Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  k0004val0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem k0004val0 42514
Description: The topological simplex of dimension 0 is a singleton. (Contributed by RP, 2-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
k0004.a 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑛 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝑡𝑘) = 1})
Assertion
Ref Expression
k0004val0 (𝐴‘0) = {{⟨1, 1⟩}}
Distinct variable group:   𝑘,𝑛,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑡,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem k0004val0
StepHypRef Expression
1 0nn0 12433 . . 3 0 ∈ ℕ0
2 k0004.a . . . 4 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑛 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝑡𝑘) = 1})
32k0004val 42510 . . 3 (0 ∈ ℕ0 → (𝐴‘0) = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡𝑘) = 1})
41, 3ax-mp 5 . 2 (𝐴‘0) = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡𝑘) = 1}
5 0p1e1 12280 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
65oveq2i 7369 . . . . . . 7 (1...(0 + 1)) = (1...1)
7 1z 12538 . . . . . . . 8 1 ∈ ℤ
8 fzsn 13489 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
97, 8ax-mp 5 . . . . . . 7 (1...1) = {1}
106, 9eqtri 2761 . . . . . 6 (1...(0 + 1)) = {1}
1110oveq2i 7369 . . . . 5 ((0[,]1) ↑m (1...(0 + 1))) = ((0[,]1) ↑m {1})
1211rabeqi 3419 . . . 4 {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡𝑘) = 1} = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡𝑘) = 1}
1310sumeq1i 15588 . . . . . . 7 Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑡𝑘)
14 elmapi 8790 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) → 𝑡:{1}⟶(0[,]1))
15 fsn2g 7085 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℤ → (𝑡:{1}⟶(0[,]1) ↔ ((𝑡‘1) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 = {⟨1, (𝑡‘1)⟩})))
167, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝑡:{1}⟶(0[,]1) ↔ ((𝑡‘1) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 = {⟨1, (𝑡‘1)⟩}))
1716biimpi 215 . . . . . . . . 9 (𝑡:{1}⟶(0[,]1) → ((𝑡‘1) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 = {⟨1, (𝑡‘1)⟩}))
18 unitssre 13422 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]1) ⊆ ℝ
19 ax-resscn 11113 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℂ
2018, 19sstri 3954 . . . . . . . . . . 11 (0[,]1) ⊆ ℂ
2120sseli 3941 . . . . . . . . . 10 ((𝑡‘1) ∈ (0[,]1) → (𝑡‘1) ∈ ℂ)
2221adantr 482 . . . . . . . . 9 (((𝑡‘1) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 = {⟨1, (𝑡‘1)⟩}) → (𝑡‘1) ∈ ℂ)
2314, 17, 223syl 18 . . . . . . . 8 (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) → (𝑡‘1) ∈ ℂ)
24 fveq2 6843 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 1 → (𝑡𝑘) = (𝑡‘1))
2524sumsn 15636 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑡‘1) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {1} (𝑡𝑘) = (𝑡‘1))
267, 23, 25sylancr 588 . . . . . . 7 (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) → Σ𝑘 ∈ {1} (𝑡𝑘) = (𝑡‘1))
2713, 26eqtrid 2785 . . . . . 6 (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) → Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡𝑘) = (𝑡‘1))
2827eqeq1d 2735 . . . . 5 (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) → (Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡𝑘) = 1 ↔ (𝑡‘1) = 1))
2928rabbiia 3410 . . . 4 {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡𝑘) = 1} = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∣ (𝑡‘1) = 1}
3012, 29eqtri 2761 . . 3 {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡𝑘) = 1} = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∣ (𝑡‘1) = 1}
31 rabeqsn 4628 . . . 4 ({𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∣ (𝑡‘1) = 1} = {{⟨1, 1⟩}} ↔ ∀𝑡((𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∧ (𝑡‘1) = 1) ↔ 𝑡 = {⟨1, 1⟩}))
32 ovex 7391 . . . . 5 (0[,]1) ∈ V
33 1elunit 13393 . . . . 5 1 ∈ (0[,]1)
34 k0004lem3 42509 . . . . 5 ((1 ∈ ℤ ∧ (0[,]1) ∈ V ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∧ (𝑡‘1) = 1) ↔ 𝑡 = {⟨1, 1⟩}))
357, 32, 33, 34mp3an 1462 . . . 4 ((𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∧ (𝑡‘1) = 1) ↔ 𝑡 = {⟨1, 1⟩})
3631, 35mpgbir 1802 . . 3 {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∣ (𝑡‘1) = 1} = {{⟨1, 1⟩}}
3730, 36eqtri 2761 . 2 {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡𝑘) = 1} = {{⟨1, 1⟩}}
384, 37eqtri 2761 1 (𝐴‘0) = {{⟨1, 1⟩}}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  {crab 3406  Vcvv 3444  {csn 4587  cop 4593  cmpt 5189  wf 6493  cfv 6497  (class class class)co 7358  m cmap 8768  cc 11054  cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059  0cn0 12418  cz 12504  [,]cicc 13273  ...cfz 13430  Σcsu 15576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator