Theorem k0004val0 44727

Description: The topological simplex of dimension 0 is a singleton. (Contributed by RP, 2-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
k0004.a	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑛 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1})

Assertion

Ref	Expression
k0004val0	⊢ (𝐴‘0) = {{⟨1, 1⟩}}

Distinct variable group:   𝑘,𝑛,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑡,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem k0004val0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12496	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		k0004.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑛 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1})
3	2	k0004val 44723	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (𝐴‘0) = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1})
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐴‘0) = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1}
5		0p1e1 12338	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 1) = 1
6	5	oveq2i 7407	. . . . . . 7 ⊢ (1...(0 + 1)) = (1...1)
7		1z 12601	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
8		fzsn 13571	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (1...1) = {1}
10	6, 9	eqtri 2785	. . . . . 6 ⊢ (1...(0 + 1)) = {1}
11	10	oveq2i 7407	. . . . 5 ⊢ ((0[,]1) ↑m (1...(0 + 1))) = ((0[,]1) ↑m {1})
12	11	rabeqi 3427	. . . 4 ⊢ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1} = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1}
13	10	sumeq1i 15724	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑡‘𝑘)
14		elmapi 8830	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) → 𝑡:{1}⟶(0[,]1))
15		fsn2g 7120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℤ → (𝑡:{1}⟶(0[,]1) ↔ ((𝑡‘1) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 = {⟨1, (𝑡‘1)⟩})))
16	7, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡:{1}⟶(0[,]1) ↔ ((𝑡‘1) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 = {⟨1, (𝑡‘1)⟩}))
17	16	biimpi 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡:{1}⟶(0[,]1) → ((𝑡‘1) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 = {⟨1, (𝑡‘1)⟩}))
18		unitssre 13503	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
19		ax-resscn 11130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
20	18, 19	sstri 3945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℂ
21	20	sseli 3932	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑡‘1) ∈ (0[,]1) → (𝑡‘1) ∈ ℂ)
22	21	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑡‘1) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 = {⟨1, (𝑡‘1)⟩}) → (𝑡‘1) ∈ ℂ)
23	14, 17, 22	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) → (𝑡‘1) ∈ ℂ)
24		fveq2 6867	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑡‘𝑘) = (𝑡‘1))
25	24	sumsn 15773	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑡‘1) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {1} (𝑡‘𝑘) = (𝑡‘1))
26	7, 23, 25	sylancr 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) → Σ𝑘 ∈ {1} (𝑡‘𝑘) = (𝑡‘1))
27	13, 26	eqtrid 2809	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) → Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = (𝑡‘1))
28	27	eqeq1d 2764	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) → (Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1 ↔ (𝑡‘1) = 1))
29	28	rabbiia 3418	. . . 4 ⊢ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1} = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∣ (𝑡‘1) = 1}
30	12, 29	eqtri 2785	. . 3 ⊢ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1} = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∣ (𝑡‘1) = 1}
31		rabeqsn 4626	. . . 4 ⊢ ({𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∣ (𝑡‘1) = 1} = {{⟨1, 1⟩}} ↔ ∀𝑡((𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∧ (𝑡‘1) = 1) ↔ 𝑡 = {⟨1, 1⟩}))
32		ovex 7429	. . . . 5 ⊢ (0[,]1) ∈ V
33		1elunit 13474	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
34		k0004lem3 44722	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (0[,]1) ∈ V ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∧ (𝑡‘1) = 1) ↔ 𝑡 = {⟨1, 1⟩}))
35	7, 32, 33, 34	mp3an 1482	. . . 4 ⊢ ((𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∧ (𝑡‘1) = 1) ↔ 𝑡 = {⟨1, 1⟩})
36	31, 35	mpgbir 1819	. . 3 ⊢ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∣ (𝑡‘1) = 1} = {{⟨1, 1⟩}}
37	30, 36	eqtri 2785	. 2 ⊢ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1} = {{⟨1, 1⟩}}
38	4, 37	eqtri 2785	1 ⊢ (𝐴‘0) = {{⟨1, 1⟩}}

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  {crab 3414  Vcvv 3454  {csn 4582  ⟨cop 4588   ↦ cmpt 5181  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   ↑_m cmap 8808  ℂcc 11071  ℝcr 11072  0cc0 11073  1c1 11074   + caddc 11076  ℕ₀cn0 12481  ℤcz 12568  [,]cicc 13352  ...cfz 13512  Σcsu 15713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9388  df-oi 9458  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-rp 12994  df-icc 13356  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-seq 14015  df-exp 14075  df-hash 14344  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-clim 15515  df-sum 15714

This theorem is referenced by: (None)