Theorem k0004val0 44116

Description: The topological simplex of dimension 0 is a singleton. (Contributed by RP, 2-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
k0004.a	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑛 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1})

Assertion

Ref	Expression
k0004val0	⊢ (𝐴‘0) = {{⟨1, 1⟩}}

Distinct variable group:   𝑘,𝑛,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑡,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem k0004val0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12433	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		k0004.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑛 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1})
3	2	k0004val 44112	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (𝐴‘0) = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1})
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐴‘0) = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1}
5		0p1e1 12279	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 1) = 1
6	5	oveq2i 7380	. . . . . . 7 ⊢ (1...(0 + 1)) = (1...1)
7		1z 12539	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
8		fzsn 13503	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (1...1) = {1}
10	6, 9	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ (1...(0 + 1)) = {1}
11	10	oveq2i 7380	. . . . 5 ⊢ ((0[,]1) ↑m (1...(0 + 1))) = ((0[,]1) ↑m {1})
12	11	rabeqi 3416	. . . 4 ⊢ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1} = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1}
13	10	sumeq1i 15639	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑡‘𝑘)
14		elmapi 8799	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) → 𝑡:{1}⟶(0[,]1))
15		fsn2g 7092	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℤ → (𝑡:{1}⟶(0[,]1) ↔ ((𝑡‘1) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 = {⟨1, (𝑡‘1)⟩})))
16	7, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡:{1}⟶(0[,]1) ↔ ((𝑡‘1) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 = {⟨1, (𝑡‘1)⟩}))
17	16	biimpi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡:{1}⟶(0[,]1) → ((𝑡‘1) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 = {⟨1, (𝑡‘1)⟩}))
18		unitssre 13436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
19		ax-resscn 11101	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
20	18, 19	sstri 3953	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℂ
21	20	sseli 3939	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑡‘1) ∈ (0[,]1) → (𝑡‘1) ∈ ℂ)
22	21	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑡‘1) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 = {⟨1, (𝑡‘1)⟩}) → (𝑡‘1) ∈ ℂ)
23	14, 17, 22	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) → (𝑡‘1) ∈ ℂ)
24		fveq2 6840	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑡‘𝑘) = (𝑡‘1))
25	24	sumsn 15688	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑡‘1) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {1} (𝑡‘𝑘) = (𝑡‘1))
26	7, 23, 25	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) → Σ𝑘 ∈ {1} (𝑡‘𝑘) = (𝑡‘1))
27	13, 26	eqtrid 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) → Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = (𝑡‘1))
28	27	eqeq1d 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) → (Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1 ↔ (𝑡‘1) = 1))
29	28	rabbiia 3406	. . . 4 ⊢ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1} = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∣ (𝑡‘1) = 1}
30	12, 29	eqtri 2752	. . 3 ⊢ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1} = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∣ (𝑡‘1) = 1}
31		rabeqsn 4627	. . . 4 ⊢ ({𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∣ (𝑡‘1) = 1} = {{⟨1, 1⟩}} ↔ ∀𝑡((𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∧ (𝑡‘1) = 1) ↔ 𝑡 = {⟨1, 1⟩}))
32		ovex 7402	. . . . 5 ⊢ (0[,]1) ∈ V
33		1elunit 13407	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
34		k0004lem3 44111	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (0[,]1) ∈ V ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∧ (𝑡‘1) = 1) ↔ 𝑡 = {⟨1, 1⟩}))
35	7, 32, 33, 34	mp3an 1463	. . . 4 ⊢ ((𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∧ (𝑡‘1) = 1) ↔ 𝑡 = {⟨1, 1⟩})
36	31, 35	mpgbir 1799	. . 3 ⊢ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∣ (𝑡‘1) = 1} = {{⟨1, 1⟩}}
37	30, 36	eqtri 2752	. 2 ⊢ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1} = {{⟨1, 1⟩}}
38	4, 37	eqtri 2752	1 ⊢ (𝐴‘0) = {{⟨1, 1⟩}}

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3402  Vcvv 3444  {csn 4585  ⟨cop 4591   ↦ cmpt 5183  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ↑_m cmap 8776  ℂcc 11042  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047  ℕ₀cn0 12418  ℤcz 12505  [,]cicc 13285  ...cfz 13444  Σcsu 15628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-icc 13289  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15430  df-sum 15629

This theorem is referenced by: (None)