Theorem k0004val0 44127

Description: The topological simplex of dimension 0 is a singleton. (Contributed by RP, 2-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
k0004.a	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑛 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1})

Assertion

Ref	Expression
k0004val0	⊢ (𝐴‘0) = {{⟨1, 1⟩}}

Distinct variable group:   𝑘,𝑛,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑡,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem k0004val0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12399	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		k0004.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑛 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1})
3	2	k0004val 44123	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (𝐴‘0) = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1})
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐴‘0) = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1}
5		0p1e1 12245	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 1) = 1
6	5	oveq2i 7360	. . . . . . 7 ⊢ (1...(0 + 1)) = (1...1)
7		1z 12505	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
8		fzsn 13469	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (1...1) = {1}
10	6, 9	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ (1...(0 + 1)) = {1}
11	10	oveq2i 7360	. . . . 5 ⊢ ((0[,]1) ↑m (1...(0 + 1))) = ((0[,]1) ↑m {1})
12	11	rabeqi 3408	. . . 4 ⊢ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1} = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1}
13	10	sumeq1i 15604	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑡‘𝑘)
14		elmapi 8776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) → 𝑡:{1}⟶(0[,]1))
15		fsn2g 7072	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℤ → (𝑡:{1}⟶(0[,]1) ↔ ((𝑡‘1) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 = {⟨1, (𝑡‘1)⟩})))
16	7, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡:{1}⟶(0[,]1) ↔ ((𝑡‘1) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 = {⟨1, (𝑡‘1)⟩}))
17	16	biimpi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡:{1}⟶(0[,]1) → ((𝑡‘1) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 = {⟨1, (𝑡‘1)⟩}))
18		unitssre 13402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
19		ax-resscn 11066	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
20	18, 19	sstri 3945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℂ
21	20	sseli 3931	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑡‘1) ∈ (0[,]1) → (𝑡‘1) ∈ ℂ)
22	21	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑡‘1) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 = {⟨1, (𝑡‘1)⟩}) → (𝑡‘1) ∈ ℂ)
23	14, 17, 22	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) → (𝑡‘1) ∈ ℂ)
24		fveq2 6822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑡‘𝑘) = (𝑡‘1))
25	24	sumsn 15653	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑡‘1) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {1} (𝑡‘𝑘) = (𝑡‘1))
26	7, 23, 25	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) → Σ𝑘 ∈ {1} (𝑡‘𝑘) = (𝑡‘1))
27	13, 26	eqtrid 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) → Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = (𝑡‘1))
28	27	eqeq1d 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) → (Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1 ↔ (𝑡‘1) = 1))
29	28	rabbiia 3398	. . . 4 ⊢ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1} = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∣ (𝑡‘1) = 1}
30	12, 29	eqtri 2752	. . 3 ⊢ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1} = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∣ (𝑡‘1) = 1}
31		rabeqsn 4619	. . . 4 ⊢ ({𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∣ (𝑡‘1) = 1} = {{⟨1, 1⟩}} ↔ ∀𝑡((𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∧ (𝑡‘1) = 1) ↔ 𝑡 = {⟨1, 1⟩}))
32		ovex 7382	. . . . 5 ⊢ (0[,]1) ∈ V
33		1elunit 13373	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
34		k0004lem3 44122	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (0[,]1) ∈ V ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∧ (𝑡‘1) = 1) ↔ 𝑡 = {⟨1, 1⟩}))
35	7, 32, 33, 34	mp3an 1463	. . . 4 ⊢ ((𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∧ (𝑡‘1) = 1) ↔ 𝑡 = {⟨1, 1⟩})
36	31, 35	mpgbir 1799	. . 3 ⊢ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∣ (𝑡‘1) = 1} = {{⟨1, 1⟩}}
37	30, 36	eqtri 2752	. 2 ⊢ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1} = {{⟨1, 1⟩}}
38	4, 37	eqtri 2752	1 ⊢ (𝐴‘0) = {{⟨1, 1⟩}}

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3394  Vcvv 3436  {csn 4577  ⟨cop 4583   ↦ cmpt 5173  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ↑_m cmap 8753  ℂcc 11007  ℝcr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012  ℕ₀cn0 12384  ℤcz 12471  [,]cicc 13251  ...cfz 13410  Σcsu 15593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-icc 13255  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-sum 15594

This theorem is referenced by: (None)