Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  k0004val0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem k0004val0 43726
Description: The topological simplex of dimension 0 is a singleton. (Contributed by RP, 2-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
k0004.a 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑛 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝑡𝑘) = 1})
Assertion
Ref Expression
k0004val0 (𝐴‘0) = {{⟨1, 1⟩}}
Distinct variable group:   𝑘,𝑛,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑡,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem k0004val0
StepHypRef Expression
1 0nn0 12520 . . 3 0 ∈ ℕ0
2 k0004.a . . . 4 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑛 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝑡𝑘) = 1})
32k0004val 43722 . . 3 (0 ∈ ℕ0 → (𝐴‘0) = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡𝑘) = 1})
41, 3ax-mp 5 . 2 (𝐴‘0) = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡𝑘) = 1}
5 0p1e1 12367 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
65oveq2i 7430 . . . . . . 7 (1...(0 + 1)) = (1...1)
7 1z 12625 . . . . . . . 8 1 ∈ ℤ
8 fzsn 13578 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
97, 8ax-mp 5 . . . . . . 7 (1...1) = {1}
106, 9eqtri 2753 . . . . . 6 (1...(0 + 1)) = {1}
1110oveq2i 7430 . . . . 5 ((0[,]1) ↑m (1...(0 + 1))) = ((0[,]1) ↑m {1})
1211rabeqi 3432 . . . 4 {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡𝑘) = 1} = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡𝑘) = 1}
1310sumeq1i 15680 . . . . . . 7 Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑡𝑘)
14 elmapi 8868 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) → 𝑡:{1}⟶(0[,]1))
15 fsn2g 7147 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℤ → (𝑡:{1}⟶(0[,]1) ↔ ((𝑡‘1) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 = {⟨1, (𝑡‘1)⟩})))
167, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝑡:{1}⟶(0[,]1) ↔ ((𝑡‘1) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 = {⟨1, (𝑡‘1)⟩}))
1716biimpi 215 . . . . . . . . 9 (𝑡:{1}⟶(0[,]1) → ((𝑡‘1) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 = {⟨1, (𝑡‘1)⟩}))
18 unitssre 13511 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]1) ⊆ ℝ
19 ax-resscn 11197 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℂ
2018, 19sstri 3986 . . . . . . . . . . 11 (0[,]1) ⊆ ℂ
2120sseli 3972 . . . . . . . . . 10 ((𝑡‘1) ∈ (0[,]1) → (𝑡‘1) ∈ ℂ)
2221adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝑡‘1) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 = {⟨1, (𝑡‘1)⟩}) → (𝑡‘1) ∈ ℂ)
2314, 17, 223syl 18 . . . . . . . 8 (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) → (𝑡‘1) ∈ ℂ)
24 fveq2 6896 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 1 → (𝑡𝑘) = (𝑡‘1))
2524sumsn 15728 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑡‘1) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {1} (𝑡𝑘) = (𝑡‘1))
267, 23, 25sylancr 585 . . . . . . 7 (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) → Σ𝑘 ∈ {1} (𝑡𝑘) = (𝑡‘1))
2713, 26eqtrid 2777 . . . . . 6 (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) → Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡𝑘) = (𝑡‘1))
2827eqeq1d 2727 . . . . 5 (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) → (Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡𝑘) = 1 ↔ (𝑡‘1) = 1))
2928rabbiia 3422 . . . 4 {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡𝑘) = 1} = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∣ (𝑡‘1) = 1}
3012, 29eqtri 2753 . . 3 {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡𝑘) = 1} = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∣ (𝑡‘1) = 1}
31 rabeqsn 4671 . . . 4 ({𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∣ (𝑡‘1) = 1} = {{⟨1, 1⟩}} ↔ ∀𝑡((𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∧ (𝑡‘1) = 1) ↔ 𝑡 = {⟨1, 1⟩}))
32 ovex 7452 . . . . 5 (0[,]1) ∈ V
33 1elunit 13482 . . . . 5 1 ∈ (0[,]1)
34 k0004lem3 43721 . . . . 5 ((1 ∈ ℤ ∧ (0[,]1) ∈ V ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∧ (𝑡‘1) = 1) ↔ 𝑡 = {⟨1, 1⟩}))
357, 32, 33, 34mp3an 1457 . . . 4 ((𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∧ (𝑡‘1) = 1) ↔ 𝑡 = {⟨1, 1⟩})
3631, 35mpgbir 1793 . . 3 {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m {1}) ∣ (𝑡‘1) = 1} = {{⟨1, 1⟩}}
3730, 36eqtri 2753 . 2 {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡𝑘) = 1} = {{⟨1, 1⟩}}
384, 37eqtri 2753 1 (𝐴‘0) = {{⟨1, 1⟩}}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  {crab 3418  Vcvv 3461  {csn 4630  cop 4636  cmpt 5232  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  m cmap 8845  cc 11138  cr 11139  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143  0cn0 12505  cz 12591  [,]cicc 13362  ...cfz 13519  Σcsu 15668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-clim 15468  df-sum 15669
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator