Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  k0004val0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem k0004val0 39864
Description: The topological simplex of dimension 0 is a singleton. (Contributed by RP, 2-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
k0004.a 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...(𝑛 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝑡𝑘) = 1})
Assertion
Ref Expression
k0004val0 (𝐴‘0) = {{⟨1, 1⟩}}
Distinct variable group:   𝑘,𝑛,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑡,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem k0004val0
StepHypRef Expression
1 0nn0 11724 . . 3 0 ∈ ℕ0
2 k0004.a . . . 4 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...(𝑛 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝑡𝑘) = 1})
32k0004val 39860 . . 3 (0 ∈ ℕ0 → (𝐴‘0) = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡𝑘) = 1})
41, 3ax-mp 5 . 2 (𝐴‘0) = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡𝑘) = 1}
5 0p1e1 11569 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
65oveq2i 6987 . . . . . . 7 (1...(0 + 1)) = (1...1)
7 1z 11825 . . . . . . . 8 1 ∈ ℤ
8 fzsn 12765 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
97, 8ax-mp 5 . . . . . . 7 (1...1) = {1}
106, 9eqtri 2803 . . . . . 6 (1...(0 + 1)) = {1}
1110oveq2i 6987 . . . . 5 ((0[,]1) ↑𝑚 (1...(0 + 1))) = ((0[,]1) ↑𝑚 {1})
12 rabeq 3407 . . . . 5 (((0[,]1) ↑𝑚 (1...(0 + 1))) = ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) → {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡𝑘) = 1} = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡𝑘) = 1})
1311, 12ax-mp 5 . . . 4 {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡𝑘) = 1} = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡𝑘) = 1}
1410sumeq1i 14915 . . . . . . 7 Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑡𝑘)
15 elmapi 8228 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) → 𝑡:{1}⟶(0[,]1))
16 fsn2g 6723 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℤ → (𝑡:{1}⟶(0[,]1) ↔ ((𝑡‘1) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 = {⟨1, (𝑡‘1)⟩})))
177, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝑡:{1}⟶(0[,]1) ↔ ((𝑡‘1) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 = {⟨1, (𝑡‘1)⟩}))
1817biimpi 208 . . . . . . . . 9 (𝑡:{1}⟶(0[,]1) → ((𝑡‘1) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 = {⟨1, (𝑡‘1)⟩}))
19 unitssre 12701 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]1) ⊆ ℝ
20 ax-resscn 10392 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℂ
2119, 20sstri 3868 . . . . . . . . . . 11 (0[,]1) ⊆ ℂ
2221sseli 3855 . . . . . . . . . 10 ((𝑡‘1) ∈ (0[,]1) → (𝑡‘1) ∈ ℂ)
2322adantr 473 . . . . . . . . 9 (((𝑡‘1) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 = {⟨1, (𝑡‘1)⟩}) → (𝑡‘1) ∈ ℂ)
2415, 18, 233syl 18 . . . . . . . 8 (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) → (𝑡‘1) ∈ ℂ)
25 fveq2 6499 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 1 → (𝑡𝑘) = (𝑡‘1))
2625sumsn 14961 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑡‘1) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {1} (𝑡𝑘) = (𝑡‘1))
277, 24, 26sylancr 578 . . . . . . 7 (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) → Σ𝑘 ∈ {1} (𝑡𝑘) = (𝑡‘1))
2814, 27syl5eq 2827 . . . . . 6 (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) → Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡𝑘) = (𝑡‘1))
2928eqeq1d 2781 . . . . 5 (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) → (Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡𝑘) = 1 ↔ (𝑡‘1) = 1))
3029rabbiia 3399 . . . 4 {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡𝑘) = 1} = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) ∣ (𝑡‘1) = 1}
3113, 30eqtri 2803 . . 3 {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡𝑘) = 1} = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) ∣ (𝑡‘1) = 1}
32 rabeqsn 4478 . . . 4 ({𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) ∣ (𝑡‘1) = 1} = {{⟨1, 1⟩}} ↔ ∀𝑡((𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) ∧ (𝑡‘1) = 1) ↔ 𝑡 = {⟨1, 1⟩}))
33 ovex 7008 . . . . 5 (0[,]1) ∈ V
34 1elunit 12672 . . . . 5 1 ∈ (0[,]1)
35 k0004lem3 39859 . . . . 5 ((1 ∈ ℤ ∧ (0[,]1) ∈ V ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) ∧ (𝑡‘1) = 1) ↔ 𝑡 = {⟨1, 1⟩}))
367, 33, 34, 35mp3an 1440 . . . 4 ((𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) ∧ (𝑡‘1) = 1) ↔ 𝑡 = {⟨1, 1⟩})
3732, 36mpgbir 1762 . . 3 {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) ∣ (𝑡‘1) = 1} = {{⟨1, 1⟩}}
3831, 37eqtri 2803 . 2 {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡𝑘) = 1} = {{⟨1, 1⟩}}
394, 38eqtri 2803 1 (𝐴‘0) = {{⟨1, 1⟩}}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  {crab 3093  Vcvv 3416  {csn 4441  cop 4447  cmpt 5008  wf 6184  cfv 6188  (class class class)co 6976  𝑚 cmap 8206  cc 10333  cr 10334  0cc0 10335  1c1 10336   + caddc 10338  0cn0 11707  cz 11793  [,]cicc 12557  ...cfz 12708  Σcsu 14903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-inf2 8898  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-sup 8701  df-oi 8769  df-card 9162  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-rp 12205  df-icc 12561  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-seq 13185  df-exp 13245  df-hash 13506  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-clim 14706  df-sum 14904
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator