Theorem k0004val0 45263

Description: The topological simplex of dimension 0 is a singleton. (Contributed by RP, 2-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
k0004.a	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (0...𝑛)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)(𝑡‘𝑘) = 1})

Assertion

Ref	Expression
k0004val0	⊢ (𝐴‘0) = {⟨“1”⟩}

Distinct variable group:   𝑘,𝑛,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑡, 𝑘, 𝑛)

Proof of Theorem k0004val0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fz0sn 13768	. . . . 5 ⊢ (0...0) = {0}
2	1	oveq2i 7435	. . . 4 ⊢ ((0[,]1) ↑m (0...0)) = ((0[,]1) ↑m {0})
3	2	rabeqi 3425	. . 3 ⊢ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (0...0)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝑡‘𝑘) = 1} = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {0}) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝑡‘𝑘) = 1}
4	1	sumeq1i 15873	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝑡‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {0} (𝑡‘𝑘)
5		0z 12711	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
6		elmapi 8876	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {0}) → 𝑡:{0}⟶(0[,]1))
7		fsn2g 7144	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ℤ → (𝑡:{0}⟶(0[,]1) ↔ ((𝑡‘0) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 = {⟨0, (𝑡‘0)⟩})))
8	5, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡:{0}⟶(0[,]1) ↔ ((𝑡‘0) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 = {⟨0, (𝑡‘0)⟩}))
9	8	biimpi 219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡:{0}⟶(0[,]1) → ((𝑡‘0) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 = {⟨0, (𝑡‘0)⟩}))
10		elunitcn 13606	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑡‘0) ∈ (0[,]1) → (𝑡‘0) ∈ ℂ)
11	10	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑡‘0) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 = {⟨0, (𝑡‘0)⟩}) → (𝑡‘0) ∈ ℂ)
12	6, 9, 11	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {0}) → (𝑡‘0) ∈ ℂ)
13		fveq2 6890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑡‘𝑘) = (𝑡‘0))
14	13	sumsn 15921	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑡‘0) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {0} (𝑡‘𝑘) = (𝑡‘0))
15	5, 12, 14	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {0}) → Σ𝑘 ∈ {0} (𝑡‘𝑘) = (𝑡‘0))
16	4, 15	eqtrid 2807	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {0}) → Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝑡‘𝑘) = (𝑡‘0))
17	16	eqeq1d 2762	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {0}) → (Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝑡‘𝑘) = 1 ↔ (𝑡‘0) = 1))
18	17	rabbiia 3416	. . 3 ⊢ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {0}) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝑡‘𝑘) = 1} = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {0}) ∣ (𝑡‘0) = 1}
19		rabeqsn 4624	. . . 4 ⊢ ({𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {0}) ∣ (𝑡‘0) = 1} = {{⟨0, 1⟩}} ↔ ∀𝑡((𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {0}) ∧ (𝑡‘0) = 1) ↔ 𝑡 = {⟨0, 1⟩}))
20		ovex 7457	. . . . 5 ⊢ (0[,]1) ∈ V
21		1elunit 13608	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
22		k0004lem3 45258	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (0[,]1) ∈ V ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {0}) ∧ (𝑡‘0) = 1) ↔ 𝑡 = {⟨0, 1⟩}))
23	5, 20, 21, 22	mp3an 1490	. . . 4 ⊢ ((𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {0}) ∧ (𝑡‘0) = 1) ↔ 𝑡 = {⟨0, 1⟩})
24	19, 23	mpgbir 1831	. . 3 ⊢ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {0}) ∣ (𝑡‘0) = 1} = {{⟨0, 1⟩}}
25	3, 18, 24	3eqtri 2787	. 2 ⊢ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (0...0)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝑡‘𝑘) = 1} = {{⟨0, 1⟩}}
26		0nn0 12628	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
27		k0004.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (0...𝑛)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)(𝑡‘𝑘) = 1})
28	27	k0004val 45259	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (𝐴‘0) = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (0...0)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝑡‘𝑘) = 1})
29	26, 28	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐴‘0) = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (0...0)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝑡‘𝑘) = 1}
30		1z 12733	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
31		s1val 14752	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → ⟨“1”⟩ = {⟨0, 1⟩})
32	30, 31	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ⟨“1”⟩ = {⟨0, 1⟩}
33	32	sneqi 4591	. 2 ⊢ {⟨“1”⟩} = {{⟨0, 1⟩}}
34	25, 29, 33	3eqtr4i 2793	1 ⊢ (𝐴‘0) = {⟨“1”⟩}

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412  Vcvv 3450  {csn 4584  ⟨cop 4834   ↦ cmpt 5185  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   ↑_m cmap 8854  ℂcc 11205  0cc0 11207  1c1 11208  ℕ₀cn0 12613  ℤcz 12700  [,]cicc 13486  ...cfz 13646  ⟨“cs1 14749  Σcsu 15862

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-er 8724  df-map 8856  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-sup 9441  df-oi 9511  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-rp 13128  df-icc 13490  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-seq 14152  df-exp 14212  df-hash 14482  df-s1 14750  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-clim 15664  df-sum 15863

This theorem is used by: (None)