 1799	. . 3 ⊢ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∣ (𝑡‘1) = 1} = {{⟨1, 1⟩}}
37	30, 36	eqtri 2758	. 2 ⊢ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1} = {{⟨1, 1⟩}}
38	4, 37	eqtri 2758	1 ⊢ (𝐴‘0) = {{⟨1, 1⟩}}

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {crab 3415  Vcvv 3459  {csn 4601  ⟨cop 4607   ↦ cmpt 5201  ⟶wf 6526  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403   ↑_m cmap 8838  ℂcc 11125  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130  ℕ₀cn0 12499  ℤcz 12586  [,]cicc 13363  ...cfz 13522  Σcsu 15700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-inf2 9653  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-isom 6539  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8717  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9452  df-oi 9522  df-card 9951  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13007  df-icc 13367  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-seq 14018  df-exp 14078  df-hash 14347  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-clim 15502  df-sum 15701

This theorem is referenced by: (None)